前層と層 | 層論 I

1 前層と層

定義 1.1. $X$ を位相空間とする。

$X$ の前層 (presheaf) $P$ とは、各開集合 $U$ に集合 $P(U)$ を、包含 $V\subseteq U$ ごとに制限写像 (restriction map) $\rho_{UV}:P(U)\to P(V)$ を対応させ、 $\rho_{UU}=\id$ と $\rho_{VW}\rho_{UV}=\rho_{UW}$ （ $W\subseteq V\subseteq U$ ）を満たすものである。 $\rho_{UV}(s)=s|_V$ と書く。 $U$ は空集合でもよく、 $P(\varnothing)$ は任意の集合でよい。
$P(U)$ の元を $U$ 上の切断 (section) といい、 $P(X)$ の元を大域切断 (global section) という。 $\Gamma(U,P)=P(U)$ とも書く。
前層の射 (morphism of presheaves) $\varphi:P\to Q$ とは、すべての開集合 $V\subseteq U$ と $s\in P(U)$ について $\varphi_V(s|_V)=\varphi_U(s)|_V$ を満たす写像の族 $\varphi_U:P(U)\to Q(U)$ である。すべての $\varphi_U$ が全単射である射を前層の同型 (isomorphism of presheaves) という。恒等射と合成は各開集合上の写像の恒等写像と合成で定める。
各 $P(U)$ が群、アーベル群、単位元をもつ環であり、制限が準同型であるものを、それぞれ群の前層 (presheaf of groups)、アーベル群の前層 (presheaf of abelian groups)、環の前層 (presheaf of rings) という。この場合の射には各 $\varphi_U$ が準同型であることを課す。
集合 $S$ に対し、空集合を含むすべての開集合に $S$ を置き、制限を恒等写像とした前層 $S^{\mathrm{pre}}$ を定数前層 (constant presheaf) という。 $S$ が群またはアーベル群なら、同じ構成をその種類の前層として用いる。

定義 1.2. 前層 $F$ が層 (sheaf) であるとは、任意の開集合 $U$ とその開被覆 $(U_i)_{i\in I}$ について、次の二条件を満たすことをいう。 $I=\varnothing$ も許す。

$s,t\in F(U)$ がすべての $i$ で $s|_{U_i}=t|_{U_i}$ を満たすならば $s=t$ である。この条件を局所性 (locality) という。
$s_i\in F(U_i)$ がすべての $i,j$ で $s_i|_{U_i\cap U_j}=s_j|_{U_i\cap U_j}$ を満たすならば、 $s|_{U_i}=s_i$ を満たす $s\in F(U)$ が存在する。この条件を貼り合わせ (gluing) という。

群、アーベル群、環の前層であって集合の前層として層であるものを、それぞれ群の層 (sheaf of groups)、アーベル群の層 (sheaf of abelian groups)、環の層 (sheaf of rings) という。
層の間の前層の射を層の射 (morphism of sheaves) といい、前層としての同型を層の同型 (isomorphism of sheaves) という。

命題 1.3. $F$ を $X$ 上の層とする。このとき、次が成り立つ。

$F(\varnothing)$ は一点集合である。とくにアーベル群の層では $F(\varnothing)=0$ である。
互いに交わらない開集合の族 $(U_i)_{i\in I}$ に対して、制限は全単射 $F(\bigcup_iU_i)\to\prod_iF(U_i)$ を与える。

証明は問題 7.2で与える。

例 1.4. 層の二条件は独立である。

$X=\R$ とし、 $P(\R)=\Z$ 、真の開部分集合では $P(U)=0$ とする。制限は恒等写像または零写像とする。被覆に $\R$ 自身が含まれればその切断をとり、含まれなければ大域切断 $0$ をとることで、貼り合わせは満たされる。しかし $(-\infty,1)$ と $(0,\infty)$ への制限では大域切断 $0,1$ が一致し、局所性は成り立たない。
$U\subseteq\R$ 上の有界な連続実数値関数の集合を $C_b(U)$ とする。 $U\mapsto C_b(U)$ は関数の制限を制限写像として前層となる。関数の一致は点ごとに決まるので、この前層は局所性を満たす。 $\R$ の被覆 $((-m,m))_{m\geq1}$ 上の恒等関数の制限は両立するが、大域的には有界でないため貼り合わさらない。
一点集合でない $S$ の定数前層は $S^{\mathrm{pre}}(\varnothing)=S$ により層でない。 $S$ が二元以上で、互いに交わらない非空開集合が二つある場合には、その二つで異なる値を選んだ族も定数切断に貼り合わさらない。

定義 1.5.

