高次導関数と曲線の凹凸 | 関数の性質

1 曲線の凹凸と変曲点

定義 1.1 (下に凸・上に凸). 関数 $f$ は開区間 $J$ の各点で微分可能であるとする。 $J$ の各点 $c$ に、曲線 $y=f(x)$ の点 $(c,f(c))$ における接線の傾き $f'(c)$ を対応させる関数 $f'$ が、 $J$ 上で狭義単調増加であるとき、曲線 $y=f(x)$ は $J$ で下に凸 (convex) であるという。 $f'$ が $J$ 上で狭義単調減少であるとき、曲線 $y=f(x)$ は $J$ で上に凸 (concave) であるという。

注意 1.2 (弦による定義).定義 1.1では、接線の傾きの増え方によって凹凸が定められている。これに対して、区間 $J$ 上の関数 $f$ について、 $x_1<x_2$ を満たすすべての $x_1,x_2\in J$ と $0\le t\le1$ を満たすすべての $t$ で

f\bigl((1-t)x_1+tx_2\bigr)\le(1-t)f(x_1)+tf(x_2)

が成り立つこと、すなわち曲線上の2点を結ぶ弦がその2点の間で曲線より下に来ないことによって、下に凸を定める流儀もある。この流儀では、上に凸は不等号の向きを逆にした条件で定める。実数 $m,k$ について $f(x)=mx+k$ と定めると、 $f$ は上の不等式を等号で満たすので、この流儀では直線 $y=mx+k$ は下に凸である。一方、 $f'(x)=m$ は狭義単調増加でも狭義単調減少でもないので、直線 $y=mx+k$ は定義 1.1では下に凸でも上に凸でもない。

定義 1.3 (高次導関数と変曲点). 関数 $f$ の導関数 $f'$ が微分可能であるとき、 $f'$ の導関数を $f''$ と書き、 $f$ の第2次導関数 (second derivative) という。一般に、 $f^{(1)}=f'$ とし、正の整数 $n$ について $f^{(n)}$ が定まり、さらに微分可能であるとき、 $f^{(n)}$ の導関数を $f^{(n+1)}$ と書く。 $f^{(n)}$ を $f$ の第 $n$ 次導関数 ( $n$ -th derivative) という。 $f^{(2)}=f''$ であり、 $f^{(3)}$ を $f'''$ とも書く。第2次以上の導関数を高次導関数 (higher-order derivative) という。

開区間 $I$ の各点で $f$ が微分可能であり、さらに $f'$ が $I$ の各点で微分可能であるとき、 $f$ は $I$ で2回微分可能 (twice differentiable) であるという。

$f$ を開区間 $I$ で2回微分可能な関数とし、 $a\in I$ とする。ある正の数 $\delta$ について $(a-\delta,a+\delta)\subseteq I$ であり、曲線 $y=f(x)$ が $(a-\delta,a)$ と $(a,a+\delta)$ の一方で下に凸、他方で上に凸であるとき、点 $(a,f(a))$ を曲線 $y=f(x)$ の変曲点 (inflection point) という。

例 1.4. $\R$ 上で $f(x)=x^4$ と定める。§B2.5 公式 2.1を繰り返し用いると、すべての実数 $x$ について

f'(x)=4x^3,\qquad f''(x)=12x^2,\qquad f'''(x)=24x,\qquad f^{(4)}(x)=24

である。 $f^{(5)}$ は定数関数 $0$ であり、定数関数 $0$ の導関数は定数関数 $0$ であるから、 $5$ 以上のすべての整数 $n$ について $f^{(n)}(x)=0$ である。とくに、 $f$ は $\R$ で2回微分可能である。

定理 1.5. 関数 $f$ は開区間 $I$ で2回微分可能であるとする。 $I$ のすべての $x$ について $f''(x)>0$ ならば、曲線 $y=f(x)$ は $I$ で下に凸である。 $I$ のすべての $x$ について $f''(x)<0$ ならば、曲線 $y=f(x)$ は $I$ で上に凸である。

