Artin–Wedderburn の定理 | 環論入門

1 Schur の補題

定理 1.1 (Schur の補題). $R$ を単位元をもつ結合環とし、 $S,T$ を単純左 $R$ 加群とする。このとき、非零の左 $R$ 線形写像 $f\colon S\to T$ は同型である。したがって、次が成り立つ。

$S\not\cong T$ ならば $\operatorname{Hom}_R(S,T)=0$ である。
$\operatorname{End}_R(S)$ は写像の合成について斜体である。

証明. $\ker f$ は $S$ の部分加群である。 $S$ の単純性により $\ker f=0$ または $\ker f=S$ であるが、後者ならば $f=0$ となる。よって $\ker f=0$ であり、 $f$ は単射である。

$\operatorname{im}f$ は $T$ の部分加群である。 $f\neq0$ であるから $\operatorname{im}f\neq0$ であり、 $T$ の単純性によって $\operatorname{im}f=T$ となる。したがって $f$ は全射でもあり、左 $R$ 加群の同型である。

主張 (1)を示す。 $S\not\cong T$ のときに非零準同型が存在すれば、その写像は単射かつ全射であるため $S\cong T$ となり、仮定に反する。よって主張 (1)が成り立つ。

主張 (2)を示す。最後に $0\neq f\in\operatorname{End}_R(S)$ を取る。非零準同型は単射かつ全射であるから、 $f$ は全単射である。逆写像 $f^{-1}$ は加法を保つ。また、 $s\in S$ と $r\in R$ に対し、 $s=f(t)$ となる $t\in S$ を取ると

f^{-1}(rs)=f^{-1}(rf(t)) =f^{-1}(f(rt))=rt=rf^{-1}(s)

であるから、 $f^{-1}$ も左 $R$ 線形である。したがって $f$ は $\operatorname{End}_R(S)$ の単元である。零でないすべての元が単元であるため、 $\operatorname{End}_R(S)$ は斜体である。▨

斜体の反対環も斜体である。自己準同型環の反対環を用いる理由は、左加群の準同型として右乗法を扱う際に積の順序が逆になることである。

2 角環と自己準同型環

定義 2.1. $R$ を環、 $e\in R$ を冪等元とする。集合

eRe:=\{ere\mid r\in R\}

を $e$ による角環 (corner ring) という。

$a=ere$ と $b=ese$ が $eRe$ に属するとき、

a-b=e(r-s)e, \qquad ab=erese=e(res)e

も $eRe$ に属する。 $R$ の結合律は $eRe$ の乗法にも引き継がれ、 $ea=ae=a$ であるから、 $eRe$ は $e$ を単位元とする環である。

命題 2.2. $R$ を環、 $e\in R$ を冪等元とする。このとき、写像

\Theta_e\colon eRe\longrightarrow \operatorname{End}_R(Re)^{\mathrm{op}}, \qquad a\longmapsto\rho_a, \qquad \rho_a(x):=xa

は環同型である。

証明. $a\in eRe$ ならば $ea=ae=a$ である。 $x=re\in Re$ に対して

xa=rea=ra=(ra)e\in Re

であり、右乗法 $\rho_a$ は左 $R$ 線形である。 $a,b\in eRe$ に対して

(\rho_b\circ\rho_a)(x)=(xa)b=x(ab)=\rho_{ab}(x)

である。反対環 $\operatorname{End}_R(Re)^{\mathrm{op}}$ の積は合成の順序を逆にするため、

\Theta_e(ab)=\Theta_e(a)\Theta_e(b)

となる。加法と単位元 $e$ を保つことも右乗法の式から従う。

$\rho_a=0$ ならば $a=ea=\rho_a(e)=0$ であるから、 $\Theta_e$ は単射である。 $F\in\operatorname{End}_R(Re)$ を取って $a:=F(e)$ と置く。 $a\in Re$ であるから $ae=a$ であり、左線形性から

ea=F(e^2)=F(e)=a

でもある。よって $a\in eRe$ である。任意の $re\in Re$ に対して

F(re)=rF(e)=ra=(re)a=\rho_a(re)

であるから $F=\rho_a$ となり、 $\Theta_e$ は全射である。▨

3 正則加群と有限直和の自己準同型環

命題 3.1. 単位元をもつ結合環 $R$ に対して

\rho\colon R^{\mathrm{op}} \longrightarrow\operatorname{End}_R({}_RR), \qquad r^{\mathrm{op}}\longmapsto\rho_r, \qquad \rho_r(x):=xr

は環同型である。したがって

R\cong\operatorname{End}_R({}_RR)^{\mathrm{op}}

である。

証明.命題 2.2に $e=1_R$ を適用すると、 $R\cong\operatorname{End}_R({}_RR)^{\mathrm{op}}$ を得る。その反対環を取った同型が $r^{\mathrm{op}}\mapsto\rho_r$ である。▨