連続写像 $p:E\to X$ の組 $(E,p)$ を $X$ 上の空間 (space over a base) という。
$p':E'\to X$ に対して、 $p'h=p$ を満たす連続写像 $h:E\to E'$ を $X$ 上の連続写像 (map over a base) という。
開集合 $U\subseteq X$ 上の連続写像 $s:U\to E$ で $ps=\id_U$ を満たすものを $p$ の切断 (continuous section) という。その全体を $\Gamma(U,E)=\Hom_X(U,E)$ と書く。

命題 1.6. $p:E\to X$ を $X$ 上の空間とする。このとき、次が成り立つ。

$U\mapsto\Gamma(U,E)$ は、写像の制限を制限写像として層となる。これを $p$ の切断の層 (sheaf of sections) といい、 $\Gamma_E=\Hom_X(-,E)$ と書く。
$X$ 上の連続写像 $h:E\to E'$ に対して $s\mapsto h\circ s$ は層の射 $\Gamma_E\to\Gamma_{E'}$ であり、恒等写像と合成を保つ。
位相空間 $Y$ について、連続写像の層 $C(-,Y)$ は射影 $X\times Y\to X$ の切断の層と、 $a\mapsto(x\mapsto(x,a(x)))$ により同一視される。

証明.主張 (1)を示す。切断の一致は点ごとに決まる。交わりで一致する局所切断は§E2.12 系 4.11 (1)により連続写像として貼り合わさり、貼り合わせ後も各点で $ps=\id$ を満たす。したがって $\Gamma_E$ は局所性と貼り合わせを満たす。主張 (2)は写像の合成と制限の可換性、主張 (3)は直積の射影の普遍性による。▨

2 エタール空間

定義 2.1. 連続写像 $p:E\to X$ が局所同相写像 (local homeomorphism) であるとは、各 $e\in E$ が、 $p(V)$ が $X$ の開集合であり $p|_V:V\to p(V)$ が同相写像となる開近傍 $V$ をもつことをいう。このとき $(E,p)$ を $X$ 上のエタール空間 (étale space) といい、 $p^{-1}(x)$ を $x$ 上のファイバー (fiber) という。

命題 2.2. $p:E\to X$ を局所同相写像とする。このとき、次が成り立つ。

$p$ は開写像であり、各ファイバーは部分空間として離散である。
任意の切断 $s\in\Gamma(U,E)$ の像 $s(U)$ は開であり、 $s:U\to s(U)$ は同相写像である。これらの像は $E$ の開基をなし、各点を通る局所切断が存在する。
$s\in\Gamma(U,E)$ 、 $t\in\Gamma(V,E)$ について、 $\{x\in U\cap V\mid s(x)=t(x)\}$ は開集合である。
$X$ 上のエタール空間の間の $X$ 上の連続写像は局所同相写像である。とくに全単射ならば同相写像である。

証明は問題 7.3で与える。

補題 2.3. 前層 $P$ に対して、開集合と切断の組 $(U,s)$ で添字付けた位相的直和 $S_P=\coprod_{(U,s)}U$ を考える。その点を $(x;U,s)$ と書き、同じ $x$ をもち、ある開近傍 $x\in W\subseteq U\cap V$ で $s|_W=t|_W$ となる二点 $(x;U,s),(x;V,t)$ を関係付け、この関係を $\sim$ と書く。このとき、 $\sim$ は同値関係であり、 $x\in V\subseteq U$ に対する対 $((x;U,s),(x;V,s|_V))$ をすべて含む最小の同値関係である。

証明. 反射律と対称律は定義から従う。二つの一致を与える近傍の共通部分をとれば推移律を得る。指定された対はこの関係に含まれる。逆に $(x;U,s)\sim(x;V,t)$ ならば、一致する近傍 $W$ に対して両者はそれぞれ $(x;W,s|_W)=(x;W,t|_W)$ と指定された対で結ばれる。したがって、それらの対を含む任意の同値関係は $\sim$ を含む。▨

