§E13.12行列指数関数

最終更新

aaを定数とする微分方程式x′=axx'=axでは、指数関数が初期値から各時刻の解を与える。係数行列が対角でない定係数線形系では、ある未知関数の導関数に別の未知関数の値が現れるため、複数の未知関数の変化をまとめて扱う。例えば、係数行列が(0100)\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}の同次線形系には、時間に比例する成分をもつ解がある。行列指数関数は、数の指数関数のべき級数を行列へ拡張して定める。定係数の同次線形系の解は、係数行列に経過時間を掛けた行列の指数を初期値に作用させて得られる。定係数の同次線形系の時間発展を続けて二度行う操作は、それぞれの時間の和だけ進める操作に一致し、この性質は行列指数関数の積に表れる。係数行列の構造と解の時間的な振る舞いとを結び付ける点で、行列指数関数は線形系の理論における基本的な道具である。本記事では、行列指数関数の性質と定係数線形系への応用を扱う。

1 級数による定義と収束

命題 1.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}、d∈N≥1d\in\NNとする。Kd×d\mathbb K^{d\times d}上のノルム∥⋅∥\lVert\cdot\rVertがすべてのX,Y∈Kd×dX,Y\in\mathbb K^{d\times d}について∥XY∥≤∥X∥∥Y∥\lVert XY\rVert\le\lVert X\rVert\lVert Y\rVertを満たすとき、∥⋅∥\lVert\cdot\rVertは劣乗法的 (submultiplicative) であるという。A∈Kd×dA\in\mathbb K^{d\times d}とし、A0=IA^0=Iとする。このとき、次が成り立つ。

  1. ∥X∥e=dmax⁡p,q∣Xpq∣\lVert X\rVert_{\mathrm{e}}=d\max_{p,q}\lvert X_{pq}\rvertで定まる∥⋅∥e\lVert\cdot\rVert_{\mathrm e}はKd×d\mathbb K^{d\times d}上の劣乗法的なノルムである。
  2. ∥⋅∥\lVert\cdot\rVertをKd×d\mathbb K^{d\times d}上の劣乗法的なノルムとする。このとき、級数∑k=0∞Ak/k!\sum_{k=0}^{\infty}A^k/k!は∥⋅∥\lVert\cdot\rVertについて絶対収束し、その和SSは∥S∥≤∥I∥+e∥A∥−1\lVert S\rVert\le\lVert I\rVert+e^{\lVert A\rVert}-1を満たす。
  3. D⊆CD\subseteq\Cを有界集合とする。このとき、z∈Dz\in Dの関数の級数∑k=0∞zkAk/k!\sum_{k=0}^{\infty}z^kA^k/k!の各成分は、DD上で一様収束する。
  4. t∈Rt\in\Rの関数の級数∑k=0∞tkAk/k!\sum_{k=0}^{\infty}t^kA^k/k!の各項をttで微分した級数の各成分は、R\Rの任意の有界区間上で一様収束する。

証明.X∈Kd×dX\in\mathbb K^{d\times d}の成分の絶対値の最大値を∣X∣∞\lvert X\rvert_\inftyと書く。∣⋅∣∞\lvert\cdot\rvert_\inftyはKd×d\mathbb K^{d\times d}上のノルムである。

主張 (1)を示す。∥⋅∥e=d∣⋅∣∞\lVert\cdot\rVert_{\mathrm e}=d\lvert\cdot\rvert_\inftyはノルムであり、X,Y∈Kd×dX,Y\in\mathbb K^{d\times d}について∣(XY)pq∣≤∑r=1d∣Xpr∣∣Yrq∣≤d∣X∣∞∣Y∣∞\lvert(XY)_{pq}\rvert\le\sum_{r=1}^d\lvert X_{pr}\rvert\lvert Y_{rq}\rvert\le d\lvert X\rvert_\infty\lvert Y\rvert_\inftyであるから、∥XY∥e≤d2∣X∣∞∣Y∣∞=∥X∥e∥Y∥e\lVert XY\rVert_{\mathrm e}\le d^2\lvert X\rvert_\infty\lvert Y\rvert_\infty=\lVert X\rVert_{\mathrm e}\lVert Y\rVert_{\mathrm e}である。

以下、∥⋅∥\lVert\cdot\rVertをKd×d\mathbb K^{d\times d}上の劣乗法的なノルムとする。§E10.1 命題 2.2により、あるc,C>0c,C>0が存在して、すべてのX∈Kd×dX\in\mathbb K^{d\times d}についてc∣X∣∞≤∥X∥≤C∣X∣∞c\lvert X\rvert_\infty\le\lVert X\rVert\le C\lvert X\rvert_\inftyが成り立つ。劣乗法性とkkについての帰納法により、k≥1k\ge1に対して∥Ak∥≤∥A∥k\lVert A^k\rVert\le\lVert A\rVert^kである。

主張 (2)を示す。零次項はA0=IA^0=Iであるから、

∑k=0∞∥Akk!∥≤∥I∥+∑k=1∞∥A∥kk!=∥I∥+e∥A∥−1<∞\sum_{k=0}^{\infty} \left\lVert\frac{A^k}{k!}\right\rVert \le \lVert I\rVert+ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lVert A\rVert^k}{k!} =\lVert I\rVert+e^{\lVert A\rVert}-1<\infty

である。各成分について∣(Ak)pq∣≤c−1∥Ak∥\lvert(A^k)_{pq}\rvert\le c^{-1}\lVert A^k\rVertであるから、各成分の級数は絶対収束する。その和を成分とする行列をSS、部分和をSNS_Nと書くと、∥S−SN∥≤C∣S−SN∣∞→0\lVert S-S_N\rVert\le C\lvert S-S_N\rvert_\infty\to0（N→∞N\to\infty）であり、∥SN∥≤∥I∥+e∥A∥−1\lVert S_N\rVert\le\lVert I\rVert+e^{\lVert A\rVert}-1であるから、∥S∥≤∥I∥+e∥A∥−1\lVert S\rVert\le\lVert I\rVert+e^{\lVert A\rVert}-1である。

主張 (3)を示す。R>0R>0をD⊆{z∈C:∣z∣≤R}D\subseteq\{z\in\C:\lvert z\rvert\le R\}となるように取る。z∈Dz\in Dとk≥1k\ge1に対して、各成分について

∣(zkAkk!)pq∣≤Rk∥A∥kc k!\left\lvert\left(\frac{z^kA^k}{k!}\right)_{pq}\right\rvert \le\frac{R^k\lVert A\rVert^k}{c\,k!}(1.1.1)\text{(1.1.1)}

が成り立つ。右辺のk≥1k\ge1にわたる和はc−1(eR∥A∥−1)c^{-1}(e^{R\lVert A\rVert}-1)である。したがって各成分の級数はすべてのz∈Dz\in Dで絶対収束し、その和と第NN部分和の差の絶対値は、すべてのz∈Dz\in Dで∑k>NRk∥A∥k/(c k!)\sum_{k>N}R^k\lVert A\rVert^k/(c\,k!)以下である。この上界はzzによらずN→∞N\to\inftyで00に収束する。

主張 (4)を示す。T>0T>0とし、∣t∣≤T\lvert t\rvert\le Tとする。零次項の導関数は零であり、k≥1k\ge1に対して、各成分について

∣(ddttkAkk!)pq∣≤Tk−1∥A∥kc (k−1)!\left\lvert \left(\frac{d}{dt}\frac{t^kA^k}{k!}\right)_{pq} \right\rvert \le \frac{T^{k-1}\lVert A\rVert^k}{c\,(k-1)!}(1.1.2)\text{(1.1.2)}

が成り立つ。右辺のk≥1k\ge1にわたる和はc−1∥A∥eT∥A∥c^{-1}\lVert A\rVert e^{T\lVert A\rVert}であるから、前段と同じ評価により、導関数級数の各成分は[−T,T][-T,T]上で一様収束する。▨

定義 1.2.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}、d∈N≥1d\in\NN、A∈Kd×dA\in\mathbb K^{d\times d}とする。命題 1.1 (1)の劣乗法的なノルムについて命題 1.1 (2)を適用して得る級数の和

eA=exp⁡(A)=∑k=0∞Akk!,A0=Ie^A=\exp(A) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{A^k}{k!}, \qquad A^0=I

をAAの行列指数関数 (matrix exponential) という。AAが実行列ならば、各項が実行列であり各成分の極限は実数であるから、eAe^Aも実行列である。

2 微分公式と定係数線形系

定理 2.1.d∈N≥1d\in\NN、A∈Cd×dA\in\C^{d\times d}とする。このとき、すべてのs,t∈Rs,t\in\Rについて次の式が成り立つ。

e0A=I,ddtetA=AetA=etAA,e^{0A}=I,\qquad \frac{d}{dt}e^{tA}=Ae^{tA}=e^{tA}A,e(s+t)A=esAetA,(etA)−1=e−tA.e^{(s+t)A}=e^{sA}e^{tA},\qquad (e^{tA})^{-1}=e^{-tA}.

証明.e0A=Ie^{0A}=Iは定義から従う。T>0T>0を任意に固定し、指数級数の部分和を

FN(t)=∑k=0NtkAkk!F_N(t)=\sum_{k=0}^{N}\frac{t^kA^k}{k!}

と置く。FN(0)=IF_N(0)=Iであり、命題 1.1 (4)により導関数の級数の各成分は[−T,T][-T,T]上で一様収束する。したがって、項ごとの微分の定理§D1.22 定理 4.2を行列の各複素成分の実部と虚部へ適用すると、(−T,T)(-T,T)上で

ddtetA=∑k=1∞ktk−1Akk!=A∑j=0∞tjAjj!=AetA\begin{aligned} \frac{d}{dt}e^{tA} &=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k t^{k-1}A^k}{k!}\\ &=A\sum_{j=0}^{\infty}\frac{t^jA^j}{j!} =Ae^{tA} \end{aligned}

を得る。TTは任意であるため、この式はすべてのt∈Rt\in\Rで成り立つ。AAは各AjA^jと可換であるから、右辺はetAAe^{tA}Aにも等しい。

s∈Rs\in\Rを固定し、X(t)=e(s+t)AX(t)=e^{(s+t)A}、Y(t)=esAetAY(t)=e^{sA}e^{tA}とおく。前段によりXXとYYはR\R上でC1C^1級であり、すべてのt∈Rt\in\RでX′(t)=Ae(s+t)A=AX(t)X'(t)=Ae^{(s+t)A}=AX(t)、Y′(t)=esAAetA=AesAetA=AY(t)Y'(t)=e^{sA}Ae^{tA}=Ae^{sA}e^{tA}=AY(t)を満たし、X(0)=Y(0)=esAX(0)=Y(0)=e^{sA}である。§E13.2 系 2.7 (2)によりXXとYYの第jj列はともにR\R上で局所絶対連続であり、すべての点でx′=Ax\boldsymbol x'=A\boldsymbol xを満たし、t=0t=0で同じ値をとる。定数行列AAはR\R上で局所可積分であるから、§E13.9 定理 1.1をK=C\mathbb K=\C、b=0\boldsymbol b=\boldsymbol 0として適用すると、二つの列は一致する。したがってe(s+t)A=esAetAe^{(s+t)A}=e^{sA}e^{tA}である。s=−ts=-tと置けばetAe−tA=e0A=Ie^{tA}e^{-tA}=e^{0A}=Iとなり、逆行列の式が従う。▨

