§A1.5一次・二次方程式と解の公式

1 方程式の解と同値変形

文字を含む等式を方程式といい、等式を成り立たせる文字の値を解といいます。ここでは係数を実数とし、実数の解をすべて求めます。二つの方程式の解の集合が等しいとき、二つの方程式は同値であるといいます。方程式を同値な方程式へ変える操作を同値変形といいます。

両辺に同じ数や式を加える操作、両辺から同じ数や式を引く操作は、逆の操作で元へ戻すことができるので同値変形です。両辺に同じ非零の数を掛ける操作、両辺を同じ非零の数で割る操作も同値変形です。

2 一次方程式

$a,b$を実数、$a\ne0$とします。一次方程式$ax+b=0$の両辺から$b$を引くと$ax=-b$となり、両辺を$a$で割ると$x=-b/a$となります。

等式の一方の辺の項を、符号を変えて他方の辺へ移す操作を移項といいます。移項は、両辺に同じ式を加減する操作の略記です。

3 因数分解による二次方程式の解法

$a,b,c$を実数、$a\ne0$とした$ax^2+bx+c=0$を二次方程式といいます。因数分解の形が分かる場合は、次の実数の性質を使います。

4 平方完成

二次式を、一次式の二乗と定数を用いて書き直す操作を平方完成といいます。方程式を二乗の形にすると、平方根を用いて解を求めることができます。

5 解の公式と判別式

$D=b^2-4ac$を二次方程式の判別式といいます。平方完成で得た二乗の方程式の右辺は、$4a^2>0$なので$D$と同じ符号です。実数の二乗が非負であることから、$D$の符号によって実数解を分類します。

因数分解の形が分かる式では一次因子を$0$と置く方法を使い、二乗の形への変形では平方完成を使います。一般の係数については、平方完成から導いた解の公式を使うことができます。ただし実数の計算として根号を使うのは$D\ge0$の場合です。

解答.

左辺は

$$tx^2-(t+1)x+1=(x-1)(tx-1)$$

と因数分解される。したがって、元の方程式は$x=1$または$tx=1$と同値である。

$t=0$のとき、$tx=1$を満たす実数はなく、元の方程式は$-x+1=0$である。実数解は$x=1$の一つである。

$t\ne0$のとき、実数解は$x=1$と$x=1/t$である。二つが一致するのは$t=1$のときに限る。よって、$t=1$では重解$x=1$の一つであり、$t\ne0,1$では異なる二つの実数解$1,1/t$をもつ。

$t\ne0$の場合には、解の公式でも判別式を

$$D=(t+1)^2-4t=(t-1)^2$$

と求めることができる。$D=0$となるのは$t=1$であり、因数分解による分類と一致する。ただし$t=0$では二次の係数が0になるため、解の公式を適用せず、一次方程式として扱う。▨

下の図は$a=1$の場合です。横軸に$x$、縦軸に$y$をとり、$y=x^2+bx+c$を満たす点$(x,y)$を描いています。$x$軸上では$y=0$なので、グラフと$x$軸の共有点の$x$座標は方程式の実数解です。$b,c$を動かすと、$D=b^2-4c$の符号に応じて共有点の個数が変わります。

6 解の公式の範囲と検算

求めた解を元の式へ代入すると、計算の検算を行うことができます。