二項定理 | 数と式の計算

二つの項の和を何度も掛けると、展開した式には同じ次数の項が繰り返し現れます。指数が大きくなるほど、すべての積を書いてから同類項をまとめる計算は長くなります。たとえば、 $(2x-3)^4$ の $x^2$ の係数だけを知りたい場合には、その係数を直接求める規則があると便利です。

二項定理は、非負整数乗の展開で現れる項と係数をまとめて表す公式です。展開公式の学習を一般の指数へ広げるとともに、式全体を展開せずに必要な係数を取り出すための基礎になります。

本記事では、二項定理を導入し、展開や係数の計算に用いる方法を説明します。

1 二項係数とパスカルの三角形

非負整数 $n$ に対して、 $n!=1\cdot2\cdots n$ とし、 $0!=1$ と定めます。整数 $k$ が $0\le k\le n$ を満たすとき、二項係数を

\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}

と定めます。特に $\binom n0=\binom nn=1$ です。組合せの数 ${}_nC_k$ と二項係数が一致することの説明は§B4.3 順列・組合せで扱います。ここでは階乗の式から二項係数を計算します。

例 1.1. $\binom42$ は

\binom42=\frac{4!}{2!2!} =\frac{4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(2\cdot1)}=6

である。端の係数は $\binom40=\binom44=1$ であり、 $n=0$ のときも $\binom00=1$ である。

公式 1.2. $n\ge1$ 、 $1\le k\le n$ を整数とする。このとき

\binom nk=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}k

が成り立つ。ただし $k=n$ の場合、右辺の $\binom{n-1}n$ は $0$ とする。

証明. $1\le k\le n-1$ の場合、階乗の式を通分すると

\begin{aligned} \binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}k &=\frac{k(n-1)!+(n-k)(n-1)!}{k!(n-k)!}\\ &=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\binom nk \end{aligned}

となる。 $k=n$ では両辺は $1$ である。▨

二項係数を $n$ ごとに並べたものを、パスカルの三角形といいます。

例 1.3. $n=0,1,2,3,4$ の二項係数を $k=0,1,\ldots,n$ の順に並べると

\begin{array}{c|ccccc} n=0&1\\ n=1&1&1\\ n=2&1&2&1\\ n=3&1&3&3&1\\ n=4&1&4&6&4&1 \end{array}

となる。

各行の端は $1$ であり、端以外の数は直前の行の隣接する二数の和です。この関係は、階乗から導いた漸化式に対応します。

2 二項定理と一般項

公式 2.1 (二項定理). $n$ を非負整数、 $a,b$ を実数または実数係数多項式とする。このとき

(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk a^{n-k}b^k

が成り立つ。指数が $0$ の因子は定数 $1$ として扱い、 $n=0$ の両辺も $1$ とする。

証明. $n=0$ では両辺は $1$ である。 $n-1$ の場合に公式が成り立つとし、 $n\ge1$ とする。展開した $(a+b)^{n-1}$ に $a+b$ を掛けると、端の項 $a^n,b^n$ の係数はともに $1$ である。 $1\le k\le n-1$ に対して、 $a^{n-k}b^k$ を生じる項は、 $a^{n-1-k}b^k$ に $a$ を掛けた項と、 $a^{n-k}b^{k-1}$ に $b$ を掛けた項である。その係数の和は

\binom{n-1}k+\binom{n-1}{k-1}=\binom nk

であるから、 $n$ の場合の公式も成り立つ。したがって帰納法により、すべての非負整数 $n$ について公式が成り立つ。▨

二項定理の和を $k=0,1,\ldots,n$ の順に書いたとき、第 $(k+1)$ 項 $\binom nk a^{n-k}b^k$ を一般項といいます。指定された次数の係数を求めるには、一般項の文字の次数から $k$ を定め、数値部分を計算します。

例 2.2. $(2x-3)^4$ の $x^2$ の係数を求める。一般項は

\binom4k(2x)^{4-k}(-3)^k

である。 $x$ の次数が $2$ になる条件は $4-k=2$ であり、 $k=2$ である。したがって求める項は

\binom42(2x)^2(-3)^2=6\cdot4x^2\cdot9=216x^2

となり、係数は $216$ である。

$(2x-3)^n$ の場合も、一般項 $\binom nk(2x)^{n-k}(-3)^k$ の次数 $n-k$ を用います。係数の計算には $2^{n-k}$ と $(-3)^k$ が含まれるので、指数と符号をともに確かめます。

二つの冪の積では、展開の前に因子を組み替えると、現れる次数を先に定めることができます。

例 2.3. $n$ を非負整数とする。実数係数多項式として

(1+x)^n(1-x)^n =\bigl((1+x)(1-x)\bigr)^n =(1-x^2)^n =\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk x^{2k}

である。最後の等式には公式 2.1を用いた。したがって、 $0\le k\le n$ に対する $x^{2k}$ の係数は $(-1)^k\binom nk$ であり、奇数次数の項は現れない。二つの因子を別々に展開して掛けた場合にも、奇数次数の項の係数の総和は零になる。

問題 2.4. 実数係数多項式 $(1+x)^8(1-x)^6$ の $x^7$ と $x^8$ の係数を求めよ。

解答.

(1+x)^8(1-x)^6=(1+x)^2(1-x^2)^6 =(1+2x+x^2)\sum_{k=0}^6(-1)^k\binom6k x^{2k}

である。和の中には偶数次数の項しかないので、 $x^7$ は $2x$ と $x^6$ の積だけから生じる。その係数は

2(-1)^3\binom63=-40

である。 $x^8$ は $1$ と $x^8$ の積、および $x^2$ と $x^6$ の積から生じる。その係数は

(-1)^4\binom64+(-1)^3\binom63=15-20=-5

である。▨

閑話休題：パスカルの三角形とフラクタル パスカルの三角形の数を、奇数なら黒、偶数なら白に塗り分けると、段数を増やすにつれて、シェルピンスキーのギャスケットに対応する自己相似の模様が現れます。二項係数の偶奇には、 $n$ と $k$ の2進表示が関係します。 $k$ の各桁が $n$ の対応する桁を超えないとき、かつそのときに限り、 $\binom nk$ は奇数です。この条件は、 $k$ と $n-k$ の2進法の加算で繰り上がりが生じないことと同値です。一般の素数 $p$ で割った余りに対しても、 $p$ 進表示の各桁の二項係数から余りを求めるリュカの定理があります。整数の計算規則と、三角形の模様の繰り返しが結びついています。

1654年のパスカルとフェルマーの往復書簡では、算術三角形の論考と賭金の分配方法が論じられています。二項係数は、二項分布の確率計算にも用いられます。

§A1.12二項定理

1 二項係数とパスカルの三角形

2 二項定理と一般項

例題

演習