証明. $f$ は $I$ で2回微分可能であるから、 $f'$ は開区間 $I$ の各点で微分可能であり、その導関数は $f''$ である。したがって、§B2.5 定理 4.2を関数 $f'$ と開区間 $I$ に適用することができる。 $I$ のすべての $x$ で $f''(x)>0$ ならば、§B2.5 定理 4.2 (1)により $f'$ は $I$ 上で狭義単調増加であるから、曲線 $y=f(x)$ は $I$ で下に凸である。 $I$ のすべての $x$ で $f''(x)<0$ ならば、§B2.5 定理 4.2 (2)により $f'$ は $I$ 上で狭義単調減少であるから、曲線 $y=f(x)$ は $I$ で上に凸である。▨

注意 1.6 (凹凸判定と不等式の証明の根拠).定理 1.5の証明と、後の定理 3.1の証明は、どちらも§B2.5 定理 4.2を根拠とする。§B2.5 定理 4.2の証明では平均値の定理を証明せずに用いており、平均値の定理の証明は§D1.14 微分の定義と平均値の定理で与えられる。

定理 1.7. 関数 $f$ は開区間 $I$ で2回微分可能であるとし、 $a\in I$ とする。点 $(a,f(a))$ が曲線 $y=f(x)$ の変曲点ならば、 $f''(a)=0$ である。

証明. 変曲点の定義により、ある正の数 $\delta$ について $(a-\delta,a+\delta)\subseteq I$ であり、曲線 $y=f(x)$ は $(a-\delta,a)$ と $(a,a+\delta)$ の一方で下に凸、他方で上に凸である。

曲線が $(a-\delta,a)$ で下に凸であり、 $(a,a+\delta)$ で上に凸であるとする。 $f'$ は $a$ で微分可能であるから、§B2.10 定理 2.1により、 $t\to a$ のとき $f'(t)\to f'(a)$ であり、§B1.10 定理 2.2により、 $t\to a-0$ のときも $t\to a+0$ のときも $f'(t)\to f'(a)$ である。 $a-\delta<x<a$ を満たす $x$ をとる。 $f'$ は $(a-\delta,a)$ 上で狭義単調増加であるから、 $x<t<a$ を満たすすべての $t$ について $f'(x)<f'(t)$ である。 $t\to a-0$ とすると、§B1.10 定理 3.1 (4)により $f'(x)\le f'(a)$ である。 $a<x<a+\delta$ を満たす $x$ をとる。 $f'$ は $(a,a+\delta)$ 上で狭義単調減少であるから、 $a<t<x$ を満たすすべての $t$ について $f'(x)<f'(t)$ である。 $t\to a+0$ とすると、§B1.10 定理 3.1 (4)により $f'(x)\le f'(a)$ である。したがって、開区間 $(a-\delta,a+\delta)$ のすべての $x$ について $f'(x)\le f'(a)$ であり、 $f'$ は $a$ で極大である。 $a$ は $f'$ の定義域に含まれる開区間 $I$ の点であり、 $f'$ は $a$ で微分可能であるから、§B2.5 定理 3.3を $f'$ に適用すると $f''(a)=(f')'(a)=0$ である。

曲線が $(a-\delta,a)$ で上に凸であり、 $(a,a+\delta)$ で下に凸であるとする。 $g=-f$ とおくと、§B2.5 公式 2.1により $g$ は $I$ で2回微分可能であり、 $g'=-f'$ 、 $g''=-f''$ である。 $f'$ は $(a-\delta,a)$ 上で狭義単調減少であるから $g'$ は $(a-\delta,a)$ 上で狭義単調増加であり、 $f'$ は $(a,a+\delta)$ 上で狭義単調増加であるから $g'$ は $(a,a+\delta)$ 上で狭義単調減少である。したがって、曲線 $y=g(x)$ は $(a-\delta,a)$ で下に凸であり、 $(a,a+\delta)$ で上に凸である。前段の議論を $g$ に適用すると $g''(a)=0$ であり、 $f''(a)=-g''(a)=0$ である。▨

