§E21.10被覆の分類とデック変換

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同じ底空間の上にある被覆を比較するとき、局所的なシートの表示だけでは、被覆全体の同型や対称性は明らかにならない。ループの持ち上げは一点の上のファイバーに基本群の作用を与え、被覆の間の写像は、この作用を保つファイバーの間の写像によって記述される。被覆写像との合成を変えない同相写像をデック変換といい、たとえば正の整数nnに対する円周のnn重被覆z↦znz\mapsto z^nでは、11のnn乗根を掛ける回転がデック変換となる。ファイバーへの作用を用いる記述は、被覆の分類と対称性の計算を群論の問題に帰着させる。本記事では、普遍被覆をもつ局所弧状連結な空間の連結被覆を、基本群の部分群の共役類によって分類し、デック変換群を対応する部分群の正規化群の商として表す。

1 被覆とその間の写像

定義 1.1. 連続写像p:E→Xp:E\to Xが 空のファイバーを許す被覆写像 (covering map with possibly empty fibers) であるとは、各x∈Xx\in Xに開近傍UUが存在し、p−1(U)p^{-1}(U)が互いに交わらない開集合VλV_\lambdaの和に分かれ、各p∣Vλ:Vλ→Up|_{V_\lambda}:V_\lambda\to Uが同相になることをいう。添字集合は空でもよい。空のファイバーを許す被覆写像が全射である場合が、被覆写像である。

定義 1.2. 空のファイバーを許す被覆写像p:E→Xp:E\to X、p′:E′→Xp':E'\to Xについて、p′F=pp'F=pを満たす連続写像F:E→E′F:E\to E'を 被覆の間の写像 (map of coverings) という。その全体をMap⁡X(E,E′)\operatorname{Map}_X(E,E')と書く。

定義 1.3. 空のファイバーを許す被覆写像p:E→Xp:E\to Xに対し、pD=ppD=pを満たす同相D:E→ED:E\to Eを デック変換 (deck transformation) といい、その全体をDeck⁡(p)\operatorname{Deck}(p)と書く。

命題 1.4.p:E→Xp:E\to Xを空のファイバーを許す被覆写像とする。

  1. Deck⁡(p)\operatorname{Deck}(p)は合成について群をなす。この群を デック変換群 (deck transformation group) という。
  2. EEが連結で、二つのデック変換が一点で一致するならば、両者は等しい。とくに恒等写像でないデック変換は固定点を持たない。

証明.主張 (1)を示す。恒等写像はデック変換である。pD=ppD=p、pD′=ppD'=pならばpDD′=ppDD'=pであり、pD−1=pDD−1=ppD^{-1}=pDD^{-1}=pでもある。よって同相写像の群の部分群をなす。

主張 (2)を示す。EEが空ならば一致は自明である。空でない場合、p:E→p(E)p:E\to p(E)は被覆写像であり、二つのデック変換はppの持ち上げである。§E21.5 補題 2.1により、連結な定義域で一点の値が等しければ全体で等しい。恒等写像との比較により固定点の主張を得る。▨

定義 1.5. 被覆の間の写像であって同相であるものを 被覆の同型 (isomorphism of coverings) という。基点付き被覆の同型には基点を保つ条件も課す。連結な全空間を持つ被覆p:E→Xp:E\to Xについて、Deck⁡(p)\operatorname{Deck}(p)が各ファイバーに可移に作用するとき、ppを 正規被覆 (regular covering) という。

命題 1.6.p:E→Xp:E\to Xを空のファイバーを許す被覆写像とする。

  1. p(E)p(E)は開かつ閉であり、E→p(E)E\to p(E)は被覆写像である。
  2. ファイバーの濃度x↦∣p−1(x)∣x\mapsto|p^{-1}(x)|は局所定数である。
  3. XXが連結ならば、E=∅E=\varnothingまたはppは全射である。
  4. 空のファイバーを許す被覆p′:E′→Xp':E'\to Xに対し、E×XE′={(e,e′)∣p(e)=p′(e′)}E\times_XE'=\{(e,e')\mid p(e)=p'(e')\}からXXへの写像も空のファイバーを許す被覆である。

