恒等式と係数比較 | 数と式の計算

1 係数比較の原理

定義 1.1 (恒等式). 実数係数多項式を両辺にもつ等式が恒等式 (identity) であるとは、その両辺の共通定義域に属するすべての実数 $x$ で等式が成り立つことをいう。たとえば

x^2-1=(x-1)(x+1)

はすべての実数 $x$ で成り立つ恒等式である。一方、 $x^2-1=0$ は $x=\pm1$ でだけ成り立つ方程式であり、恒等式でない。

定理 1.2. 実数係数多項式

P(X)=p_0+p_1X+\cdots+p_nX^n,\qquad Q(X)=q_0+q_1X+\cdots+q_nX^n

について、すべての実数 $x$ で $P(x)=Q(x)$ となることと、すべての $k=0,1,\ldots,n$ で $p_k=q_k$ となることは同値である。

証明. すべての $k$ で $p_k=q_k$ ならば、同じ係数をもつ二つの式へ任意の実数 $x$ を代入して $P(x)=Q(x)$ を得る。

すべての実数 $x$ で $P(x)=Q(x)$ とし、 $D(X)=P(X)-Q(X)$ と置く。次数が $n$ 以下で、すべての実数を代入すると $0$ になる多項式が零多項式であることを、 $n$ についての帰納法で示す。 $n=0$ のとき、 $D$ は定数であり、 $D(0)=0$ からその定数は $0$ である。

$n\ge1$ とし、次数が $n-1$ 以下の場合まで主張が成り立つと仮定する。

\Delta D(X)=D(X+1)-D(X)

と置く。任意の実数 $x$ について $D(x+1)=D(x)=0$ であるから、 $\Delta D(x)=0$ である。 $D$ の $X^n$ の係数を $d_n$ とする。因数分解

(X+1)^n-X^n=((X+1)-X)\sum_{j=0}^{n-1}(X+1)^{n-1-j}X^j

の右辺には最高次項 $X^{n-1}$ をもつ項が $n$ 個あるので、 $(X+1)^n-X^n$ の $X^{n-1}$ の係数は $n$ である。したがって $\Delta D$ の次数は $n-1$ 以下であり、その $X^{n-1}$ の係数は $nd_n$ である。

帰納法の仮定から $\Delta D$ は零多項式であるため、 $nd_n=0$ となる。 $n$ は正の整数であるから $d_n=0$ である。よって $D$ の次数は $n-1$ 以下であり、再び帰納法の仮定から $D$ は零多項式となる。したがって $P$ と $Q$ の対応する係数はすべて等しい。▨

例 1.3. 実数 $a,b,c$ について

ax^2+bx+c=2x^2-5x+3

がすべての実数 $x$ で成り立つことと

a=2,\qquad b=-5,\qquad c=3

となることは同値である。必要性は定理 1.2により、十分性は三つの係数を代入して両辺が同じ式になることにより従う。

2 有限個の値を除く場合

定理 2.1. $S\subset\mathbb R$ を有限集合とする。実数係数多項式 $D(X)$ が、すべての $x\in\mathbb R\setminus S$ で $D(x)=0$ を満たすならば、 $D$ は零多項式である。

証明. $D$ が零多項式でないと仮定し、その次数を $m$ 、最高次係数を $a$ とする。各 $j=0,1,\ldots,m$ に対して

S-j=\{s-j\mid s\in S\}

と置く。有限集合 $(S-0)\cup(S-1)\cup\cdots\cup(S-m)$ の外から実数 $t$ を取ると、 $t,t+1,\ldots,t+m$ はすべて $S$ の外にある。したがって

D(t)=D(t+1)=\cdots=D(t+m)=0

となる。

$\Delta D(X)=D(X+1)-D(X)$ と置く。上の等式から差を順に取ると $\Delta^mD(t)=0$ を得る。一方、定理 1.2の証明で用いた計算により、差を一回取るたびに次数が一つ下がり、最高次係数にはそのときの次数が掛かる。よって $\Delta^mD$ は定数多項式 $m!a$ である。したがって $m!a=0$ となるが、 $m!\ne0$ かつ $a\ne0$ であるため両立しない。ゆえに $D$ は零多項式である。▨