補題 3.2. 単位元をもつ結合環 $E$ と正の整数 $n$ を取る。このとき、転置は環同型

\mathcal T\colon M_n(E)^{\mathrm{op}} \longrightarrow M_n(E^{\mathrm{op}}), \qquad (a_{ij})\longmapsto(a_{ji})

を与える。

証明. $A=(a_{ij}),B=(b_{ij})\in M_n(E)$ を取る。 $M_n(E)^{\mathrm{op}}$ の積を $A\star B:=BA$ と書くと、 $\mathcal T(A\star B)$ の $(i,j)$ 成分は

\mathcal T(A\star B)_{ij} =(BA)_{ji}=\sum_k b_{jk}a_{ki}

である。一方、 $E^{\mathrm{op}}$ の積を用いると

(\mathcal T(A)\mathcal T(B))_{ij} =\sum_k a_{ki}\mathbin{\star}b_{jk} =\sum_k b_{jk}a_{ki}

である。転置は加法と単位行列を保つ。また、転置を二度施すと恒等写像になるため、 $\mathcal T$ は同型である。▨

定理 3.3. $R$ を単位元をもつ結合環とする。 $S_1,\ldots,S_t$ を互いに同型でない単純左 $R$ 加群とし、 $n_1,\ldots,n_t\geq1$ とする。

M:=\bigoplus_{i=1}^t S_i^{\oplus n_i}, \qquad E_i:=\operatorname{End}_R(S_i), \qquad D_i:=E_i^{\mathrm{op}}

と置く。このとき、環同型

\operatorname{End}_R(M) \cong\prod_{i=1}^t M_{n_i}(E_i)

および

\operatorname{End}_R(M)^{\mathrm{op}} \cong\prod_{i=1}^t M_{n_i}(D_i)

が存在する。各 $D_i$ は斜体である。

証明. $M_i:=S_i^{\oplus n_i}$ と置く。 $F\in\operatorname{Hom}_R(M_j,M_i)$ に対し、 $S_j$ の各直和因子から $S_i$ の各直和因子への成分は $\operatorname{Hom}_R(S_j,S_i)$ に属する。 $i\neq j$ ならば、Schur の補題定理 1.1により各成分は零であるから、 $F=0$ である。したがって $M$ の自己準同型は各 $M_i$ を保ち、制限によって

\operatorname{End}_R(M) \longrightarrow\prod_{i=1}^t\operatorname{End}_R(M_i)

という環同型を得る。逆写像は、各 $M_i$ 上の自己準同型を直和して作る。

一つの単純加群 $S$ と正の整数 $n$ を固定し、 $E:=\operatorname{End}_R(S)$ と置く。 $S^{\oplus n}$ の第 $b$ 成分からの包含を $\iota_b$ 、第 $a$ 成分への射影を $p_a$ とする。写像

\Phi\colon\operatorname{End}_R(S^{\oplus n}) \longrightarrow M_n(E), \qquad F\longmapsto(p_aF\iota_b)_{a,b}

を考える。 $F,G\in\operatorname{End}_R(S^{\oplus n})$ に対し、恒等写像を

\operatorname{id}_{S^{\oplus n}} =\sum_{k=1}^n\iota_kp_k

と書くと

p_a(FG)\iota_b =\sum_{k=1}^n(p_aF\iota_k)(p_kG\iota_b)

となる。右辺は $E$ の積を写像の合成とした行列積の $(a,b)$ 成分であるため、 $\Phi(FG)=\Phi(F)\Phi(G)$ である。

行列 $(\alpha_{ab})\in M_n(E)$ に対して

F(x_1,\ldots,x_n)_a :=\sum_{b=1}^n\alpha_{ab}(x_b)

と定めると、 $F$ は左 $R$ 線形であり、 $\Phi(F)=(\alpha_{ab})$ となる。この構成は $\Phi$ の逆写像である。よって

\operatorname{End}_R(S^{\oplus n})\cong M_n(E)

である。各 $M_i$ へ適用すると第一の同型を得る。

補題補題 3.2により、各 $M_{n_i}(E_i)^{\mathrm{op}}$ は $M_{n_i}(D_i)$ と同型である。有限直積と反対環も成分ごとに可換する。第一の同型の反対環を取り、各因子へ転置同型を適用すると第二の同型を得る。最後に、Schur の補題により $E_i$ は斜体であるから、 $D_i=E_i^{\mathrm{op}}$ も斜体である。▨

4 行列環の列左イデアル

命題 4.1. $D$ を斜体、 $n\geq1$ とし、 $A:=M_n(D)$ と置く。行列単位を $E_{ij}$ とし、

C_j:=AE_{jj} \qquad(1\leq j\leq n)

と置く。このとき、各 $C_j$ は単純左 $A$ 加群であり、

{}_AA=C_1\oplus\cdots\oplus C_n

である。したがって $M_n(D)$ は左半単純環である。

有限個の斜体 $D_1,\ldots,D_t$ と正の整数 $n_1,\ldots,n_t$ に対して、有限直積

\prod_{i=1}^tM_{n_i}(D_i)