証明.主張 (1)と主張 (2)を示す。均等被覆近傍UUの上では、各ファイバーはシートの添字集合Λ\Lambdaと全単射である。Λ\Lambdaが空ならUUは像と交わらず、空でなければUUは像に含まれる。したがって像とその補集合は開であり、濃度はUU上で一定である。像への制限は同じシートで均等被覆される。

主張 (3)を示す。連結なXXの空でない開閉集合は全体なので主張 (3)を得る。

主張 (4)を示す。p,p′p,p'の共通の均等被覆近傍UUを取り、そのシートをVλ,Vμ′V_\lambda,V'_\muとする。ファイバー積の開集合(Vλ×Vμ′)∩(E×XE′)(V_\lambda\times V'_\mu)\cap(E\times_XE')は、x↦((p∣Vλ)−1(x),(p′∣Vμ′)−1(x))x\mapsto((p|_{V_\lambda})^{-1}(x),(p'|_{V'_\mu})^{-1}(x))によってUUと同相である。これらは互いに交わらず逆像を覆う。▨

命題 1.7.XXを局所弧状連結な空間、p:E→Xp:E\to Xを空のファイバーを許す被覆写像とする。

  1. EEは局所弧状連結であり、その各連結成分は開かつ弧状連結である。
  2. EEの各連結成分CCの像はXXの一つの連結成分XCX_Cに等しく、p∣C:C→XCp|_C:C\to X_Cは被覆写像である。
  3. XXが空でなく連結ならば、各CCは各ファイバーと交わり、p∣C:C→Xp|_C:C\to Xは被覆写像である。

証明.主張 (1)を示す。EEはXXと局所同相なので局所弧状連結である。§E2.43 定理 8.4により連結成分は開であり、弧状連結成分に一致する。

主張 (2)を示す。CCを一つの成分とすると、その連続像は一つの成分XCX_Cに含まれる。XCX_Cの点xxを取り、p(C)p(C)の点からxxへの道を選ぶ。CCの点からこの道を持ち上げると、その像はCC内にあり、終点はxxの上にある。ゆえにp(C)=XCp(C)=X_Cである。弧状連結な均等被覆近傍の各シートは弧状連結なので、CCに含まれるかCCと交わらない。したがってp∣Cp|_Cは被覆である。

主張 (3)を示す。XXが連結ならXC=XX_C=Xである。▨

例 1.8.

  1. 離散空間X={a,b}X=\{a,b\}の恒等被覆の成分{a}\{a\}はXX全体に写らない。底空間の連結性は命題 1.7 (3)に必要である。
  2. X={0}∪{1/n∣n≥1}⊂RX=\{0\}\cup\{1/n\mid n\geq1\}\subset\Rの恒等被覆では、連結成分{0}\{0\}は開でない。局所弧状連結性は命題 1.7 (1)から外すことができない。

2 モノドロミーと写像の対応

命題 2.1.p:E→Xp:E\to Xを空のファイバーを許す被覆、x0∈Xx_0\in X、F=p−1(x0)F=p^{-1}(x_0)、G=π1(X,x0)G=\pi_1(X,x_0)とする。

  1. e⋅[γ]e\cdot[\gamma]をeeから始まるγ\gammaの持ち上げの終点とすると、これはFF上の右GG作用を定める。これを モノドロミー作用 (monodromy action) という。
  2. e∈Fe\in Fの安定化群はp∗π1(E,e)p_*\pi_1(E,e)である。
  3. XXが連結かつ局所弧状連結ならば、C↦C∩FC\mapsto C\cap FはEEの連結成分とFFの軌道を一対一に対応させる。したがってEEが空でなく連結であることは、FFが空でなく推移的であるための必要十分条件である。
  4. 被覆の間の写像Φ:E→E′\Phi:E\to E'は同変写像Φx0:F→F′\Phi_{x_0}:F\to F'を誘導する。ファイバーへの制限は合成と恒等写像を保つ。
  5. E×XE′E\times_XE'のファイバーF×F′F\times F'の作用は(e,e′)⋅g=(e⋅g,e′⋅g)(e,e')\cdot g=(e\cdot g,e'\cdot g)である。