開区間 $I$ で2回微分可能な関数 $f$ と $a\in I$ について、 $f''(a)=0$ は点 $(a,f(a))$ が変曲点であるための必要条件ですが、十分条件ではありません。一方、ある正の数 $\delta$ について $(a-\delta,a+\delta)\subseteq I$ であり、 $f''(x)$ が $(a-\delta,a)$ のすべての点で正、 $(a,a+\delta)$ のすべての点で負である場合、またはその逆の場合には、定理 1.5により曲線 $y=f(x)$ は $(a-\delta,a)$ と $(a,a+\delta)$ の一方で下に凸、他方で上に凸であり、点 $(a,f(a))$ は変曲点です。そこで変曲点を求めるときは、 $f''(x)=0$ を満たす $x$ を候補とし、その前後で $f''(x)$ の符号が実際に変わるかを確かめます。

例 1.8. $\R$ 上で $f(x)=x^4$ と定める。例 1.4により $f''(x)=12x^2$ であり、 $f''(0)=0$ である。 $x\ne0$ を満たすすべての $x$ で $f''(x)>0$ であるから、定理 1.5により、曲線 $y=x^4$ は $(-\infty,0)$ でも $(0,\infty)$ でも下に凸であり、 $f'$ は $(-\infty,0)$ 上と $(0,\infty)$ 上でそれぞれ狭義単調増加である。正の数 $\delta$ をどのようにとっても、 $f'$ は $(-\delta,0)$ 上と $(0,\delta)$ 上でそれぞれ狭義単調増加であるから、どちらの区間の上でも狭義単調減少でなく、曲線はどちらの区間でも上に凸でない。したがって、 $f''(0)=0$ であるが点 $(0,0)$ は変曲点ではなく、定理 1.7の逆は成り立たない。

2 増減と凹凸の表

例 2.1. $\R$ 上で $f(x)=x^3-3x$ と定める。§B2.5 例 4.6で求めたとおり、 $f'(x)=3(x+1)(x-1)$ であり、 $f$ は $(-\infty,-1]$ 上と $[1,\infty)$ 上で狭義単調増加、 $[-1,1]$ 上で狭義単調減少であって、 $-1$ で極大値 $2$ をとり、 $1$ で極小値 $-2$ をとる。さらに $f''(x)=6x$ であり、 $f''(x)$ は $x<0$ で負、 $x>0$ で正である。定理 1.5により、曲線 $y=f(x)$ は $(-\infty,0)$ で上に凸であり、 $(0,\infty)$ で下に凸である。とくに、曲線は $(-1,0)$ で上に凸、 $(0,1)$ で下に凸であるから、 $\delta=1$ として、点 $(0,0)$ は変曲点である。 $f''(x)=0$ を満たす $x$ は $0$ だけであるから、定理 1.7により、ほかに変曲点はない。

$f'$ と $f''$ の符号が変わる $x=-1,0,1$ で区切り、導関数と第2次導関数の符号、増減と凹凸、区切りの点での値を一つの表にまとめる。

$x$	$(-\infty,-1)$	$-1$	$(-1,0)$	$0$	$(0,1)$	$1$	$(1,\infty)$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$-3$	$-$	$0$	$+$
$f''(x)$	$-$	$-6$	$-$	$0$	$+$	$6$	$+$
$f(x)$	増加・上に凸	$2$	減少・上に凸	$0$	減少・下に凸	$-2$	増加・下に凸

表の「増加」「減少」は、その列の区間で $f$ が狭義単調増加、狭義単調減少であることを表し、「上に凸」「下に凸」は、その列の区間で曲線 $y=f(x)$ が上に凸、下に凸であることを表す。

3 微分を用いる不等式の証明

定理 3.1. $I$ を区間とし（有界でなくてもよく、端点を含むかどうかも問わない）、 $a\in I$ とする。関数 $F$ の定義域は $I$ を含み、 $F$ は $I$ 上で連続であり、 $I$ の内部の各点で微分可能で、 $I$ の内部のすべての $x$ について $F'(x)\ge0$ であるとする。このとき、 $F$ は $I$ 上で広義単調増加であり、 $x\ge a$ を満たすすべての $x\in I$ について $F(x)\ge F(a)$ 、 $x\le a$ を満たすすべての $x\in I$ について $F(x)\le F(a)$ である。とくに、 $F(a)=0$ ならば、 $x\ge a$ を満たすすべての $x\in I$ について $F(x)\ge0$ である。