定理 2.2.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}、d∈N≥1d\in\NN、A∈Kd×dA\in\mathbb K^{d\times d}とし、I⊆RI\subseteq\Rを内部が空でない区間とする。このとき、次が成り立つ。

  1. 任意のt0∈It_0\in Iとη∈Kd\boldsymbol\eta\in\mathbb K^dに対して、初期値問題 x′=Axほとんど至る所,x(t0)=η\boldsymbol x'=A\boldsymbol x\quad\text{ほとんど至る所},\qquad \boldsymbol x(t_0)=\boldsymbol\eta のII上の局所絶対連続解はただ一つであり、それはx(t)=e(t−t0)Aη\boldsymbol x(t)=e^{(t-t_0)A}\boldsymbol\etaである。この解はC1C^1級であり、IIのすべての点でx′=Ax\boldsymbol x'=A\boldsymbol xを満たす。IIに含まれる端点では片側微分とする。
  2. x∈ACloc(I;Kd)\boldsymbol x\in AC_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K^d)がIIのほとんど至る所でx′=Ax\boldsymbol x'=A\boldsymbol xを満たすならば、すべてのt∈It\in Iでx(t)=etAc\boldsymbol x(t)=e^{tA}\boldsymbol cとなるc∈Kd\boldsymbol c\in\mathbb K^dがただ一つ存在する。
  3. Φ(t)=etA\Phi(t)=e^{tA}で定まるΦ ⁣:I→Kd×d\Phi\colon I\to\mathbb K^{d\times d}はx′=Ax\boldsymbol x'=A\boldsymbol xの局所絶対連続な基本行列である。AAが実行列ならば、Φ\Phiは§E13.11 系 3.1の意味の実数値の基本行列でもある。

証明.主張 (3)を示す。定理 2.1によりΦ\PhiはC1C^1級であり、すべてのttでΦ′(t)=AΦ(t)\Phi'(t)=A\Phi(t)を満たし、Φ(t)\Phi(t)は逆行列e−tAe^{-tA}をもつ。§E13.2 系 2.7 (2)によりΦ\Phiは局所絶対連続であるから、Φ\Phiは§E13.9 定義 2.1の基本行列である。AAが実行列ならば定義 1.2によりΦ(t)\Phi(t)は実行列であり、Φ\Phiは§E13.11 系 3.1の条件を満たす。

主張 (1)を示す。定理 2.1によりe(t−t0)A=etAe−t0Ae^{(t-t_0)A}=e^{tA}e^{-t_0A}であるから、x(t)=Φ(t)e−t0Aη\boldsymbol x(t)=\Phi(t)e^{-t_0A}\boldsymbol\etaはC1C^1級であり、すべての点でx′=Ax\boldsymbol x'=A\boldsymbol xを満たし、x(t0)=e0Aη=η\boldsymbol x(t_0)=e^{0A}\boldsymbol\eta=\boldsymbol\etaである。定数行列AAはII上で局所可積分であるから、§E13.9 定理 1.1をb=0\boldsymbol b=\boldsymbol 0として適用すると、この初期値問題の局所絶対連続解は一意である。

主張 (2)を示す。t0∈It_0\in Iを一つ取り、c=e−t0Ax(t0)\boldsymbol c=e^{-t_0A}\boldsymbol x(t_0)とおく。x\boldsymbol xとt↦etAc=e(t−t0)Ax(t0)t\mapsto e^{tA}\boldsymbol c=e^{(t-t_0)A}\boldsymbol x(t_0)はともに初期値x(t0)\boldsymbol x(t_0)をもつ局所絶対連続解であるから、主張 (1)により一致する。あるt∈It\in IでetAc=etAc′e^{tA}\boldsymbol c=e^{tA}\boldsymbol c'ならば、etAe^{tA}の可逆性からc=c′\boldsymbol c=\boldsymbol c'である。▨

系 2.3.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}、d∈N≥1d\in\NN、A∈Kd×dA\in\mathbb K^{d\times d}とする。このとき、すべてのt∈Rt\in\Rについて

det⁡etA=ettr⁡A\det e^{tA}=e^{t\operatorname{tr}A}

が成り立つ。

証明.定理 2.2 (3)によりΦ(t)=etA\Phi(t)=e^{tA}はR\R上で局所絶対連続であり、Φ′=AΦ\Phi'=A\Phiを満たす。§E13.9 定理 3.1をt0=0t_0=0として適用すると、det⁡Φ(0)=det⁡I=1\det\Phi(0)=\det I=1であるからdet⁡etA=exp⁡(∫0ttr⁡A ds)=ettr⁡A\det e^{tA}=\exp\bigl(\int_0^t\operatorname{tr}A\,ds\bigr)=e^{t\operatorname{tr}A}である。▨

定理 2.4.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}、d∈N≥1d\in\NNとし、I⊆RI\subseteq\Rを内部が空でない区間とする。A∈Kd×dA\in\mathbb K^{d\times d}、b∈Lloc1(I;Kd)\boldsymbol b\in L^1_{\mathrm{loc}}(I;\mathbb K^d)、t0∈It_0\in I、η∈Kd\boldsymbol\eta\in\mathbb K^dとする。このとき、初期値問題

x′=Ax+bほとんど至る所,x(t0)=η\boldsymbol x'=A\boldsymbol x+\boldsymbol b\quad\text{ほとんど至る所},\qquad \boldsymbol x(t_0)=\boldsymbol\eta

はII全体で一意な局所絶対連続解をもち、その解はすべてのt∈It\in Iで

x(t)=e(t−t0)Aη+∫t0te(t−s)Ab(s) ds\boldsymbol x(t) =e^{(t-t_0)A}\boldsymbol\eta +\int_{t_0}^{t}e^{(t-s)A}\boldsymbol b(s)\,ds(2.4.1)\text{(2.4.1)}

と表される。t<t0t<t_0では積分を−∫tt0-\int_t^{t_0}とする。さらに、AA、η\boldsymbol\eta、b\boldsymbol bが実数値ならば解も実数値であり、b\boldsymbol bが連続ならば解はC1C^1級であって微分方程式をすべての点で満たす。区間に端点が含まれる場合、その端点では片側微分を用いる。

証明.定理 2.2 (3)により、Φ(t)=etA\Phi(t)=e^{tA}は局所絶対連続な基本行列であり、Φ(t)−1=e−tA\Phi(t)^{-1}=e^{-tA}である。§E13.11 定理 2.1をこのΦ\Phiに適用すると、初期値問題は一意な局所絶対連続解をもち、その解は全点で

etA[e−t0Aη+∫t0te−sAb(s) ds]e^{tA} \left[ e^{-t_0A}\boldsymbol\eta +\int_{t_0}^{t}e^{-sA}\boldsymbol b(s)\,ds \right]

と表される。定理 2.1により

etAe−t0A=e(t−t0)A,etAe−sA=e(t−s)Ae^{tA}e^{-t_0A}=e^{(t-t_0)A},\qquad e^{tA}e^{-sA}=e^{(t-s)A}

であり、定数行列etAe^{tA}は積分の中へ入れることができるから、式 (2.4.1)が従う。

AAが実行列ならば定義 1.2によりerAe^{rA}はすべてのr∈Rr\in\Rで実行列である。η\boldsymbol\etaが実ベクトルでb\boldsymbol bが実数値ならば、式 (2.4.1)の各項が実数値であるため解は実数値である。b\boldsymbol bが連続ならば、式 (2.4.1)の右辺はetA(e−t0Aη+∫t0te−sAb(s) ds)e^{tA}\bigl(e^{-t_0A}\boldsymbol\eta+\int_{t_0}^te^{-sA}\boldsymbol b(s)\,ds\bigr)に等しく、被積分関数s↦e−sAb(s)s\mapsto e^{-sA}\boldsymbol b(s)は連続である。微積分の基本定理と積の微分により、x\boldsymbol xはC1C^1級であり、すべての点でx′=Ax+b\boldsymbol x'=A\boldsymbol x+\boldsymbol bを満たす。▨

系 2.5.d∈N≥1d\in\NN、A∈Rd×dA\in\R^{d\times d}とし、I⊆RI\subseteq\Rを内部が空でない区間とする。連続関数b:I→Rd\boldsymbol b:I\to\R^d、t0∈It_0\in I、η∈Rd\boldsymbol\eta\in\R^dを取る。このとき、初期値問題

x′=Ax+b(t),x(t0)=η\boldsymbol x'=A\boldsymbol x+\boldsymbol b(t),\qquad \boldsymbol x(t_0)=\boldsymbol\eta

のII上のC1C^1級の解はただ一つ存在し、式 (2.4.1)で与えられる。区間に端点が含まれる場合、その端点では片側微分を用いる。

証明.定理 2.4により、局所絶対連続解式 (2.4.1)は実数値かつC1C^1級であり、すべての点で微分方程式を満たす。C1C^1級の解は§E13.2 系 2.7 (2)により局所絶対連続であり、ほとんど至る所で微分方程式を満たすから、定理 2.4の一意性によりこの解に一致する。▨

3 絡み合う行列と指数の積

補題 3.1.d,m∈N≥1d,m\in\NNとする。このとき、次が成り立つ。

  1. A∈Cd×dA\in\C^{d\times d}、T∈Cm×mT\in\C^{m\times m}、S∈Cd×mS\in\C^{d\times m}がAS=STAS=STを満たすならば、すべてのz∈Cz\in\CについてezAS=SezTe^{zA}S=Se^{zT}である。
  2. A,S∈Cd×dA,S\in\C^{d\times d}がAS=SAAS=SAを満たすならば、すべてのz∈Cz\in\CについてezAS=SezAe^{zA}S=Se^{zA}である。
  3. d=d1+⋯+drd=d_1+\cdots+d_r（di∈N≥1d_i\in\NN）とし、Ai∈Cdi×diA_i\in\C^{d_i\times d_i}とする。このとき、すべてのz∈Cz\in\Cについて ezdiag⁡(A1,…,Ar)=diag⁡(ezA1,…,ezAr)e^{z\operatorname{diag}(A_1,\ldots,A_r)}=\operatorname{diag}\bigl(e^{zA_1},\ldots,e^{zA_r}\bigr) である。

証明.主張 (1)を示す。SSの第jj列をsj\boldsymbol s_jと書く。定理 2.1によりt↦SetTt\mapsto Se^{tT}はR\R上でC1C^1級であり、すべてのt∈Rt\in\Rで(SetT)′=STetT=A(SetT)(Se^{tT})'=STe^{tT}=A(Se^{tT})を満たす。§E13.2 系 2.7 (2)により、SetTSe^{tT}の第jj列はR\R上の局所絶対連続な関数であり、すべての点でx′=Ax\boldsymbol x'=A\boldsymbol xを満たし、t=0t=0でsj\boldsymbol s_jに等しい。定理 2.2 (1)をK=C\mathbb K=\C、I=RI=\R、t0=0t_0=0、η=sj\boldsymbol\eta=\boldsymbol s_jとして適用すると、この列はetAsje^{tA}\boldsymbol s_jに等しい。したがって、すべてのt∈Rt\in\RでetAS=SetTe^{tA}S=Se^{tT}である。z∈Cz\in\Cとすると(zA)S=S(zT)(zA)S=S(zT)であるから、この等式をzAzA、zTzTとt=1t=1に適用してezAS=SezTe^{zA}S=Se^{zT}を得る。