定義 2.4. $P$ を $X$ 上の前層とする。

補題 2.3の位相的直和を $S_P=\coprod_{(U,s)}U$ とし、各成分の埋め込みを $\iota_{(U,s)}$ と書く。
補題 2.3の同値関係による商集合 $\operatorname{Et}(P)=S_P/{\sim}$ に、全射 $q:S_P\to\operatorname{Et}(P)$ による商位相を入れる。
各成分の包含 $U\hookrightarrow X$ から定まる連続写像 $S_P\to X$ は同値類上で一定なので、商の普遍性で定まる連続写像を $\pi:\operatorname{Et}(P)\to X$ と書く。組 $(\operatorname{Et}(P),\pi)$ を $P$ のエタール空間 (étale space of a presheaf) という。
$\widehat s=q\iota_{(U,s)}:U\to\operatorname{Et}(P)$ 、 $[U,s]=\widehat s(U)$ と書く。点 $q(x;U,s)=\widehat s(x)$ を $s$ の $x$ における芽 (germ) といい、 $s_x$ と書く。

命題 2.5. 前層 $P$ について、次が成り立つ。

$q$ は開写像であり、 $[U,s]$ は開集合である。 $\widehat s:U\to[U,s]$ は $\pi|_{[U,s]}$ を逆写像とする同相写像である。したがって $\pi$ は局所同相写像であり、 $\eta_U(s)=\widehat s$ は前層の射 $\eta:P\to\Gamma_{\operatorname{Et}(P)}$ を定める。
$[U,s]$ の全体は商位相の開基である。また $W=\{x\in U\cap V\mid s_x=t_x\}$ は開集合で、 $[U,s]\cap[V,t]=[W,s|_W]$ である。
前層の射 $\varphi:P\to Q$ に対して、 $\operatorname{Et}(\varphi)(s_x)=\varphi_U(s)_x$ は $X$ 上の連続写像を定める。この対応は恒等射と合成を保つ。
$s\in P(U)$ 、 $t\in P(V)$ 、 $x\in U\cap V$ について、 $s_x=t_x$ であるための必要十分条件は、ある開近傍 $x\in W\subseteq U\cap V$ で $s|_W=t|_W$ となることである。

証明.主張 (1)を示す。一つの成分 $(U,s)$ の開集合 $A$ をとる。 $q^{-1}q(A)$ と別の成分 $(V,t)$ の交わりは、 $A\cap V$ に属し、 $s,t$ がその点の近傍で一致する点の全体である。この集合は開である。位相的直和の開集合の判定により $q^{-1}q(A)$ は開であり、商位相により $q(A)$ も開となる。一般の開集合はこのような $A$ の和だから、 $q$ は開写像である。

$\widehat s$ は連続で、 $\pi\widehat s=\id_U$ により単射であり、上の議論から開写像でもある。したがって同相写像となる。各点はある $[U,s]$ に属するので $\pi$ は局所同相である。制限により同一視した点は同じ芽になるため、 $\widehat{s|_V}=\widehat s|_V$ であり、 $\eta$ は前層の射である。主張 (2)、主張 (3)、主張 (4)は問題 7.4と問題 7.5で証明する。▨

定理 2.6. $P$ を前層、 $p:E\to X$ を $X$ 上の空間とする。このとき、次が成り立つ。

$X$ 上の連続写像 $h:\operatorname{Et}(P)\to E$ に $\varphi_h(s)=h\widehat s$ を対応させる写像は、 $X$ 上の連続写像の全体から前層の射 $P\to\Gamma_E$ の全体への全単射である。逆対応は $h_\varphi(s_x)=\varphi_U(s)(x)$ で与えられる。
前層の射 $\alpha:P'\to P$ と $X$ 上の連続写像 $g:E\to E'$ に対して $\varphi_{g h\operatorname{Et}(\alpha)}=(g\circ-)\varphi_h\alpha$ である。

証明.主張 (1)を示す。前層の射 $\varphi$ は各成分 $U$ 上の連続写像 $\varphi_U(s):U\to E$ を与えるので、位相的直和の普遍性により連続写像 $S_P\to E$ を定める。制限との可換性により、この写像は補題 2.3の対 $((x;U,s),(x;V,s|_V))$ の二点を同じ点へ写す。したがって商の普遍性から連続写像 $h_\varphi$ が定まり、 $p h_\varphi=\pi$ である。

逆に $h$ から得られる $h\widehat s$ は切断である。 $s\mapsto h\widehat s$ は制限と可換なので前層の射となる。構成した二つの対応を続けると各成分の各点で元の写像に戻る。 $q$ の全射性により二つの対応は互いに逆である。

主張 (2)を示す。主張の等式は $\operatorname{Et}(\alpha)\widehat s=\widehat{\alpha(s)}$ を代入すれば従う。▨

定理 2.7.

