分数関数・無理関数 | 関数の性質

1 分数関数

定義 1.1 (分数関数). 実係数多項式 $P(x)$ と、零多項式でない実係数多項式 $Q(x)$ を用いて

$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$

と表される関数を分数関数 (rational function) という。その定義域は $Q(x)\ne0$ を満たす実数全体である。 $Q$ が定数のときは多項式関数になるが、これも分数関数に含める。 $Q$ が定数でないものだけを分数関数とよぶ流儀もある。

例 1.2. $f(x)=\dfrac{2x+4}{x+2}$ の定義域は $x\ne-2$ である。 $x\ne-2$ では $f(x)=2$ であるが、 $x=-2$ における値は定義されていない。グラフは直線 $y=2$ から点 $(-2,2)$ を除いたものであり、直線 $y=2$ 全体でも双曲線でもない。

定義 1.3 (一次分数関数). $a,b,c,d$ を実数とし、 $c\ne0$ 、 $ad-bc\ne0$ とする。 $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ と表される関数を一次分数関数 (linear fractional function) という。

定理 1.4. $k\ne0$ 、 $p,q$ を実数とする。

$y=\dfrac{k}{x-p}+q$ のグラフは、 $y=\dfrac kx$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したものである。定義域は $\mathbb R\setminus\{p\}$ 、値域は $\mathbb R\setminus\{q\}$ であり、直線 $x=p$ が垂直漸近線、直線 $y=q$ が水平漸近線である。
一次分数関数 $\dfrac{ax+b}{cx+d}$ は、 $p=-\dfrac dc$ 、 $q=\dfrac ac$ 、 $k=\dfrac{bc-ad}{c^2}$ とおくと $x\ne p$ で $\dfrac{k}{x-p}+q$ に等しく、 $k\ne0$ である。

証明.

$g(x)=k/x$ の定義域は $D=\mathbb R\setminus\{0\}$ である。 $k\ne0$ より $g(x)\ne0$ であり、 $y\ne0$ に対して $x=k/y$ とおけば $g(x)=y$ となるので、値域は $g(D)=\mathbb R\setminus\{0\}$ である。§B2.2 定理 1.1により、平行移動後のグラフは $y=g(x-p)+q=k/(x-p)+q$ 、定義域は $D+p=\mathbb R\setminus\{p\}$ 、値域は $g(D)+q=\mathbb R\setminus\{q\}$ である。

$x\to p+0$ のとき $x-p\to+0$ であるから、 $k/(x-p)$ は $k>0$ なら正の無限大に、 $k<0$ なら負の無限大に発散する。定数 $q$ を加えても発散の向きは変わらない。 $x\to p-0$ のときは $x-p\to-0$ であり、向きが逆になって同様に発散する。したがって、§B2.3 定義 3.1により $x=p$ は垂直漸近線である。また、 $x\to+\infty$ または $x\to-\infty$ のとき $k/(x-p)\to0$ であるから、 $k/(x-p)+q\to q$ であり、 $y=q$ は水平漸近線である。
$cx+d=c(x-p)$ であり、 $ax+b=a(x-p)+(ap+b)=a(x-p)+\dfrac{bc-ad}{c}$ である。 $x\ne p$ で $c(x-p)$ で割ると
$\frac{ax+b}{cx+d}=\frac ac+\frac{bc-ad}{c^2}\cdot\frac1{x-p}=\frac{k}{x-p}+q$
を得る。 $ad-bc\ne0$ より $k\ne0$ である。

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$y=k/x$ のグラフは直角双曲線とよばれます。一次分数関数のグラフは、この直角双曲線を平行移動したものです。

注意 1.5 (漸近線を述べる条件). $c\ne0$ とする。 $ad-bc\ne0$ ならば

\frac{ax+b}{cx+d} =\frac{a}{c}+\frac{bc-ad}{c^2}\frac{1}{x+d/c} =\frac{k}{x-p}+q,

ただし

p=-\frac dc,\qquad q=\frac ac,\qquad k=\frac{bc-ad}{c^2}\ne0

である。一方、 $ad-bc=0$ ならば $k=0$ となり、関数は $x=p$ を除いて定数 $q$ に等しい。この場合のグラフには穴があり、 $x=p$ は漸近線ではない。

例 1.6. $f(x)=\dfrac{2x-1}{x-1}$ とする。 $a=2$ 、 $b=-1$ 、 $c=1$ 、 $d=-1$ で $ad-bc=-1\ne0$ であり、 $p=1$ 、 $q=2$ 、 $k=1$ であるから $f(x)=\dfrac1{x-1}+2$ と書ける。分母が $0$ でない条件から定義域は $\mathbb R\setminus\{1\}$ である。 $y=f(x)$ とおくと $y-2=1/(x-1)$ であるから $y\ne2$ であり、逆に $y\ne2$ に対して $x=1+1/(y-2)$ とおけば $f(x)=y$ となる。したがって値域は $\mathbb R\setminus\{2\}$ である。この $x=1+1/(y-2)$ は、 $y$ から $x$ を求める式、すなわち逆関数の式でもある。定理 1.4により、 $x=1$ と $y=2$ が漸近線である。

2 無理関数

定義 2.1 (無理関数). $x$ の式で表され、その式に $\sqrt{R(x)}$ の形の根号（平方根）を含む関数を無理関数 (irrational function) と呼ぶ。定義域は、式に現れる各根号 $\sqrt{R(x)}$ について $R(x)$ が定義され $R(x)\ge0$ を満たし、かつ式全体が定義される実数 $x$ 全体である。

