数学汎典

§B2.11三角関数の微分 I

最終更新

本記事では、正弦と余弦の導関数を、導関数の定義にしたがって差の商の極限として求めます。差の商sin⁡(x+h)−sin⁡xh\dfrac{\sin(x+h)-\sin x}{h}は、そのままではh→0h \to 0で分子と分母がともに00に近づく形であり、約分することができません。そこで、正弦の差を積に変える公式によって分子を書き直し、x→0x \to 0でのsin⁡xx\dfrac{\sin x}{x}の極限に帰着させます。

本記事では、角をすべて弧度法で測ります。この約束は結果を変えます。度数法で測ると、あとで示すとおり導関数にπ180\dfrac{\pi}{180}の係数が現れます。

1 和を積に変える公式

差の商の分子sin⁡(x+h)−sin⁡x\sin(x+h)-\sin xを積に直すために、正弦と余弦の差を積に変える公式を用意します。

公式 1.1 (和を積に変える公式). すべての実数AA、BBについて

sin⁡A−sin⁡B=2cos⁡A+B2 sin⁡A−B2,cos⁡A−cos⁡B=−2sin⁡A+B2 sin⁡A−B2\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\,\sin\frac{A-B}{2}, \qquad \cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\,\sin\frac{A-B}{2}

が成り立つ。

証明.p=A+B2p = \dfrac{A+B}{2}、q=A−B2q = \dfrac{A-B}{2}と置くとA=p+qA = p+q、B=p−qB = p-qである。 §A2.3 加法定理とその派生公式の加法定理により

sin⁡(p+q)=sin⁡pcos⁡q+cos⁡psin⁡q,sin⁡(p−q)=sin⁡pcos⁡q−cos⁡psin⁡q\sin(p+q) = \sin p\cos q + \cos p\sin q, \qquad \sin(p-q) = \sin p\cos q - \cos p\sin q

であるから、辺々を引くとsin⁡A−sin⁡B=2cos⁡p sin⁡q\sin A - \sin B = 2\cos p\,\sin qである。同様に

cos⁡(p+q)=cos⁡pcos⁡q−sin⁡psin⁡q,cos⁡(p−q)=cos⁡pcos⁡q+sin⁡psin⁡q\cos(p+q) = \cos p\cos q - \sin p\sin q, \qquad \cos(p-q) = \cos p\cos q + \sin p\sin q

の辺々を引くとcos⁡A−cos⁡B=−2sin⁡p sin⁡q\cos A - \cos B = -2\sin p\,\sin qである。ppとqqをもとのAA、BBで書き直すと、結論を得る。▨

2 正弦の評価と連続性

差の商を積に直すとcos⁡(x+h2)\cos\left(x+\dfrac h2\right)が現れます。これがh→0h \to 0でcos⁡x\cos xに近づくことは、正弦の値の大きさの評価から従います。この節の評価と連続性は、x→0x \to 0でのsin⁡xx\dfrac{\sin x}{x}の極限を用いずに示します。

定理 2.1. 角を弧度法で測る。すべての実数uuについて

∣sin⁡u∣≤∣u∣|\sin u| \le |u|

が成り立つ。

証明.u=0u = 0のときは両辺が00で成り立つ。

0<u<π20 < u < \dfrac{\pi}{2}のとき、 §B1.12 基本極限（sin x / x）の§B1.12 定理 1.1によりsin⁡u<u\sin u < uである。この範囲ではsin⁡u>0\sin u > 0であるから∣sin⁡u∣=sin⁡u<u=∣u∣|\sin u| = \sin u < u = |u|である。

u≥π2u \ge \dfrac{\pi}{2}のときは、∣sin⁡u∣≤1<π2≤u=∣u∣|\sin u| \le 1 < \dfrac{\pi}{2} \le u = |u|である。

u<0u < 0のときは、sin⁡(−u)=−sin⁡u\sin(-u) = -\sin uであるから∣sin⁡u∣=∣sin⁡(−u)∣|\sin u| = |\sin(-u)|であり、−u>0-u > 0についていま示したことから∣sin⁡(−u)∣≤∣−u∣=∣u∣|\sin(-u)| \le |-u| = |u|である。▨

