§E6.19半単純加群・半単純環

証明.$I$の左$R$部分加群は、$I$に含まれる$R$の左イデアルと同じものである。したがって、$I$の部分加群が$0$と$I$だけであるという条件は、$I$の中に非零の真の左イデアルがないという条件に一致する。$I\neq0$も両方の定義に含まれるため、二条件は同値である。▨

証明.$M$の単純部分加群からなる族$\mathcal F$で、次の二条件を満たすもの全体を$\mathfrak P$とする。

$\mathfrak P$は$M$の冪集合の冪集合に含まれる集合であり、族の包含関係によって半順序集合になる。空族は二条件を満たすため、$\mathfrak P$は空でない。

$\mathfrak C\subseteq\mathfrak P$を鎖とし、

と置く。$\mathfrak C$が空ならば$\mathcal F_*$は空族であり、$\mathfrak P$に属する上界である。以下では$\mathfrak C\neq\varnothing$とする。$\mathcal F_*$に属する相異なる有限個の単純部分加群$S_1,\ldots,S_n$を取る。各$S_j$は鎖$\mathfrak C$のある元$\mathcal F_j$に属する。$\mathfrak C$は包含関係に関する鎖であり、$\mathcal F_1,\ldots,\mathcal F_n$は有限個であるから、この有限族のすべてを含む$\mathcal F_0\in\mathfrak C$が存在する。$\mathcal F_0$の和は内部直和であるため、

ならば、すべての$x_j$が零である。したがって$\mathcal F_*$の和も内部直和である。

次に$x\in N\cap\sum_{S\in\mathcal F_*}S$とする。$x$の表示には有限個の$S\in\mathcal F_*$だけが現れるため、それらをすべて含む$\mathcal F_0\in\mathfrak C$が存在する。すると

である。よって$\mathcal F_*\in\mathfrak P$であり、$\mathcal F_*$は鎖$\mathfrak C$の上界である。

Zorn の補題§E1.20 定理 2.1により、$\mathfrak P$は極大元$\mathcal F$をもつ。

と置くと、構成から$N\cap P=0$である。$N+P\neq M$と仮定する。すべての単純部分加群が$N+P$に含まれるならば、$M$が単純部分加群全体の和であることから$M\subseteq N+P$となり、仮定に反する。したがって、$N+P$に含まれない単純部分加群$T\subseteq M$が存在する。

$T\cap(N+P)$は$T$の部分加群であり、$T$は単純である。$T$は$N+P$に含まれないため、$T\cap(N+P)\neq T$であり、

となる。特に$T\cap P=0$であるから、$P+T=P\oplus T$である。また、$x=p+t\in N\cap(P\oplus T)$とすると、$t=x-p\in T\cap(N+P)=0$であり、続いて$p\in N\cap P=0$となる。したがって

である。よって$\mathcal F\cup\{T\}$は$\mathfrak P$の元であり、$\mathcal F$を真に含む。極大元$\mathcal F$を真に拡大する元の存在は、$\mathcal F$の極大性に反する。以上から$N+P=M$であり、$M=N\oplus P$となる。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(3)を示す。補題 2.2を任意の部分加群$N\subseteq M$に適用すると、$M=N\oplus P$となる部分加群$P$を得る。

(3)$\Rightarrow$(1)を示す。$M$の単純部分加群全体の和を$T$とする。(3)により

となる部分加群$U$が存在する。$U\neq0$と仮定し、$0\neq u\in U$を取る。

$Ru$は$u\neq0$によって非零の有限生成左$R$加群である。§E6.9 命題 1.9 (1)により極大真部分加群$L\subsetneq Ru$が存在する。商$Ru/L$の部分加群の逆像は$L$と$Ru$の間にあるため、$Ru/L$は単純である。

$L$は$M$の部分加群でもあるため、(3)によって$M=L\oplus C$となる部分加群$C$が存在する。任意の$x\in Ru$を$x=l+c$、$l\in L$、$c\in C$と書くと、$c=x-l\in Ru$でもある。したがって

となる。$S:=Ru\cap C$と置く。商写像$Ru\to Ru/L$の$S$への制限は、表示した直和分解によって同型$S\cong Ru/L$を与える。よって$S$は単純である。また$S\subseteq Ru\subseteq U$である。一方、$S$は$M$の単純部分加群であるから$S\subseteq T$である。したがって