も左半単純環である。

証明. $C_j$ は第 $j$ 列以外が零である行列全体であり、左イデアルである。 $0\neq X=(x_{ab})\in C_j$ を取ると、ある $p$ に対して $x_{pj}\neq0$ である。任意の $Y=(y_{ab})\in C_j$ に対し、行列 $B=(b_{ab})\in A$ を

b_{ap}:=y_{aj}x_{pj}^{-1} \quad(1\leq a\leq n), \qquad b_{ak}:=0\quad(k\neq p)

によって定める。 $X$ は第 $j$ 列以外が零であるため、成分計算から

BX=Y

となる。したがって、 $X$ を含む $C_j$ の左部分加群は $C_j$ 全体を含む。よって $C_j$ は単純である。

任意の行列は各列だけを残した行列の和として一意に表される。この表示は

A=AE_{11}\oplus\cdots\oplus AE_{nn}

という左加群の内部直和を与える。したがって $A$ は左半単純環である。

$P:=\prod_{i=1}^tM_{n_i}(D_i)$ とする。第 $i$ 座標だけに値をもち、その座標では第 $j$ 列以外が零である元全体を $C_{ij}$ と書く。各 $C_{ij}$ は、他の座標が零であるため、左 $P$ 加群としても単純である。また

{}_PP=\bigoplus_{i=1}^t\bigoplus_{j=1}^{n_i}C_{ij}

である。よって $P$ は左半単純環である。▨

零個の環の直積は、一元集合からなる零環と約束する。この空積の左正則加群は零加群であり、空族の単純直和として半単純である。

5 Artin–Wedderburn の定理

定理 5.1 (Artin–Wedderburn の定理). 単位元をもつ結合環 $R$ に対して、次の二条件は同値である。

$R$ は左半単純環である。
ある非負整数 $t$ 、斜体 $D_1,\ldots,D_t$ および正の整数 $n_1,\ldots,n_t$ が存在して $R\cong\prod_{i=1}^tM_{n_i}(D_i)$ となる。

$t=0$ の場合、右辺は空積である零環を表す。 $R\neq0$ ならば $t\geq1$ である。

左半単純環 $R$ の左正則加群を、互いに同型でない単純左 $R$ 加群 $S_1,\ldots,S_t$ によって

{}_RR\cong\bigoplus_{i=1}^tS_i^{\oplus n_i}

と分解すると、 $S_1,\ldots,S_t$ はすべての単純左 $R$ 加群の同型類を尽くす。この分解に対して $D_i=\operatorname{End}_R(S_i)^{\mathrm{op}}$ と取ることができる。零環では単純加群は存在せず、 $S_i$ の族は空族である。

さらに、因子の個数、各行列次数および各斜体は、因子の順序を除いて一意である。すなわち

\prod_{i=1}^tM_{n_i}(D_i) \cong \prod_{j=1}^uM_{m_j}(E_j)

ならば $t=u$ であり、ある置換 $\sigma$ が存在して

n_i=m_{\sigma(i)}, \qquad D_i\cong E_{\sigma(i)}

となる。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。 $R$ を左半単純環とする。§E6.19 系 6.3により、左正則加群 ${}_RR$ は有限長である。有限長半単純加群の分解型の一意性§E6.19 定理 8.1により、互いに同型でない単純左 $R$ 加群 $S_1,\ldots,S_t$ と正の整数 $n_1,\ldots,n_t$ を用いて

{}_RR\cong\bigoplus_{i=1}^tS_i^{\oplus n_i}

と書くことができる。 $R=0$ の場合には $t=0$ とし、右辺を空直和とする。

$R\neq0$ とする。各 $S_i$ に対して

D_i:=\operatorname{End}_R(S_i)^{\mathrm{op}}

と置くと、Schur の補題定理 1.1により $D_i$ は斜体である。命題命題 3.1と定理定理 3.3を順に用いると

\begin{aligned} R &\cong\operatorname{End}_R({}_RR)^{\mathrm{op}}\\ &\cong \prod_{i=1}^tM_{n_i} \bigl(\operatorname{End}_R(S_i)^{\mathrm{op}}\bigr)\\ &=\prod_{i=1}^tM_{n_i}(D_i) \end{aligned}

を得る。 $R=0$ の場合にも、零環と空積の同型が所要の表示を与える。

(2) $\Rightarrow$ (1)を示す。 $t\geq1$ ならば、命題命題 4.1により各行列環の有限直積は左半単純である。 $t=0$ ならば $R$ は零環であり、左正則加群が零加群であるため左半単純である。よって二条件は同値である。

$R=0$ の場合、斜体上の全行列環は非零であるため、零環を表す有限直積は空積に限られる。また、零環上の単位的加群 $M$ では任意の $m\in M$ に対して $m=1_Rm=0_Rm=0$ であるため、単純加群は存在しない。したがって零環についての主張は成り立つ。以下では $R\neq0$ とする。