定理 2.2. すべての実数xxについて

lim⁡t→0sin⁡(x+t)=sin⁡x,lim⁡t→0cos⁡(x+t)=cos⁡x\lim_{t\to 0}\sin(x+t) = \sin x, \qquad \lim_{t\to 0}\cos(x+t) = \cos x

が成り立つ。

証明.公式 1.1でA=x+tA = x+t、B=xB = xとすると

sin⁡(x+t)−sin⁡x=2cos⁡(x+t2)sin⁡t2,cos⁡(x+t)−cos⁡x=−2sin⁡(x+t2)sin⁡t2\sin(x+t) - \sin x = 2\cos\left(x+\frac t2\right)\sin\frac t2, \qquad \cos(x+t) - \cos x = -2\sin\left(x+\frac t2\right)\sin\frac t2

である。正弦と余弦の値の絶対値は11を超えないので、どちらの右辺も絶対値が2∣sin⁡t2∣2\left|\sin\dfrac t2\right|以下である。定理 2.1により∣sin⁡t2∣≤∣t∣2\left|\sin\dfrac t2\right| \le \dfrac{|t|}{2}であるから

∣sin⁡(x+t)−sin⁡x∣≤∣t∣,∣cos⁡(x+t)−cos⁡x∣≤∣t∣|\sin(x+t)-\sin x| \le |t|, \qquad |\cos(x+t)-\cos x| \le |t|

が成り立つ。右辺はt→0t \to 0のとき00に近づくので、結論を得る。▨

3 x→0x \to 0での二つの基本極限

公式 3.1 (x→0x \to 0での二つの基本極限). 角を弧度法で測る。

lim⁡x→0sin⁡xx=1,lim⁡x→01−cos⁡xx=0\begin{align} \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} &= 1, \tag{3.1.1} \\ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x} &= 0 \tag{3.1.2} \end{align}

が成り立つ。

証明.式 (3.1.1)は §B1.12 基本極限（sin x / x）の§B1.12 定理 2.1である。

式 (3.1.2)を式 (3.1.1)から導く。§A2.3 加法定理とその派生公式の半角の公式により、すべての実数xxについて1−cos⁡x=2sin⁡2x21 - \cos x = 2\sin^{2}\dfrac{x}{2}が成り立つ。x≠0x \ne 0のとき

1−cos⁡xx=2sin⁡2x2x=sin⁡x2x2⋅sin⁡x2\frac{1-\cos x}{x} = \frac{2\sin^{2}\dfrac{x}{2}}{x} = \frac{\sin\dfrac{x}{2}}{\dfrac{x}{2}}\cdot\sin\frac{x}{2}

となる。t=x2t = \dfrac{x}{2}と置くと、x→0x \to 0のときt→0t \to 0であり、x≠0x \ne 0のときt≠0t \ne 0である。式 (3.1.1)によりsin⁡tt\dfrac{\sin t}{t}は11に近づく。また定理 2.2でx=0x = 0とするとlim⁡t→0sin⁡t=sin⁡0=0\lim_{t\to0}\sin t = \sin 0 = 0である。よってlim⁡x→01−cos⁡xx=1⋅0=0\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x} = 1\cdot 0 = 0である。▨

4 正弦と余弦の導関数

定理 4.1. 角を弧度法で測る。sin⁡\sinとcos⁡\cosはすべての実数xxで微分可能であり

(sin⁡x)′=cos⁡x,(cos⁡x)′=−sin⁡x\begin{align} (\sin x)' &= \cos x, \tag{4.1.1} \\ (\cos x)' &= -\sin x \end{align}