主張 (2)は主張 (1)をm=dm=d、T=AT=Aとして適用したものである。

主張 (3)を示す。A=diag⁡(A1,…,Ar)A=\operatorname{diag}(A_1,\ldots,A_r)とし、Si∈Cd×diS_i\in\C^{d\times d_i}を、AAの第iiブロックに対応するdid_i個の標準基底ベクトルを列に並べた行列とする。ASi=SiAiAS_i=S_iA_iであるから、主張 (1)によりezASi=SiezAie^{zA}S_i=S_ie^{zA_i}である。左辺はezAe^{zA}の第iiブロックの列を並べた行列であり、右辺は第iiブロックの行にezAie^{zA_i}を置き、他の行を零とした行列である。i=1,…,ri=1,\ldots,rを動かすとezA=diag⁡(ezA1,…,ezAr)e^{zA}=\operatorname{diag}(e^{zA_1},\ldots,e^{zA_r})を得る。▨

命題 3.2.d∈N≥1d\in\NNとし、A,B∈Cd×dA,B\in\C^{d\times d}がAB=BAAB=BAを満たすとする。このとき

eA+B=eAeB=eBeAe^{A+B}=e^Ae^B=e^Be^A

である。

証明.補題 3.1 (2)により、すべてのt∈Rt\in\RでetAB=BetAe^{tA}B=Be^{tA}である。Z(t)=etAetBZ(t)=e^{tA}e^{tB}とおくと、定理 2.1と積の微分によりZZはR\R上でC1C^1級であり、すべてのt∈Rt\in\Rで

Z′(t)=AetAetB+etABetB=(A+B)Z(t)Z'(t)=Ae^{tA}e^{tB}+e^{tA}Be^{tB}=(A+B)Z(t)

を満たし、Z(0)=IZ(0)=Iである。§E13.2 系 2.7 (2)により、ZZの第jj列はR\R上の局所絶対連続な関数であり、すべての点でx′=(A+B)x\boldsymbol x'=(A+B)\boldsymbol xを満たし、t=0t=0で第jj標準基底ベクトルej\boldsymbol e_jに等しい。定理 2.2 (1)を係数行列A+BA+B、K=C\mathbb K=\C、I=RI=\R、t0=0t_0=0、η=ej\boldsymbol\eta=\boldsymbol e_jとして適用すると、この列はet(A+B)eje^{t(A+B)}\boldsymbol e_jに等しい。したがって、すべてのt∈Rt\in\Rでet(A+B)=etAetBe^{t(A+B)}=e^{tA}e^{tB}であり、t=1t=1としてeA+B=eAeBe^{A+B}=e^Ae^Bを得る。この等式を可換な組(B,A)(B,A)に適用するとeB+A=eBeAe^{B+A}=e^Be^Aである。▨

例 3.3.

A=(0100),B=(0010)A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}

と置く。A2=B2=0A^2=B^2=0であるから

eAeB=(I+A)(I+B)=(2111).e^Ae^B=(I+A)(I+B) =\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}.

一方、(A+B)2=I(A+B)^2=Iであるから

eA+B=cosh⁡(1)I+sinh⁡(1)(A+B)=(cosh⁡(1)sinh⁡(1)sinh⁡(1)cosh⁡(1)).e^{A+B} =\cosh(1)I+\sinh(1)(A+B) =\begin{pmatrix} \cosh(1)&\sinh(1)\\ \sinh(1)&\cosh(1) \end{pmatrix}.

二つの行列は一致しない。この例ではAB≠BAAB\ne BAであり、非可換な二行列について和の指数法則は一般には成り立たない。

4 相似変換と対角化

命題 4.1.d∈N≥1d\in\NNとし、A∈Cd×dA\in\C^{d\times d}と可逆行列P∈Cd×dP\in\C^{d\times d}を取る。このとき

ePAP−1=PeAP−1e^{PAP^{-1}}=Pe^AP^{-1}

である。

証明.(PAP−1)P=PA(PAP^{-1})P=PAであるから、補題 3.1 (1)をz=1z=1として適用するとePAP−1P=PeAe^{PAP^{-1}}P=Pe^Aであり、右からP−1P^{-1}を掛けると主張を得る。▨

定理 4.2.d∈N≥1d\in\NNとし、A∈Cd×dA\in\C^{d\times d}、可逆行列P∈Cd×dP\in\C^{d\times d}、λ1,…,λd∈C\lambda_1,\ldots,\lambda_d\in\Cが

A=PDP−1,D=diag⁡(λ1,…,λd)A=PDP^{-1},\qquad D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_d)

を満たすとする。PPの第jj列をvj\boldsymbol v_jと書く。このとき、すべてのt∈Rt\in\Rについて

etA=Pdiag⁡(eλ1t,…,eλdt)P−1e^{tA} =P\operatorname{diag} \bigl(e^{\lambda_1t},\ldots,e^{\lambda_dt}\bigr)P^{-1}

である。さらに、x′=Ax\boldsymbol x'=A\boldsymbol xのR\R上の複素数値の局所絶対連続解の全体は、c1,…,cd∈Cc_1,\ldots,c_d\in\Cを動かして得る関数

x(t)=∑j=1dcjeλjtvj\boldsymbol x(t)=\sum_{j=1}^{d}c_je^{\lambda_jt}\boldsymbol v_j

の全体に一致し、各解に対してc1,…,cdc_1,\ldots,c_dは一意に定まる。

証明.命題 4.1によりetA=PetDP−1e^{tA}=Pe^{tD}P^{-1}である。補題 3.1 (3)を1×11\times1のブロックλj\lambda_jに適用するとetD=diag⁡(eλ1t,…,eλdt)e^{tD}=\operatorname{diag}(e^{\lambda_1t},\ldots,e^{\lambda_dt})である。

標準基底をe1,…,ed\boldsymbol e_1,\ldots,\boldsymbol e_dとすると、etAvj=PetDej=eλjtPej=eλjtvje^{tA}\boldsymbol v_j=Pe^{tD}\boldsymbol e_j=e^{\lambda_jt}P\boldsymbol e_j=e^{\lambda_jt}\boldsymbol v_jである。定理 2.2 (2)により、解の全体はc∈Cd\boldsymbol c\in\C^dを動かして得るetAce^{tA}\boldsymbol cの全体であり、c\boldsymbol cは解から一意に定まる。PPは可逆であるからv1,…,vd\boldsymbol v_1,\ldots,\boldsymbol v_dはCd\C^dの基底であり、c=∑j=1dcjvj\boldsymbol c=\sum_{j=1}^dc_j\boldsymbol v_jと一意に書かれる。このときetAc=∑j=1dcjeλjtvje^{tA}\boldsymbol c=\sum_{j=1}^dc_je^{\lambda_jt}\boldsymbol v_jである。▨

例 4.3.

A=(1221)A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}

の固有値は3,−13,-1であり、対応する固有ベクトルとして(1,1)T(1,1)^{\mathsf T}と(1,−1)T(1,-1)^{\mathsf T}を取ることができる。したがって

P=(111−1),P−1=12(111−1)P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},\qquad P^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}

により

etA=12(e3t+e−te3t−e−te3t−e−te3t+e−t).e^{tA} =\frac12 \begin{pmatrix} e^{3t}+e^{-t}&e^{3t}-e^{-t}\\ e^{3t}-e^{-t}&e^{3t}+e^{-t} \end{pmatrix}.

t=0t=0ではIIとなり、各成分を微分すると(etA)′=AetA(e^{tA})'=Ae^{tA}を確認することができる。

例 4.4. 角速度ω∈R\omega\in\Rに対して

A=(0−ωω0)A=\begin{pmatrix}0&-\omega\\ \omega&0\end{pmatrix}

と置く。A2=−ω2IA^2=-\omega^2Iであるため、行列指数級数の偶数次項と奇数次項を分けると

etA=(cos⁡(ωt)−sin⁡(ωt)sin⁡(ωt)cos⁡(ωt)).e^{tA} = \begin{pmatrix} \cos(\omega t)&-\sin(\omega t)\\ \sin(\omega t)&\cos(\omega t) \end{pmatrix}.

したがってω≠0\omega\ne0ならば、x′=Ax\boldsymbol x'=A\boldsymbol xの非零解は原点を中心として回転し、∥x(t)∥2=∥x(0)∥2\lVert\boldsymbol x(t)\rVert_2=\lVert\boldsymbol x(0)\rVert_2を満たす。ω=0\omega=0ならばA=0A=0かつetA=Ie^{tA}=Iであり、すべての解は定数関数である。この場合には平面上の各点が平衡点である。

5 Jordan 標準形による計算

対角化することができない行列の指数関数の計算には、Jordan 標準形を用いる。Jordan 標準形の存在と構成については、 §E3.30 Jordan 標準形 の結果を前提とする。

定理 5.1.d,m∈N≥1d,m\in\NN、λ∈C\lambda\in\Cとし、N∈Cd×dN\in\C^{d\times d}がNm=0N^m=0を満たすとする。このとき、すべてのt∈Rt\in\Rについて

et(λI+N)=eλt∑k=0m−1tkNkk!e^{t(\lambda I+N)} =e^{\lambda t} \sum_{k=0}^{m-1}\frac{t^kN^k}{k!}

である。とくに、A∈Cd×dA\in\C^{d\times d}が可逆行列P∈Cd×dP\in\C^{d\times d}によりA=Pdiag⁡(J1,…,Jr)P−1A=P\operatorname{diag}(J_1,\ldots,J_r)P^{-1}と表され、各Ji=λiI+NiJ_i=\lambda_iI+N_iがλi∈C\lambda_i\in\Cに対するmim_i次の Jordan ブロック（NiN_iは(p,p+1)(p,p+1)成分が11、他の成分が00のmim_i次正方行列）であるならば、すべてのt∈Rt\in\Rについて

etA=Pdiag⁡(etJ1,…,etJr)P−1,etJi=eλit∑k=0mi−1tkNikk!e^{tA}=P\operatorname{diag}\bigl(e^{tJ_1},\ldots,e^{tJ_r}\bigr)P^{-1},\qquad e^{tJ_i}=e^{\lambda_it}\sum_{k=0}^{m_i-1}\frac{t^kN_i^k}{k!}

である。

証明.λtI\lambda tIとtNtNは可換であるから、命題 3.2により

et(λI+N)=eλtIetN=eλtetNe^{t(\lambda I+N)}=e^{\lambda tI}e^{tN}=e^{\lambda t}e^{tN}

である。k≥mk\ge mでは(tN)k=0(tN)^k=0であるため、etNe^{tN}の級数はm−1m-1次で打ち切られる。

NiN_iは標準基底についてe1↦0\boldsymbol e_1\mapsto\boldsymbol 0、ep↦ep−1\boldsymbol e_p\mapsto\boldsymbol e_{p-1}（2≤p≤mi2\le p\le m_i）と作用するから、Nimi=0N_i^{m_i}=0である。命題 4.1によりetA=Petdiag⁡(J1,…,Jr)P−1e^{tA}=Pe^{t\operatorname{diag}(J_1,\ldots,J_r)}P^{-1}であり、補題 3.1 (3)によりetdiag⁡(J1,…,Jr)=diag⁡(etJ1,…,etJr)e^{t\operatorname{diag}(J_1,\ldots,J_r)}=\operatorname{diag}(e^{tJ_1},\ldots,e^{tJ_r})である。各etJie^{tJ_i}には前段をm=mim=m_iとして適用する。▨

例 5.2 (二次 Jordan ブロック).λ∈C\lambda\in\Cとし、

A=(λ10λ)=λI+N,N=(0100)A=\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix} =\lambda I+N,\qquad N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}

と置く。N2=0N^2=0であるから

etA=eλt(I+tN)=eλt(1t01).e^{tA} =e^{\lambda t}(I+tN) =e^{\lambda t} \begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}.

