単射・全射・全単射と逆写像 | 関数の性質

1 写像、終域、値域

関数を式だけで与えても、値の行き先となる集合は定まりません。 $f(x) = x^2$ という式は、値の行き先を実数全体と定めた対応とも、 $0$ 以上の実数と定めた対応とも読むことができます。以下で扱う単射と全射のうち、全射であるかどうかはこの行き先の集合の定め方によって変わります。単射であるかどうかは変わりません。はじめに、三つの集合を分けて名前を付けます。

定義 1.1 (写像・定義域・終域・値域). $X$ 、 $Y$ を空でない集合とする。 $X$ の各要素 $x$ に対して $Y$ の要素をただ一つ定める規則 $f$ を、 $X$ から $Y$ への写像 (map) といい、 $f : X \to Y$ と書く。 $x$ に定まる $Y$ の要素を $f(x)$ と書く。このとき $X$ を $f$ の定義域 (domain)、 $Y$ を $f$ の終域 (codomain) という。また、 $X$ の要素 $x$ の全体に対する $f(x)$ を集めた集合

f(X) = \{\,f(x) \mid x \in X\,\}

を $f$ の値域 (range) という。値域は終域の部分集合である。

二つの写像 $f : X \to Y$ 、 $f' : X' \to Y'$ は、 $X = X'$ かつ $Y = Y'$ であり、 $X$ のすべての要素 $x$ について $f(x) = f'(x)$ が成り立つとき、等しいといい、 $f = f'$ と書く。

注意 1.2 (終域と値域は別のものである). 終域は、写像を与えるときに書き手が定める集合であり、値域は、定義域のすべての要素から実際に定まる値を集めた集合である。値域は終域に含まれるが、等しいとは限らない。写像の相等は終域の一致を含むので、定義域と各点の値が同じでも、終域が異なれば別の写像である。

例 1.3. $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を $f(x) = x^2$ で定める。すべての実数 $x$ について $x^2 \ge 0$ であり、 $0$ 以上の実数 $y$ に対しては $x = \sqrt{y}$ が $x^2 = y$ を満たすので、値域は $f(\mathbb{R}) = [0,\,\infty)$ である。終域 $\mathbb{R}$ と値域 $[0,\,\infty)$ は一致しない。

同じ式で $g : \mathbb{R} \to [0,\,\infty)$ を $g(x) = x^2$ と定めると、 $g$ の終域は $[0,\,\infty)$ であり、値域と一致する。 $f$ と $g$ は、終域が異なるので別の写像である。

2 単射・全射・全単射

定義 2.1 (単射・全射・全単射). $f : X \to Y$ を写像とする。

$X$ のどの二つの要素 $x_1$ 、 $x_2$ についても、 $x_1 \ne x_2$ ならば $f(x_1) \ne f(x_2)$ が成り立つとき、 $f$ は単射 (injection) であるという。
$Y$ のどの要素 $y$ についても、 $f(x) = y$ を満たす $X$ の要素 $x$ が少なくとも一つ存在するとき、 $f$ は全射 (surjection) であるという。
$f$ が単射であり、かつ全射であるとき、 $f$ は全単射 (bijection) であるという。

単射を「1対1の写像」、全射を「上への写像」とよぶ本もあります。単射の条件は、対偶をとると「 $f(x_1) = f(x_2)$ ならば $x_1 = x_2$ 」となります。値が等しいことから入力が等しいことを導く形なので、証明ではこちらを用いることが多くあります。全射の条件は、値域を用いると $f(X) = Y$ と書き直すことができます。

$X$ と $Y$ がどちらも実数の部分集合である場合には、この二つの条件をグラフから読み取ることができます。 $Y$ の要素 $c$ をとり、水平な直線 $y = c$ と $f$ のグラフとの共有点を数えます。 $f$ が単射であることは、 $Y$ のどの要素 $c$ についても共有点が多くとも1個であることにあたり、 $f$ が全射であることは、 $Y$ のどの要素 $c$ についても共有点が少なくとも1個あることにあたります。これは、グラフの点 $(x, f(x))$ の座標を入れ替えた図形が、各鉛直線との共有点が多くとも1個であるという§B2.1 定理 2.2の条件を満たすことと同じです。