前層 $P$ が局所性を満たすための必要十分条件は、すべての $\eta_U$ が単射であることである。 $P$ が層であるための必要十分条件は、すべての $\eta_U$ が全単射であることである。とくに層 $F$ では $\eta:F\to\Gamma_{\operatorname{Et}(F)}$ は同型である。
エタール空間 $p:E\to X$ に対して、定理 2.6 (1)で $\id_{\Gamma_E}$ に対応する写像 $\varepsilon_E:\operatorname{Et}(\Gamma_E)\to E$ 、 $s_x\mapsto s(x)$ は $X$ 上の同相写像である。

証明.主張 (1)を示す。 $\widehat s=\widehat t$ ならば、芽の一致の条件から $s,t$ は各点の近傍で一致する。局所性があれば $s=t$ となる。逆に各 $\eta_U$ が単射ならば、開被覆上で一致する切断は同じ芽をもち、したがって一致する。

層 $F$ と切断 $\sigma:U\to\operatorname{Et}(F)$ を考える。各点で $\sigma(x)\in[V,t]$ を選ぶと、 $\sigma^{-1}([V,t])$ の上では $\sigma=\widehat t$ である。局所性によりこれらの $t$ は重なりで一致し、貼り合わせにより一つの切断 $s\in F(U)$ を与える。 $\sigma=\widehat s$ なので $\eta_U$ は全射となる。逆にすべての $\eta_U$ が全単射ならば、 $P$ は切断の層と同型なので層である。

主張 (2)を示す。 $\varepsilon_E$ は定理 2.6 (1)により連続である。各点を通る局所切断が存在するので全射であり、 $s(x)=t(x)$ なら二つの切断は $x$ の近傍で一致するので単射である。エタール空間の間の全単射な $X$ 上の連続写像は同相写像だから、主張 (2)を得る。▨

系 2.8.

層の射 $\varphi:F\to G$ に $\operatorname{Et}(\varphi)$ を対応させる写像は、層の射の全体と $X$ 上の連続写像 $\operatorname{Et}(F)\to\operatorname{Et}(G)$ の全体との全単射であり、恒等射と合成を保つ。 $F,G$ が同型であるための必要十分条件は、そのエタール空間が $X$ 上で同相であることである。
エタール空間 $E,E'$ について、 $h\mapsto(s\mapsto hs)$ は $X$ 上の連続写像 $E\to E'$ の全体と層の射 $\Gamma_E\to\Gamma_{E'}$ の全体との全単射であり、恒等射と合成を保つ。

証明.主張 (1)を示す。定理 2.6 (1)を $P=F$ 、 $E=\operatorname{Et}(G)$ に適用し、 $G\cong\Gamma_{\operatorname{Et}(G)}$ を用いる。対応する写像は定義から $\operatorname{Et}(\varphi)$ である。主張 (2)はさらに $E\cong\operatorname{Et}(\Gamma_E)$ と $E'\cong\operatorname{Et}(\Gamma_{E'})$ を用いれば従う。恒等射と合成についての式は元の対応の式による。▨

前層の圏の普遍性（圏論 I）から見ると、エタール空間の構成は次の左 Kan 拡張である。

例 2.9. $X$ を $V$ の元である位相空間とし、 $F:\mathcal O(X)\to\mathbf{Top}/X$ を $U\mapsto(U\hookrightarrow X)$ で定める。このとき、次が成り立つ。

$\mathbf{Top}/X$ は局所 $V$ -小かつ余完備である。余極限は台空間の余極限に、構造写像が誘導する $X$ への写像を添えて得られる。集合の余極限に終位相を入れる構成は余極限の選択を与える。
$p:E\to X$ に対して $N_F(E)(U)$ は $U$ 上の連続切断の集合であり、 $N_F(E)=\Gamma(-,E)$ である。
$\operatorname{Lan}_yF(P)$ は前層 $P$ のエタール空間 $\operatorname{Et}(P)\to X$ と $X$ 上で同相であり、 $(U,s)$ の構造射は $\widehat s:U\to\operatorname{Et}(P)$ に対応する。
任意の空間 $E\to X$ に対して $\operatorname{Hom}_{\mathbf{Top}/X}(\operatorname{Et}(P),E) \cong\operatorname{Nat}(P,\Gamma(-,E))$ が自然に成り立つ。unit は切断 $s$ を芽の切断 $\widehat s$ に送る射である。