例 2.2. $g(x)=\sqrt{2x-6}$ の定義域は $2x-6\ge0$ 、すなわち $x\ge3$ である。 $g(x)\ge0$ であり、任意の $y\ge0$ に対して $x=(y^2+6)/2$ とおけば $g(x)=y$ となるので、値域は $[0,\infty)$ である。グラフは端点 $(3,0)$ から右上へ延びる。また、 $g(x)$ は負の値をとらないため、方程式 $\sqrt{2x-6}=-1$ は解をもたない。

3 無理方程式と両辺の二乗

定理 3.1. 実数 $A$ 、 $B$ について $A=B$ ならば $A^2=B^2$ である。しかし $A^2=B^2$ からは $A=B$ または $A=-B$ が従うだけであり、一般には $A=B$ は従わない。ただし $A\ge0$ かつ $B\ge0$ ならば、 $A=B$ と $A^2=B^2$ は同値である。

証明. 実数 $A,B$ をとる。等式

A^2-B^2=(A-B)(A+B)

が成り立つ。 $A=B$ ならば $A^2=B^2$ である。一方、 $A^2=B^2$ ならば $(A-B)(A+B)=0$ であるから、 $A=B$ または $A=-B$ である。実際、 $A=1$ 、 $B=-1$ では $A^2=B^2$ であるが $A\ne B$ であるため、逆向きは一般には成り立たない。

$A\ge0$ かつ $B\ge0$ とする。 $A^2=B^2$ ならば $A=B$ または $A=-B$ であり、 $A=-B$ のときは $A+B=0$ と $A,B\ge0$ から $A=B=0$ となって $A=B$ が成り立つ。よって $A=B$ と $A^2=B^2$ は同値である。▨

例 3.2. $\sqrt{x+1}=x-1$ を解く。根号の内部が $0$ 以上であるためには $x\ge-1$ が必要であり、このとき左辺は $0$ 以上である。したがって、等式が成り立つためには右辺について $x-1\ge0$ 、すなわち $x\ge1$ が必要である。 $x\ge1$ では両辺が $0$ 以上であるから、定理 3.1により、両辺を二乗した

x+1=(x-1)^2,

すなわち $x^2-3x=0$ と同値である。候補は $x=0,3$ であり、 $x\ge1$ を満たすのは $x=3$ だけである。 $x=3$ では $\sqrt4=2=3-1$ となり、もとの式を満たす。したがって、解は $x=3$ だけである。

捨てた $x=0$ は、 $\sqrt{x+1}=-(x-1)$ の解である。実際 $\sqrt1=1=-(0-1)$ が成り立つ。二乗すると $\sqrt{x+1}=x-1$ と $\sqrt{x+1}=-(x-1)$ の解がともに残る。

4 演習

問題 4.1 (分数関数・無理関数の演習).

$\dfrac{x^2-1}{x-1}$ の定義域と、約分後の式を答えなさい。穴の位置も答えなさい。
$\sqrt{3-x}$ の定義域と値域を答えなさい。
$\sqrt{x+2}=x$ を解き、二乗で得た候補をもとの式へ代入して確認しなさい。
$\dfrac{3x+1}{x+1}$ と $\sqrt{4-2x}$ について、定義域と値域を記し、前者では漸近線、後者では端点を示してグラフの概形を描きなさい。

解答 (演習の解答).

分母が $0$ にならないため、定義域は $x\ne1$ である。 $x\ne1$ では $\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$ である。 $x=1$ における値は定義されていないので、穴の位置は $(1,2)$ である。
根号の内部について $3-x\ge0$ が必要であるから、定義域は $x\le3$ である。関数の値は $0$ 以上であり、任意の $y\ge0$ に対して $x=3-y^2$ とおけば $\sqrt{3-x}=y$ となる。したがって、値域は $[0,\infty)$ である。
根号の内部と右辺の符号から $x\ge0$ が必要である。両辺を二乗すると $x+2=x^2,$ すなわち $(x-2)(x+1)=0$ であるから、候補は $x=2,-1$ である。 $x=-1$ は $x\ge0$ を満たさず、代入しても左辺は $\sqrt1=1$ 、右辺は $-1$ となって等しくない。 $x=2$ は $\sqrt{2+2}=2$ を満たす。したがって、解は $x=2$ だけである。
$a=3$ 、 $b=1$ 、 $c=1$ 、 $d=1$ で $ad-bc=2\ne0$ であり、 $p=-1$ 、 $q=3$ 、 $k=-2$ であるから $\dfrac{3x+1}{x+1}=-\dfrac2{x+1}+3$ である。定義域は $\mathbb R\setminus\{-1\}$ 、値域は $\mathbb R\setminus\{3\}$ 、漸近線は $x=-1$ と $y=3$ である。 $k<0$ であるから、 $x>-1$ では $y<3$ 、 $x<-1$ では $y>3$ となり、グラフは右下と左上に二つの枝をもつ（ $x=0$ で $y=1$ ）。 $\sqrt{4-2x}$ の定義域は $4-2x\ge0$ より $(-\infty,2]$ である。値は $0$ 以上であり、任意の $y\ge0$ に対して $x=(4-y^2)/2$ とおけば $\sqrt{4-2x}=y$ となるので、値域は $[0,\infty)$ である。グラフは端点 $(2,0)$ から左上へ延びる。

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§B2.9分数関数・無理関数

1 分数関数

2 無理関数

3 無理方程式と両辺の二乗

4 演習

例題

演習

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