この図では、値 $4$ を与える $x$ として $2$ と $-2$ の二つが描かれています。これは $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ が単射でないことに対応します。一方、値 $-1$ を与える点が描かれていないことは、表示範囲の外を描いていないので、全射でないことの根拠にはなりません。単射でないことと全射でないことは、次の例で式によって確かめます。

例 2.2. $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を $f(x) = 2x + 1$ で定める。 $f(x_1) = f(x_2)$ とすると $2x_1 + 1 = 2x_2 + 1$ から $x_1 = x_2$ となるので、 $f$ は単射である。また、実数 $y$ を任意にとると $x = \dfrac{y-1}{2}$ は実数であって $f(x) = y$ を満たすので、 $f$ は全射である。よって $f$ は全単射である。

$k : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を $k(x) = x^2$ で定める。 $2 \ne -2$ であるのに $k(2) = k(-2) = 4$ であるから、 $k$ は単射でない。また、 $y = -1$ に対しては、すべての実数 $x$ が $x^2 \ge 0 > -1$ を満たすので $k(x) = -1$ となる $x$ は存在せず、 $k$ は全射でない。

例 2.3. $X = \{1,\,2,\,3\}$ 、 $Y = \{10,\,20,\,30,\,40\}$ とし、 $f : X \to Y$ を $f(1) = 10$ 、 $f(2) = 20$ 、 $f(3) = 30$ で定める。 $f$ の値は互いに異なるので単射である。一方、 $40 \in Y$ を値とする $X$ の要素はないので、全射でない。値域は $f(X) = \{10,\,20,\,30\}$ である。

$Y' = \{1,\,2,\,3,\,4\}$ 、 $Z = \{10,\,20,\,30\}$ とし、 $g : Y' \to Z$ を $g(1) = 10$ 、 $g(2) = 10$ 、 $g(3) = 20$ 、 $g(4) = 30$ で定める。 $Z$ のどの要素も値としてあらわれるので $g$ は全射であるが、 $1 \ne 2$ であるのに $g(1) = g(2)$ なので単射でない。

3 逆写像

全単射である写像については、値から入力をただ一つ定めることができます。次の定理では、この対応が写像になることが述べられています。

定理 3.1. $f : X \to Y$ を全単射とする。このとき、

g(f(x)) = x \quad (\text{すべての } x \in X), \qquad f(g(y)) = y \quad (\text{すべての } y \in Y)

をともに満たす写像 $g : Y \to X$ がただ一つ存在する。この $g$ を $f$ の逆写像といい、 $f^{-1}$ と書く。さらに、 $f^{-1}$ も全単射であり、 $f^{-1}$ の逆写像は $f$ である。

証明. はじめに、条件を満たす写像が存在することを示す。 $Y$ の要素 $y$ を任意にとる。 $f$ は全射であるから、 $f(x) = y$ を満たす $X$ の要素 $x$ が少なくとも一つ存在する。また、 $f(x_1) = y$ と $f(x_2) = y$ を満たす $X$ の要素 $x_1$ 、 $x_2$ があれば $f(x_1) = f(x_2)$ であり、 $f$ は単射であるから $x_1 = x_2$ である。したがって、 $f(x) = y$ を満たす $X$ の要素 $x$ はただ一つに定まる。そこで、各 $y \in Y$ に対してこの唯一の $x$ を対応させる規則を $g$ と書くと、 $g$ は $Y$ から $X$ への写像である。定め方から、すべての $y \in Y$ について $f(g(y)) = y$ が成り立つ。また、 $X$ の要素 $x$ を任意にとって $y = f(x)$ と置くと、 $g(y)$ は $f$ による値が $y$ となる唯一の要素であり、 $x$ もその条件を満たすので $g(y) = x$ 、すなわち $g(f(x)) = x$ である。