証明.主張 (1)を示す。F=∅F=\varnothingの場合には一意な空集合上の作用を取る。e∈Fe\in Fがある場合、x0x_0から始まる道の像は開かつ閉なp(E)p(E)に含まれる。したがって被覆E→p(E)E\to p(E)に持ち上げ定理を適用することができる。端点固定ホモトピーの持ち上げは端点を保つので作用は代表元によらない。定値道の持ち上げは定値であり、α∗β\alpha*\betaの持ち上げはα\alphaの持ち上げと、その終点からのβ\betaの持ち上げの連結である。ゆえにe⋅1=ee\cdot1=e、(e⋅[α])⋅[β]=e⋅([α][β])(e\cdot[\alpha])\cdot[\beta]=e\cdot([\alpha][\beta])である。

主張 (2)を示す。ループの持ち上げが閉じることは、そのループの類がEE内の基点付きループの像であるための必要十分条件である。片方向は持ち上げをそのまま用い、逆方向は像と元のループの端点固定ホモトピーを持ち上げる。これにより安定化群を得る。

主張 (3)を示す。同じ軌道の二点は持ち上げた道で結ばれる。逆に同じ成分の二点は命題 1.7 (1)により道で結ばれ、その射影はループなので同じ軌道にある。全成分がファイバーと交わることは命題 1.7 (3)による。

主張 (4)を示す。Φ\Phiと道の持ち上げの合成は、Φ(e)\Phi(e)から始まる同じ道の持ち上げである。一意性によりその終点はΦ(e⋅g)=Φ(e)⋅g\Phi(e\cdot g)=\Phi(e)\cdot gを満たす。合成と恒等写像の等式は制限の定義による。

主張 (5)を示す。二つの持ち上げの組はファイバー積内の持ち上げなので、主張 (5)も従う。▨

定理 2.2.XXを空でない連結かつ局所弧状連結な空間、x0∈Xx_0\in X、G=π1(X,x0)G=\pi_1(X,x_0)とする。このとき、空のファイバーを許す二つの被覆p:E→Xp:E\to X、p′:E′→Xp':E'\to Xについて、制限写像

Map⁡X(E,E′)⟶Map⁡G(p−1(x0),p′−1(x0)),Φ⟼Φx0\operatorname{Map}_X(E,E')\longrightarrow \operatorname{Map}_G(p^{-1}(x_0),p'^{-1}(x_0)),\qquad \Phi\longmapsto\Phi_{x_0}

は全単射である。

証明. 各成分CCはファイバーと交わるので、同じ制限を持つ二つの写像はCC上の一点で一致する。§E21.5 補題 2.1によりCC全体で一致し、したがってEE上で一致する。

同変写像f:F→F′f:F\to F'を取る。EEが空ならば空写像が求める写像である。各成分CCでe∈C∩Fe\in C\cap Fを選ぶ。同変性と命題 2.1 (2)により

p∗π1(C,e)⊆p∗′π1(E′,f(e))p_*\pi_1(C,e)\subseteq p'_*\pi_1(E',f(e))

である。F′F'は空でないのでp′p'は全射であり、§E21.5 定理 3.1によりp∣Cp|_Cの持ち上げΦC:C→E′\Phi_C:C\to E'でΦC(e)=f(e)\Phi_C(e)=f(e)を満たすものが存在する。C∩FC\cap Fは推移的なので、その各点をe⋅ge\cdot gと書くと、ΦC(e⋅g)=f(e)⋅g=f(e⋅g)\Phi_C(e\cdot g)=f(e)\cdot g=f(e\cdot g)である。各成分は開集合であるから、これらの写像は連続なΦ:E→E′\Phi:E\to E'に貼り合わされる。その制限はffである。▨