上で選んだ $S_1,\ldots,S_t$ は、単なる直和因子の一部ではなく、単純左 $R$ 加群のすべての同型類を代表する。実際、単純左 $R$ 加群 $S$ と $0\neq s\in S$ に対して、写像 $R\to S$ 、 $r\mapsto rs$ は全射である。 $R$ は半単純であるから、その核 $K$ には補左イデアル $T$ が存在して $R=K\oplus T$ となる。商写像の $T$ への制限は $T\cong R/K\cong S$ を与えるため、 $S$ は ${}_RR$ の単純直和因子と同型である。 $T$ から各 $S_i$ への成分射影の少なくとも一つは非零であり、Schur の補題によって $S\cong T\cong S_i$ となる。

各同型類 $[S_i]$ の重複度 $n_i$ は§E6.19 定理 8.1により ${}_RR$ だけから定まる。また

D_i=\operatorname{End}_R(S_i)^{\mathrm{op}}

も $S_i$ の同型類だけから同型を除いて定まる。したがって、組

([S_i],n_i,D_i)_{1\leq i\leq t}

は環 $R$ の左正則加群から復元される不変量である。

P:=\prod_{j=1}^uM_{m_j}(E_j)

とし、第 $j$ 因子の第 $k$ 対角成分に $1_{E_j}$ をもち、他の成分と他の因子が零である冪等元を $e_{jk}$ とする。命題命題 4.1の分解は

{}_PP=\bigoplus_{j=1}^u\bigoplus_{k=1}^{m_j}Pe_{jk}

であり、各 $Pe_{jk}$ は単純である。

固定した $j$ に対して、右乗法

Pe_{jk}\longrightarrow Pe_{j\ell}, \qquad x\longmapsto xE_{k\ell}

は左 $P$ 線形同型であり、逆写像は $x\mapsto xE_{\ell k}$ である。ここで行列単位は第 $j$ 因子に置く。一方、 $j\neq h$ のとき、 $Pe_{jk}$ と $Pe_{h\ell}$ は同型でない。実際、第 $j$ 因子の単位元だけをもつ中心冪等元 $c_j$ は $Pe_{jk}$ 上で恒等的に作用し、 $Pe_{h\ell}$ 上で零として作用するため、両者の間に同型は存在しない。

したがって、左正則加群に現れる単純加群の同型類は因子ごとに一つであり、第 $j$ の同型類の重複度は $m_j$ である。さらに、命題命題 2.2によって

\operatorname{End}_P(Pe_{j1})^{\mathrm{op}} \cong e_{j1}Pe_{j1}\cong E_j

である。よって直積表示の組 $(m_j,E_j)$ は、左正則加群から復元した組 $(n_i,D_i)$ と順序を除いて一致する。二つの直積表示へ同じ議論を適用すると、因子数、行列次数および斜体の一意性が従う。▨

6 原始冪等元と極小左イデアル

定義 6.1. 環 $R$ の冪等元 $e$ が原始冪等元 (primitive idempotent) であるとは、 $e\neq0$ であり、

e=f+g, \qquad f^2=f, \qquad g^2=g, \qquad fg=gf=0

を満たす冪等元 $f,g\in R$ の少なくとも一方が零であることをいう。

命題 6.2. $R$ を左半単純環とし、 $I$ を $R$ の左イデアルとする。このとき、ある冪等元 $e\in R$ が存在して

I=Re

となる。

証明.§E6.19 定理 6.2により、 $I$ は左正則加群 ${}_RR$ の直和因子である。したがって、ある左イデアル $J$ が存在して

R=I\oplus J

となる。 $I$ への左 $R$ 線形射影を $p\colon R\to I$ とし、

e:=p(1_R)

と置く。任意の $r\in R$ に対して、左線形性から

p(r)=p(r1_R)=rp(1_R)=re

である。よって $\operatorname{im}p=Re$ であり、 $I=Re$ となる。さらに $p^2=p$ であるから

e=p(1_R)=p^2(1_R)=p(e)=e^2

となり、 $e$ は冪等元である。▨

定理 6.3. $R$ を左半単純環とし、 $e\in R$ を冪等元とする。このとき、次の二条件は同値である。

$e$ は原始冪等元である。
$Re$ は極小左イデアルである。

さらに、 $R$ の任意の極小左イデアルは、ある原始冪等元 $e$ に対する $Re$ の形である。

証明.(2) $\Rightarrow$ (1)を示す。 $Re$ が極小左イデアルであるとする。特に $Re\neq0$ であるから $e\neq0$ である。 $e=f+g$ が定義定義 6.1の直交分解であるとする。 $fe=f$ と $ge=g$ であるため、 $Rf,Rg\subseteq Re$ となる。また、任意の $r\in R$ に対して

re=rf+rg

であるから $Re=Rf+Rg$ である。 $x\in Rf\cap Rg$ ならば、ある $a,b\in R$ によって $x=af=bg$ と書くことができ、

x=xf=bgf=0

となる。したがって

Re=Rf\oplus Rg

である。 $Re$ の単純性により $Rf$ または $Rg$ は零であり、それぞれ $f=0$ または $g=0$ を意味する。よって $e$ は原始冪等元である。