次に、条件を満たす写像がただ一つであることを示す。 $g_1 : Y \to X$ と $g_2 : Y \to X$ がともに二つの条件を満たすとする。 $Y$ の要素 $y$ を任意にとると、 $g_1$ についての条件から $f(g_1(y)) = y$ である。 $g_2$ についての条件を $X$ の要素 $g_1(y)$ に適用すると $g_2(f(g_1(y))) = g_1(y)$ となり、左辺は $g_2(y)$ に等しいので $g_2(y) = g_1(y)$ である。 $y$ は $Y$ の任意の要素であったから、 $g_1$ と $g_2$ は写像として等しい。

最後に、 $f^{-1}$ が全単射であることを示す。 $Y$ の要素 $y_1$ 、 $y_2$ について $f^{-1}(y_1) = f^{-1}(y_2)$ とすると、両辺に $f$ を施して $y_1 = f(f^{-1}(y_1)) = f(f^{-1}(y_2)) = y_2$ となるので、 $f^{-1}$ は単射である。また、 $X$ の要素 $x$ を任意にとって $y = f(x)$ と置くと $f^{-1}(y) = f^{-1}(f(x)) = x$ となるので、 $f^{-1}$ は全射である。よって $f^{-1}$ は全単射である。 $f^{-1}$ の逆写像については、上の二つの条件で $f$ と $f^{-1}$ の役割を入れ替えた式が、いま示した二つの等式そのものである。逆写像はただ一つであるから、 $f^{-1}$ の逆写像は $f$ である。▨

4 合成と恒等写像

逆写像の条件は、写像の合成と恒等写像で言い表すことができます。実数値関数の合成は§B2.6 定義 1.1で定めたので、ここでは一般の空でない集合の間の写像について、定義域の制限が要らない場合を定めます。

定義 4.1 (写像の合成と恒等写像). $X$ 、 $Y$ 、 $Z$ を空でない集合とする。

$f : X \to Y$ 、 $g : Y \to Z$ に対し、 $X$ の各要素 $x$ に $g(f(x))$ を対応させる写像 $X \to Z$ を、 $f$ と $g$ の合成写像 (composite map) といい、 $g \circ f$ と書く。すなわち $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ である。
$X$ の各要素 $x$ に $x$ 自身を対応させる写像 $X \to X$ を、 $X$ 上の恒等写像 (identity map) といい、 $\mathrm{id}_X$ と書く。すなわち $\mathrm{id}_X(x) = x$ である。

注意 4.2 (合成を用いた言い換え).定理 3.1の二つの条件は、合成を用いると

f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_X, \qquad f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_Y

と書くことができる。すなわち逆写像とは、 $f$ と合成すると恒等写像になる写像である。

全単射とは限らない写像 $f : X \to Y$ については、この二つの条件のうち一方だけでは逆写像は定まらない。実際、 $f$ が単射であって全射でなく、 $X$ が二つ以上の要素をもつとする。 $f$ が単射なので、 $f(X)$ の各要素 $y$ には $f(x) = y$ を満たす $x$ がただ一つあり、 $g(y)$ をその $x$ と定めることができる。 $Y \setminus f(X)$ の要素 $y$ における $g(y)$ は条件 $g \circ f = \mathrm{id}_X$ に現れないので、 $X$ の任意の要素と定めてよい。 $Y \setminus f(X)$ は空でなく、 $X$ は二つ以上の要素をもつから、その要素 $y_0$ における $g(y_0)$ を異なる二通りに選ぶことで、 $g \circ f = \mathrm{id}_X$ を満たす異なる写像 $g : Y \to X$ が複数得られる。

$f$ が全単射のときは、一方の条件だけで $g = f^{-1}$ が従う。 $g \circ f = \mathrm{id}_X$ ならば、 $Y$ の要素 $y$ を $y = f(x)$ と書くと $g(y) = g(f(x)) = x = f^{-1}(y)$ である。 $f \circ g = \mathrm{id}_Y$ ならば、 $f(g(y)) = y = f(f^{-1}(y))$ であり、 $f$ が単射であるから $g(y) = f^{-1}(y)$ である。

