関数の概念とグラフ | 関数の性質

式 $\sqrt{x}$ に $x=-4$ を入れても、実数としての値は定まりません。式を書くだけでは、どの $x$ に対しても値が決まるとは限りません。式に入れてよい数の範囲が決まっていなければ、「この関数の値」や「この関数のグラフ」が何を指すのかがはっきりしません。また、同じ式 $x^2$ でも、入れてよい数を $0$ 以上に限るか実数全体にするかで、グラフの形が変わり、別のものとして扱うべき場面があります。

そこで、関数を、入れてよい数の集まりである定義域と、その各要素に値をただ一つ対応させる規則の組として定めます。関数は以降の数学のあらゆる場面で用いられる最も基本的な対象の一つであり、その定義に定義域を含めておくことで、後の議論が何を問うているのかをそろえることができます。

本記事では、関数の定義と、値域およびグラフについて解説します。

1 関数、定義域、値域

定義 1.1 (関数・定義域・値域). $D$ を実数の集合とする。 $D$ の各要素 $x$ に実数 $f(x)$ をただ一つ対応させる規則を、 $D$ 上の関数 (function) といい、 $f:D\to\mathbb R$ と書く。 $D$ を関数の定義域、 $\{f(x)\mid x\in D\}$ を関数の値域という。

関数は、対応の規則と定義域をともに指定して定める。二つの関数 $f:D\to\mathbb R$ 、 $g:E\to\mathbb R$ は、 $D=E$ であり、かつ各 $x\in D$ で $f(x)=g(x)$ であるとき、またそのときに限り等しい（同じ関数である）という。

定義域を示さず式だけで関数を与えたときは、その式が実数として意味をもつ実数 $x$ の全体を定義域とする。

たとえば $f(x)=\sqrt{x}$ を式だけで与えたとき、根号の中身が $0$ 以上でなければならないため、定義域は $[0,\infty)$ 、値域も $[0,\infty)$ です。

例 1.2. $f:[0,\infty)\to\mathbb R$ と $g:\mathbb R\to\mathbb R$ を、ともに $x\mapsto x^2$ で定める。二つの式は同じであるが、 $f$ の定義域は負の数を含まず、 $g$ の定義域は含む。たとえば $-1$ は $g$ の定義域に属し $f$ の定義域には属さないので、定義域が一致せず、 $f$ と $g$ は別の関数である。

さらに、 $f$ と $g$ の値域はいずれも $[0,\infty)$ である。値域が同じであっても、定義域が異なれば関数は一致しない。

注意 1.3 (式を変形しても定義域は広がらない). $h(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ の定義域は $\mathbb R\setminus\{1\}$ である。 $x\ne1$ では $h(x)=x+1$ と約分できるが、 $h$ は、 $\mathbb R$ 上で $x+1$ を値とする関数とは別の関数である。 $h$ の定義域に $x=1$ は含まれず、 $h$ は $x=1$ に値をもたない。

2 グラフ

定義 2.1 (関数のグラフ). 定義域 $D$ 上の関数 $f$ に対して、座標平面上の点 $(x,f(x))$ （ $x\in D$ ）の全体を $f$ のグラフ (graph) という。

グラフの点の $x$ 座標の全体は定義域 $D$ に一致し、 $y$ 座標の全体は値域に一致します。したがって、グラフの横方向の広がりが定義域、縦方向の広がりが値域を表します。下の図の $y=\sqrt{x}$ では、 $x<0$ に対応する点がありません。

定理 2.2. 座標平面上の図形が、ある関数のグラフであるための必要十分条件は、各実数 $a$ に対し、直線 $x=a$ との共有点が高々一つであることである。

証明. 図形が定義域 $D$ 上の関数 $f$ のグラフであるとし、任意の実数 $a$ を固定する。 $a\notin D$ ならば直線 $x=a$ はグラフと交わらず、 $a\in D$ ならば共有点は $(a,f(a))$ だけである。したがって、各直線 $x=a$ とグラフとの共有点は高々一つである。

逆に、各直線 $x=a$ との共有点が高々一つである図形 $C$ に対して、 $D=\{a\in\mathbb R\mid (a,y)\in C\text{ となる実数 }y\text{ が存在する}\}$ とおく。各 $a\in D$ について $(a,y)\in C$ を満たす実数 $y$ は存在し、仮定によりただ一つである。その実数を $f(a)$ と定めると、 $f$ は $D$ 上の実数値関数であり、 $C$ は点 $(a,f(a))$ （ $a\in D$ ）の全体に一致する。ゆえに $C$ は $f$ のグラフである。▨

例 2.3. 円 $x^2+y^2=1$ は、直線 $x=0$ と $(0,1)$ 、 $(0,-1)$ の二点で交わる。定理 2.2の条件が $a=0$ で成り立たないので、この円は関数のグラフではない。

3 演習

問題 3.1 (定義域と値域・関数のグラフ).

$\mathbb R$ 上の関数 $x\mapsto\sqrt{x^2}$ と $x\mapsto|x|$ は同じ関数か。
$f(x)=x^2$ の定義域を $[-1,2]$ とするとき、 $f$ の値域を求めよ。
上半円 $y=\sqrt{4-x^2}$ を $y$ が $x$ の式で表された関数のグラフとみて、その定義域と値域を求めよ。
放物線 $x=y^2$ が関数のグラフでないことを、縦線による判定を用いて示せ。

解答.

同じ関数である。どちらの定義域も $\mathbb R$ である（ $x^2\ge0$ なので $\sqrt{x^2}$ はすべての実数 $x$ で定まる）。各実数 $x$ について、 $\sqrt{x^2}$ は $2$ 乗して $x^2$ になる $0$ 以上の数であり、 $|x|$ も $0$ 以上で $|x|^2=x^2$ を満たすので、 $\sqrt{x^2}=|x|$ である。したがって定義域が一致し、各点で値も一致する。なお $\sqrt{x^2}=x$ は $x=-1$ で成り立たない。
値域は $[0,4]$ である。 $x\in[-1,2]$ ならば $|x|\le2$ なので $0\le x^2\le4$ である。逆に $c\in[0,4]$ に対し $x=\sqrt{c}\in[0,2]\subset[-1,2]$ とおくと $f(x)=c$ となる。端点の値 $f(-1)=1$ 、 $f(2)=4$ だけを見て $[1,4]$ とするのは誤りである。 $x=0$ が定義域に含まれ、 $f(0)=0$ だからである。
定義域は、 $4-x^2\ge0$ すなわち $-2\le x\le2$ より $[-2,2]$ である。値域は $[0,2]$ である。 $\sqrt{\ }$ は $0$ 以上なので値は $0$ 以上であり、 $4-x^2\le4$ より値は $2$ 以下である。逆に $c\in[0,2]$ に対し $x=\sqrt{4-c^2}\in[-2,2]$ とおくと $\sqrt{4-x^2}=\sqrt{c^2}=c$ となる。
直線 $x=1$ は放物線と $(1,1)$ 、 $(1,-1)$ の二点で交わる。したがって定理 2.2により、この放物線は関数のグラフではない。 $y$ を $x$ の関数とみると対応が一つに定まらないが、 $x=y^2$ は $x$ を $y$ の関数として表している。

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§B2.1関数の概念とグラフ

1 関数、定義域、値域

2 グラフ

3 演習

例題

演習

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