証明.§B2.5 定理 4.2 (3)により、 $F$ は $I$ 上で広義単調増加である。 $x\in I$ をとる。 $x>a$ ならば、広義単調増加の定義により $F(a)\le F(x)$ であり、 $x<a$ ならば $F(x)\le F(a)$ であり、 $x=a$ ならば $F(x)=F(a)$ である。したがって、 $x\ge a$ を満たすすべての $x\in I$ について $F(x)\ge F(a)$ 、 $x\le a$ を満たすすべての $x\in I$ について $F(x)\le F(a)$ である。 $F(a)=0$ ならば、 $x\ge a$ を満たすすべての $x\in I$ について $F(x)\ge F(a)=0$ である。▨

例 3.2. $x\ge0$ を満たすすべての $x$ について $x^3+1\ge x^2+x$ であることを示す。 $\R$ 上で $F(x)=x^3-x^2-x+1$ と定めると、

F'(x)=3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1)

である。 $F$ は $\R$ の各点で微分可能であるから、§B2.10 定理 2.1により $\R$ の各点で連続である。また、 $F(1)=0$ である。

区間 $[1,\infty)$ の内部 $(1,\infty)$ のすべての $x$ について、 $3x+1>0$ かつ $x-1>0$ であるから $F'(x)>0$ である。定理 3.1を $I=[1,\infty)$ 、 $a=1$ として用いると、 $x\ge1$ を満たすすべての $x$ について $F(x)\ge F(1)=0$ である。

区間 $[0,1]$ の内部 $(0,1)$ のすべての $x$ について、 $3x+1>0$ かつ $x-1<0$ であるから $F'(x)<0$ である。 $G=-F$ とおくと、 $G$ は $[0,1]$ 上で連続であり、 $(0,1)$ のすべての $x$ について $G'(x)=-F'(x)>0$ である。定理 3.1を関数 $G$ に $I=[0,1]$ 、 $a=1$ として用いると、 $0\le x\le1$ を満たすすべての $x$ について $G(x)\le G(1)=0$ 、すなわち $F(x)\ge0$ である。

したがって、 $x\ge0$ を満たすすべての $x$ について $F(x)\ge0$ 、すなわち $x^3+1\ge x^2+x$ である。なお、 $F(x)=(x-1)^2(x+1)$ と因数分解しても、同じ結論を直接確かめることができる。

例 3.3. 角を弧度法で測る。 $x\ge0$ を満たすすべての $x$ について $\sin x\le x$ であり、すべての実数 $x$ について $\cos x\ge1-\dfrac{x^2}2$ であることを示す。

$\R$ 上で $F(x)=x-\sin x$ と定める。§B2.11 定理 4.1により、 $F$ は $\R$ の各点で微分可能であり、 $F'(x)=1-\cos x$ である。§B2.10 定理 2.1により $F$ は $\R$ の各点で連続である。すべての実数 $x$ で $\cos x\le1$ であるから、 $F'(x)\ge0$ である。 $F(0)=0$ であるから、定理 3.1を $I=\R$ 、 $a=0$ として用いると、 $x\ge0$ を満たすすべての $x$ について $F(x)\ge0$ 、すなわち $\sin x\le x$ である。

$\R$ 上で $G(x)=\cos x-1+\dfrac{x^2}2$ と定める。§B2.11 定理 4.1により、 $G$ は $\R$ の各点で微分可能であり、 $G'(x)=-\sin x+x=F(x)$ である。§B2.10 定理 2.1により $G$ は $\R$ の各点で連続であり、とくに区間 $[0,\infty)$ 上で連続である。前段により、 $[0,\infty)$ の内部 $(0,\infty)$ のすべての $x$ について $G'(x)=F(x)\ge0$ である。 $G(0)=\cos0-1=0$ であるから、定理 3.1を $I=[0,\infty)$ 、 $a=0$ として用いると、 $x\ge0$ を満たすすべての $x$ について $G(x)\ge0$ である。 $x<0$ ならば $-x>0$ であり、 $\cos(-x)=\cos x$ であるから $G(x)=G(-x)\ge0$ である。したがって、すべての実数 $x$ について $G(x)\ge0$ 、すなわち $\cos x\ge1-\dfrac{x^2}2$ である。

4 演習

問題 4.1 (分数関数の変曲点). $\R$ 上で $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ と定める。 $f''(x)$ の符号を調べて曲線 $y=f(x)$ の凹凸を調べ、変曲点をすべて求めよ。

解答.