5 定義域の制限と終域の取り替え

全単射でない写像であっても、定義域を狭める操作と、終域を値域に取り替える操作の一方または両方を行うことで、全単射である写像を作ることができます。定義域を真に狭めた場合や、全射でない写像の終域を値域に取り替えた場合には、もとの写像とは別の写像になります。

定義 5.1 (定義域の制限と終域の取り替え). $f : X \to Y$ を写像とする。

$A$ を $X$ の空でない部分集合とする。 $A$ の各要素 $x$ に $f(x)$ を対応させる写像 $A \to Y$ を、 $f$ の $A$ への制限 (restriction) といい、 $f|_A$ と書く。
$X$ の各要素 $x$ に $f(x)$ を対応させる写像 $X \to f(X)$ を、 $f$ の終域を値域に取り替えた写像という。

定理 5.2. $f : X \to Y$ を写像とし、 $\tilde{f} : X \to f(X)$ を $f$ の終域を値域に取り替えた写像とする。このとき $\tilde{f}$ は全射である。さらに、 $f$ が単射ならば $\tilde{f}$ は全単射である。

証明. $f(X)$ の要素 $y$ を任意にとる。値域の定め方から、 $y = f(x)$ を満たす $X$ の要素 $x$ が存在し、この $x$ について $\tilde{f}(x) = f(x) = y$ である。よって $\tilde{f}$ は全射である。

$f$ が単射であるとする。 $X$ の要素 $x_1$ 、 $x_2$ について $\tilde{f}(x_1) = \tilde{f}(x_2)$ とすると $f(x_1) = f(x_2)$ であり、 $f$ が単射であるから $x_1 = x_2$ である。よって $\tilde{f}$ は単射であり、いま示した全射性と合わせて全単射である。▨

例 5.3. $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を $f(x) = x^2$ で定める。例 2.2のとおり、 $f$ は単射でも全射でもない。定義域と終域を次のように取り替えると、単射性と全射性が変わる。

定義域	終域	単射	全射
$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	成り立たない	成り立たない
$\mathbb{R}$	$[0,\,\infty)$	成り立たない	成り立つ
$[0,\,\infty)$	$\mathbb{R}$	成り立つ	成り立たない
$[0,\,\infty)$	$[0,\,\infty)$	成り立つ	成り立つ

終域を値域 $[0,\,\infty)$ に取り替えると、定理 5.2により全射になる。定義域を $[0,\,\infty)$ に制限すると、 $0 \le x_1$ 、 $0 \le x_2$ かつ $x_1^2 = x_2^2$ のとき $(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 0$ であり、 $x_1 + x_2 = 0$ となるのは $x_1 = x_2 = 0$ の場合だけなので、いずれにしても $x_1 = x_2$ となって単射になる。

両方を行った $h : [0,\,\infty) \to [0,\,\infty)$ 、 $h(x) = x^2$ が全単射であることは、次のようにして分かる。 $x \ge 0$ ならば $x^2 \ge 0$ であり、 $0$ 以上の実数 $y$ に対しては $\sqrt{y} \ge 0$ が $(\sqrt{y})^2 = y$ を満たすので、 $f([0,\,\infty)) = [0,\,\infty)$ である。したがって $h$ は、単射である $f|_{[0,\,\infty)}$ の終域を値域に取り替えた写像であり、定理 5.2により全単射である。定理 3.1により、逆写像 $h^{-1}$ がただ一つ定まる。この $h^{-1}$ を関数として調べ、平方根として書き表すことは、§B2.8 逆関数が扱う。