が成り立つ。

証明. 実数xxを固定する。h≠0h \ne 0のとき、公式 1.1でA=x+hA = x+h、B=xB = xとすると

sin⁡(x+h)−sin⁡xh=2cos⁡(x+h2)sin⁡h2h=cos⁡(x+h2)⋅sin⁡h2h2\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} = \frac{2\cos\left(x+\dfrac h2\right)\sin\dfrac h2}{h} = \cos\left(x+\frac h2\right)\cdot\frac{\sin\dfrac h2}{\dfrac h2}

である。t=h2t = \dfrac h2と置くと、h→0h \to 0のときt→0t \to 0であり、h≠0h \ne 0のときt≠0t \ne 0である。公式 3.1によりsin⁡tt\dfrac{\sin t}{t}は11に近づく。また定理 2.2によりcos⁡(x+h2)\cos\left(x+\dfrac h2\right)はcos⁡x\cos xに近づく。よって差の商はcos⁡x⋅1=cos⁡x\cos x \cdot 1 = \cos xに近づき、(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos xである。

余弦についても同様に、h≠0h \ne 0のとき

cos⁡(x+h)−cos⁡xh=−2sin⁡(x+h2)sin⁡h2h=−sin⁡(x+h2)⋅sin⁡h2h2\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} = \frac{-2\sin\left(x+\dfrac h2\right)\sin\dfrac h2}{h} = -\sin\left(x+\frac h2\right)\cdot\frac{\sin\dfrac h2}{\dfrac h2}

である。定理 2.2によりsin⁡(x+h2)\sin\left(x+\dfrac h2\right)はsin⁡x\sin xに近づくので、差の商は−sin⁡x⋅1=−sin⁡x-\sin x\cdot 1 = -\sin xに近づき、(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin xである。▨

同じ定理は、差の商を加法定理で展開しても証明できます。

証明 (別証明：加法定理で整理する).定理 4.1を、加法定理から導く。h≠0h \ne 0のとき

sin⁡(x+h)−sin⁡xh=sin⁡xcos⁡h+cos⁡xsin⁡h−sin⁡xh=−sin⁡x⋅1−cos⁡hh+cos⁡x⋅sin⁡hh\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} = \frac{\sin x\cos h + \cos x\sin h - \sin x}{h} = -\sin x\cdot\frac{1-\cos h}{h} + \cos x\cdot\frac{\sin h}{h}

である。公式 3.1の二つの極限により、h→0h \to 0のとき右辺は−sin⁡x⋅0+cos⁡x⋅1=cos⁡x-\sin x\cdot 0 + \cos x\cdot 1 = \cos xに近づく。同じ整理を余弦について行うと

cos⁡(x+h)−cos⁡xh=−cos⁡x⋅1−cos⁡hh−sin⁡x⋅sin⁡hh\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} = -\cos x\cdot\frac{1-\cos h}{h} - \sin x\cdot\frac{\sin h}{h}

となり、h→0h \to 0で−sin⁡x-\sin xに近づく。▨

別証明は、連続性を引かずに1−cos⁡xx\dfrac{1-\cos x}{x}の極限を直接用います。ただし、その極限の証明はsin⁡\sinの00での連続性を引き、式 (3.1.1)の証明もcos⁡\cosの00での連続性を引いています。

横軸は弧度法で測った角xx、縦軸は関数の値です。原点における接線の傾き11は、定理 4.1にx=0x = 0を代入したcos⁡0=1\cos 0 = 1から得られます。

例 4.2.y=sin⁡xy = \sin xのx=π3x = \dfrac{\pi}{3}における微分係数は、定理 4.1によりcos⁡π3=12\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac12である。sin⁡π3=32\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt3}{2}であるから、この点における接線（§B2.5 定義 1.2）の方程式は

y=32+12(x−π3)y = \frac{\sqrt3}{2} + \frac12\left(x - \frac{\pi}{3}\right)

