§A1.11分数式の計算と定義域

例 1.2. 分数式$\dfrac{x-2}{(x-2)(x+1)}$の定義域は$x\ne2,-1$である。この範囲では$x-2\ne0$なので

と約分することができる。

例 2.2.$x\ne0,-1$とする。二つの分母の共通の倍式$x(x+1)$を用いると

となる。

例 2.3.$x\ne1,-1$とする。通分して分子の差を取ると

となる。引く分子$x-1$の全体に負号を掛ける。

例 2.4.$x\ne1,-1$とする。分子と分母の積を作り、非零の因子を約分すると

となる。結果の式では分母から$x-1$が消えても、元の除外点$x=1$は残る。

例 2.5. 分数式$\dfrac{x}{x-1}\div\dfrac{x+1}{x-2}$を計算する。二つの分母が零でない条件は$x\ne1,2$であり、除数が零でない条件は$x\ne-1$である。この範囲で

となる。逆数を取ると$x-2$は分子へ移るが、元の除数は$x=2$で定義されないので、この除外点を保つ。

例 3.1. 実数$x$について$\dfrac{x-1}{x+2}>0$を解く。定義域は$x\ne-2$である。分子が零になる$x=1$と、分母が零になる$x=-2$で区間を分ける。

$x<-2$では分子と分母がともに負なので商は正である。$-2<x<1$では分子が負で分母が正なので商は負である。$x>1$では両者が正なので商は正である。$x=1$では商は零であり、厳密不等号を満たさない。したがって解は

である。