したがってx′=Ax\boldsymbol x'=A\boldsymbol xの解の成分には、eλte^{\lambda t}だけでなくteλtte^{\lambda t}が現れる。関数teλtte^{\lambda t}は、定数係数高階方程式で重複度22以上の特性根λ\lambdaに対してeλte^{\lambda t}にttを掛けて得る基本解と同じ関数である。

6 スペクトル射影と固有値による評価

定義 6.1.d∈N≥1d\in\NN、B∈Cd×dB\in\C^{d\times d}とし、BBの相異なる固有値全体の集合をσ(B)\sigma(B)と書く。§D3.12 定理 1.3によりBBの特性多項式はC\C上で一次式の積に分解するから、§E3.26 定理 2.1によりCd=⨁β∈σ(B)Gβ(B)\C^d=\bigoplus_{\beta\in\sigma(B)}G_\beta(B)である。β∈σ(B)\beta\in\sigma(B)について、この直和分解に関するGβ(B)G_\beta(B)への射影、すなわちv=∑β′∈σ(B)vβ′\boldsymbol v=\sum_{\beta'\in\sigma(B)}\boldsymbol v_{\beta'}（vβ′∈Gβ′(B)\boldsymbol v_{\beta'}\in G_{\beta'}(B)）をvβ\boldsymbol v_\betaへ移す線形写像の行列をπβ(B)∈Cd×d\pi_\beta(B)\in\C^{d\times d}と書き、BBのβ\betaに対するスペクトル射影 (spectral projection) という。Σ⊆σ(B)\Sigma\subseteq\sigma(B)についてπΣ(B)=∑β∈Σπβ(B)\pi_\Sigma(B)=\sum_{\beta\in\Sigma}\pi_\beta(B)と書く（π∅(B)=0\pi_\varnothing(B)=0とする）。

補題 6.2.d∈N≥1d\in\NN、B∈Cd×dB\in\C^{d\times d}とする。このとき、次が成り立つ。

  1. β,β′∈σ(B)\beta,\beta'\in\sigma(B)について、β≠β′\beta\ne\beta'ならばπβ(B)πβ′(B)=0\pi_\beta(B)\pi_{\beta'}(B)=0であり、πβ(B)2=πβ(B)\pi_\beta(B)^2=\pi_\beta(B)、im⁡πβ(B)=Gβ(B)\operatorname{im}\pi_\beta(B)=G_\beta(B)、∑β∈σ(B)πβ(B)=I\sum_{\beta\in\sigma(B)}\pi_\beta(B)=Iである。さらに、すべてのz∈Cz\in\CについてBπβ(B)=πβ(B)BB\pi_\beta(B)=\pi_\beta(B)BかつezBπβ(B)=πβ(B)ezBe^{zB}\pi_\beta(B)=\pi_\beta(B)e^{zB}である。
  2. すべてのβ∈σ(B)\beta\in\sigma(B)とz∈Cz\in\Cについて ezBπβ(B)=ezβ∑k=0d−1zkk!(B−βI)kπβ(B)e^{zB}\pi_\beta(B)=e^{z\beta}\sum_{k=0}^{d-1}\frac{z^k}{k!}(B-\beta I)^k\pi_\beta(B) であり、したがって ezB=∑β∈σ(B)ezβ∑k=0d−1zkk!(B−βI)kπβ(B)e^{zB}=\sum_{\beta\in\sigma(B)}e^{z\beta}\sum_{k=0}^{d-1}\frac{z^k}{k!}(B-\beta I)^k\pi_\beta(B) である。
  3. β∈σ(B)\beta\in\sigma(B)とし、v\boldsymbol vをβ\betaに対するBBの固有ベクトルとする。このとき、すべてのz∈Cz\in\CについてezBv=ezβve^{zB}\boldsymbol v=e^{z\beta}\boldsymbol vであり、Cd\C^dの任意のノルム∥⋅∥\lVert\cdot\rVertとすべてのt∈Rt\in\Rについて∥etBv∥=etℜβ∥v∥\lVert e^{tB}\boldsymbol v\rVert=e^{t\Re\beta}\lVert\boldsymbol v\rVertである。
  4. B∈Rd×dB\in\R^{d\times d}とし、κ ⁣:Cd→Cd\kappa\colon\C^d\to\C^dを成分ごとの複素共役とする。このとき、β∈σ(B)\beta\in\sigma(B)ならばβ‾∈σ(B)\overline\beta\in\sigma(B)であり、πβ‾(B)κ=κπβ(B)\pi_{\overline\beta}(B)\kappa=\kappa\pi_\beta(B)である。さらに、Σ⊆σ(B)\Sigma\subseteq\sigma(B)について、πΣ(B)∈Rd×d\pi_\Sigma(B)\in\R^{d\times d}であることと{β‾:β∈Σ}=Σ\{\overline\beta:\beta\in\Sigma\}=\Sigmaであることは同値である。

証明.主張 (1)を示す。射影の積・冪等性・像・和の式は、直和分解Cd=⨁β∈σ(B)Gβ(B)\C^d=\bigoplus_{\beta\in\sigma(B)}G_\beta(B)に関する射影の定義から従う。§E3.26 命題 1.3により各Gβ′(B)G_{\beta'}(B)はBB不変であるから、v=∑β′vβ′\boldsymbol v=\sum_{\beta'}\boldsymbol v_{\beta'}についてBv=∑β′Bvβ′B\boldsymbol v=\sum_{\beta'}B\boldsymbol v_{\beta'}はBvB\boldsymbol vの直和分解であり、πβ(B)Bv=Bvβ=Bπβ(B)v\pi_\beta(B)B\boldsymbol v=B\boldsymbol v_\beta=B\pi_\beta(B)\boldsymbol vである。補題 3.1 (2)によりezBπβ(B)=πβ(B)ezBe^{zB}\pi_\beta(B)=\pi_\beta(B)e^{zB}である。

主張 (2)を示す。β∈σ(B)\beta\in\sigma(B)とし、m=dim⁡Gβ(B)≥1m=\dim G_\beta(B)\ge1として、Gβ(B)G_\beta(B)の基底を列に並べた行列をS∈Cd×mS\in\C^{d\times m}とする。§E3.26 命題 1.3によりGβ(B)G_\beta(B)はBB不変であるから、BS=SRBS=SRを満たすR∈Cm×mR\in\C^{m\times m}がある。N=R−βIN=R-\beta Iとおくと、すべてのk≥0k\ge0で(B−βI)kS=SNk(B-\beta I)^kS=SN^kである。Gβ(B)=ker⁡(B−βI)dG_\beta(B)=\ker(B-\beta I)^dであるからSNd=(B−βI)dS=0SN^d=(B-\beta I)^dS=0であり、SSの列は一次独立であるからNd=0N^d=0である。z∈Cz\in\Cとする。補題 3.1 (1)によりezBS=SezRe^{zB}S=Se^{zR}である。zR=zβI+zNzR=z\beta I+zNかつ(zN)d=0(zN)^d=0であるから、定理 5.1の前半をλ=zβ\lambda=z\beta、冪零行列zNzN、t=1t=1として適用すると

ezBS=ezβ∑k=0d−1zkk!SNk=ezβ∑k=0d−1zkk!(B−βI)kSe^{zB}S=e^{z\beta}\sum_{k=0}^{d-1}\frac{z^k}{k!}SN^k=e^{z\beta}\sum_{k=0}^{d-1}\frac{z^k}{k!}(B-\beta I)^kS

である。v∈Cd\boldsymbol v\in\C^dについてπβ(B)v∈Gβ(B)\pi_\beta(B)\boldsymbol v\in G_\beta(B)はSSの列の一次結合であるから、第一の式を得る。主張 (1)の∑βπβ(B)=I\sum_\beta\pi_\beta(B)=Iを右から掛けると第二の式を得る。

主張 (3)を示す。Bkv=βkvB^k\boldsymbol v=\beta^k\boldsymbol vを級数に代入するとezBv=ezβve^{zB}\boldsymbol v=e^{z\beta}\boldsymbol vであり、t∈Rt\in\Rについて∣etβ∣=etℜβ\lvert e^{t\beta}\rvert=e^{t\Re\beta}である。

主張 (4)を示す。BBは実行列であるから、β∈C\beta\in\Cについてκ(B−βI)d=(B−β‾I)dκ\kappa(B-\beta I)^d=(B-\overline\beta I)^d\kappaであり、κGβ(B)=Gβ‾(B)\kappa G_\beta(B)=G_{\overline\beta}(B)である。特にβ∈σ(B)\beta\in\sigma(B)ならばGβ‾(B)≠{0}G_{\overline\beta}(B)\ne\{\boldsymbol 0\}であり、β‾∈σ(B)\overline\beta\in\sigma(B)である。v∈Cd\boldsymbol v\in\C^dについてv=∑β∈σ(B)πβ(B)v\boldsymbol v=\sum_{\beta\in\sigma(B)}\pi_\beta(B)\boldsymbol vの共役κv=∑βκπβ(B)v\kappa\boldsymbol v=\sum_\beta\kappa\pi_\beta(B)\boldsymbol vはκv\kappa\boldsymbol vの直和分解であるから、πβ‾(B)κv=κπβ(B)v\pi_{\overline\beta}(B)\kappa\boldsymbol v=\kappa\pi_\beta(B)\boldsymbol vである。X∈Cd×dX\in\C^{d\times d}について、XXが実行列であることとXκ=κXX\kappa=\kappa Xであることは同値である（標準基底ei\boldsymbol e_iについてXei=XκeiX\boldsymbol e_i=X\kappa\boldsymbol e_iとκXei\kappa X\boldsymbol e_iを比べる）。Σ‾={β‾:β∈Σ}\overline\Sigma=\{\overline\beta:\beta\in\Sigma\}とおくと、κπΣ(B)=πΣ‾(B)κ\kappa\pi_\Sigma(B)=\pi_{\overline\Sigma}(B)\kappaである。Σ‾=Σ\overline\Sigma=\SigmaならばπΣ(B)κ=κπΣ(B)\pi_\Sigma(B)\kappa=\kappa\pi_\Sigma(B)であり、πΣ(B)\pi_\Sigma(B)は実行列である。逆にπΣ(B)\pi_\Sigma(B)が実行列ならばπΣ‾(B)κ=κπΣ(B)=πΣ(B)κ\pi_{\overline\Sigma}(B)\kappa=\kappa\pi_\Sigma(B)=\pi_\Sigma(B)\kappaであり、κ\kappaは全単射であるからπΣ‾(B)=πΣ(B)\pi_{\overline\Sigma}(B)=\pi_\Sigma(B)である。β∈Σ\beta\in\Sigmaについてβ‾∉Σ\overline\beta\notin\Sigmaであるとすると、主張 (1)によりπβ‾(B)πΣ(B)=0\pi_{\overline\beta}(B)\pi_\Sigma(B)=0である一方、β‾∈Σ‾\overline\beta\in\overline\Sigmaであるからπβ‾(B)πΣ‾(B)=πβ‾(B)\pi_{\overline\beta}(B)\pi_{\overline\Sigma}(B)=\pi_{\overline\beta}(B)であり、その像はGβ‾(B)≠{0}G_{\overline\beta}(B)\ne\{\boldsymbol 0\}である。これはπΣ‾(B)=πΣ(B)\pi_{\overline\Sigma}(B)=\pi_\Sigma(B)に反するから、Σ‾⊆Σ\overline\Sigma\subseteq\Sigmaである。両辺の元の個数は等しいからΣ‾=Σ\overline\Sigma=\Sigmaである。▨