となり、$S\neq0$に反する。よって$U=0$であり、$M=T$となる。

(1)$\Leftrightarrow$(2)を示す。(2)ならば、定義から$M$は単純部分加群の和である。逆に(1)を仮定すると、既に示した(3)が成り立つ。補題 2.2の証明で$N=0$と置けば、$M$自身が単純部分加群の内部直和として表される。よって(2)が成り立つ。

(3)$\Rightarrow$(4)を示す。短完全列

を取る。$i(A)$は$M$の部分加群であるから、$M=i(A)\oplus P$となる部分加群$P$が存在する。対応する射影$\pi\colon M\to i(A)$と同型$i\colon A\to i(A)$の逆写像を用いて

と置くと、$r\circ i=1_A$である。分裂補題§E6.8 命題 3.2により短完全列は分裂する。

(4)$\Rightarrow$(3)を示す。部分加群$N\subseteq M$に対する標準短完全列

へ(4)を適用する。分裂補題により$M\cong N\oplus M/N$となり、より具体的には包含$N\to M$の像を第一因子とする内部直和$M=N\oplus P$が得られる。したがって(3)が成り立つ。

最後に、(4)が成り立てば標準短完全列はすべて分裂する。逆に標準短完全列がすべて分裂すれば、分裂補題によって(3)が従い、(4)が従う。▨

証明.主張 (1)を示す。$N\subseteq M$とする。$K\subseteq N$を任意の部分加群とする。定理 2.3により、$M=K\oplus L$となる部分加群$L$が存在する。$x\in N$を$x=k+l$、$k\in K$、$l\in L$と書くと、$l=x-k\in N\cap L$である。したがって

となる。$N$の任意の部分加群が$N$の直和因子であるため、同じ定理から$N$は半単純である。

主張 (2)を示す。再び同値定理により、$M=N\oplus P$となる部分加群$P$が存在する。商写像の$P$への制限

は同型である。主張 (1)から$P$は半単純であるため、$M/N$も半単純である。▨

証明. 各$M_j$は定理 2.3により単純部分加群の和である。したがって$\sum_jM_j$も単純部分加群の和であり、同じ定理から半単純である。

外部直和の場合には、各$M_j$を座標包含によって$\bigoplus_jM_j$の部分加群とみなす。各像は$M_j$と同型であるから半単純であり、外部直和はこれらの像の和である。前半の主張を適用すると、$\bigoplus_jM_j$は半単純である。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(4)を示す。(1)を仮定する。半単純性から、単純部分加群$S_i$による内部直和表示

が存在する。$I$が無限集合であると仮定し、相異なる元$i_1,i_2,\ldots$を取る。各$n\geq1$に対して

と置く。$S_{i_n}\subseteq N_n$である一方、内部直和性から$S_{i_n}\cap N_{n+1}=0$であるため、

は停止しない真の降鎖となる。これは$M$の Artin 性に反する。したがって$I$は有限集合であり、(4)が成り立つ。

(3)$\Rightarrow$(4)を示す。半単純性から、単純部分加群$S_i$による内部直和表示$M=\bigoplus_{i\in I}S_i$が存在し、§E6.2 命題 6.8 (1)により、和をとる写像$\Sigma\colon\bigoplus_{i\in I}S_i\to M$は外部直和から$M$への同型である。$M$は有限生成であるから、§E6.9 補題 1.8を$\Sigma^{-1}\colon M\to\bigoplus_{i\in I}S_i$へ適用すると、ある有限部分集合$I_0\subseteq I$が存在して、$\Sigma^{-1}$の像は標準包含$\bigoplus_{i\in I_0}S_i\to\bigoplus_{i\in I}S_i$の像に含まれる。この像の元を$\Sigma$で送ると$\sum_{i\in I_0}S_i$の元になるから、$M=\Sigma(\Sigma^{-1}(M))=\sum_{i\in I_0}S_i$である。$j\in I\setminus I_0$が存在すると仮定すると、内部直和性から$S_j=S_j\cap\sum_{i\in I_0}S_i=0$となり、単純加群$S_j$が零でないことに反する。したがって$I=I_0$は有限集合であり、(4)が成り立つ。

(4)$\Rightarrow$(5)を示す。$M=S_1\oplus\cdots\oplus S_n$と表示すると、部分和の列は組成列であり、各組成因子は対応する$S_i$と同型である。$n=0$では$M=0$の空の組成列を用いる。したがって§E6.17 定理 4.3により$M$は有限長である。

