2次関数 | 数と式の計算

1 平方完成と頂点・軸

実数 $x$ の値を定めると、それに対応する値 $y$ が一つ定まるとき、 $y$ は $x$ の関数であるといいます。横軸に $x$ 、縦軸に $y$ をとり、対応する点 $(x,y)$ を集めたものが関数のグラフです。入力 $x$ が動く範囲を定義域といいます。

$a,b,c$ を実数、 $a\ne0$ とした $y=ax^2+bx+c$ を二次関数といいます。まず定義域を実数全体とします。そのグラフを放物線といいます。平方完成によって、放物線の位置と向きを調べます。

公式 1.1. $a,b,c$ を実数、 $a\ne0$ とし、 $p=-b/(2a)$ 、 $q=c-b^2/(4a)$ と置く。二次関数は

y=ax^2+bx+c=a(x-p)^2+q

と表される。グラフは直線 $x=p$ に関して対称であり、この直線を軸と呼ぶ。軸上の点 $(p,q)$ を頂点と呼ぶ。 $a>0$ のときグラフは下に凸、 $a<0$ のとき上に凸である。

証明. 平方完成の等式は§A1.5 公式 4.2による。任意の実数 $t$ に対して、 $x=p+t$ と $x=p-t$ で関数値はともに $at^2+q$ となるので、グラフは $x=p$ に関して対称である。 $x=p$ で $y=q$ となり、 $a>0$ ならそこから左右へ離れるほど関数値は大きくなる。 $a<0$ なら関数値は小さくなる。▨

例 1.2. $y=x^2-4x+1=(x-2)^2-3$ の頂点は $(2,-3)$ 、軸は $x=2$ である。係数が $1$ でない場合も

y=2x^2-8x+5=2(x-2)^2-3

と平方完成すると、頂点は $(2,-3)$ 、軸は $x=2$ となる。 $x=1,3$ ではともに $y=-1$ となり、軸に関して対称な二点を得る。

下の図は $a=1$ の場合です。 $p,q$ を動かすと頂点の位置が変わります。係数 $a$ が負の場合の向きは、上の平方の係数から判断します。

2 最大値と最小値

定義域に属するすべての $x$ で関数値がある値以下であり、その値を実際にとるとき、その値を最大値といいます。最小値は、すべての関数値以下であって実際にとる値です。

公式 2.1. $a,p,q$ を実数、 $a\ne0$ とし、 $y=a(x-p)^2+q$ の定義域を実数全体とする。 $a>0$ のとき、 $x=p$ で最小値 $q$ をとり、最大値はない。 $a<0$ のとき、 $x=p$ で最大値 $q$ をとり、最小値はない。

証明. $(x-p)^2\ge0$ であり、等号は $x=p$ のときだけ成り立つ。 $a>0$ なら $y\ge q$ 、 $a<0$ なら $y\le q$ となる。 $|x-p|$ を大きくすると、 $a>0$ では関数値はいくらでも大きくなり、 $a<0$ ではいくらでも小さくなるので、もう一方の極値は存在しない。▨

定義域を有界閉区間 $l\le x\le r$ （ $l<r$ ）に制限すると、両端の値と、区間に属する場合の頂点の値を比較して最大値・最小値を求めます。 $(x-p)^2$ は $p$ からの距離の二乗なので、その距離が最も小さい点と最も大きい点を調べればよいからです。

例 2.2. $y=2(x-2)^2-3$ を $0\le x\le3$ で考える。頂点の $x$ 座標 $2$ は定義域に属し、端点と頂点で

y(0)=5,\qquad y(2)=-3,\qquad y(3)=-1

となる。したがって最小値は $-3$ （ $x=2$ ）、最大値は $5$ （ $x=0$ ）である。

同じ関数を $3\le x\le4$ で考えると、頂点は定義域の外にある。 $x$ が $3$ から $4$ へ増えると $x-2$ は正で大きくなるので、関数値も増える。よって最小値は $-1$ （ $x=3$ ）、最大値は $5$ （ $x=4$ ）である。

問題 2.3. $m$ を実数とする。 $0\le x\le2$ における二次関数

y=x^2-2mx

の最大値と最小値、および各値をとる $x$ を、 $m$ の値によって場合分けして求めよ。

解答.