補題 6.3.d∈N≥1d\in\NN、B∈Cd×dB\in\C^{d\times d}、ρ∈C∖{0}\rho\in\C\setminus\{0\}とし、Eρ={β∈σ(B):eβ=ρ}E_\rho=\{\beta\in\sigma(B):e^\beta=\rho\}とおく。Eρ=∅E_\rho=\varnothingのとき、EρE_\rhoを添字とする直和は{0}\{\boldsymbol 0\}とする。このとき、次が成り立つ。

  1. Gρ(eB)=⨁β∈EρGβ(B)G_\rho(e^B)=\bigoplus_{\beta\in E_\rho}G_\beta(B)である。
  2. ker⁡(eB−ρI)=⨁β∈Eρker⁡(B−βI)\ker(e^B-\rho I)=\bigoplus_{\beta\in E_\rho}\ker(B-\beta I)である。
  3. BBの固有値を重複度込みでβ1,…,βd\beta_1,\ldots,\beta_dとすると、eBe^Bの固有値は重複度込みでeβ1,…,eβde^{\beta_1},\ldots,e^{\beta_d}である。
  4. Gρ(eB)=ker⁡(eB−ρI)G_\rho(e^B)=\ker(e^B-\rho I)であることと、すべてのβ∈Eρ\beta\in E_\rhoについてGβ(B)=ker⁡(B−βI)G_\beta(B)=\ker(B-\beta I)であることは同値である。

証明.β∈σ(B)\beta\in\sigma(B)についてNβ=B−βIN_\beta=B-\beta I、Uβ=∑k=0d−1Nβk/(k+1)!U_\beta=\sum_{k=0}^{d-1}N_\beta^k/(k+1)!とおく。NβN_\betaとUβU_\betaはBBの多項式であるから互いに可換であり、§E3.26 命題 1.3によりGβ(B)G_\beta(B)を保ち、NβN_\betaのGβ(B)G_\beta(B)への制限は冪零である。Uβ−I=Nβ∑k=1d−1Nβk−1/(k+1)!U_\beta-I=N_\beta\sum_{k=1}^{d-1}N_\beta^{k-1}/(k+1)!のGβ(B)G_\beta(B)への制限は、冪零なNβN_\betaとそれと可換な行列の積の制限であるから冪零であり、UβU_\betaのGβ(B)G_\beta(B)への制限は逆∑k=0d−1(I−Uβ)k\sum_{k=0}^{d-1}(I-U_\beta)^kをもつ。w∈Gβ(B)\boldsymbol w\in G_\beta(B)とするとNβdw=0N_\beta^d\boldsymbol w=\boldsymbol 0であるから、補題 6.2 (2)をz=1z=1として用いると

(eB−eβI)w=eβ∑k=1d−1Nβkwk!=eβNβUβw(e^B-e^\beta I)\boldsymbol w=e^\beta\sum_{k=1}^{d-1}\frac{N_\beta^k\boldsymbol w}{k!}=e^\beta N_\beta U_\beta\boldsymbol w(6.3.1)\text{(6.3.1)}

である。NβN_\betaとUβU_\betaは可換であるから(eB−eβI)dw=edβUβdNβdw=0(e^B-e^\beta I)^d\boldsymbol w=e^{d\beta}U_\beta^dN_\beta^d\boldsymbol w=\boldsymbol 0であり、Gβ(B)⊆Geβ(eB)G_\beta(B)\subseteq G_{e^\beta}(e^B)である。

主張 (1)を示す。μ∈C∖{0}\mu\in\C\setminus\{0\}についてWμ=⨁β∈EμGβ(B)W_\mu=\bigoplus_{\beta\in E_\mu}G_\beta(B)とおくと、前段によりWμ⊆Gμ(eB)W_\mu\subseteq G_\mu(e^B)である。定理 2.1によりeBe^Bは可逆であるから、σ(eB)⊆C∖{0}\sigma(e^B)\subseteq\C\setminus\{0\}である。F={eβ:β∈σ(B)}∪σ(eB)F=\{e^\beta:\beta\in\sigma(B)\}\cup\sigma(e^B)とおく。各β∈σ(B)\beta\in\sigma(B)はちょうど一つのEμE_\mu（μ=eβ\mu=e^\beta）に属するから、Cd=⨁μ∈FWμ\C^d=\bigoplus_{\mu\in F}W_\muである。一方、§E3.26 定理 2.1をeBe^Bに適用するとCd=⨁μ∈σ(eB)Gμ(eB)\C^d=\bigoplus_{\mu\in\sigma(e^B)}G_\mu(e^B)であり、μ∈F∖σ(eB)\mu\in F\setminus\sigma(e^B)ではeB−μIe^B-\mu Iが可逆であるからGμ(eB)={0}G_\mu(e^B)=\{\boldsymbol 0\}である。したがって∑μ∈Fdim⁡Wμ=d=∑μ∈Fdim⁡Gμ(eB)\sum_{\mu\in F}\dim W_\mu=d=\sum_{\mu\in F}\dim G_\mu(e^B)であり、dim⁡Wμ≤dim⁡Gμ(eB)\dim W_\mu\le\dim G_\mu(e^B)と合わせて、すべてのμ∈F\mu\in FでWμ=Gμ(eB)W_\mu=G_\mu(e^B)である。ρ∉F\rho\notin FならばEρ=∅E_\rho=\varnothingであり、eB−ρIe^B-\rho Iは可逆であるから、両辺は{0}\{\boldsymbol 0\}である。

主張 (3)を示す。§E3.26 定理 2.1により、eBe^Bの固有値μ\muの重複度はdim⁡Gμ(eB)=∑β∈Eμdim⁡Gβ(B)\dim G_\mu(e^B)=\sum_{\beta\in E_\mu}\dim G_\beta(B)であり、右辺はβ1,…,βd\beta_1,\ldots,\beta_dのうちeβi=μe^{\beta_i}=\muを満たすものの個数である。

主張 (2)を示す。v∈ker⁡(eB−ρI)\boldsymbol v\in\ker(e^B-\rho I)とする。v∈Gρ(eB)\boldsymbol v\in G_\rho(e^B)であるから、主張 (1)によりv=∑β∈Eρvβ\boldsymbol v=\sum_{\beta\in E_\rho}\boldsymbol v_\beta（vβ∈Gβ(B)\boldsymbol v_\beta\in G_\beta(B)）と書かれ、vβ=πβ(B)v\boldsymbol v_\beta=\pi_\beta(B)\boldsymbol vである。補題 6.2 (1)により(eB−ρI)vβ=πβ(B)(eB−ρI)v=0(e^B-\rho I)\boldsymbol v_\beta=\pi_\beta(B)(e^B-\rho I)\boldsymbol v=\boldsymbol 0である。β∈Eρ\beta\in E_\rhoではeβ=ρe^\beta=\rhoであるから、式 (6.3.1)によりρUβNβvβ=0\rho U_\beta N_\beta\boldsymbol v_\beta=\boldsymbol 0である。ρ≠0\rho\ne0であり、Nβvβ∈Gβ(B)N_\beta\boldsymbol v_\beta\in G_\beta(B)でUβU_\betaのGβ(B)G_\beta(B)への制限は単射であるから、Nβvβ=0N_\beta\boldsymbol v_\beta=\boldsymbol 0である。逆に、w∈ker⁡(B−βI)\boldsymbol w\in\ker(B-\beta I)（β∈Eρ\beta\in E_\rho）ならばw∈Gβ(B)\boldsymbol w\in G_\beta(B)であり、式 (6.3.1)により(eB−ρI)w=ρUβNβw=0(e^B-\rho I)\boldsymbol w=\rho U_\beta N_\beta\boldsymbol w=\boldsymbol 0である。

主張 (4)を示す。主張 (1)と主張 (2)により、Gρ(eB)=ker⁡(eB−ρI)G_\rho(e^B)=\ker(e^B-\rho I)は⨁β∈EρGβ(B)=⨁β∈Eρker⁡(B−βI)\bigoplus_{\beta\in E_\rho}G_\beta(B)=\bigoplus_{\beta\in E_\rho}\ker(B-\beta I)と同値である。各β\betaでker⁡(B−βI)⊆Gβ(B)\ker(B-\beta I)\subseteq G_\beta(B)であるから、次元を比べると、この等式はすべてのβ∈Eρ\beta\in E_\rhoでGβ(B)=ker⁡(B−βI)G_\beta(B)=\ker(B-\beta I)となることと同値である。▨

補題 6.4.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}、d∈N≥1d\in\NNとし、B∈Kd×dB\in\mathbb K^{d\times d}、∥⋅∥\lVert\cdot\rVertをKd×d\mathbb K^{d\times d}上のノルムとする。BBをCd×d\C^{d\times d}の元とみなしてσ(B)\sigma(B)とπβ(B)\pi_\beta(B)を考える。このとき、次が成り立つ。