(5)$\Rightarrow$(1)を示す。§E6.17 定理 4.3により、有限長加群$M$は Artin 加群である。

(5)$\Rightarrow$(2)を示す。§E6.17 定理 4.3により、有限長加群$M$は Noether 加群である。

(2)$\Rightarrow$(3)を示す。§E6.17 命題 1.2 (1)から§E6.17 命題 1.2 (3)への含意により、Noether 加群$M$の任意の部分加群は有限生成であり、特に$M$自身は有限生成である。▨

証明.§E6.2 補題 12.3を$N$と$N'$へ適用すると、$(r+I)x:=rx$は$N$上の左$R/I$加群構造を一意に定め、$N$の$R$部分加群と$R/I$部分加群は一致し、$\Hom_R(N,N')=\Hom_{R/I}(N,N')$が成り立つ。

単純性は、加群が零でないことと部分加群が零と全体に限られることで定まり、$N$の部分加群は二つの構造で一致する。したがって、$N$が単純左$R$加群であることは、$N$が単純左$R/I$加群であるための必要十分条件である。

長さ$\ell_R(N)$と$\ell_{R/I}(N)$は、それぞれの構造に関する部分加群の真の昇鎖の長さの上限である。部分加群は二つの構造で一致するので、$\ell_R(N)=\ell_{R/I}(N)$であり、$N$が有限長左$R$加群であることは、$N$が有限長左$R/I$加群であるための必要十分条件である。

$N$の部分加群$S$について、$S$の部分加群は二つの構造で一致するので、$S$が単純左$R$部分加群であることは、$S$が単純左$R/I$部分加群であるための必要十分条件である。したがって、$N$の単純部分加群全体は二つの構造で一致する。定理 2.3 (1)と定理 2.3 (2)の同値を環$R$と環$R/I$のそれぞれに適用すると、$N$が半単純左$R$加群であることは、$N$が単純部分加群全体の和であることと同値であり、$N$が半単純左$R/I$加群であることとも同値である。▨

証明.(1)$\Leftrightarrow$(2)を示す。${}_RR$の部分加群は$R$の左イデアルである。したがって定理 2.3を$M={}_RR$へ適用すると、この同値を得る。

(1)$\Rightarrow$(3)を示す。(1)により${}_RR$は半単純であり、${}_RR$は$1_R$で生成されるので有限生成である。命題 4.1 (3)から命題 4.1 (4)への含意により、${}_RR$は有限個の単純部分加群$L_1,\ldots,L_n$の内部直和である。${}_RR$の単純部分加群は命題 1.2により極小左イデアルである。

(3)$\Rightarrow$(1)を示す。極小左イデアルは命題 1.2によって単純左加群である。したがって、極小左イデアルの有限内部直和である${}_RR$は半単純である。

(1)$\Rightarrow$(4)を示す。$M$を任意の左$R$加群とする。各$m\in M$に対して

は全射な左$R$線形写像である。(1)と命題 3.1 (2)により、${}_RR$の商と同型な巡回部分加群$Rm$は半単純である。さらに

である。命題 3.2により、この和は半単純である。よってすべての左$R$加群が半単純である。

(4)$\Rightarrow$(1)を示す。(4)を左正則加群$M={}_RR$に適用すると、${}_RR$は半単純である。よって$R$は左半単純環である。

(4)$\Rightarrow$(5)を示す。左$R$加群の短完全列

を取る。(4)により中央項$B$は半単純である。定理 2.3 (4)を$M=B$へ適用すると、この短完全列は分裂する。

(5)$\Rightarrow$(4)を示す。左$R$加群$M$と部分加群$N\subseteq M$を任意に取る。標準短完全列

は(5)によって分裂する。よって定理 2.3により$M$は半単純である。$M$は任意であったから(4)が成り立つ。▨

証明. 左半単純環の定義により${}_RR$は半単純であり、${}_RR$は$1_R$で生成されるので有限生成である。命題 4.1 (3)から命題 4.1 (5)、命題 4.1 (2)および命題 4.1 (1)への含意により、${}_RR$は有限長であり、Noether 加群かつ Artin 加群である。左正則加群に対する二つの鎖条件は、$R$が左 Noether 環かつ左 Artin 環であることを意味する。▨