注意 5.4 (制限の仕方によって逆写像が変わる).例 5.3で定義域を $(-\infty,\,0]$ に制限し、終域を $[0,\,\infty)$ にとっても全単射になる。実際、 $x_1 \le 0$ 、 $x_2 \le 0$ かつ $x_1^2 = x_2^2$ ならば同様に $x_1 = x_2$ で単射であり、 $0$ 以上の実数 $y$ に対して $-\sqrt{y} \le 0$ が $(-\sqrt{y})^2 = y$ を満たすので、 $f((-\infty,\,0]) = [0,\,\infty)$ であって、定理 5.2から全単射が従う。この写像の逆写像は、 $0$ 以上の実数 $y$ に対して $x^2 = y$ を満たす $0$ 以下の実数 $x$ を対応させる写像である。 $y > 0$ のときこの $x$ は負であり、定義域を $[0,\,\infty)$ に制限した場合の逆写像が与える値は正であるから、二つの逆写像は異なる。したがって「 $x$ の2乗の逆写像」という言い方は、どの部分集合へ制限したかを述べなければ定まらない。

6 演習

問題 6.1 (終域の取り替えと合成).

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を $f(x) = x^2 - 4x$ で定める。 $f$ が単射でも全射でもないことを示せ。
定義域を $[a,\,\infty)$ に制限した $f|_{[a,\,\infty)}$ が単射になるような実数 $a$ のうち、最小のものを求めよ。その $a$ について、 $f([a,\,\infty))$ を求め、終域を値域に取り替えた写像が全単射であることを示せ。
$f : X \to Y$ 、 $g : Y \to Z$ を写像とする。 $g \circ f$ が単射ならば $f$ は単射であることを示せ。また、 $g \circ f$ が全射ならば $g$ は全射であることを示せ。
$g \circ f$ が全単射であっても、 $f$ が全射であるとは限らないことを、例で示せ。

解答.

$f(x) = (x - 2)^2 - 4$ である。 $f(0) = f(4) = 0$ かつ $0 \ne 4$ なので、 $f$ は単射でない。また、すべての実数 $x$ について $f(x) \ge -4$ なので、 $y = -5$ を値とする $x$ はなく、 $f$ は全射でない。
$a \ge 2$ のとき単射である。 $x_1$ 、 $x_2 \ge a$ で $f(x_1) = f(x_2)$ とすると $(x_1 - x_2)(x_1 + x_2 - 4) = 0$ である。 $x_1 + x_2 \ge 2a \ge 4$ であり、 $x_1 + x_2 = 4$ となるのは $x_1 = x_2 = 2$ の場合だけなので、いずれにしても $x_1 = x_2$ である。 $a < 2$ のときは、 $x_1 = a$ 、 $x_2 = 4 - a$ とすると $x_2 > 2 > a$ であって $x_1 \ne x_2$ であり、 $f(4 - x) = (2 - x)^2 - 4 = f(x)$ から $f(x_1) = f(x_2)$ となるので単射でない。よって最小の $a$ は $2$ である。このとき、 $x \ge 2$ ならば $f(x) = (x-2)^2 - 4 \ge -4$ であり、 $-4$ 以上の実数 $y$ に対しては $x = 2 + \sqrt{y + 4} \ge 2$ が $f(x) = y$ を満たすので、 $f([2,\,\infty)) = [-4,\,\infty)$ である。 $f|_{[2,\,\infty)}$ は単射なので、定理 5.2により、終域を $[-4,\,\infty)$ に取り替えた写像は全単射である。
$g \circ f$ が単射であるとする。 $f(x_1) = f(x_2)$ ならば $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$ であり、 $g \circ f$ が単射なので $x_1 = x_2$ である。よって $f$ は単射である。 $g \circ f$ が全射であるとする。 $Z$ の要素 $z$ に対し、 $g(f(x)) = z$ を満たす $x \in X$ がある。 $y = f(x)$ とすると $y \in Y$ で $g(y) = z$ なので、 $g$ は全射である。
$X = \{1\}$ 、 $Y = \{1,\,2\}$ 、 $Z = \{1\}$ とし、 $f(1) = 1$ 、 $g(1) = g(2) = 1$ と定める。 $g \circ f : X \to Z$ は $1 \mapsto 1$ であり全単射である。しかし $2 \in Y$ を値とする $X$ の要素はないので、 $f$ は全射でない。

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§B2.7単射・全射・全単射と逆写像