(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。逆に $e$ を原始冪等元とする。 $Re$ は半単純加群の部分加群であるため、§E6.19 命題 3.1により半単純である。 $Re$ が単純でないと仮定すると、非零真部分加群 $I\subsetneq Re$ が存在する。半単純加群の同値条件§E6.19 定理 2.3により、ある非零部分加群 $J$ が存在して

Re=I\oplus J

となる。 $I,J$ への射影をそれぞれ $p,q$ とし、

f:=p(e), \qquad g:=q(e)

と置く。 $x=re\in Re$ に対して左線形性から

p(x)=rf, \qquad q(x)=rg

である。 $p$ は $I$ 上で恒等写像、 $J$ 上で零写像であるから

f^2=p(f)=f, \qquad g^2=q(g)=g, \qquad gf=p(g)=0, \qquad fg=q(f)=0

となる。また $e=f+g$ である。 $I,J$ が非零であるため、射影 $p,q$ も非零であり、表示式 $p(re)=rf$ と $q(re)=rg$ から $f,g$ はともに非零である。非零冪等元による分解 $e=f+g$ は $e$ の原始性に反する。したがって $Re$ は単純であり、§E6.19 命題 1.2によって極小左イデアルである。

最後に $L$ を極小左イデアルとする。命題命題 6.2により $L=Re$ となる冪等元 $e$ が存在する。既に証明した同値から $e$ は原始冪等元である。▨

系 6.4. $R$ を左半単純環、 $e\in R$ を原始冪等元とする。このとき、角環 $eRe$ は斜体である。

証明. 定理定理 6.3により $Re$ は単純である。Schur の補題定理 1.1により $\operatorname{End}_R(Re)$ は斜体であり、命題命題 2.2によってその反対環と同型な $eRe$ も斜体である。▨

7 左半単純性と右半単純性

定義 7.1. 右正則加群 $R_R$ が半単純右 $R$ 加群であるとき、 $R$ を右半単純環 (right semisimple ring) という。 $R$ が左半単純環かつ右半単純環であるとき、 $R$ を半単純環 (semisimple ring) という。

右 $R$ 加群を左 $R^{\mathrm{op}}$ 加群として読み替えると、 $R$ が右半単純であることは $R^{\mathrm{op}}$ が左半単純であることと同値である。

系 7.2. 環 $R$ に対して、次の四条件は同値である。

$R$ は左半単純環である。
$R$ は右半単純環である。
$R$ は半単純環である。
$R$ は斜体上の全行列環の有限直積に同型である。零環では空積を許す。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。 $R$ が左半単純であるとする。Artin–Wedderburn の定理定理 5.1により

R\cong\prod_{i=1}^tM_{n_i}(D_i)

と書くことができる。補題補題 3.2を用いると

R^{\mathrm{op}} \cong\prod_{i=1}^tM_{n_i}(D_i)^{\mathrm{op}} \cong\prod_{i=1}^tM_{n_i}(D_i^{\mathrm{op}})

となる。各 $D_i^{\mathrm{op}}$ は斜体であるため、Artin–Wedderburn の定理の逆向きにより $R^{\mathrm{op}}$ は左半単純である。よって $R$ は右半単純である。

(2) $\Rightarrow$ (1)を示す。 $R$ が右半単純ならば $R^{\mathrm{op}}$ は左半単純である。既に証明した向きを $R^{\mathrm{op}}$ へ適用すると、 $R^{\mathrm{op}}$ は右半単純になる。右 $R^{\mathrm{op}}$ 加群は左 $R$ 加群であり、 $(R^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}=R$ であるから、 $R$ は左半単純である。したがって両条件は同値である。

(1) $\Leftrightarrow$ (3)を示す。定義定義 7.1により、両条件は同値である。

(1) $\Leftrightarrow$ (4)を示す。この同値は Artin–Wedderburn の定理そのものである。▨

8 単純 Artin 環

補題 8.1. $R$ を非零の左 Artin 環とする。このとき

\operatorname{soc}_R({}_RR)

は $R$ の非零両側イデアルである。

$R$ が単純環でもあるならば

\operatorname{soc}_R({}_RR)=R

であり、 $R$ は左半単純環である。

証明. $R$ の非零左イデアル全体は空でない。 ${}_RR$ は Artin 加群であるため、Artin 性の極小元による特徴づけ§E6.17 命題 2.2により、この族は極小元 $L$ をもつ。 $L$ は非零であり、その中の非零左イデアルは $L$ 自身に限られるため、 $L$ は極小左イデアルである。命題§E6.19 命題 1.2により $L$ は単純左 $R$ 加群である。したがって