系 2.3.XXを空でない連結かつ局所弧状連結な空間とする。このとき、空のファイバーを許す被覆の間の写像Φ:E→E′\Phi:E\to E'が同型であることは、一つのファイバーへの制限が全単射であるための必要十分条件である。x0∈Xx_0\in X、G=π1(X,x0)G=\pi_1(X,x_0)と置くと、とくにDeck⁡(p)≅Aut⁡G(p−1(x0))\operatorname{Deck}(p)\cong\operatorname{Aut}_G(p^{-1}(x_0))である。

証明. 同変な全単射の逆写像は同変である。定理 2.2によりその逆を被覆の間の写像へ延長すると、両合成の制限は恒等写像になる。同定理の単射性により、両合成は全体で恒等写像である。群の同型は命題 2.1 (4)の合成との両立による。▨

3 群作用による被覆の構成

補題 3.1.

  1. 群GGが空間YYに同相写像として左から作用し、各点がg≠1g\neq1ならばgV∩V=∅gV\cap V=\varnothingとなる開近傍VVを持つとする。軌道写像r:Y→G\Yr:Y\to G\backslash Yは開かつ被覆写像であり、r−1(r(V))=∐g∈GgVr^{-1}(r(V))=\coprod_{g\in G}gV、各r∣gV:gV→r(V)r|_{gV}:gV\to r(V)は同相である。
  2. XXを局所弧状連結とし、p:Y→Xp:Y\to Xを空のファイバーを許す被覆とする。群HHがYYに同相写像として自由に左作用し、p(hy)=p(y)p(hy)=p(y)を満たすならば、この作用は前項の近傍条件を満たす。誘導写像pˉ:H\Y→X\bar p:H\backslash Y\to Xは空のファイバーを許す被覆である。

証明.主張 (1)を示す。開集合A⊆YA\subseteq Yに対し、r−1(r(A))=⋃g∈GgAr^{-1}(r(A))=\bigcup_{g\in G}gAは開なので、rrは開写像である。y,y′∈Vy,y'\in Vでr(y)=r(y′)r(y)=r(y')ならばy′=gy∈gV∩Vy'=gy\in gV\cap Vなのでg=1g=1、y=y′y=y'である。gV∩g′V=g(V∩g−1g′V)gV\cap g'V=g(V\cap g^{-1}g'V)により、異なる移動像は交わらない。制限は全単射な開連続写像なので同相であり、主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。底空間の弧状連結な均等被覆近傍UUを取る。その上のシートはp−1(U)p^{-1}(U)の弧状連結成分なので、各hhはシートを置換する。hV∩V≠∅hV\cap V\neq\varnothingならばhV=VhV=Vとなる。p(hy)=p(y)p(hy)=p(y)とp∣Vp|_Vの単射性からhy=yhy=yであり、自由性からh=1h=1である。

pˉ\bar pは商の普遍性により連続である。pˉ−1(U)\bar p^{-1}(U)はシートの像r(V)r(V)の和であり、それらは同じHH軌道に属すれば一致し、そうでなければ交わらない。各像はrrが開なので開であり、その上のpˉ\bar pの逆写像はr∘(p∣V)−1r\circ(p|_V)^{-1}である。これらが所要のシートを与える。▨

定理 3.2.XXを空でない連結かつ局所弧状連結かつ半局所単連結な空間、x0∈Xx_0\in Xとする。道の類による普遍被覆をq:(X~,x~0)→(X,x0)q:(\widetilde X,\widetilde x_0)\to(X,x_0)、G=π1(X,x0)G=\pi_1(X,x_0)と置く。g=[ω]∈Gg=[\omega]\in Gに対し

Tg([α])=[ω∗α]T_g([\alpha])=[\omega*\alpha]

