不等式の証明 | 数と式の計算

文字を含む式の大小は、代入する値によって変わります。しかし、値が変わっても一定の範囲を超えない式もあります。たとえば、正の数 $x$ に対する $x+1/x$ の最小値を求めるには、いくつかの値を代入して比べるだけでは、すべての正の数についての結論を得ることができません。

不等式の証明では、与えられた条件を満たすどの値についても大小関係が成り立つ理由を示します。この考え方は、不等式を満たす値の範囲を求める学習から、式の値を一様に評価する学習へ進むための基礎です。最大値や最小値を扱う際には、等号が成り立つ値も大切になります。

本記事では、基本的な不等式の証明を通じて、式の大小を評価する考え方を説明します。

1 差の平方による証明

実数 $A,B$ に対して $A\ge B$ を示すことは、差 $A-B$ が非負であることを示すことと同値です。差を実数の平方や平方の和に表すと、各平方が非負であることを用いることができます。

命題 1.1. 実数 $a,b$ に対して

a^2+b^2\ge2ab

が成り立つ。等号が成り立つことと $a=b$ は同値である。

証明.

a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\ge0

である。差が零となることは $a-b=0$ と同値であるから、等号条件は $a=b$ である。▨

2 相加平均と相乗平均の関係

非負実数 $a,b$ の相加平均は $(a+b)/2$ 、相乗平均は $\sqrt{ab}$ です。平方根を用いた差の表示から、二つの平均を比較します。

命題 2.1. $a,b$ を非負実数とする。このとき

\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}

が成り立つ。等号が成り立つことと $a=b$ は同値である。

証明. $a,b\ge0$ なので、 $\sqrt a,\sqrt b$ は非負実数である。命題 1.1を $\sqrt a,\sqrt b$ に適用し、§A1.2 公式 2.4を用いると

a+b\ge2\sqrt a\sqrt b=2\sqrt{ab}

を得る。両辺を $2$ で割ると、求める不等式が成り立つ。等号条件は $\sqrt a=\sqrt b$ であり、これは $a=b$ と同値である。▨

例 2.2. $x>0$ とする。 $x$ と $1/x$ はともに正なので、相加平均と相乗平均の関係により

\frac{x+1/x}{2}\ge\sqrt{x\cdot\frac1x}=1

となる。よって $x+1/x\ge2$ である。等号条件は $x=1/x$ 、すなわち $x^2=1$ であり、 $x>0$ と合わせると $x=1$ である。 $x=1$ で左辺は $2$ となるので、この範囲での最小値は $2$ である。

注意 2.3. 相加平均と相乗平均の関係では、平均を取る二つの数がそれぞれ非負であることが必要である。実数の平方根 $\sqrt{g(x)}$ が定義される条件は、被開平数 $g(x)$ が非負であることであり、変数 $x$ が非負であることとは異なる。たとえば $\sqrt{x+1}$ は $x\ge-1$ で定義されるので、 $x=-1/2$ でも実数として定まる。

3 二乗による変形と等号条件

命題 3.1. $A,B$ を非負実数とする。このとき

A\ge B\quad\Longleftrightarrow\quad A^2\ge B^2

が成り立つ。

証明. $A\ge B$ ならば $A-B\ge0$ 、 $A+B\ge0$ なので、 $A^2-B^2=(A-B)(A+B)\ge0$ である。逆に $A^2\ge B^2$ とする。 $A+B>0$ ならば正の数 $A+B$ で差を割って $A-B\ge0$ を得る。 $A+B=0$ ならば非負性から $A=B=0$ であり、 $A\ge B$ が成り立つ。▨

二乗を用いて不等式を変形する前に、両辺の非負性を確かめます。平方完成による証明では、どの平方が零になるかによって等号条件を求めます。最大値や最小値を求める場合は、等号条件を満たす値が指定された範囲に存在することも確認します。

4 コーシー・シュワルツの不等式

積の和の平方を、二つの平方和の積で評価します。差の平方による証明では、零成分を含む場合も同じ等号条件で扱います。

命題 4.1 (コーシー・シュワルツの不等式). $a,b,x,y$ を実数とする。このとき

(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge(ax+by)^2

が成り立つ。等号が成り立つことと $ay=bx$ は同値である。

証明. 差を展開すると

\begin{aligned} (a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2 &=a^2y^2+b^2x^2-2abxy\\ &=(ay-bx)^2\ge0 \end{aligned}

