§A1.7不等式の基本操作

1 不等式の同値変形

不等式は、二つの式の大小関係を$<,>,\le,\ge$で表した式です。ここでは係数と変数を実数とします。不等式の解はその関係を満たす変数の値であり、解くとは解の集合を求めることです。解の集合が等しい不等式への変形を同値変形といいます。

正の数による乗法と加法で大小が保たれることを用います。負の数の場合は、たとえば$u<v$の両辺から$u+v$を引くと$-v<-u$となります。正の数$-k$を掛ければ$kv<ku$となるので、負数倍では向きが反転します。各操作は逆の操作で元へ戻るため同値性を保ちます。両辺を$0$で割ることはできず、$0$倍すると大小の情報が失われます。

解答.

$t^2-1=(t-1)(t+1)$である。$t>1$の場合には$t-1>0$なので、両辺を$t-1$で割ると、解は$x\le t+1$となる。$t<1$の場合には$t-1<0$なので、不等号を反転させて、解は$x\ge t+1$となる。

$t=1$の場合には、元の不等式は$0\le0$である。したがって、すべての実数$x$が解である。この場合には$t-1$で割ることはできない。$t\ne1$のときに得た式へ単に$t=1$を代入すると、$x\le2$または$x\ge2$となり、元の不等式の解全体を表さない。▨

負数倍による反転は、数直線の順序とも一致します。$1<2$の両辺を$-1$倍すると$-1>-2$であり、負数になった後では$-1$のほうが大きい数です。

2 連立不等式

複数の不等式を同時に満たす解を求めるものを連立不等式といいます。その解は、それぞれの不等式の解の共通部分です。数直線で範囲を重ねる場合にも、境界の点が両方の解に含まれるかを確認します。

3 絶対値を含む不等式

$|x-c|$は数直線上の$x$と$c$の距離です。距離が指定された値より小さい場合は$c$の両側の区間を、大きい場合はその区間の外を調べます。

解答.

左辺は非負なので、解は$2x+1\ge0$、すなわち$x\ge-1/2$を満たさなければならない。

$x\ge1$の場合には$|x-1|=x-1$であり、

$$x-1\le2x+1\iff x\ge-2$$

となる。場合分けの条件と合わせると、$x\ge1$のすべての実数が解である。

$x<1$の場合には$|x-1|=1-x$であり、

$$1-x\le2x+1\iff x\ge0$$

となる。場合分けの条件と合わせると$0\le x<1$が解である。二つの場合を合わせて、解は$x\ge0$となる。得た範囲では右辺も非負である。

$x=-3$では元の不等式は$4\le-5$となり、成り立たない。しかし、両辺を二乗した不等式では$16\le25$となり、成り立つ。二乗によって右辺の符号の情報を失ったため、元の不等式を満たさない値が加わっている。▨

負の係数が文字の前にある場合も、除法の符号を確認します。たとえば$-x<5$の両辺を$-1$で割ると$x>-5$となります。絶対値では、右辺の符号と、距離が区間の内側・外側のどちらを表すかを区別すると、答えが一つの区間か二つの範囲かを判断することができます。