はデック変換であり、g↦Tgg\mapsto T_gは同型G≅Deck⁡(q)G\cong\operatorname{Deck}(q)を与える。

証明. 端点固定ホモトピーは道の連結で保たれるので、TgT_gは代表元によらない。qTg=qqT_g=qであり、基本開集合B([α],U)B([\alpha],U)はB([ω∗α],U)B([\omega*\alpha],U)へ写る。Tg−1T_{g^{-1}}が逆写像であるから、TgT_gは同相である。道の結合律によりTgTh=TghT_gT_h=T_{gh}であり、Tg(x~0)=[ω]T_g(\widetilde x_0)=[\omega]によりこの準同型は単射である。

DDを任意のデック変換とする。D(x~0)D(\widetilde x_0)はx0x_0の上の点なので、基点付きループω\omegaの類である。DDとT[ω]T_{[\omega]}はx~0\widetilde x_0で一致し、命題 1.4により全体で一致する。▨

定義 3.3. 空でない連結かつ局所弧状連結かつ半局所単連結な空間XXと基点x0x_0に対し、道の類の普遍被覆をq:X~→Xq:\widetilde X\to Xとする。H≤G=π1(X,x0)H\leq G=\pi_1(X,x_0)に対して、ThT_hの作用の軌道空間をEH=H\X~E_H=H\backslash\widetilde X、商写像をrHr_H、eH=H⋅x~0e_H=H\cdot\widetilde x_0と書く。

命題 3.4.X,x0,H,EHX,x_0,H,E_Hを定義 3.3の設定とする。このとき、qH(H⋅x~)=q(x~)q_H(H\cdot\widetilde x)=q(\widetilde x)は連結被覆qH:EH→Xq_H:E_H\to Xを定め、(qH)∗π1(EH,eH)=H(q_H)_*\pi_1(E_H,e_H)=Hである。

証明.ThT_hはqqのファイバーを保つのでqHq_Hは定まる。X~\widetilde Xは連結であり、非自明なThT_hは固定点を持たない。補題 3.1 (2)によりqHq_Hは空のファイバーを許す被覆であり、q=qHrHq=q_Hr_Hの全射性から全射である。EHE_Hは弧状連結なX~\widetilde Xの連続像なので連結である。

基点付きループω\omegaの標準持ち上げω^\widehat\omegaにrHr_Hを合成すると、eHe_Hから始まる持ち上げを得る。その終点H⋅[ω]H\cdot[\omega]がeHe_Hに等しいことは[ω]∈H[\omega]\in Hであるための必要十分条件である。命題 2.1 (2)により所要の部分群を得る。▨

補題 3.5.定義 3.3の設定において、

H\G⟶qH−1(x0),Hg⟼H⋅Tg(x~0)H\backslash G\longrightarrow q_H^{-1}(x_0),\qquad Hg\longmapsto H\cdot T_g(\widetilde x_0)

は右乗法作用とモノドロミー作用の間の同変同型である。H=1H=1では普遍被覆のファイバーは右正則作用を持つGGと同変同型である。

証明.q−1(x0)q^{-1}(x_0)は基点付きループの類の集合なので、g↦Tg(x~0)g\mapsto T_g(\widetilde x_0)は全単射であり、左HH作用と両立する。その商は表示した全単射である。ループγ\gammaの標準持ち上げをTgT_gで写すと、Tg(x~0)T_g(\widetilde x_0)から始まりTg[γ](x~0)T_{g[\gamma]}(\widetilde x_0)で終わる持ち上げになる。さらにrHr_Hを合成して同変性を得る。▨

4 連結被覆の分類

定理 4.1.XXを空でない連結かつ局所弧状連結かつ半局所単連結な空間、x0∈Xx_0\in X、G=π1(X,x0)G=\pi_1(X,x_0)とする。このとき、基点付き連結被覆の基点を保つ同型類とGGの部分群は、(p:E→X,e0)↦p∗π1(E,e0)(p:E\to X,e_0)\mapsto p_*\pi_1(E,e_0)によって一対一に対応する。逆対応はH↦(EH,eH)H\mapsto(E_H,e_H)である。

