多項式の加減乗除と展開公式 | 数と式の計算

1 多項式と次数

係数を実数、文字の指数を非負整数として、 $3x^2-2x+5$ のように単項式を有限個加えた式を多項式、または整式といいます。ここでは $x$ を不定元とし、実数係数の多項式の全体を $\R[x]$ と書きます。文字の部分が同じ項を同類項といいます。同類項をまとめた後、係数が $0$ でない項の次数の最大値を、その多項式の次数といいます。すべての係数が $0$ の多項式を零多項式といい、ここではその次数を定めません。零多項式の次数を $-\infty$ とする規約もあります。

例 1.1. $x^2-x^2+x=x$ であるから、この多項式の次数は $1$ である。整理前に $x^2$ が書かれていても、二次式ではない。

2 多項式の加法と減法

同類項は係数を加減して一つの項にまとめます。異なる次数の項は、それぞれの次数の項として残します。

例 2.1. 二次の項、一次の項、定数項をそれぞれまとめると

\begin{aligned} (3x^2-2x+5)+(x^2+4x-1) &=(3+1)x^2+(-2+4)x+(5-1)\\ &=4x^2+2x+4 \end{aligned}

となる。

減法では、引く多項式のすべての項の符号を反転してから加えます。たとえば $-(x^2+4x-1)=-x^2-4x+1$ です。引く多項式を括弧に入れると、符号を反転する範囲が明確になります。

3 分配法則と展開公式

多項式の乗法では分配法則を使い、一方の式の各項を他方の式の各項へ掛け、同類項をまとめます。積を和の形へ書き直す操作を展開といいます。

公式 3.1. $a,b,x$ を実数または実数係数多項式とする。このとき

\begin{aligned} (a+b)^2&=a^2+2ab+b^2,\\ (a-b)^2&=a^2-2ab+b^2,\\ (a+b)(a-b)&=a^2-b^2,\\ (x+a)(x+b)&=x^2+(a+b)x+ab,\\ (a+b)^3&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \end{aligned}

が成り立つ。

証明. 分配法則により

(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2

となる。 $b$ を $-b$ に置き換えると、差の二乗の公式を得る。また

(a+b)(a-b)=a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2

であり

(x+a)(x+b)=x^2+bx+ax+ab=x^2+(a+b)x+ab

となる。三乗は二乗の公式に $a+b$ を掛けて

\begin{aligned} (a+b)^3&=(a^2+2ab+b^2)(a+b)\\ &=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3\\ &=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \end{aligned}

と求めることができる。▨

定理 3.2. $A,B$ を零多項式でない実数係数多項式とし、次数をそれぞれ $m,n$ とする。このとき、 $AB$ の次数は $m+n$ である。

証明. $A$ の最高次の項を $ax^m$ 、 $B$ の最高次の項を $bx^n$ とする。 $a,b$ はともに $0$ でない。積を展開したとき、次数 $m+n$ の項は $ax^m$ と $bx^n$ の積からだけ生じ、その係数は $ab$ である。一方の次数を最高次数より小さく選べば、積の項の次数は $m+n$ より小さくなる。

$ab=0$ ならば非零の数 $a$ で割って $b=0$ となるので、 $ab\ne0$ である。したがって、 $AB$ の最高次数は $m+n$ である。▨

例 3.3. 実数係数多項式 $A=x^2+x$ 、 $B=-x^2+1$ は、ともに二次式である。和は $A+B=x+1$ なので一次式であり、最高次の項が相殺されている。積の次数は、定理 3.2により $2+2=4$ である。積をすべて展開しなくても、最高次の項が $-x^4$ であることから四次式だと分かる。

これらの公式を逆向きに使うと、和の形の式を積の形に書き直す因数分解を行うことができます。

4 多項式の除法

公式 4.1. 実数係数多項式 $A$ と零多項式でない実数係数多項式 $B$ に対して

A=BQ+R

を満たし、 $R=0$ であるか、 $R$ の次数が $B$ の次数より小さい実数係数多項式 $Q,R$ がただ一通り定まる。 $Q$ を商、 $R$ を余りという。 $A=0$ の場合は商も余りも $0$ である。

筆算では、割られる式の最高次の項を消すように商の項を選び、除式とその項の積を引きます。残った式が $0$ になるか、除式より次数が小さくなるまで繰り返します。

例 4.2. $x^2+5x+3$ を $x+2$ で割る。最高次の項を割ると $x^2/x=x$ であるから、商に $x$ を置いて

(x^2+5x+3)-x(x+2)=3x+3

とする。次に $3x/x=3$ であるから、商に $3$ を加えて

(3x+3)-3(x+2)=-3

とする。残り $-3$ の次数は $0$ であり、除式の次数 $1$ より小さいので終了する。したがって商は $x+3$ 、余りは $-3$ であり

x^2+5x+3=(x+2)(x+3)-3

となる。

§A1.10 整式の除法・剰余の定理・因数定理では、基礎の計算に続いて、余りと代入値の関係、余りが $0$ となる条件を扱います。

5 符号と検算

展開後は、 $x^2$ の項、 $x$ の項、定数項をそれぞれ集め、同類項をまとめます。減法では、括弧を外す際に各項の符号を反転したかを確かめます。

注意 5.1. 展開の検算として、 $x=1$ や $x=2$ を展開前と展開後の式へ代入し、値を比較することができる。値が異なれば計算は誤りである。ただし、いくつかの値で一致することだけでは、多項式が等しいことの証明にはならない。

閑話休題：三つの積による乗法 十進表記 $237$ は、 $2x^2+3x+7$ に $x=10$ を代入した値です。数の乗法にも、多項式の展開と同じ分配法則を使います。 $n$ 桁どうしの通常の筆算では、1桁どうしの乗法を約 $n^2$ 回行います。1960年、コルモゴロフはこれより本質的に速い方法はないだろうとセミナーで予想しましたが、23歳の学生カラツバが1週間後に別の方法を示したと伝えられています。

$(ax+b)(cx+d)$ の展開で必要な係数は $ac$ 、 $ad+bc$ 、 $bd$ です。ここで

ad+bc=(a+b)(c+d)-ac-bd

なので、 $ac$ 、 $bd$ 、 $(a+b)(c+d)$ の三つの積から全係数を求めることができます。桁を半分に分けてこの方法を繰り返すと、乗法の回数はおよそ $n^{1.58}$ に減ります。

その後はフーリエ変換を使った高速乗算が開発され、2019年には $n\log n$ 級の方法が得られました。この計算量は理論限界の候補と考えられています。高速乗算は、暗号で用いる数百桁の整数の演算や、円周率の兆桁計算にも使われています。

§A1.3多項式の加減乗除と展開公式

1 多項式と次数

2 多項式の加法と減法

3 分配法則と展開公式

4 多項式の除法

5 符号と検算

例題

演習