  1. Σ⊆σ(B)\Sigma\subseteq\sigma(B)を空でない集合とし、πΣ(B)∈Kd×d\pi_\Sigma(B)\in\mathbb K^{d\times d}とする（K=R\mathbb K=\Rのとき、この条件はΣ\Sigmaが複素共役で閉じていることと同値である。補題 6.2 (4)）。αΣ=max⁡β∈Σℜβ\alpha_\Sigma=\max_{\beta\in\Sigma}\Re\betaとおく。このとき、任意のγ>αΣ\gamma>\alpha_\Sigmaについて、あるC≥1C\ge1が存在して、すべてのt≥0t\ge0で∥etBπΣ(B)∥≤Ceγt\lVert e^{tB}\pi_\Sigma(B)\rVert\le Ce^{\gamma t}が成り立つ。特にα=max⁡β∈σ(B)ℜβ\alpha=\max_{\beta\in\sigma(B)}\Re\betaとおくと、任意のγ>α\gamma>\alphaについて、あるC≥1C\ge1が存在して、すべてのt≥0t\ge0で∥etB∥≤Ceγt\lVert e^{tB}\rVert\le Ce^{\gamma t}が成り立つ。
  2. sup⁡t≥0∥etB∥<∞\sup_{t\ge0}\lVert e^{tB}\rVert<\inftyであることと、すべてのβ∈σ(B)\beta\in\sigma(B)がℜβ≤0\Re\beta\le0を満たし、ℜβ=0\Re\beta=0を満たすすべてのβ∈σ(B)\beta\in\sigma(B)についてGβ(B)=ker⁡(B−βI)G_\beta(B)=\ker(B-\beta I)であることは同値である。

証明.X∈Cd×dX\in\C^{d\times d}の成分の絶対値の最大値を∣X∣∞\lvert X\rvert_\inftyと書く。∣⋅∣∞\lvert\cdot\rvert_\inftyのKd×d\mathbb K^{d\times d}への制限はKd×d\mathbb K^{d\times d}上のノルムであるから、§E10.1 命題 2.2により、あるc,c′>0c,c'>0が存在して、すべてのX∈Kd×dX\in\mathbb K^{d\times d}についてc∣X∣∞≤∥X∥≤c′∣X∣∞c\lvert X\rvert_\infty\le\lVert X\rVert\le c'\lvert X\rvert_\inftyが成り立つ。K=R\mathbb K=\Rならば定義 1.2によりetBe^{tB}は実行列である。β∈σ(B)\beta\in\sigma(B)と0≤k≤d−10\le k\le d-1についてCβ,k=(B−βI)kπβ(B)C_{\beta,k}=(B-\beta I)^k\pi_\beta(B)とおく。補題 6.2 (1)によりπβ(B)πΣ(B)\pi_\beta(B)\pi_\Sigma(B)はβ∈Σ\beta\in\Sigmaならばπβ(B)\pi_\beta(B)、β∉Σ\beta\notin\Sigmaならば00であるから、補題 6.2 (2)により、すべてのt∈Rt\in\Rで

etBπΣ(B)=∑β∈Σetβ∑k=0d−1tkk!Cβ,ke^{tB}\pi_\Sigma(B)=\sum_{\beta\in\Sigma}e^{t\beta}\sum_{k=0}^{d-1}\frac{t^k}{k!}C_{\beta,k}(6.4.1)\text{(6.4.1)}

である。

主張 (1)を示す。γ>αΣ\gamma>\alpha_\Sigmaとする。各β∈Σ\beta\in\Sigmaとkkについて、t↦tket(ℜβ−γ)t\mapsto t^ke^{t(\Re\beta-\gamma)}は[0,∞)[0,\infty)上で連続であり、t→∞t\to\inftyのとき00に収束するから有界である。式 (6.4.1)により∣etBπΣ(B)∣∞≤∑β∈Σ∑k=0d−1tketℜβ∣Cβ,k∣∞/k!\lvert e^{tB}\pi_\Sigma(B)\rvert_\infty\le\sum_{\beta\in\Sigma}\sum_{k=0}^{d-1}t^ke^{t\Re\beta}\lvert C_{\beta,k}\rvert_\infty/k!であるから、e−γt∣etBπΣ(B)∣∞e^{-\gamma t}\lvert e^{tB}\pi_\Sigma(B)\rvert_\inftyは[0,∞)[0,\infty)上で有界である。etBπΣ(B)∈Kd×de^{tB}\pi_\Sigma(B)\in\mathbb K^{d\times d}であるから、e−γt∥etBπΣ(B)∥≤c′e−γt∣etBπΣ(B)∣∞e^{-\gamma t}\lVert e^{tB}\pi_\Sigma(B)\rVert\le c'e^{-\gamma t}\lvert e^{tB}\pi_\Sigma(B)\rvert_\inftyも有界であり、その上限と11の大きい方をCCとすればよい。補題 6.2 (1)によりπσ(B)(B)=I∈Kd×d\pi_{\sigma(B)}(B)=I\in\mathbb K^{d\times d}であるから、Σ=σ(B)\Sigma=\sigma(B)として後半を得る。

主張 (2)を示す。固有値についての条件を仮定し、式 (6.4.1)をΣ=σ(B)\Sigma=\sigma(B)として用いる。ℜβ<0\Re\beta<0のβ\betaではtketℜβt^ke^{t\Re\beta}は[0,∞)[0,\infty)上で有界である。ℜβ=0\Re\beta=0のβ\betaではim⁡πβ(B)=Gβ(B)=ker⁡(B−βI)\operatorname{im}\pi_\beta(B)=G_\beta(B)=\ker(B-\beta I)であるからk≥1k\ge1でCβ,k=0C_{\beta,k}=0であり、∣etβ∣=1\lvert e^{t\beta}\rvert=1である。したがって∣etB∣∞\lvert e^{tB}\rvert_\inftyは[0,∞)[0,\infty)上で有界であり、∥etB∥≤c′∣etB∣∞\lVert e^{tB}\rVert\le c'\lvert e^{tB}\rvert_\inftyも有界である。

逆にsup⁡t≥0∥etB∥<∞\sup_{t\ge0}\lVert e^{tB}\rVert<\inftyとすると、∣etB∣∞≤c−1∥etB∥\lvert e^{tB}\rvert_\infty\le c^{-1}\lVert e^{tB}\rVertによりM=sup⁡t≥0∣etB∣∞<∞M=\sup_{t\ge0}\lvert e^{tB}\rvert_\infty<\inftyであり、すべてのu∈Cd\boldsymbol u\in\C^dとt≥0t\ge0についてetBue^{tB}\boldsymbol uの各成分の絶対値はdMmax⁡q∣uq∣dM\max_q\lvert u_q\rvert以下である。ℜβ>0\Re\beta>0を満たすβ∈σ(B)\beta\in\sigma(B)があるとし、v\boldsymbol vをその固有ベクトル、vp≠0v_p\ne0をその成分とする。補題 6.2 (3)によりetBve^{tB}\boldsymbol vの第pp成分の絶対値はetℜβ∣vp∣e^{t\Re\beta}\lvert v_p\rvertであり、これはt→∞t\to\inftyで発散するから、dMmax⁡q∣vq∣dM\max_q\lvert v_q\rvert以下であることに反する。ℜβ=0\Re\beta=0を満たすβ∈σ(B)\beta\in\sigma(B)についてGβ(B)≠ker⁡(B−βI)G_\beta(B)\ne\ker(B-\beta I)であるとすると、(B−βI)w≠0(B-\beta I)\boldsymbol w\ne\boldsymbol 0を満たすw∈Gβ(B)\boldsymbol w\in G_\beta(B)がある。(B−βI)k0w≠0(B-\beta I)^{k_0}\boldsymbol w\ne\boldsymbol 0を満たす最大のk0≥1k_0\ge1を取り、v=(B−βI)k0−1w\boldsymbol v=(B-\beta I)^{k_0-1}\boldsymbol w、u=(B−βI)v\boldsymbol u=(B-\beta I)\boldsymbol vとおくと、v∈Gβ(B)\boldsymbol v\in G_\beta(B)、u≠0\boldsymbol u\ne\boldsymbol 0、(B−βI)u=0(B-\beta I)\boldsymbol u=\boldsymbol 0である。補題 6.2 (2)の第一の式をv=πβ(B)v\boldsymbol v=\pi_\beta(B)\boldsymbol vに適用するとetBv=etβ(v+tu)e^{tB}\boldsymbol v=e^{t\beta}(\boldsymbol v+t\boldsymbol u)であり、ℜβ=0\Re\beta=0であるから∣etβ∣=1\lvert e^{t\beta}\rvert=1である。up≠0u_p\ne0となる成分を取ると、etBve^{tB}\boldsymbol vの第pp成分の絶対値はt∣up∣−∣vp∣t\lvert u_p\rvert-\lvert v_p\rvert以上であり、t→∞t\to\inftyで発散するから、dMmax⁡q∣vq∣dM\max_q\lvert v_q\rvert以下であることに反する。▨

例 6.5.B=(0100)∈R2×2B=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\in\R^{2\times2}とすると、σ(B)={0}\sigma(B)=\{0\}であり、補題 6.4 (1)のα\alphaは00である。例 5.2をλ=0\lambda=0として用いるとetB=(1t01)e^{tB}=\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}であり、(1,2)(1,2)成分ttは[0,∞)[0,\infty)上で有界でない。§E10.1 命題 2.2により、R2×2\R^{2\times2}の任意のノルムについてsup⁡t≥0∥etB∥=∞\sup_{t\ge0}\lVert e^{tB}\rVert=\inftyであり、すべてのt≥0t\ge0で∥etB∥≤Ceαt\lVert e^{tB}\rVert\le Ce^{\alpha t}となるCCは存在しない。したがって、補題 6.4 (1)のγ>α\gamma>\alphaをγ=α\gamma=\alphaに替えることはできない。この行列ではG0(B)=C2G_0(B)=\C^2であり、ker⁡B=Ce1\ker B=\C\boldsymbol e_1と異なるから、補題 6.4 (2)の条件も成り立たない。一方、ω≠0\omega\ne0に対する例 4.4の行列は固有値±iω\pm i\omegaをもち、α=0\alpha=0であるが、etAe^{tA}は回転行列であり[0,∞)[0,\infty)上で有界である。

系 6.6.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}、d∈N≥1d\in\NN、B∈Kd×dB\in\mathbb K^{d\times d}とし、BBをCd×d\C^{d\times d}の元とみなして、σ(B)\sigma(B)のすべての元の実部が負であるとする。∥⋅∥\lVert\cdot\rVertをKd×d\mathbb K^{d\times d}上のノルムとし、α=max⁡β∈σ(B)ℜβ\alpha=\max_{\beta\in\sigma(B)}\Re\betaとおく。このとき、0<γ<−α0<\gamma<-\alphaを満たす任意のγ\gammaについて、あるM≥1M\ge1が存在して、すべてのt≥0t\ge0で

∥etB∥≤Me−γt\lVert e^{tB}\rVert\le Me^{-\gamma t}

が成り立つ。特に、あるM≥1M\ge1とγ>0\gamma>0が存在して、この評価が成り立つ。

証明.α<0\alpha<0であり、0<γ<−α0<\gamma<-\alphaならば−γ>α-\gamma>\alphaである。補題 6.4 (1)の後半を指数−γ-\gammaに適用すると、あるM≥1M\ge1が存在して、すべてのt≥0t\ge0で∥etB∥≤Me−γt\lVert e^{tB}\rVert\le Me^{-\gamma t}である。γ=−α/2\gamma=-\alpha/2とすると後半を得る。▨