有限個の点を除いて得た多項式の等式を、係数比較を行うことができる恒等式へ移す場合に、この定理を用います。

3 部分分数と共通定義域

例 3.1. 実数 $x\ne1,2$ に対して

\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}

が成り立つように実数 $A,B$ を定める。共通定義域 $\mathbb R\setminus\{1,2\}$ では $(x-1)(x-2)\ne0$ であるから、両辺に $(x-1)(x-2)$ を掛けて

1=A(x-2)+B(x-1)

を得る。この等式は有限個の点を除くすべての実数で成り立つので、定理 2.1により多項式の恒等式である。両辺を

1=(A+B)x+(-2A-B)

と整理し、定理 1.2を適用すると

A+B=0,\qquad -2A-B=1

となる。これを解いて $A=-1,B=1$ を得る。

実際に

-1(x-2)+1(x-1)=1

であるから十分性も成り立つ。したがって、元の共通定義域 $x\ne1,2$ で

\frac{1}{(x-1)(x-2)}=-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}

となる。除外した $x=1,2$ では元の分数式が定まらない。

4 数値代入との使い分け

恒等式へ数値を代入して得られる等式は、その値で恒等式が成り立つための必要条件です。未知係数を決めるために都合のよい値を代入した場合も、最後に係数比較または展開を行い、共通定義域のすべての値で成り立つという十分性を確かめます。

定理 4.1. $P(x),Q(x)$ を実数係数の二次以下の多項式とする。 $r,s,t$ を互いに異なる実数とすると、

P(r)=Q(r),\qquad P(s)=Q(s),\qquad P(t)=Q(t)

であることと、すべての実数 $x$ で $P(x)=Q(x)$ となることは同値である。

証明. $P(x)-Q(x)=ux^2+vx+w$ と書く。 $r,s,t$ での値がすべて $0$ ならば、 $r$ と $s$ での等式の差から

0=u(r^2-s^2)+v(r-s)=(r-s)\{u(r+s)+v\}

を得る。 $r\ne s$ なので $u(r+s)+v=0$ である。同じく、 $r$ と $t$ での等式の差から $u(r+t)+v=0$ を得る。この二つの式の差は $u(s-t)=0$ であり、 $s\ne t$ から $u=0$ となる。したがって $v=0$ 、さらに $r$ での等式から $w=0$ である。

逆に、すべての実数で $P(x)=Q(x)$ ならば、 $r,s,t$ でも値は一致する。▨

問題 4.2. 実数係数の二次以下の多項式 $P(x)$ が

P(-1)=4,\qquad P(0)=1,\qquad P(1)=2

を満たすとき、 $P(x)$ と $P(2)$ を求めよ。また、次数の制限を外すと、同じ三つの値から $P(2)$ は定まらないことを示せ。

解答.

$P(x)=ax^2+bx+c$ と置く。 $P(0)=1$ から $c=1$ であり、残る二つの条件は

a-b=3,\qquad a+b=1

となる。よって $a=2$ 、 $b=-1$ であり、

P(x)=2x^2-x+1,\qquad P(2)=7

を得る。この式は指定された三つの値をとる。定理 4.1により、条件を満たす二次以下の多項式はこの式だけである。

次数の制限がなければ、任意の実数 $\lambda$ に対して

P_\lambda(x)=2x^2-x+1+\lambda x(x-1)(x+1)

も指定された三つの値をとる。ところが $P_\lambda(2)=7+6\lambda$ なので、 $P(2)$ は定まらない。▨

§A1.9恒等式と係数比較

1 係数比較の原理

2 有限個の値を除く場合

3 部分分数と共通定義域

4 数値代入との使い分け

例題

演習