証明.主張 (1)は演習とする（問題 7.1 (1)）。主張 (2)を示す。スライス圏の射 $F(U)\to E$ の条件は、連続写像 $s:U\to E$ が $ps=\id_U$ を満たすことである。前合成は切断の制限なので主張 (2)を得る。

主張 (4)を示す。定理 2.6により、任意の空間 $E\to X$ について、 $X$ 上の連続写像 $h:\operatorname{Et}(P)\to E$ を $s\mapsto h\widehat s$ に移す自然な全単射を得る。したがって $\operatorname{Et}\dashv\Gamma$ である。

主張 (3)を示す。普遍随伴から得た $\operatorname{Lan}_yF\dashv\Gamma$ と $\operatorname{Et}\dashv\Gamma$ に§E9.10 命題 3.5を適用すると、unit と両立する自然同型を得る。unit と両立することから、各構造射 $\omega_{U,s}$ はこの同型で $\widehat s$ に移る。

具体的には、定義 2.4の商による構成と命題 2.5により、余極限の元 $(x;(U,s))$ は芽 $s_x$ に対応し、芽の位相は構造射 $\widehat s$ に関する終位相に一致する。添字 $(U,s)$ の全体は $V$ -小であり、芽の集合と位相は直和・商・冪集合の部分集合によって作られるので $V$ の元である。前層の射への作用は命題 2.5 (3)の式によって指定され、全前層にわたる選択を必要としない。▨

3 層化

定義 3.1. 前層 $P$ に対し、層 $P^+=\Gamma_{\operatorname{Et}(P)}$ と前層の射 $\eta:P\to P^+$ の組を $P$ の層化 (sheafification) という。

定理 3.2. 前層 $P$ の層化について、次が成り立つ。

$\operatorname{Et}(\eta):\operatorname{Et}(P)\to\operatorname{Et}(P^+)$ は $X$ 上の同相写像である。
任意の層 $F$ と前層の射 $\varphi:P\to F$ に対し、 $\psi\eta=\varphi$ を満たす層の射 $\psi:P^+\to F$ がただ一つ存在する。
$P$ が層であるための必要十分条件は、 $\eta$ が同型であることである。
前層の射 $\varphi:P\to Q$ に対し、 $\varphi^+\eta_P=\eta_Q\varphi$ を満たす層の射 $\varphi^+:P^+\to Q^+$ がただ一つ存在する。この対応は恒等射と合成を保つ。
アーベル群の前層 $P$ について、 $P^+$ のすべての切断が零の芽からなる切断であるための必要十分条件は、 $P$ の各切断が局所的に零であることである。すなわち、各 $s\in P(U)$ と $x\in U$ に対して、 $s|_W=0$ となる開近傍 $x\in W\subseteq U$ が存在することである。この場合を $P^+=0$ と書く。

証明.主張 (1)を示す。 $\operatorname{Et}(\eta)$ と $\varepsilon_{\operatorname{Et}(P)}$ を合成すると、 $s_x$ は $\widehat s(x)=s_x$ に写る。後者は同相写像なので前者はその逆であり、主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。定理 2.6 (1)により、 $P\to F$ の射は $\operatorname{Et}(P)\to\operatorname{Et}(F)$ の写像に対応する。 $P^+\to F$ の射も、主張 (1)を通して同じ写像に対応するため、主張 (2)の存在と一意性を得る。主張 (3)は定理 2.7 (1)である。主張 (4)は主張 (2)を $\eta_Q\varphi$ に適用し、恒等射と合成には一意性を用いる。

主張 (5)を示す。各切断が局所的に零ならば、 $\operatorname{Et}(P)$ の各点は零切断の芽である。したがって各開集合の上の切断は零の芽からなるものだけである。逆に $P^+=0$ ならば $\widehat s=\widehat0$ であり、芽の一致の条件から $s$ は各点の近傍で零となる。▨

