§A1.82次不等式

1 二次不等式とグラフの符号

$a,b,c$を実数、$a\ne0$とします。実数$x$について$ax^2+bx+c>0$、$ax^2+bx+c<0$、$ax^2+bx+c\ge0$、$ax^2+bx+c\le0$の形の不等式を二次不等式といいます。解は、その不等式を満たす$x$の集合です。

対応するグラフ$y=ax^2+bx+c$では、$y>0$は$x$軸より上の点、$y<0$は下の点を表します。$y=0$となる点は$x$軸上です。したがって広義不等号では、該当する側の点と$x$軸上の点をあわせて調べます。

下の図は$a=1$の場合です。$b,c$を変えると、グラフと$x$軸の共有点が変わります。縦帯は$x^2+bx+c<0$を満たす$x$の範囲を表します。図で観察した符号を、以下では因数分解と平方完成によって確かめます。

2 係数の符号と実数解による分類

最高次係数が負の場合には、不等式の両辺を$-1$倍して、不等号を反転させます。§A1.7 公式 1.1により同じ解が保たれ、最高次係数が正の式に帰着します。以下では$a>0$とし、判別式$D=b^2-4ac$によって場合を分けます。境界となる実数解は、因数分解または§A1.5 公式 5.1から求めます。

3 判別式が零または負の場合

4 全実数上で非負となる条件

不等式の証明では、二次式がすべての実数で非負となる条件を用います。上の三分類をまとめると、次の形になります。

解答.

$f(x)=ax^2+bx+c$と置く。$a<0$ならば、$-f(x)$の最高次係数は正であり、$f(x)\le0$は$-f(x)\ge0$と同値である。最高次係数が正の二次式について、判別式が正ならば公式 2.1により非負となる範囲は二つの根の外側であり、判別式が零以下ならば公式 4.1によりすべての実数で非負となる。したがって$a<0$の場合の解は、指定された有界な区間にならない。

よって$a>0$である。公式 3.3により判別式が負なら解はなく、公式 3.1により零なら解は一つの実数だけなので、判別式は正である。二つの根を$\alpha<\beta$とすると、公式 2.1により解は$\alpha\le x\le\beta$である。指定された区間との一致から$\alpha=-1$、$\beta=2$となる。したがって

$$f(x)=a(x+1)(x-2),\qquad a>0$$

でなければならない。逆に、この形の二次式は、$a>0$であるため、ちょうど$-1\le x\le2$で非正となる。求める二次式はこの形のすべてである。

さらに$f(0)=-4$ならば$-2a=-4$より$a=2$であり、

$$f(x)=2(x+1)(x-2)=2x^2-2x-4$$

となる。したがって$a=2$、$b=-2$、$c=-4$である。▨