すべての実数 $x$ で $x^2+1>0$ であるから、§B2.10 定理 4.1により $f$ は $\R$ の各点で微分可能であり、

f'(x)=\frac{1\cdot(x^2+1)-x\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}

である。分母の $(x^2+1)^2=x^4+2x^2+1$ は多項式であり、その導関数は $4x^3+4x=4x(x^2+1)$ である。すべての実数 $x$ で $(x^2+1)^2>0$ であるから、再び§B2.10 定理 4.1により $f'$ は $\R$ の各点で微分可能であり、

f''(x)=\frac{-2x(x^2+1)^2-(1-x^2)\cdot4x(x^2+1)}{(x^2+1)^4}=\frac{-2x(x^2+1)-4x(1-x^2)}{(x^2+1)^3}=\frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}

である。したがって、 $f$ は $\R$ で2回微分可能である。 $(x^2+1)^3>0$ であるから、 $f''(x)$ の符号は $2x(x+\sqrt3)(x-\sqrt3)$ の符号に等しく、 $x<-\sqrt3$ と $0<x<\sqrt3$ で負、 $-\sqrt3<x<0$ と $x>\sqrt3$ で正である。定理 1.5により、曲線 $y=f(x)$ は $(-\infty,-\sqrt3)$ と $(0,\sqrt3)$ で上に凸であり、 $(-\sqrt3,0)$ と $(\sqrt3,\infty)$ で下に凸である。

$\delta=\sqrt3$ とする。曲線は $(-2\sqrt3,-\sqrt3)$ で上に凸、 $(-\sqrt3,0)$ で下に凸であるから、点 $(-\sqrt3,f(-\sqrt3))$ は変曲点である。曲線は $(-\sqrt3,0)$ で下に凸、 $(0,\sqrt3)$ で上に凸であるから、点 $(0,f(0))$ は変曲点である。曲線は $(0,\sqrt3)$ で上に凸、 $(\sqrt3,2\sqrt3)$ で下に凸であるから、点 $(\sqrt3,f(\sqrt3))$ は変曲点である。 $f''(x)=0$ を満たす $x$ は $-\sqrt3$ 、 $0$ 、 $\sqrt3$ だけであるから、定理 1.7により、ほかに変曲点はない。 $f(-\sqrt3)=-\dfrac{\sqrt3}4$ 、 $f(0)=0$ 、 $f(\sqrt3)=\dfrac{\sqrt3}4$ であるから、変曲点は $\left(-\sqrt3,-\dfrac{\sqrt3}4\right)$ 、 $(0,0)$ 、 $\left(\sqrt3,\dfrac{\sqrt3}4\right)$ である。▨

問題 4.2 (傾きが 0 の変曲点). $\R$ 上で $f(x)=x^4-4x^3$ と定める。増減と凹凸を一つの表にまとめ、 $f$ の極値と曲線 $y=f(x)$ の変曲点をすべて求めよ。また、 $f'(0)=0$ であるが、 $f$ は $0$ で極値をとらないことを示せ。

解答.

§B2.5 公式 2.1により、

f'(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3),\qquad f''(x)=12x^2-24x=12x(x-2)

であり、 $f$ は $\R$ で2回微分可能である。 $f'(x)$ は $x<0$ と $0<x<3$ で負、 $x>3$ で正であり、 $f''(x)$ は $x<0$ と $x>2$ で正、 $0<x<2$ で負である。 $f$ は $\R$ の各点で微分可能であるから、§B2.10 定理 2.1により $\R$ の各点で連続である。§B2.5 定理 4.2により、 $f$ は $(-\infty,0]$ 上と $[0,3]$ 上でそれぞれ狭義単調減少であり、 $[3,\infty)$ 上で狭義単調増加である。定理 1.5により、曲線 $y=f(x)$ は $(-\infty,0)$ と $(2,\infty)$ で下に凸であり、 $(0,2)$ で上に凸である。 $f(0)=0$ 、 $f(2)=-16$ 、 $f(3)=-27$ 、 $f'(2)=-16$ 、 $f''(3)=36$ であるから、増減と凹凸の表は次のとおりである。