証明. 連結被覆(E,e0)(E,e_0)のファイバーFFは推移的な右GG集合であり、e0e_0の安定化群はH=p∗π1(E,e0)H=p_*\pi_1(E,e_0)である。§E7.13 命題 4.1 (3)によりHg↦e0⋅gHg\mapsto e_0\cdot gは同変同型H\G→FH\backslash G\to Fである。補題 3.5と合成すると、eHe_Hをe0e_0へ写すファイバーの同変同型を得る。定理 2.2と系 2.3により、これは基点を保つ被覆の同型EH≅EE_H\cong Eを誘導する。

基点を保つ同型は基本群の像を変えない。一方、命題 3.4によりEHE_Hに対応する部分群はHHなので、二つの対応は互いに逆である。▨

定理 4.2. 空でない連結かつ局所弧状連結かつ半局所単連結な空間XXの連結被覆の同型類は、G=π1(X,x0)G=\pi_1(X,x_0)の部分群の共役類と一対一に対応する。

証明. 基点付き連結被覆の分類により、すべての連結被覆に対して、それと同型なEHE_Hが存在する。二つの被覆が同型であることは、系 2.3によりファイバーH\GH\backslash GとK\GK\backslash Gが同変同型であるための必要十分条件である。§E7.13 命題 4.1 (4)により、この条件はH,KH,Kが共役であることに等しい。▨

定理 4.3.XXを空でない連結かつ局所弧状連結な空間、p:(E,e0)→(X,x0)p:(E,e_0)\to(X,x_0)を連結被覆とし、G=π1(X,x0)G=\pi_1(X,x_0)、H=p∗π1(E,e0)H=p_*\pi_1(E,e_0)と置く。このときDeck⁡(p)≅NG(H)/H\operatorname{Deck}(p)\cong N_G(H)/Hである。

証明.系 2.3と同変同型Hg↦e0⋅gHg\mapsto e_0\cdot gを用いると、Deck⁡(p)≅Aut⁡G(H\G)\operatorname{Deck}(p)\cong\operatorname{Aut}_G(H\backslash G)を得る。§E7.13 命題 4.2の同型を合成すると結論を得る。nHnHに対応するデック変換はe0e_0をe0⋅ne_0\cdot nへ写す。▨

定理 4.4.XXを空でない連結かつ局所弧状連結な空間、p:(E,e0)→(X,x0)p:(E,e_0)\to(X,x_0)を連結被覆とし、G=π1(X,x0)G=\pi_1(X,x_0)、H=p∗π1(E,e0)H=p_*\pi_1(E,e_0)と置く。次の条件は同値である。

  1. デック変換群は一つのファイバーに可移に作用する。
  2. デック変換群はすべてのファイバーに可移に作用する、すなわちppは正規被覆である。
  3. HHはGGの正規部分群である。

これらが成り立つとき、Deck⁡(p)≅G/H\operatorname{Deck}(p)\cong G/Hである。

証明. 道γ\gammaに沿う持ち上げの終点対応は、逆道の終点対応を逆写像に持つファイバー間の全単射である。持ち上げの一意性により、この全単射はデック変換と可換である。XXは弧状連結なので、一つのファイバーでの可移性と全ファイバーでの可移性は同値である。

x0x_0のファイバーをH\GH\backslash Gと同定すると、HHのデック変換群による軌道は§E7.13 命題 4.2により{Hn∣n∈NG(H)}\{Hn\mid n\in N_G(H)\}である。これがH\GH\backslash G全体に等しいことはNG(H)=GN_G(H)=Gと同値であり、さらにHHの正規性と同値である。最後の同型は定理 4.3による。▨

注意 4.5.HHが正規部分群でない場合、G/HG/Hは商群ではない。連結被覆のデック変換群を表す商群はNG(H)/HN_G(H)/Hであり、正規被覆の場合にG/HG/Hとなる。

5 基本的な被覆

命題 5.1. 整数格子の平行移動による商q:R2→T2=R2/Z2q:\R^2\to T^2=\R^2/\Z^2は普遍被覆である。デック変換は整数格子による平行移動の全体であり、Deck⁡(q)≅Z2\operatorname{Deck}(q)\cong\Z^2、π1(T2)≅Z2\pi_1(T^2)\cong\Z^2である。