0\neq L\subseteq\operatorname{soc}_R({}_RR)

であり、socle は非零である。

任意の $r\in R$ について右乗法 $\rho_r\colon R\to R$ は左 $R$ 線形である。命題§E6.20 命題 3.1を $\rho_r$ に適用すると

\operatorname{soc}_R({}_RR)r \subseteq\operatorname{soc}_R({}_RR)

を得る。socle は定義から左イデアルでもあるため、非零両側イデアルである。

$R$ が単純ならば、非零両側イデアルである socle は $R$ に等しい。したがって ${}_RR$ は単純部分加群全体の和である。半単純加群の同値条件§E6.19 定理 2.3により ${}_RR$ は半単純であり、 $R$ は左半単純環である。▨

定理 8.2. 環 $R$ に対して、次の三条件は同値である。

$R$ は単純左 Artin 環である。
$R$ は単純右 Artin 環である。
ある斜体 $D$ と正の整数 $n$ が存在して $R\cong M_n(D)$ となる。

この表示の $n$ と $D$ は同型を除いて一意である。

証明.(1) $\Rightarrow$ (3)を示す。(1)を仮定する。補題補題 8.1により $R$ は左半単純環である。Artin–Wedderburn の定理によって

R\cong\prod_{i=1}^tM_{n_i}(D_i)

と書くことができる。 $R$ は単純環であるから非零であり、 $t\geq1$ である。 $t\geq2$ ならば、一つの座標だけに値をもつ元全体が非零真の両側イデアルになるため、単純性に反する。よって $t=1$ であり、(3)が成り立つ。

(3) $\Rightarrow$ (1)を示す。(3)を仮定する。§E6.4 定理 6.3により $M_n(D)$ は単純環である。また命題命題 4.1により左半単純環である。§E6.19 系 6.3により左正則加群は有限長であり、特に Artin 加群である。したがって $R$ は単純左 Artin 環であり、(1)が成り立つ。

(3) $\Rightarrow$ (2)を示す。同じ行列環は系系 7.2により右半単純でもある。 $R^{\mathrm{op}}$ は左半単純であるから、その左正則加群は有限長であり、左 Artin 加群である。右加群と反対環の対応§E6.17 命題 7.1により $R$ は右 Artin 環である。単純性は既に得られているため、(2)も成り立つ。

(2) $\Rightarrow$ (3)を示す。(2)を仮定する。 $R^{\mathrm{op}}$ の両側イデアルは $R$ の両側イデアルと同じ部分集合であるから、 $R^{\mathrm{op}}$ は単純環である。また§E6.17 命題 7.1により $R^{\mathrm{op}}$ は左 Artin 環である。既に証明した(1) $\Rightarrow$ (3)を $R^{\mathrm{op}}$ へ適用すると、ある斜体 $E$ と $n\geq1$ によって

R^{\mathrm{op}}\cong M_n(E)

となる。反対環を取り、補題補題 3.2を用いると

R\cong M_n(E)^{\mathrm{op}} \cong M_n(E^{\mathrm{op}})

であり、 $E^{\mathrm{op}}$ は斜体である。よって(3)が成り立つ。

最後に、行列表示における $n$ と $D$ の一意性は Artin–Wedderburn の定理の一意性を一因子の場合へ適用すると得られる。▨

系 8.3. $R$ を単純左 Artin 環とする。このとき、単純左 $R$ 加群の同型類はただ一つである。その同型類の代表を $S$ とすると、任意の有限長左 $R$ 加群 $M$ に対して、一意な非負整数 $q$ が存在して

M\cong S^{\oplus q}

となる。ここで $S^{\oplus0}:=0$ とする。この $q$ は $M$ の組成長に等しく、 $q=\ell_R(M)$ である。

証明. 定理定理 8.2により、ある斜体 $D$ と正の整数 $n$ に対して $R\cong M_n(D)$ である。命題命題 4.1の列左イデアル $C_j:=M_n(D)E_{jj}$ は単純で、右乗法 $x\mapsto xE_{1j}$ により $C_1\cong C_j$ となる。したがって $S:=C_1$ と置けば、左正則加群は

{}_RR\cong S^{\oplus n}

である。Artin–Wedderburn の定理定理 5.1により、任意の単純左 $R$ 加群は左正則加群に現れる単純直和因子と同型である。ここでは直和因子がすべて $S$ と同型であるから、単純左 $R$ 加群の同型類は $[S]$ だけである。

定理定理 8.2によって $R$ は左半単純環でもある。左半単純環の同値条件§E6.19 定理 6.2により、すべての左 $R$ 加群は半単純である。したがって、有限長左 $R$ 加群 $M$ は半単純であり、有限長半単純加群の分解型の定理§E6.19 定理 8.1によって、有限個の単純左 $R$ 加群の直和に同型である。すべての単純直和因子は $S$ と同型であるから、ある非負整数 $q$ が存在して