定義 3.3. 前層の射 $\varphi:P\to Q$ が局所的な持ち上げ (local lifting) をもつとは、開集合 $U$ 、 $t\in Q(U)$ 、 $x\in U$ に対し、開近傍 $x\in W\subseteq U$ と $s\in P(W)$ で $\varphi_W(s)=t|_W$ を満たすものが存在することをいう。

系 3.4. 前層 $P$ 、層 $F$ と前層の射 $\iota:P\to F$ が次の条件を満たすとする。

$\iota_U(s)=\iota_U(t)$ ならば、各 $x\in U$ は $s|_W=t|_W$ となる開近傍 $W\subseteq U$ をもつ。
$\iota$ は局所的な持ち上げをもつ。

$\psi\eta=\iota$ を満たす層の射 $\psi:P^+\to F$ は同型である。
任意の層 $G$ に対し、 $\chi\mapsto\chi\iota$ は層の射 $F\to G$ の全体と前層の射 $P\to G$ の全体との全単射である。

証明.主張 (1)を示す。条件 (a)により $\operatorname{Et}(\iota)$ は単射である。実際、像の芽が等しければ近傍を縮めて像の切断が等しくなり、さらに条件 (a)により元の芽も等しくなる。条件 (b)により任意の像の芽が持ち上がるので全射でもある。したがって $\operatorname{Et}(\iota)$ はエタール空間の間の同相写像であり、切断の層をとると主張 (1)を得る。主張 (2)は定理 3.2 (2)による。▨

例 3.5. $P(\R)=\Z$ 、真の開部分集合で $P(U)=0$ とした前層の各切断は、各点の小さい開近傍で零となる。したがって $P^+=0$ であり、異なる大域切断 $0,1$ は層化への写像で同じ切断に写る。

命題 3.6.

群、アーベル群、環の前層 $P$ に対して、各ファイバーの演算を共通近傍上の代表切断の演算で定めることができる。たとえば積は $s_x t_x=(s|_W t|_W)_x$ である。代表切断の演算により各ファイバーに同じ種類の代数構造が定まり、ファイバー積 $\operatorname{Et}(P)\times_X\operatorname{Et}(P)$ からの演算、逆元、単位元の切断は連続である。環の場合に連続である写像は、和、積、零の切断および単位元の切断である。
エタール空間の各ファイバーにこのような連続な代数構造があるならば、その切断の層は値ごとの演算で同じ種類の層となる。系 2.8 (1)では、準同型である射と、ファイバーごとに準同型である連続写像が対応する。
前層と $X$ 上の空間の対応でも、前層が代数構造をもち、相手の空間のファイバーの演算が連続ならば、準同型の前層の射とファイバーごとの準同型が対応する。
$P^+$ は $P$ と同じ種類の層であり、 $\eta$ は準同型である。層化の普遍性において $\varphi$ が準同型ならば、その延長 $\psi$ も準同型である。

証明.主張 (1)を示す。代表切断を替えても、十分小さい共通近傍の上では元の代表と一致するので演算の芽は変わらない。代数の各法則も共通近傍の上の法則から従う。積の連続性を確かめるには、積の芽を含む基本開集合をとり、近傍を縮めてその切断が $st$ と一致するようにする。その上では $([W,s]\times[W,t])\cap(\operatorname{Et}(P)\times_X\operatorname{Et}(P))$ が積の芽を含むとして選んだ基本開集合へ写る。ほかの演算も同様である。主張 (2)、主張 (3)、主張 (4)の切断の演算と準同型の対応、層化の普遍性の代数構造については問題 7.6で確かめる。▨

4 茎

定義 4.1.

前層 $P$ と $x\in X$ に対して、 $x\in U$ と $s\in P(U)$ の二つの組 $(U,s),(V,t)$ を、ある開近傍 $x\in W\subseteq U\cap V$ で $s|_W=t|_W$ となるときに同一視する。この同値関係は補題 2.3の関係を $x$ の上へ制限したものである。その商集合を $x$ における茎 (stalk) $P_x$ といい、 $(U,s)$ の同値類を $[s]_x$ と書く。