証明. 半径1/21/2の開円板は非零整数ベクトルによる移動像と交わらない。補題 3.1 (1)により商写像は被覆である。(s,t)↦(e2πis,e2πit)(s,t)\mapsto(e^{2\pi is},e^{2\pi it})は局所同相な全射で、ファイバーは格子の軌道である。したがって誘導される写像R2/Z2→S1×S1\R^2/\Z^2\to S^1\times S^1は全単射な開連続写像であり同相である。§E21.2 命題 5.5により正方形の商の円環面とも同相である。

R2\R^2は単連結なのでqqは普遍被覆である。任意のデック変換は原点を整数格子の点へ写す。その点への平行移動と一点で一致するので、命題 1.4によりその平行移動である。底空間は連結な局所 Euclid 空間なので、§E21.9 命題 3.5により局所弧状連結である。定理 4.3をH=1H=1に適用すると基本群もZ2\Z^2と同型である。▨

命題 5.2. 対蹠点を同一視する写像q:S2→RP2q:S^2\to\mathbb{RP}^2は二重被覆かつ普遍被覆である。a(x)=−xa(x)=-xとすると、Deck⁡(q)={id⁡,a}≅Z/2Z\operatorname{Deck}(q)=\{\id,a\}\cong\Z/2\Z、π1(RP2)≅Z/2Z\pi_1(\mathbb{RP}^2)\cong\Z/2\Zである。

証明. 各x∈S2x\in S^2の開半球面Vx={y∣⟨x,y⟩>0}V_x=\{y\mid\langle x,y\rangle>0\}はその対蹠像と交わらない。補題 3.1 (1)により軌道写像は二重被覆である。対蹠関係は対角集合と対蹠写像のグラフの合併で閉なので、商は Hausdorff である。上半球面は閉円板と同相で、各軌道と交わり、赤道上でだけ対蹠点が同一視される。コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続全単射により、この商は円板の境界の対蹠点の商RP2\mathbb{RP}^2と同相である。

§E21.8 命題 3.4により全空間は単連結なので普遍被覆である。デック変換は一点の像で決まり、その像には二つの選択しかない。両方がid⁡,a\id,aで実現されるのでデック変換群はこの二元からなる。底空間は連結かつ局所 Euclid 的であるから局所弧状連結であり、定理 4.3をH=1H=1に適用すると基本群を得る。▨

命題 5.3.n≥1n\geq1に対し、pn:S1→S1p_n:S^1\to S^1、pn(z)=znp_n(z)=z^nは連結なnn重被覆である。巻き数によってπ1(S1)=Z\pi_1(S^1)=\Zと同定すると、その部分群はnZn\Zであり、正規被覆で、Deck⁡(pn)≅Z/nZ\operatorname{Deck}(p_n)\cong\Z/n\Zである。

証明. 被覆の主張は§E21.5 命題 1.3 (2)による。正の生成ループe2πite^{2\pi it}にpnp_nを合成するとe2πinte^{2\pi int}となり、巻き数はnnである。したがって誘導準同型はk↦nkk\mapsto nkであり、部分群はnZn\Zである。Z\Zは可換なので定理 4.4により正規被覆である。各Rk(z)=e2πik/nzR_k(z)=e^{2\pi ik/n}zはデック変換であり、11の像の全選択を尽くす。よってこれらがすべてのデック変換であり、合成はkkの剰余類の加法に対応する。▨

6 演習

問題 6.1.

  1. 連結かつ局所弧状連結かつ半局所単連結なXXの基点付き連結被覆p:(E,e0)→(X,x0)p:(E,e_0)\to(X,x_0)を取り、H=p∗π1(E,e0)H=p_*\pi_1(E,e_0)と置く。道の類の普遍被覆qqの基点を保つ持ち上げF:X~→EF:\widetilde X\to Eに対し、F([α])=F([β])F([\alpha])=F([\beta])であることは、あるh∈Hh\in Hが存在して[β]=Th([α])[\beta]=T_h([\alpha])となるための必要十分条件であることを示せ。
解答.