となる。差が零となることは $ay-bx=0$ と同値であるから、等号条件は $ay=bx$ である。▨

注意 4.2. 等号条件 $ay=bx$ は $(a,b)=(0,0)$ または $(x,y)=(0,0)$ の場合も含む。成分の比が定義されない場合があるため、等号条件を常に $a:b=x:y$ と書くことはできない。

条件として与えられた一次式を、不等式の右辺に現れる積の和に合わせます。

例 4.3. 実数 $x,y$ が $x+y=1$ を満たすとき、 $x^2+4y^2$ の最小値を求める。命題 4.1を $x,2y,1,1/2$ に適用すると

(x^2+4y^2)\left(1+\frac14\right) \ge \left(x+\frac12\cdot2y\right)^2=1

である。したがって $x^2+4y^2\ge4/5$ である。等号条件は $x/2=2y$ 、すなわち $x=4y$ である。 $x+y=1$ と合わせると $x=4/5,y=1/5$ となる。この組で等号が成り立つので、最小値は $4/5$ である。

問題 4.4. 実数 $x,y$ に $x+y=1$ と $x\ne4y$ を課す。この範囲のすべての $x,y$ について

x^2+4y^2\ge c

が成り立つ実数 $c$ のうち、最大のものを求めよ。また、この範囲で $x^2+4y^2$ が最小値をもつかどうかを調べよ。

解答.

$x=4/5+t$ 、 $y=1/5-t$ と書くことができる。条件 $x\ne4y$ は $t\ne0$ と同値であり、

x^2+4y^2=\frac45+5t^2

である。したがって $c=4/5$ は条件を満たすが、等号を満たす組は存在しない。

$c>4/5$ とすると、

t=\sqrt{\frac{c-4/5}{10}}>0

を選んだ組では

x^2+4y^2=\frac45+\frac{c-4/5}{2}<c

となる。よって求める $c$ の最大値は $4/5$ である。

任意の $t\ne0$ に対し、 $t$ を $t/2$ に替えた組も条件を満たし、

\frac45+5\left(\frac t2\right)^2<\frac45+5t^2

となる。したがって、指定された範囲で $x^2+4y^2$ は最小値をもたない。▨

コーシー・シュワルツの不等式は、平面ベクトルの内積を成分で表した形にも対応します。内積を用いた表示は $|\vec u\cdot\vec v|\le|\vec u||\vec v|$ です。

閑話休題：牛革の伝説と等周不等式 カルタゴを建国したディドー女王に関する伝説では、牛一頭の皮で覆う広さの土地を交渉し、皮を細い帯に切ることで広い土地を得たと伝えられています。この伝説は、境界の長さを定めて面積を最大にする問題を連想させます。ただし、境界の全周の長さを固定する問題と、海岸の一部を境界に用いる問題は区別する必要があります。

平面内の十分に正則な単純閉曲線が囲む領域について、全周の長さを $L$ 、面積を $A$ とすると

L^2\ge4\pi A

という等周不等式が成り立ちます。等号が成り立つ境界は円です。等号条件によって、面積を最大にする図形の形が定まります。

空間で固定した体積に対して表面積を最小にする問題では、球が対応する形です。外力や支持枠の影響を無視し、表面張力が一様な単独の泡を考えるモデルでは、表面エネルギーを最小にする球が現れます。これは平面の等周不等式とは対象の異なる主張ですが、等号の形が最適な図形を定めるという点で対応します。

等周問題の厳密な証明には、面積を最大にする図形が存在するかという問題も関係します。シュタイナーの改善手順には最大図形の存在を仮定する問題があり、19世紀にワイエルシュトラスやエドラーによる厳密な証明が与えられました。改善の手順があることと、最大値が実際に達成されることは別の問題です。最大値の存在は、解析の最大値の定理でも扱います。

§A1.14不等式の証明

1 差の平方による証明

2 相加平均と相乗平均の関係

3 二乗による変形と等号条件

4 コーシー・シュワルツの不等式

例題

演習

前提記事