である。

例 4.3. 導関数f′f'がさらに微分可能なとき、その導関数をf′′f''、f′′f''の導関数をf′′′f'''、さらにその導関数をf(4)f^{(4)}と書く。定理 4.1を繰り返し用いると

(sin⁡x)′=cos⁡x,(sin⁡x)′′=−sin⁡x,(sin⁡x)′′′=−cos⁡x,(sin⁡x)(4)=sin⁡x(\sin x)' = \cos x, \quad (\sin x)'' = -\sin x, \quad (\sin x)''' = -\cos x, \quad (\sin x)^{(4)} = \sin x

である。4回微分すると、もとの関数に戻る。

注意 4.4 (グラフから読み取った増減との対応).定理 4.1によりsin⁡\sinはR\Rで微分可能であり、とくに連続である。閉区間[−π2,π2]\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]の内部ではcos⁡x>0\cos x > 0であるから(sin⁡x)′>0(\sin x)' > 0であり、§B2.5 定理 4.2 (1)により、sin⁡\sinはこの閉区間で狭義単調増加である。閉区間[π2,3π2]\left[\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right]の内部ではcos⁡x<0\cos x < 0であるから、§B2.5 定理 4.2 (2)によりsin⁡\sinはこの閉区間で狭義単調減少である。これは§B2.3 三角関数のグラフでグラフから読み取った増減と一致する。

5 度数法と導関数の係数

注意 5.1 (度数法で測るとπ180\dfrac{\pi}{180}の係数が現れる).式 (3.1.1)は、角を弧度法で測ることに依存している。同じことは、導関数の形にも現れる。

度数法で測った角の大きさをxxとし、その角の正弦をS(x)=sin⁡x∘S(x) = \sin x^{\circ}と書く。xx度は弧度法でπx180\dfrac{\pi x}{180}であるから

S(x)=sin⁡(πx180)S(x) = \sin\left(\frac{\pi x}{180}\right)

である。§B2.10 定理 5.1と定理 4.1により

S′(x)=cos⁡(πx180)⋅π180=π180cos⁡x∘S'(x) = \cos\left(\frac{\pi x}{180}\right)\cdot\frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{180}\cos x^{\circ}

となり、係数π180\dfrac{\pi}{180}が現れる。導関数が(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos xという、係数の付かない形になるのは、角を弧度法で測る場合に限る。三角関数を微分する場面で角を弧度法に統一するのは、この理由による。

6 演習

問題 6.1 (積の微分法との組合せ).

  1. f(x)=sin⁡xcos⁡xf(x) = \sin x\cos xの導関数を、積の微分法と定理 4.1を用いて求め、cos⁡2x−sin⁡2x\cos^{2}x - \sin^{2}xの形からcos⁡2x\cos 2xの形へ直しなさい。

  2. 角を度数法で測り、C(x)=cos⁡x∘C(x) = \cos x^{\circ}と書く。C′(x)C'(x)を求めなさい。

解答 (演習の解答).

(1)について、§B2.10 定理 3.1によりf′(x)=(sin⁡x)′cos⁡x+sin⁡x (cos⁡x)′=cos⁡2x−sin⁡2xf'(x) = (\sin x)'\cos x + \sin x\,(\cos x)' = \cos^{2}x - \sin^{2}xである。余弦の2倍角の公式により、これはcos⁡2x\cos 2xに等しい。

(2)について、C(x)=cos⁡(πx180)C(x) = \cos\left(\dfrac{\pi x}{180}\right)である。§B2.10 定理 5.1と定理 4.1によりC′(x)=−sin⁡(πx180)⋅π180=−π180sin⁡x∘C'(x) = -\sin\left(\dfrac{\pi x}{180}\right)\cdot\dfrac{\pi}{180} = -\dfrac{\pi}{180}\sin x^{\circ}である。▨

前提記事