$x$	$(-\infty,0)$	$0$	$(0,2)$	$2$	$(2,3)$	$3$	$(3,\infty)$
$f'(x)$	$-$	$0$	$-$	$-16$	$-$	$0$	$+$
$f''(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$36$	$+$
$f(x)$	減少・下に凸	$0$	減少・上に凸	$-16$	減少・下に凸	$-27$	増加・下に凸

表の読み方は例 2.1の表と同じである。

$\delta=3$ とすると、 $0<x<3$ で $f'(x)<0$ 、 $3<x<6$ で $f'(x)>0$ であるから、§B2.5 定理 4.5 (2)により $f$ は $3$ で極小であり、極小値は $f(3)=-27$ である。 $f$ は $(-\infty,0]$ 上と $[0,3]$ 上で狭義単調減少であるから、 $x<0$ ならば $f(x)>f(0)$ であり、 $0<x\le3$ ならば $f(x)<f(0)$ である。 $0$ を含むどの開区間も、 $f(x)>f(0)$ を満たす $x<0$ と、 $f(x)<f(0)$ を満たす $0<x\le3$ を含むので、 $f$ は $0$ で極大でも極小でもない。 $f$ は $\R$ の各点で微分可能であり、 $f'(x)=0$ を満たす $x$ は $0$ と $3$ だけであるから、§B2.5 定理 3.3により、 $f$ の極値は $3$ における極小値 $-27$ だけである。とくに、 $f'(0)=0$ であるが、 $f$ は $0$ で極値をとらない。

曲線は $(-2,0)$ で下に凸、 $(0,2)$ で上に凸であるから、 $\delta=2$ として、点 $(0,0)$ は変曲点である。曲線は $(1,2)$ で上に凸、 $(2,3)$ で下に凸であるから、 $\delta=1$ として、点 $(2,-16)$ は変曲点である。 $f''(x)=0$ を満たす $x$ は $0$ と $2$ だけであるから、定理 1.7により、ほかに変曲点はない。 $f'(0)=0$ であるから、変曲点 $(0,0)$ における接線は $y=0$ であり、その傾きは $0$ である。▨

問題 4.3 (2次式の不等式). $\R$ 上で $F(x)=x^2-2x+1$ と定める。定理 3.1を用いて、すべての実数 $x$ について $F(x)\ge0$ であることを示し、 $F$ の最小値を求めよ。

解答.

$F'(x)=2x-2=2(x-1)$ である。 $F$ は $\R$ の各点で微分可能であるから、§B2.10 定理 2.1により $\R$ の各点で連続である。また、 $F(1)=0$ である。区間 $[1,\infty)$ の内部 $(1,\infty)$ のすべての $x$ で $F'(x)>0$ であるから、定理 3.1を $I=[1,\infty)$ 、 $a=1$ として用いると、 $x\ge1$ を満たすすべての $x$ で $F(x)\ge F(1)=0$ である。 $G=-F$ とおくと、 $G'(x)=-2(x-1)$ であり、区間 $(-\infty,1]$ の内部 $(-\infty,1)$ のすべての $x$ で $G'(x)>0$ である。定理 3.1を関数 $G$ に $I=(-\infty,1]$ 、 $a=1$ として用いると、 $x\le1$ を満たすすべての $x$ で $G(x)\le G(1)=0$ 、すなわち $F(x)\ge0$ である。したがって、すべての実数 $x$ で $F(x)\ge0=F(1)$ であり、 $F$ は $x=1$ で最小値 $0$ をとる。▨

§B2.13高次導関数と曲線の凹凸

1 曲線の凹凸と変曲点

2 増減と凹凸の表

3 微分を用いる不等式の証明

4 演習

例題

演習

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