M\cong S^{\oplus q}

となる。

$q=0$ ならば $M=0$ であり、 $\ell_R(M)=0$ である。以下では $q\geq1$ とする。 $S^{\oplus q}$ の先頭から $k$ 個の直和因子を取った部分加群を $M_k$ と書くと、

0=M_0\subsetneq M_1\subsetneq\cdots\subsetneq M_q=S^{\oplus q}

の各商 $M_k/M_{k-1}$ は $S$ と同型である。この列は組成列であるから、有限長の特徴づけ§E6.17 定理 4.3により $\ell_R(M)=q$ である。また、有限長半単純加群の分解型の一意性§E6.19 定理 8.1により、 $M\cong S^{\oplus q'}$ となる別の非負整数 $q'$ が存在すれば $q=q'$ である。したがって $q$ は一意である。▨

注意 8.4. 原始冪等元と極小左イデアルの対応、および角環

eRe\cong\operatorname{End}_R(Re)^{\mathrm{op}}

は、分類表示の各斜体を加群から復元する局所的な形である。

9 演習

問題 9.1. 次の十項目を、本記事の定義と定理から証明する。

単純左 $R$ 加群 $S,T$ の間の非零準同型が同型であることを、核と像から証明せよ。また、 $\operatorname{End}_R(S)$ の非零元が逆元をもつことを示せ。
左正則加群の自己準同型 $F$ が $F(1_R)$ による右乗法であることを示し、 $R$ ではなく $R^{\mathrm{op}}$ から $\operatorname{End}_R({}_RR)$ への環同型が得られる理由を合成の順序から説明せよ。
$E=\operatorname{End}_R(S)$ とするとき、 $\operatorname{End}_R(S^{\oplus n})\cong M_n(E)$ を成分写像から構成せよ。また、 $M_n(E)^{\mathrm{op}}\cong M_n(E^{\mathrm{op}})$ に転置が必要であることを積の成分で確認せよ。
左半単純環 $R$ の任意の左イデアル $I$ に対し、 $I=Re$ を満たす冪等元 $e$ を直和射影から構成せよ。
左半単純環の冪等元 $e$ について、 $e$ が原始的であることと $Re$ が極小左イデアルであることの同値を証明せよ。また $eRe\cong\operatorname{End}_R(Re)^{\mathrm{op}}$ を示せ。
斜体 $D$ に対して $M_n(D)E_{jj}$ が単純左 $M_n(D)$ 加群であることを、非零列ベクトルを任意の列ベクトルへ送る行列から証明せよ。左正則加群の列分解も示せ。
体 $k$ に対し $R=M_2(k)\times k$ と置く。左正則加群に現れる単純左加群の同型類と各重複度を求め、各自己準同型環の反対環を計算して、これらのデータから $R$ の直積表示を復元せよ。
直積 $P=\prod_jM_{m_j}(E_j)$ の左正則加群から、因子の個数、 $m_j$ および $E_j$ を復元し、Artin–Wedderburn 表示の一意性を説明せよ。
$R=M_2(k)\times k$ の左正則加群の socle を求めよ。各右乗法が socle を保つことを確認し、一般の非零左 Artin 環についても§E6.20 命題 3.1を使って同じ保存性を導け。
左半単純性と右半単純性の同値を、行列環の有限直積表示と反対環から証明せよ。また、単純右 Artin 環も斜体上の全行列環になることを導け。

解答 (演習の解答).

