§B2.12三角関数の微分 II

例 2.2. 次の4つの関数の導関数を求める。

$(1)$$y = \sin 3x$とする。公式 2.1により、すべての実数$x$について$y' = 3\cos 3x$である。

$(2)$$y = \cos^{2}x$とする。公式 2.1により、すべての実数$x$について$y' = -2\cos x\sin x$である。倍角の公式によって$y' = -\sin 2x$とも書くことができる。

$(3)$$x \ne \dfrac{\pi}{2}+n\pi$（$n$は整数）とし、$y = x\tan x$とする。§B2.10 定理 3.1と定理 1.1により

である。

$(4)$$x \ne \pi + 2n\pi$（$n$は整数）とし、$y = \dfrac{\sin x}{1+\cos x}$とする。この範囲では$\cos x \ne -1$であるから$1 + \cos x > 0$であり、§B2.10 定理 4.1を用いることができて

である。

例 3.2.$0 \le x \le 2\pi$の範囲で$f(x) = \sin x + \cos x$の増減を調べる。§B2.11 定理 4.1により$f'(x) = \cos x - \sin x$である。

$0 \le x \le 2\pi$で$f'(x) = 0$となるのは$\cos x = \sin x$のときであり、$x = \dfrac{\pi}{4}$と$x = \dfrac{5\pi}{4}$である。$\cos x > \sin x$となるのは$0 \le x < \dfrac{\pi}{4}$と$\dfrac{5\pi}{4} < x \le 2\pi$の範囲であり、$\cos x < \sin x$となるのは$\dfrac{\pi}{4} < x < \dfrac{5\pi}{4}$の範囲である。増減は次のようになる。

§B2.5 定理 4.2により、$f$は表の増加の区間で狭義単調増加、減少の区間で狭義単調減少であり、§B2.5 定理 4.5により、$f$は$x = \dfrac{\pi}{4}$で極大値$\sqrt2$をとり、$x = \dfrac{5\pi}{4}$で極小値$-\sqrt2$をとる。両端の値は$f(0) = f(2\pi) = 1$であるから、この範囲での最大値は$\sqrt2$、最小値は$-\sqrt2$である。

三角関数の合成によって$f(x) = \sqrt2\,\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$と書き直すことができ、値の範囲が$-\sqrt2 \le f(x) \le \sqrt2$であることと、最大値をとる$x$が$x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$すなわち$x = \dfrac{\pi}{4}$であることが確かめられる。

例 3.3.$-\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}$の範囲で$f(x) = 2x - \tan x$の増減と極値を調べる。この範囲では$\cos x > 0$であり、定理 1.1により$f$は微分可能で$f'(x) = 2 - \dfrac{1}{\cos^{2}x}$である。

$f'(x) > 0$は$\cos^{2}x > \dfrac12$、すなわち$\cos x > \dfrac{1}{\sqrt2}$と同値であり、この範囲では$-\dfrac{\pi}{4} < x < \dfrac{\pi}{4}$である。同様に$f'(x) = 0$は$x = \pm\dfrac{\pi}{4}$、$f'(x) < 0$は$-\dfrac{\pi}{2} < x < -\dfrac{\pi}{4}$と$\dfrac{\pi}{4} < x < \dfrac{\pi}{2}$である。増減は次のようになる。

§B2.5 定理 4.5を$a = \dfrac{\pi}{4}$、$\delta = \dfrac{\pi}{4}$に適用すると、$f$は$x = \dfrac{\pi}{4}$で極大値$\dfrac{\pi}{2} - 1$をとり、$a = -\dfrac{\pi}{4}$に適用すると$x = -\dfrac{\pi}{4}$で極小値$1 - \dfrac{\pi}{2}$をとる。

例 3.4.$0 \le x \le 2\pi$の範囲で$f(x) = \sin x\,(1+\cos x)$の増減を調べる。§B2.10 定理 3.1と§B2.11 定理 4.1により

であり、$\cos x$についての2次式として因数分解すると$f'(x) = (2\cos x - 1)(\cos x + 1)$である。

$0 \le x \le 2\pi$で$f'(x) = 0$となるのは、$\cos x = \dfrac12$すなわち$x = \dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{5\pi}{3}$の場合と、$\cos x = -1$すなわち$x = \pi$の場合である。$0 \le x \le 2\pi$で$\cos x + 1 \ge 0$であり、等号が成り立つのは$x = \pi$だけであるから、$x \ne \pi$では$f'(x)$の符号は$2\cos x - 1$の符号と一致する。増減は次のようになる。

$x = \pi$では$f'(\pi) = 0$であるが、その前後で$f'$の符号は負のまま変わらない。$f'$は$\left(\dfrac{\pi}{3},\ \pi\right)$と$\left(\pi,\ \dfrac{5\pi}{3}\right)$で負であるから、§B2.5 定理 4.2により$f$は$\left[\dfrac{\pi}{3},\ \pi\right]$と$\left[\pi,\ \dfrac{5\pi}{3}\right]$のそれぞれの上で狭義単調減少であり、したがって$\left[\dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{5\pi}{3}\right]$上で狭義単調減少である。$\pi$を含むどの開区間にも$\pi$より小さい点と大きい点があり、そこでの値はそれぞれ$f(\pi)$より大きく、$f(\pi)$より小さいから、$x = \pi$は極値をとる点ではない。極大値は$x = \dfrac{\pi}{3}$における$\dfrac{3\sqrt3}{4}$、極小値は$x = \dfrac{5\pi}{3}$における$-\dfrac{3\sqrt3}{4}$である。