持ち上げの一意性により、F([α])F([\alpha])はα\alphaのe0e_0からの持ち上げの終点である。二つの終点が一致すれば、β\betaの持ち上げとα\alphaの持ち上げの逆道をつないだ道はe0e_0のループである。したがってh=[β∗αˉ]∈Hh=[\beta*\bar\alpha]\in Hであり、Th([α])=[β]T_h([\alpha])=[\beta]となる。

逆にh∈Hh\in Hならば、hhを表すループの持ち上げは閉じる。[β]=[ω∗α][\beta]=[\omega*\alpha]で[ω]=h[\omega]=hとすると、ω∗α\omega*\alphaの持ち上げの終点はα\alphaの持ち上げの終点と等しい。端点固定ホモトピーの持ち上げによりF([β])=F([α])F([\beta])=F([\alpha])である。▨

問題 6.2.

  1. X=S1∨S1X=S^1\vee S^1、G=F(a,b)G=F(a,b)とし、φ:G→S3\varphi:G\to S_3をφ(a)=(1 2)\varphi(a)=(1\,2)、φ(b)=(1 3)\varphi(b)=(1\,3)で定める。H={g∣φ(g)(1)=1}H=\{g\mid\varphi(g)(1)=1\}は指数三でNG(H)=HN_G(H)=Hを満たすことを示し、対応する三重被覆は正規でなく、デック変換群は自明であることを導け。
解答.

φ\varphiは全射であり、HHはK={1,(2 3)}K=\{1,(2\,3)\}の逆像なので指数三である。KKを正規化する置換は、その唯一の非自明な元(2 3)(2\,3)を共役で保ち、したがって固定点11を保つ。ゆえにNS3(K)=KN_{S_3}(K)=Kである。φ(NG(H))⊆NS3(K)\varphi(N_G(H))\subseteq N_{S_3}(K)なのでNG(H)⊆HN_G(H)\subseteq H、逆の包含は常に成り立つので等しい。HHは真部分群であるから正規でない。

楔点では有限個の短い半開弧を合わせた開近傍が楔点へ縮み、ほかの点は開弧近傍を持つ。したがってXXは局所弧状連結かつ半局所単連結であり、qHq_Hが存在する。ファイバーはH\GH\backslash Gなので三重被覆である。正規化群の定理によりDeck⁡(qH)=1\operatorname{Deck}(q_H)=1であり、正規被覆の特徴づけにより正規でない。▨

問題 6.3.

  1. A=(2103)A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}が誘導するpA:R2/Z2→R2/Z2p_A:\R^2/\Z^2\to\R^2/\Z^2、[x]↦[Ax][x]\mapsto[Ax]の被覆の次数、対応する部分群、デック変換群を求めよ。
解答.

AAはR2\R^2の線形同相であり、R2/Z2≅R2/H\R^2/\Z^2\cong\R^2/H、H=AZ2=⟨(2,0),(1,3)⟩H=A\Z^2=\langle(2,0),(1,3)\rangleを誘導する。pAp_Aはこの同相の後に格子の包含による商写像R2/H→R2/Z2\R^2/H\to\R^2/\Z^2を合成したものである。命題 3.4により、この商写像は部分群HHに対応する被覆である。

商群では(1,0)=−3(0,1)(1,0)=-3(0,1)、6(0,1)=06(0,1)=0であり、(0,1)(0,1)が生成する。k(0,1)=m(2,0)+n(1,3)k(0,1)=m(2,0)+n(1,3)ならば2m+n=02m+n=0、k=3nk=3nなので6∣k6\mid kである。したがってZ2/H≅Z/6Z\Z^2/H\cong\Z/6\Zであり、被覆の次数は六である。HHは正規なのでデック変換群もZ/6Z\Z/6\Zである。▨

参考文献

  1. Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002.被覆の分類、正規被覆およびデック変換群の標準的な証明を参考にした。

前提記事

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