関数方程式入門 | 関数の性質

関数を調べるとき、私たちはふつう式やグラフとして与えられた関数の値や形を調べます。しかし、関数が式で与えられておらず、満たすべき条件だけが与えられている場合もあります。そのとき未知なのは数ではなく関数そのものであり、条件を満たす関数が存在するのか、存在するならどのような関数なのかを問うことになります。このように、未知の関数が満たす等式を課して、その関数を決める問題を扱うのが関数方程式です。関数方程式は、関数の連続性や単調性といった性質により関数の形がどこまで定まるかを調べる場として重要です。たとえば、すべての実数 $x,y$ について $f(x+y)=f(x)+f(y)$ を満たす連続な関数は、定数 $c$ を用いて $f(x)=cx$ と表される関数に限られます。

関数方程式は発展の内容であり、関心に応じて選んで読むことができます。本記事では、関数方程式の定義と、代表的な例について解説します。

1 関数方程式とは

定義 1.1 (関数方程式). 定義域 $D$ 、終域 $E$ をもつ未知の関数 $f:D\to E$ に対して、 $D$ の要素に関する等式を課したものを関数方程式 (functional equation) という。

定義 1.2 (関数方程式の解). 関数方程式を満たす関数を、その方程式の解 (solution) という。解をすべて求めることを、その関数方程式を解くという。

解を求めるときは、まず入力に $0$ 、互いに反対の数、等しい数などを代入して、関数の値に関する関係を取り出します。この段階で得られるのは、 $f$ が解であるために必要な条件だけです。そこで、得られた候補を最後に元の等式へ代入し、すべての入力で成り立つこと（十分性）を確かめます。必要条件から出発した候補が、元の等式を満たすとは限らないからです。

例 1.3. $f:\mathbb R\to\mathbb R$ がすべての実数 $x,y$ について $f(x+y)=f(x)+y^2$ を満たすとする。 $x$ と $y$ を入れ替えると $f(y+x)=f(y)+x^2$ であり、 $x+y=y+x$ であるから $f(x)+y^2=f(y)+x^2$ である。したがって $f(x)-x^2=f(y)-y^2$ がすべての $x,y$ で成り立ち、この値は定数 $k$ である。すなわち候補は $f(x)=x^2+k$ に限られる。

しかし $x=y=1$ を元の等式へ代入すると、左辺は $f(2)=4+k$ 、右辺は $f(1)+1=2+k$ となり一致しない。よって、この関数方程式を満たす $f$ は存在しない。

2 コーシーの関数方程式

定義 2.1 (加法的な関数). 関数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ が、すべての実数 $x,y$ について $f(x+y)=f(x)+f(y)$ を満たすとき、 $f$ は加法的 (additive) であるという。この等式をコーシーの関数方程式という。

定理 2.2. 加法的な関数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ は、すべての有理数 $q$ とすべての実数 $x$ について $f(qx)=qf(x)$ を満たす。連続性は仮定しない。

証明. $x=y=0$ を代入すると $f(0)=2f(0)$ であるから $f(0)=0$ である。 $f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$ から $f(-x)=-f(x)$ である。

正の整数 $n$ について、等式を繰り返し用いると $f(nx)=nf(x)$ である。 $-n$ については $f(-nx)=-f(nx)=-nf(x)$ であり、 $n=0$ では $f(0)=0$ であるから、 $f(mx)=mf(x)$ がすべての整数 $m$ で成り立つ。

$n$ を正の整数とする。 $f(x)=f(n\cdot(x/n))=nf(x/n)$ であるから $f(x/n)=f(x)/n$ である。有理数 $q$ を整数 $m$ と正の整数 $n$ により $q=m/n$ と書くと、 $f(qx)=f\left(m\cdot\frac xn\right)=mf\left(\frac xn\right)=\frac mn f(x)=qf(x)$ である。▨

定理 2.3. 連続な関数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ が、すべての実数 $x,y$ について

$f(x+y)=f(x)+f(y)$

を満たすとする。このとき、 $c=f(1)$ とおけば、すべての実数 $x$ について $f(x)=cx$ である。逆に、任意の実数 $c$ に対して $x\mapsto cx$ はこの等式を満たす。

証明. $f$ は加法的であるから、定理 2.2を $x=1$ に適用して、有理数 $q$ について $f(q)=qf(1)=cq$ を得る。

実数 $x$ を任意にとる。§D1.4 実数の連続性の§D1.4 系 2.2により示される有理数の稠密性から、各正の整数 $k$ に対して $|q_k-x|<1/k$ を満たす有理数 $q_k$ を選ぶことができる。すると $q_k\to x$ である。 $f$ は $x$ で連続であるから、§B1.10 定理 6.4により $f(q_k)\to f(x)$ である。一方 $f(q_k)=cq_k\to cx$ であるため、極限の一意性から $f(x)=cx$ である。

最後に $f(x)=cx$ を元の等式へ代入すると $c(x+y)=cx+cy$ であり、逆の主張も成り立つ。▨

注意 2.4 (連続性を外す場合). 連続性を仮定しない加法的関数について、定理 2.2からは有理数倍までしか結論が得られない。実際、 $\mathbb Q(\sqrt2)=\{a+b\sqrt2\mid a,b\in\mathbb Q\}$ 上の関数 $g(a+b\sqrt2)=a$ は、 $\sqrt2$ が無理数であるため $a,b$ が一意に定まり、 $\mathbb Q(\sqrt2)$ の任意の2数 $x,y$ について $g(x+y)=g(x)+g(y)$ を満たす。しかし $g(1)=1$ 、 $g(\sqrt2)=0$ であるから $g(x)=g(1)x$ の形ではない。実数全体でも、連続でない加法的関数が存在することが知られている（Hamel、1905）。 $x\mapsto cx$ はどれも連続であるから、連続でない加法的関数は $x\mapsto cx$ の形ではない。