補題 6.7.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}、d∈N≥1d\in\NNとし、A∈Kd×dA\in\mathbb K^{d\times d}は実部が00の固有値をもたないとする。∥⋅∥\lVert\cdot\rVertをKd×d\mathbb K^{d\times d}上のノルムとする。AAをCd×d\C^{d\times d}の元とみなし、Σs={β∈σ(A):ℜβ<0}\Sigma_s=\{\beta\in\sigma(A):\Re\beta<0\}、Σu={β∈σ(A):ℜβ>0}\Sigma_u=\{\beta\in\sigma(A):\Re\beta>0\}、Ps=πΣs(A)P_s=\pi_{\Sigma_s}(A)、Pu=πΣu(A)P_u=\pi_{\Sigma_u}(A)、Es={Psx:x∈Kd}E^s=\{P_s\boldsymbol x:\boldsymbol x\in\mathbb K^d\}、Eu={Pux:x∈Kd}E^u=\{P_u\boldsymbol x:\boldsymbol x\in\mathbb K^d\}とおく。このとき、次が成り立つ。

  1. Ps,Pu∈Kd×dP_s,P_u\in\mathbb K^{d\times d}であり、Es,Eu⊆KdE^s,E^u\subseteq\mathbb K^dである。
  2. Ps+Pu=IP_s+P_u=I、Ps2=PsP_s^2=P_s、Pu2=PuP_u^2=P_u、PsPu=PuPs=0P_sP_u=P_uP_s=0、PsA=APsP_sA=AP_s、PuA=APuP_uA=AP_u、im⁡Ps=Es\operatorname{im}P_s=E^s、im⁡Pu=Eu\operatorname{im}P_u=E^uである。
  3. Kd=Es⊕Eu\mathbb K^d=E^s\oplus E^uであり、EsE^sとEuE^uはAAで不変である。A∣EsA|_{E^s}の固有値（K=R\mathbb K=\Rのときは特性多項式の複素根）の実部はすべて負であり、A∣EuA|_{E^u}の固有値の実部はすべて正である。Es≠{0}E^s\ne\{\boldsymbol 0\}であることはΣs≠∅\Sigma_s\ne\varnothingであることと同値であり、Eu≠{0}E^u\ne\{\boldsymbol 0\}であることはΣu≠∅\Sigma_u\ne\varnothingであることと同値である。
  4. すべてのt∈Rt\in\RについてPsetA=etAPsP_se^{tA}=e^{tA}P_s、PuetA=etAPuP_ue^{tA}=e^{tA}P_u、etAEs=Ese^{tA}E^s=E^s、etAEu=Eue^{tA}E^u=E^uである。v∈Es\boldsymbol v\in E^sならばPsv=vP_s\boldsymbol v=\boldsymbol v、Puv=0P_u\boldsymbol v=\boldsymbol 0であり、v∈Eu\boldsymbol v\in E^uならばPuv=vP_u\boldsymbol v=\boldsymbol v、Psv=0P_s\boldsymbol v=\boldsymbol 0である。
  5. 0<α<min⁡β∈σ(A)∣ℜβ∣0<\alpha<\min_{\beta\in\sigma(A)}\lvert\Re\beta\rvertを満たす任意のα\alphaについて、あるK≥1K\ge1が存在して、∥etAPs∥≤Ke−αt\lVert e^{tA}P_s\rVert\le Ke^{-\alpha t}（t≥0t\ge0）、∥etAPu∥≤Keαt\lVert e^{tA}P_u\rVert\le Ke^{\alpha t}（t≤0t\le0）が成り立つ。特に、あるK≥1K\ge1とα>0\alpha>0が存在して、これらの評価が成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。K=C\mathbb K=\Cならば主張は定義から従う。K=R\mathbb K=\Rならば、ℜβ‾=ℜβ\Re\overline\beta=\Re\betaであるからΣs\Sigma_sとΣu\Sigma_uは複素共役で閉じており、補題 6.2 (4)によりPs,Pu∈Rd×dP_s,P_u\in\R^{d\times d}である。したがってEs,Eu⊆RdE^s,E^u\subseteq\R^dである。

主張 (2)を示す。AAは実部が00の固有値をもたないから、σ(A)\sigma(A)はΣs\Sigma_sとΣu\Sigma_uの非交和である。補題 6.2 (1)によりPs+Pu=∑β∈σ(A)πβ(A)=IP_s+P_u=\sum_{\beta\in\sigma(A)}\pi_\beta(A)=Iであり、πβ(A)πβ′(A)=0\pi_\beta(A)\pi_{\beta'}(A)=0（β≠β′\beta\ne\beta'）と冪等性からPs2=PsP_s^2=P_s、Pu2=PuP_u^2=P_u、PsPu=PuPs=0P_sP_u=P_uP_s=0である。AAと各πβ(A)\pi_\beta(A)は可換であるから、PsA=APsP_sA=AP_s、PuA=APuP_uA=AP_uである。像の式はEsE^s、EuE^uの定義である。

主張 (4)を示す。補題 6.2 (1)によりetAe^{tA}と各πβ(A)\pi_\beta(A)は可換であるから、PsetA=etAPsP_se^{tA}=e^{tA}P_s、PuetA=etAPuP_ue^{tA}=e^{tA}P_uである。K=R\mathbb K=\RならばetAe^{tA}は実行列である。v=Psx∈Es\boldsymbol v=P_s\boldsymbol x\in E^s（x∈Kd\boldsymbol x\in\mathbb K^d）についてetAv=PsetAx∈Ese^{tA}\boldsymbol v=P_se^{tA}\boldsymbol x\in E^sであり、e−tAe^{-tA}にも同じことが成り立つから、etAEs=Ese^{tA}E^s=E^sである。またPsv=Ps2x=vP_s\boldsymbol v=P_s^2\boldsymbol x=\boldsymbol v、Puv=PuPsx=0P_u\boldsymbol v=P_uP_s\boldsymbol x=\boldsymbol 0である。EuE^uについても同じである。

主張 (3)を示す。x=Psx+Pux\boldsymbol x=P_s\boldsymbol x+P_u\boldsymbol xによりKd=Es+Eu\mathbb K^d=E^s+E^uであり、v∈Es∩Eu\boldsymbol v\in E^s\cap E^uならば主張 (4)によりv=Psv=0\boldsymbol v=P_s\boldsymbol v=\boldsymbol 0である。x∈Kd\boldsymbol x\in\mathbb K^dについてAPsx=PsAx∈EsAP_s\boldsymbol x=P_sA\boldsymbol x\in E^sであるから、EsE^sはAAで不変であり、EuE^uも同じである。Fs=PsCdF^s=P_s\C^dとおくと、補題 6.2 (1)によりFs=⨁β∈ΣsGβ(A)F^s=\bigoplus_{\beta\in\Sigma_s}G_\beta(A)である。K=R\mathbb K=\Rのとき、EsE^sの実基底b1,…,bm\boldsymbol b_1,\ldots,\boldsymbol b_mはFs=Es+iEsF^s=E^s+iE^sをC\C上で張り、∑jcjbj=0\sum_jc_j\boldsymbol b_j=\boldsymbol 0（cj∈Cc_j\in\C）の実部と虚部を比べるとcj=0c_j=0であるから、FsF^sのC\C上の基底である。この基底に関するA∣EsA|_{E^s}とA∣FsA|_{F^s}の表現行列は一致するから、A∣EsA|_{E^s}の特性多項式の複素根はA∣FsA|_{F^s}の固有値である。K=C\mathbb K=\CではFs=EsF^s=E^sである。λ\lambdaをA∣FsA|_{F^s}の固有値、v=∑β∈Σsvβ\boldsymbol v=\sum_{\beta\in\Sigma_s}\boldsymbol v_\beta（vβ∈Gβ(A)\boldsymbol v_\beta\in G_\beta(A)）を固有ベクトルとすると、各Gβ(A)G_\beta(A)はAA不変であるから、すべてのβ\betaでAvβ=λvβA\boldsymbol v_\beta=\lambda\boldsymbol v_\betaである。vβ≠0\boldsymbol v_\beta\ne\boldsymbol 0となるβ\betaを取ると、0=(A−βI)dvβ=(λ−β)dvβ\boldsymbol 0=(A-\beta I)^d\boldsymbol v_\beta=(\lambda-\beta)^d\boldsymbol v_\betaであるからλ=β\lambda=\betaであり、ℜλ<0\Re\lambda<0である。A∣EuA|_{E^u}についても同じである。dim⁡KEs=dim⁡CFs=∑β∈Σsdim⁡Gβ(A)\dim_{\mathbb K}E^s=\dim_\C F^s=\sum_{\beta\in\Sigma_s}\dim G_\beta(A)であり、β∈σ(A)\beta\in\sigma(A)ならばGβ(A)≠{0}G_\beta(A)\ne\{\boldsymbol 0\}であるから、Es≠{0}E^s\ne\{\boldsymbol 0\}とΣs≠∅\Sigma_s\ne\varnothingは同値である。EuE^uについても同じである。

主張 (5)を示す。0<α<min⁡β∈σ(A)∣ℜβ∣0<\alpha<\min_{\beta\in\sigma(A)}\lvert\Re\beta\rvertとする。Σs=∅\Sigma_s=\varnothingならばPs=0P_s=0であり、評価はK=1K=1で成り立つ。Σs≠∅\Sigma_s\ne\varnothingならばmax⁡β∈Σsℜβ<−α\max_{\beta\in\Sigma_s}\Re\beta<-\alphaであり、主張 (1)によりPs,Pu∈Kd×dP_s,P_u\in\mathbb K^{d\times d}であるから、補題 6.4 (1)をΣ=Σs\Sigma=\Sigma_s、γ=−α\gamma=-\alphaとして適用すると、あるKs≥1K_s\ge1について∥etAPs∥≤Kse−αt\lVert e^{tA}P_s\rVert\le K_se^{-\alpha t}（t≥0t\ge0）である。β∈C\beta\in\Cについて(−A+βI)d=(−1)d(A−βI)d(-A+\beta I)^d=(-1)^d(A-\beta I)^dであるからG−β(−A)=Gβ(A)G_{-\beta}(-A)=G_\beta(A)であり、σ(−A)={−β:β∈σ(A)}\sigma(-A)=\{-\beta:\beta\in\sigma(A)\}、π−β(−A)=πβ(A)\pi_{-\beta}(-A)=\pi_\beta(A)である。したがってPu=πΣ′(−A)P_u=\pi_{\Sigma'}(-A)、Σ′={−β:β∈Σu}\Sigma'=\{-\beta:\beta\in\Sigma_u\}であり、Σ′≠∅\Sigma'\ne\varnothingならばmax⁡β′∈Σ′ℜβ′<−α\max_{\beta'\in\Sigma'}\Re\beta'<-\alphaである。補題 6.4 (1)を−A-AとΣ′\Sigma'に適用すると、あるKu≥1K_u\ge1について、s≥0s\ge0で∥e−sAPu∥≤Kue−αs\lVert e^{-sA}P_u\rVert\le K_ue^{-\alpha s}であり、t=−st=-sとおくと∥etAPu∥≤Kueαt\lVert e^{tA}P_u\rVert\le K_ue^{\alpha t}（t≤0t\le0）である。Σu=∅\Sigma_u=\varnothingならばKu=1K_u=1とする。K=max⁡{Ks,Ku}K=\max\{K_s,K_u\}とすればよい。α=12min⁡β∈σ(A)∣ℜβ∣\alpha=\frac12\min_{\beta\in\sigma(A)}\lvert\Re\beta\rvertとすると後半を得る。▨

例 6.8.