Schur の補題定理 1.1の証明を適用する。非零写像 $f\colon S\to T$ では、 $\ker f$ は $S$ の真部分加群、 $\operatorname{im}f$ は $T$ の非零部分加群であるため、それぞれ $0,T$ に等しい。特に $S=T$ ならば $f$ は可逆であり、逆写像も左 $R$ 線形である。
命題 3.1により $F=\rho_{F(1_R)}$ である。合成は $\rho_r\circ\rho_s=\rho_{sr}$ であるから、 $r^{\mathrm{op}}\mapsto\rho_r$ は反対環からの環同型となる。
定理 3.3を一つの同型類へ適用すると、包含 $\iota_b$ と射影 $p_a$ による $F\mapsto(p_aF\iota_b)_{a,b}$ が所要の同型である。恒等式 $\sum_k\iota_kp_k=\operatorname{id}$ が合成を行列積へ移す。反対環については補題 3.2により転置を用いる。その積の $(i,j)$ 成分は両辺とも $\sum_kb_{jk}a_{ki}$ であり、係数と添字の双方の順序が一致する。
命題 6.2の構成により、分解 $R=I\oplus J$ の射影 $p$ に対して $e=p(1_R)$ と置く。 $p(r)=re$ であるため $I=Re$ となり、 $p^2=p$ から $e^2=e$ を得る。
定理 6.3により、原始性と $Re$ の極小性は同値である。同定の構成は、直和分解 $Re=I\oplus J$ の射影を $e$ へ適用して直交冪等元を得るものである。角環については命題 2.2を適用すると、 $a\mapsto(x\mapsto xa)$ が $eRe\cong\operatorname{End}_R(Re)^{\mathrm{op}}$ を与える。
命題 4.1の構成を適用する。非零列 $X$ の非零成分を $x_{pj}$ とすると、任意の列 $Y$ に対して第 $p$ 列が $b_{ap}=y_{aj}x_{pj}^{-1}$ 、他の列が零である行列 $B$ は $BX=Y$ を満たす。したがって列左イデアルは単純であり、各列への分解から ${}_AA=\bigoplus_{j=1}^nAE_{jj}$ を得る。
$e_{11}=(E_{11},0)$ 、 $e_{22}=(E_{22},0)$ 、 $e_3=(0,1)$ と置くと、 $1_R=e_{11}+e_{22}+e_3$ であり、
${}_RR=Re_{11}\oplus Re_{22}\oplus Re_3$
となる。命題命題 4.1により三つとも単純で、右乗法 $x\mapsto x(E_{12},0)$ は $Re_{11}\cong Re_{22}$ を与える。一方、 $(1_{M_2(k)},0)$ は前二者には恒等的、 $Re_3$ には零として作用するため、 $Re_{11}$ と $Re_3$ は同型でない。よって同型類は二つであり、重複度はそれぞれ $2$ と $1$ である。角環と自己準同型環の対応命題 2.2により
$\operatorname{End}_R(Re_{11})^{\mathrm{op}}\cong e_{11}Re_{11}\cong k, \qquad \operatorname{End}_R(Re_3)^{\mathrm{op}}\cong e_3Re_3\cong k$
である。したがって分類データ $(2,k),(1,k)$ は $M_2(k)\times M_1(k)=M_2(k)\times k$ を復元する。
定理 5.1の一意性を $P$ に適用する。第 $j$ 因子の列加群を $S_j$ とすると、異なる因子の中心冪等元の作用によって $S_j$ は互いに非同型であり、正則加群での重複度は $m_j$ である。また命題 2.2より $\operatorname{End}_P(S_j)^{\mathrm{op}}\cong E_j$ である。よって、単純加群の同型類の個数、正則加群での重複度、自己準同型環の反対環から、因子数、 $m_j$ 、 $E_j$ が復元される。
解答 (7)の分解では三つの直和因子がすべて単純なので、 $\operatorname{soc}_R({}_RR)=R$ である。任意の $r\in R$ に対して $Rr\subseteq R$ であり、右乗法は socle を保つ。一般の非零左 Artin 環でも、各 $r\in R$ による右乗法 $\rho_r\colon{}_RR\to{}_RR$ は左 $R$ 線形である。したがって§E6.20 命題 3.1により $\rho_r(\operatorname{soc}_R({}_RR))\subseteq\operatorname{soc}_R({}_RR)$ となる。Artin 性によって非零左イデアル全体は極小元をもち、socle はこの極小左イデアルを含むため非零である。
系 7.2を適用する。行列直積表示の反対環は補題 3.2によって $\prod_iM_{n_i}(D_i^{\mathrm{op}})$ となり、各反対斜体も斜体であることから左右半単純性が一致する。単純右 Artin 環の分類には定理 8.2を適用する。具体的には、左側の分類 $R^{\mathrm{op}}\cong M_n(E)$ から $R\cong M_n(E^{\mathrm{op}})$ を得る。

▨

問題 9.2. 整数環 $\Z$ の冪等元を求め、 $1$ が原始冪等元であることを示せ。左イデアル $2\Z$ に補左イデアルが存在しないことを示し、 $\Z$ が半単純環でなく、 $\Z1$ が極小左イデアルでもないことを確かめよ。

解答 (演習の解答).

整数 $e$ が $e^2=e$ を満たすならば、 $e(e-1)=0$ である。 $\Z$ は整域であるため $e=0$ または $e=1$ である。したがって $1$ は非零直交冪等元二つの和には分解されず、原始的である。

$\Z=2\Z\oplus J$ となる左イデアル $J$ が存在すると仮定する。 $J$ が非零元 $a$ を含めば、 $2a$ は $2\Z\cap J$ の非零元となり、直和であることに反する。よって $J=0$ であるが、 $2\Z\neq\Z$ であるため、和が $\Z$ になることに反する。したがって $2\Z$ は直和因子でなく、§E6.19 定理 2.3により正則加群は半単純でない。また $0\subsetneq2\Z\subsetneq\Z1$ であるため、 $\Z1$ は極小左イデアルではない。原始冪等元と極小左イデアルの対応には、半単純性の仮定が必要である。▨

§E6.22Artin–Wedderburn の定理

1 Schur の補題

2 角環と自己準同型環

3 正則加群と有限直和の自己準同型環

4 行列環の列左イデアル

5 Artin–Wedderburn の定理

6 原始冪等元と極小左イデアル

7 左半単純性と右半単純性

8 単純 Artin 環

9 演習

参考文献

前提記事