3 代入で決まる例

例 3.1. $f:\mathbb R\to\mathbb R$ がすべての実数 $x$ について $2f(x)+f(-x)=3x+6$ を満たすとする。 $x$ を $-x$ に置き換えると $2f(-x)+f(x)=-3x+6$ である。最初の式を2倍して後の式を引けば $3f(x)=9x+6$ 、したがって $f(x)=3x+2$ である。元の式へ代入すると確かに成り立つ。

例 3.2. 連続な関数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ がすべての実数 $x,y$ について $f(x+f(y))=f(x)+y$ を満たすとする。

$x=0$ を代入すると $f(f(y))=f(0)+y$ である。 $f(y_1)=f(y_2)$ ならば $f(f(y_1))=f(f(y_2))$ から $y_1=y_2$ となるので、 $f$ は単射である（§B2.7 定義 2.1）。また任意の実数 $t$ に対し $y=t-f(0)$ とおくと $f(f(y))=t$ であるから、 $f$ は全射でもある。

$y=0$ を代入すると $f(x+f(0))=f(x)$ であり、単射性から $x+f(0)=x$ 、すなわち $f(0)=0$ である。したがって $f(f(y))=y$ である。次に $y=f(z)$ を代入すると $f(x+f(f(z)))=f(x)+f(z)$ であり、 $f(f(z))=z$ であるから $f(x+z)=f(x)+f(z)$ がすべての実数 $x,z$ で成り立つ。 $f$ は連続な加法的関数であるから、定理 2.3により $f(x)=cx$ （ $c=f(1)$ ）である。

元の等式へ代入すると $f(x+f(y))=cx+c^2y$ 、右辺は $cx+y$ であるから、 $c^2=1$ が必要である。 $c=\pm1$ のとき $f(x)=cx$ は確かに元の等式を満たす。したがって解は $f(x)=x$ と $f(x)=-x$ である。

注意 3.3 (本記事で扱う範囲). 指数型、対数型、三角関数型の関数方程式や、正則性の仮定を変えた一般分類は本記事では扱わない。競技数学としてのより複雑な関数方程式は §C5 雑多な話題が扱う。

4 演習

問題 4.1 (単調な加法的関数). 加法的な関数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ が単調増加である（ $x\le y$ ならば $f(x)\le f(y)$ ）とき、すべての実数 $x$ について $f(x)=f(1)x$ であることを示しなさい。ただし、 $f$ の連続性は仮定しない。

解答 (演習の解答).

$c=f(1)$ とおく。定理 2.2を $x=1$ に適用すると、有理数 $q$ について $f(q)=cq$ である。実数 $x$ を任意にとり、§D1.4 系 2.2により各正の整数 $k$ に対して $|q_k-x|<1/(2k)$ を満たす有理数 $q_k$ をとる。有理数 $p_k=q_k-1/(2k)$ 、 $r_k=q_k+1/(2k)$ について $p_k<x<r_k$ であり、 $|p_k-x|<1/k$ 、 $|r_k-x|<1/k$ である。 $f$ は単調増加であるから $f(p_k)\le f(x)\le f(r_k)$ 、すなわち $cp_k\le f(x)\le cr_k$ である。 $p_k\to x$ 、 $r_k\to x$ であるから $cp_k\to cx$ 、 $cr_k\to cx$ であり、はさみうちにより $f(x)=cx$ である。▨

問題 4.2 ( $f(f(x))=x$ と単調性). 関数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ がすべての実数 $x$ について $f(f(x))=x$ を満たすとする。

$f$ は全単射であることを示しなさい。
さらに $f$ が狭義単調増加である（ $x<y$ ならば $f(x)<f(y)$ ）とき、 $f(x)=x$ であることを示しなさい。

解答.

(1)について、 $g=f$ とおくと、 $g(f(x))=x$ と $f(g(y))=y$ がすべての実数 $x,y$ で成り立つ。したがって§B2.8 定理 2.1 (1)により $f$ は全単射である。

(2)について、ある $x$ について $f(x)>x$ とすると、 $f$ が狭義単調増加であるから $f(f(x))>f(x)>x$ となり、 $f(f(x))=x$ に反する。 $f(x)<x$ とすると $f(f(x))<f(x)<x$ となり、やはり反する。よってすべての $x$ で $f(x)=x$ である。逆に $f(x)=x$ は条件を満たす。▨

問題 4.3 (二次の項をもつ加法型の方程式). 連続な関数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ がすべての実数 $x,y$ について $f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy$ を満たすとき、 $f$ を求め、元の等式へ代入して確かめなさい。

解答.

$g(x)=f(x)-x^2$ とおくと、 $g$ は連続であり、 $g(x+y)=f(x)+f(y)+2xy-(x+y)^2=(f(x)-x^2)+(f(y)-y^2)=g(x)+g(y)$ であるから加法的である。定理 2.3により $g(x)=cx$ （ $c=g(1)=f(1)-1$ ）、すなわち $f(x)=x^2+cx$ である。逆に $f(x)=x^2+cx$ のとき $f(x+y)=(x+y)^2+c(x+y)=f(x)+f(y)+2xy$ が成り立つ。▨

§B2.14関数方程式入門

1 関数方程式とは

2 コーシーの関数方程式

3 代入で決まる例

4 演習

例題

演習