A=(−1110−10002)∈R3×3A=\begin{pmatrix}-1&1&1\\0&-1&0\\0&0&2\end{pmatrix}\in\R^{3\times3}

とする。AAは上三角行列であるからσ(A)={−1,2}\sigma(A)=\{-1,2\}である。

(A+I)3=(0090000027),(A−2I)(103)=0(A+I)^3=\begin{pmatrix}0&0&9\\0&0&0\\0&0&27\end{pmatrix},\qquad (A-2I)\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}=\boldsymbol 0

であるから、G−1(A)=ker⁡(A+I)3={x∈C3:x3=0}G_{-1}(A)=\ker(A+I)^3=\{\boldsymbol x\in\C^3:x_3=0\}は22次元であり、G2(A)G_2(A)は(1,0,3)T(1,0,3)^{\mathsf T}を含む。直和C3=G−1(A)⊕G2(A)\C^3=G_{-1}(A)\oplus G_2(A)の次元を比べるとG2(A)=C(1,0,3)TG_2(A)=\C(1,0,3)^{\mathsf T}である。x∈C3\boldsymbol x\in\C^3は

x=(x1−x3/3x20)+x33(103)\boldsymbol x=\begin{pmatrix}x_1-x_3/3\\x_2\\0\end{pmatrix}+\frac{x_3}{3}\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}

と分解されるから、補題 6.7の記号で

Ps=π−1(A)=(10−1/3010000),Pu=π2(A)=(001/3000001)P_s=\pi_{-1}(A)=\begin{pmatrix}1&0&-1/3\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix},\qquad P_u=\pi_2(A)=\begin{pmatrix}0&0&1/3\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}

であり、Es={x∈R3:x3=0}E^s=\{\boldsymbol x\in\R^3:x_3=0\}、Eu=R(1,0,3)TE^u=\R(1,0,3)^{\mathsf T}である。(A+I)Ps(A+I)P_sは(1,2)(1,2)成分が11、他の成分が00の行列であり、(A+I)2Ps=0(A+I)^2P_s=0、(A−2I)Pu=0(A-2I)P_u=0であるから、補題 6.2 (2)により

etA=e−t(Ps+t(A+I)Ps)+e2tPu=e−t(1t−1/3010000)+e2t(001/3000001)e^{tA} =e^{-t}\bigl(P_s+t(A+I)P_s\bigr)+e^{2t}P_u =e^{-t}\begin{pmatrix}1&t&-1/3\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix} +e^{2t}\begin{pmatrix}0&0&1/3\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}

である。min⁡β∈σ(A)∣ℜβ∣=1\min_{\beta\in\sigma(A)}\lvert\Re\beta\rvert=1であり、etAPse^{tA}P_sの(1,2)(1,2)成分はte−tte^{-t}である。et⋅te−t=te^{t}\cdot te^{-t}=tは[0,∞)[0,\infty)上で有界でないから、§E10.1 命題 2.2により、R3×3\R^{3\times3}の任意のノルムについてet∥etAPs∥e^{t}\lVert e^{tA}P_s\rVertは[0,∞)[0,\infty)上で有界でない。したがって、補題 6.7 (5)のα\alphaをmin⁡β∈σ(A)∣ℜβ∣\min_{\beta\in\sigma(A)}\lvert\Re\beta\rvertに等しくとることはできない。

7 演習

問題 7.1.A∈R2×2A\in\R^{2\times2}が非実固有値λ=α+iβ\lambda=\alpha+i\beta（β≠0\beta\ne0）と固有ベクトルv=p+iq∈C2\boldsymbol v=\boldsymbol p+i\boldsymbol q\in\C^2をもつとする。ただしp,q∈R2\boldsymbol p,\boldsymbol q\in\R^2である。p,q\boldsymbol p,\boldsymbol qが実数体上で一次独立であることを示し、x′=Ax\boldsymbol x'=A\boldsymbol xの実基本解系を一つ求めよ。

解答.

Av=λvA\boldsymbol v=\lambda\boldsymbol vの実部と虚部を比較すると

  1. Ap=αp−βq,A\boldsymbol p=\alpha\boldsymbol p-\beta\boldsymbol q,
  2. Aq=βp+αqA\boldsymbol q=\beta\boldsymbol p+\alpha\boldsymbol q

を得る。p=0\boldsymbol p=\boldsymbol0ならば項目 (1)からβq=0\beta\boldsymbol q=\boldsymbol0となり、β≠0\beta\ne0であるためq=0\boldsymbol q=\boldsymbol0となる。これはv\boldsymbol vが固有ベクトルであることに反する。したがってp≠0\boldsymbol p\ne\boldsymbol0である。

p,q\boldsymbol p,\boldsymbol qが実数体上で一次従属であると仮定すると、あるc∈Rc\in\Rに対してq=cp\boldsymbol q=c\boldsymbol pと書くことができる。項目 (1)と項目 (2)から

c(α−βc)p=Aq=(β+αc)pc(\alpha-\beta c)\boldsymbol p =A\boldsymbol q =(\beta+\alpha c)\boldsymbol p

である。p≠0\boldsymbol p\ne\boldsymbol0とβ≠0\beta\ne0によりc2=−1c^2=-1となるが、これはc∈Rc\in\Rに反する。ゆえにp,q\boldsymbol p,\boldsymbol qは実数体上で一次独立である。

y(t)=e(α+iβ)t(p+iq)\boldsymbol y(t)=e^{(\alpha+i\beta)t}(\boldsymbol p+i\boldsymbol q)と置くと、

y′(t)=(α+iβ)e(α+iβ)t(p+iq)=Ay(t)\boldsymbol y'(t) =(\alpha+i\beta)e^{(\alpha+i\beta)t}(\boldsymbol p+i\boldsymbol q) =A\boldsymbol y(t)

である。y\boldsymbol yの実部と虚部は、それぞれ

x1(t)=eαt(pcos⁡(βt)−qsin⁡(βt)),\boldsymbol x_1(t) =e^{\alpha t}\bigl(\boldsymbol p\cos(\beta t)-\boldsymbol q\sin(\beta t)\bigr),x2(t)=eαt(psin⁡(βt)+qcos⁡(βt))\boldsymbol x_2(t) =e^{\alpha t}\bigl(\boldsymbol p\sin(\beta t)+\boldsymbol q\cos(\beta t)\bigr)

である。AAは実行列であるため、複素解の実部と虚部はいずれも実解である。また、x1(0)=p\boldsymbol x_1(0)=\boldsymbol pとx2(0)=q\boldsymbol x_2(0)=\boldsymbol qは一次独立である。したがってx1,x2\boldsymbol x_1,\boldsymbol x_2は実基本解系である。▨

問題 7.2. 行列と非同次項を

A=(2102),b(t)=e2t(01)A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol b(t)=e^{2t}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}

とする。初期値問題

x′=Ax+b(t),x(0)=0\boldsymbol x'=A\boldsymbol x+\boldsymbol b(t), \qquad \boldsymbol x(0)=\boldsymbol0

を、Jordan ブロックの指数関数と定数変化公式によって解け。得られた関数を微分方程式と初期条件へ代入して検算せよ。さらに、B=(0002πi)B=\begin{pmatrix}0&0\\0&2\pi i\end{pmatrix}、C=(0102πi)C=\begin{pmatrix}0&1\\0&2\pi i\end{pmatrix}について、BC≠CBBC\ne CBであるがeB+C=eBeCe^{B+C}=e^{B}e^{C}が成り立つことを示せ。

解答.

A=2I+NA=2I+N、

N=(0100),N2=0N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}, \qquad N^2=0

であるから、定理 5.1により

etA=e2t(1t01).e^{tA} =e^{2t}\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}.

初期値が零であるため、定理 2.4の公式から

x(t)=∫0te(t−s)Ab(s) ds=e2t∫0t(1t−s01)(01) ds=e2t(t2/2t).\begin{aligned} \boldsymbol x(t) &=\int_0^t e^{(t-s)A}\boldsymbol b(s)\,ds\\ &=e^{2t}\int_0^t \begin{pmatrix}1&t-s\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\,ds =e^{2t} \begin{pmatrix}t^2/2\\t\end{pmatrix}. \end{aligned}

したがって

x′(t)=e2t(t2+t2t+1).\boldsymbol x'(t) =e^{2t} \begin{pmatrix}t^2+t\\2t+1\end{pmatrix}.

一方、

Ax(t)+b(t)=e2t(t2+t2t+1)A\boldsymbol x(t)+\boldsymbol b(t) =e^{2t} \begin{pmatrix}t^2+t\\2t+1\end{pmatrix}

であり、微分方程式を満たす。また、x(0)=0\boldsymbol x(0)=\boldsymbol0である。

c=2πic=2\pi iと書く。

BC=(000c2),CB=(0c0c2)BC=\begin{pmatrix}0&0\\0&c^2\end{pmatrix},\qquad CB=\begin{pmatrix}0&c\\0&c^2\end{pmatrix}

であり、(1,2)(1,2)成分が0≠c0\ne cであるからBC≠CBBC\ne CBである。BBは対角行列であるから、定理 4.2をP=IP=I、t=1t=1として用いるとeB=diag⁡(1,ec)=Ie^B=\operatorname{diag}(1,e^{c})=Iである。CCは相異なる固有値0,c0,cをもち、

P=(110c),CP=(0c0c2)=P(000c)P=\begin{pmatrix}1&1\\0&c\end{pmatrix},\qquad CP=\begin{pmatrix}0&c\\0&c^2\end{pmatrix}=P\begin{pmatrix}0&0\\0&c\end{pmatrix}

であるから、定理 4.2によりeC=Pdiag⁡(1,ec)P−1=Ie^C=P\operatorname{diag}(1,e^c)P^{-1}=Iである。B+C=(0102c)B+C=\begin{pmatrix}0&1\\0&2c\end{pmatrix}は相異なる固有値0,2c0,2cをもち、

Q=(1102c),(B+C)Q=(02c04c2)=Q(0002c)Q=\begin{pmatrix}1&1\\0&2c\end{pmatrix},\qquad (B+C)Q=\begin{pmatrix}0&2c\\0&4c^2\end{pmatrix}=Q\begin{pmatrix}0&0\\0&2c\end{pmatrix}

であるから、eB+C=Qdiag⁡(1,e2c)Q−1=Ie^{B+C}=Q\operatorname{diag}(1,e^{2c})Q^{-1}=Iである。ここでec=e2πi=1e^{c}=e^{2\pi i}=1、e2c=e4πi=1e^{2c}=e^{4\pi i}=1を用いた。したがってeB+C=I=eBeCe^{B+C}=I=e^Be^Cであり、命題 3.2の仮定AB=BAAB=BAは結論eA+B=eAeBe^{A+B}=e^Ae^Bの必要条件ではない。▨

参考文献

  1. Nicholas J. Higham, Functions of Matrices: Theory and Computation, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, 2008.行列指数関数の級数定義、微分公式、相似変換、Jordan 標準形による計算を参考にした。
  2. Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2012.定係数線形系、基本行列、非同次系の定数変化公式を参考にした。

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