平方完成すると

y=(x-m)^2-m^2

であり、軸は $x=m$ である。最小値は、区間 $0\le x\le2$ のうち $m$ に最も近い点でとる。

$m<0$ では $x=0$ が最も近いので、最小値は $0$ である。 $0\le m\le2$ では $x=m$ が区間に属するので、最小値は $-m^2$ である。 $m>2$ では $x=2$ が最も近いので、最小値は $4-4m$ である。したがって

\min y= \begin{cases} 0 & (m<0),\\ -m^2 & (0\le m\le2),\\ 4-4m & (m>2). \end{cases}

各場合で最小値をとる $x$ は、それぞれ $0,m,2$ である。

最大値は、 $m$ から最も遠い端点でとる。両端の値は

y(0)=0,\qquad y(2)=4-4m

なので、 $m<1$ では最大値が $4-4m$ 、その値をとる点が $x=2$ となる。 $m>1$ では最大値が $0$ 、その値をとる点が $x=0$ となる。 $m=1$ では

y=(x-1)^2-1

であり、両端 $x=0,2$ で最大値 $0$ をとる。 $0<x<2$ では $(x-1)^2<1$ なので、ほかに最大値をとる点はない。▨

注意 2.4. 定義域が端点を含まない場合には、最大値・最小値が存在するとは限らない。たとえば $y=x^2$ を $1<x<2$ で考えると $1<y<4$ であるが、 $1$ も $4$ も関数値としてとらない。任意の $x$ に対して、 $1$ に近い点ではより小さい値を、 $2$ に近い点ではより大きい値をとるので、最小値も最大値もない。

3 判別式と実数解の配置

公式 3.1. $a,b,c$ を実数、 $a\ne0$ とし、二次関数 $y=ax^2+bx+c$ の定義域を実数全体とする。 $D=b^2-4ac$ と置くと、頂点は

\left(-\frac b{2a},-\frac D{4a}\right)

である。したがって、頂点が $x$ 軸上にあるための必要十分条件は $D=0$ である。グラフと $x$ 軸の共有点の個数は、 $D>0$ のとき二個、 $D=0$ のとき一個、 $D<0$ のとき零個である。

証明.公式 1.1により、頂点の座標は $(-b/(2a),c-b^2/(4a))$ である。

c-\frac{b^2}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac D{4a}

なので、頂点の高さは $-D/(4a)$ であり、 $a\ne0$ より、この高さが零となることと $D=0$ は同値である。グラフと $x$ 軸の共有点では $y=0$ なので、共有点の $x$ 座標は $ax^2+bx+c=0$ の実数解と一致する。共有点の個数は§A1.5 公式 5.1による。▨

解の個数だけでは、解がある区間に属するかどうかは定まりません。軸の位置、区間の端点での関数値の符号、放物線の向きをあわせて調べます。

例 3.2. $y=2(x-2)^2-3$ では $D=24>0$ なので実数解は二つである。解は $2\pm\sqrt{3/2}$ であり、 $0<\sqrt{3/2}<2$ なので二つとも正である。また $1<\sqrt{3/2}<2$ なので、一方の解は $0$ と $1$ の間、他方は $3$ と $4$ の間にある。関数値も $y(0)=y(4)=5>0$ 、 $y(1)=y(3)=-1<0$ となり、この配置と一致する。

閑話休題：放物線の相似 $y=x^2$ と $y=100x^2$ は、同じ座標尺度で描くと開き方が異なる。しかし、後者のグラフを縦横ともに $100$ 倍に拡大すると、前者に重なる。実際に $x=X/100$ 、 $y=Y/100$ を代入すると

\frac Y{100}=100\left(\frac X{100}\right)^2\iff Y=X^2

となる。

一般に $y=a(x-p)^2+q$ （ $a,p,q$ は実数、 $a\ne0$ ）の頂点を原点へ平行移動すると $v=au^2$ となる。 $a<0$ の場合は横軸に関して反射して $v=|a|u^2$ とする。その後、縦横ともに $|a|$ 倍し、 $U=|a|u$ 、 $V=|a|v$ と置くと $V=U^2$ となる。よってすべての放物線は互いに相似である。

楕円や双曲線では、一般に軸の長さの比が異なる図形は相似ではない。楕円の長半径を $r$ 、短半径を $s$ （ $r\ge s>0$ ）とすると、軸の比は $s/r$ 、離心率は $\sqrt{1-(s/r)^2}$ である。相似によって軸の比が保たれるので、離心率も保たれる。

放物線を用いる衛星アンテナやヘッドライトの反射鏡では、相似な放物線の尺度を変えると寸法も変わる。ただし、放物線全体を一つ定めても、どの範囲の部分を用いるかはまだ定まらない。相似な曲線であることと、利用する部分の寸法を選ぶことは区別する必要がある。平方完成は、二次関数のグラフを平行移動・必要な反射・拡大縮小によって $y=x^2$ へ移すことを示している。

4 平方完成の検算

$(x-2)^2=x^2-4x+4$ なので、 $x^2-4x+1$ と等しくするには定数項から $3$ を引きます。平方完成の結果を展開し直すと、元の各係数と一致するかを確かめることができます。最大値・最小値を求める場合には、その値をとる点が定義域に属することも確かめます。

§A1.62次関数

1 平方完成と頂点・軸

2 最大値と最小値

3 判別式と実数解の配置

4 平方完成の検算

例題

演習