証明.主張 (1)を示す。例 6.4の$n=1$の場合により$D$は左半単純環であり、定理 6.2 (4)により$V$は半単純左$D$-加群である。したがって定理 2.3 (2)により、$V$は単純部分加群の族$(S_i)_{i\in I}$の内部直和$V=\bigoplus_{i\in I}S_i$である。選択公理§E1.20 定理 2.1 (1)により各$i\in I$について$v_i\in S_i\setminus\{0\}$を取り、左$D$-線形写像$\mu_i\colon D\to S_i$を$d\mapsto dv_i$で定める。$\mu_i$の像$Dv_i$は単純加群$S_i$の非零部分加群であるので$S_i$に一致する。$\mu_i$の核は$D$の左イデアルであり、非零元$d$を含むならば$1=d^{-1}d$を含んで$D$に一致するが、$\mu_i(1)=v_i\ne0$であるので、核は零である。したがって各$\mu_i$は同型であり、$\bigoplus_{i\in I}\mu_i\colon D^{\oplus I}\to\bigoplus_{i\in I}S_i$も同型である。族$(v_i)_{i\in I}$に§E6.3 補題 4.5で対応する写像$\tilde v\colon D^{\oplus I}\to V$は$(d_i)_{i\in I}\mapsto\sum_{i\in I}d_iv_i$であり、$\bigoplus_{i\in I}\mu_i$と§E6.2 命題 6.8 (1)の同型$\bigoplus_{i\in I}S_i\to V$の合成に等しい。したがって$\tilde v$は同型であり、$(v_i)_{i\in I}$は$V$の基底である。

主張 (2)を示す。$(v_i)_{i\in I}$を$V$の基底とする。$I$が$n$個の元をもつ有限集合ならば、$V\cong D^{\oplus I}\cong D^n$である。斜体$D$の左イデアルは$0$と$D$だけであるので、左$D$-加群$D$の部分加群の真の昇鎖は$0\subsetneq D$に限られ、$\ell_D(D)=1$である。$k\ge1$について短完全列$0\to D^{k-1}\to D^k\to D\to0$に§E6.17 定理 5.1を適用すると$\ell_D(D^k)=\ell_D(D^{k-1})+1$であり、$k$に関する帰納法により$\ell_D(D^n)=n$である。したがって$\ell_D(V)=n$である。$I$が無限集合ならば、相異なる元$i_1,i_2,\ldots\in I$を取ることができる。$\tilde v$は単射であり、$k\ge1$と$d_1,\ldots,d_k\in D$について$\delta_{i_{k+1}}-\sum_{l=1}^kd_l\delta_{i_l}$は$i_{k+1}$座標が$1\ne0$である非零元であるので、$v_{i_{k+1}}\notin Dv_{i_1}+\cdots+Dv_{i_k}$である。したがって$Dv_{i_1}\subsetneq Dv_{i_1}+Dv_{i_2}\subsetneq\cdots$は停止しない部分加群の真の昇鎖であり、$V$は任意の長さの真の昇鎖をもつので$\ell_D(V)=\infty$である。

$(w_j)_{j\in J}$も$V$の基底とする。$I$が有限ならば$\ell_D(V)$は有限であるので$J$も有限であり、$|I|=\ell_D(V)=|J|$である。$I$が無限ならば$\ell_D(V)=\infty$であるので$J$も無限である。$D$は零環でないので、§E6.10 補題 1.2により$(v_i)_{i\in I}$と$(w_j)_{j\in J}$はいずれも$V$の極小生成系であり、§E6.10 系 1.4により$I$と$J$は等濃である。

主張 (3)を示す。$\theta\circ\tilde v\colon D^{\oplus I}\to W$は各$\delta_i$を$\theta(v_i)$へ送る左$D$-線形写像であるので、§E6.3 補題 4.5の一意性により、族$(\theta(v_i))_{i\in I}$に対応する写像は$\theta\circ\tilde v$である。$\theta\circ\tilde v$は同型の合成であるので同型であり、$(\theta(v_i))_{i\in I}$は$W$の基底である。

$D^{\mathrm{op}}$は斜体であるので、右$D$-加群についての主張は左$D^{\mathrm{op}}$-加群についての主張に一致する。▨

証明.(1)$\Leftrightarrow$(2)を示す。命題 4.1により、半単純加群では有限長性と有限単純直和表示の存在が同値である。

表示した二つの単純直和分解から部分和の組成列をそれぞれ作る。第一の組成列の組成因子は$S_1,\ldots,S_n$と同型であり、第二の組成列の組成因子は$T_1,\ldots,T_m$と同型である。加群の Jordan–Hölder の定理§E6.17 定理 6.2により、二つの組成列は同じ個数の組成因子をもち、順序を並べ替えた組成因子がそれぞれ同型になる。よって$n=m$であり、表示した置換$\sigma$が存在する。▨