補題 4.2. 前層 $P$ と $x\in X$ について、次が成り立つ。

前層の射 $\varphi:P\to Q$ に対して、 $\varphi_x([s]_x)=[\varphi_U(s)]_x$ は写像 $P_x\to Q_x$ を定め、恒等射と合成を保つ。
群、アーベル群、環の前層では、共通近傍上の代表切断の演算により $P_x$ に同じ種類の代数構造が定まる。 $\varphi_x$ と $s\mapsto[s]_x$ は準同型である。
$[s]_x\mapsto s_x$ は $P_x\to\pi^{-1}(x)$ の全単射である。前層の射の誘導写像は $\operatorname{Et}(\varphi)$ のファイバーへの制限に対応し、代数構造がある場合には演算も対応する。以後、 $[s]_x$ も $s_x$ と書く。
エタール空間 $E\to X$ について、 $(\Gamma_E)_x\to p^{-1}(x)$ 、 $s_x\mapsto s(x)$ は全単射である。
層化の射 $\eta_x:P_x\to(P^+)_x$ は全単射である。
アーベル群の前層について、各切断が局所的に零であることは、すべての $P_x$ が零であるための必要十分条件である。また、すべての $P_x$ が零であることは $P^+=0$ であるための必要十分条件である。
前層の射 $\iota:P\to F$ について、系 3.4 条件 (a)はすべての $\iota_x$ の単射性と、系 3.4 条件 (b)はすべての $\iota_x$ の全射性と、それぞれ同値である。

証明.主張 (3)を示す。茎を定める組の集合と $S_P$ の $x$ の上の点の集合は対応し、二つの同値関係は同じである。商集合の普遍性による写像とその逆をとると主張 (3)の全単射を得る。

主張 (1)と主張 (2)を示す。 $\operatorname{Et}(\varphi)$ とファイバー上の演算をこの全単射で移すことにより、主張 (1)と主張 (2)を得る。この全単射は $\varphi_x$ と $\operatorname{Et}(\varphi)$ のファイバーへの制限を対応させ、演算を保つ。主張 (4)、主張 (5)、主張 (6)、主張 (7)は、問題 7.7、問題 7.8、問題 7.9で証明する。▨

補題 4.3. 層 $F$ の切断 $s,t\in F(U)$ がすべての $x\in U$ で $s_x=t_x$ を満たすならば、 $s=t$ である。

証明. 仮定はエタール空間への切断 $\widehat s,\widehat t$ が等しいことを意味する。定理 2.7 (1)の同型 $\eta_U$ は単射なので、 $s=t$ である。▨

定理 4.4. $\varphi:F\to G$ を集合の層の射とする。このとき、次が成り立つ。

すべての $\varphi_x$ が単射であることは、すべての開集合 $U$ で $\varphi_U$ が単射であるための必要十分条件である。
すべての $\varphi_x$ が全射であることは、 $\varphi$ が局所的な持ち上げをもつための必要十分条件である。
すべての $\varphi_x$ が全単射であることは、 $\varphi$ が同型であるための必要十分条件である。

群、アーベル群、環の層の射についても同じ主張が成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。すべての茎の写像が単射ならば、 $\varphi_U(s)=\varphi_U(t)$ から各点で $s_x=t_x$ となり、補題 4.3により $s=t$ を得る。逆に切断上の各写像が単射ならば系 3.4 条件 (a)を満たすので、補題 4.2 (7)により茎の写像も単射である。

主張 (2)は問題 7.14で証明する。

主張 (3)を示す。茎ごとの全単射性を補題 4.2 (7)により系 3.4 条件 (a)と系 3.4 条件 (b)へ移し、 $F^+\cong F$ と合わせれば $\varphi$ は同型となる。逆は各開集合上の逆写像から従う。全単射な準同型の逆も準同型なので、代数構造のある場合にも同じ結論を得る。▨

命題 4.5. アーベル群の前層 $P$ と $x\in X$ に対し、 $x$ の開近傍の全体を包含の逆で順序付ける。制限写像によるこの有向系について、芽をとる写像は同型

\varinjlim_{U\ni x}P(U)\xrightarrow{\cong}P_x

を与える。

証明は問題 7.15で与える。

5 順像と逆像

定義 5.1. $f:Y\to X$ を連続写像とする。

$Y$ 上の前層 $G$ に対し、 $f_*G(U)=G(f^{-1}U)$ と $G$ の制限写像で定まる前層を $G$ の順像 (push forward) という。前層の射 $\beta:G\to G'$ に対して、 $(f_*\beta)_U=\beta_{f^{-1}U}$ と書く。
$X$ 上の前層 $F$ と開集合 $U\subseteq X$ に対して、 $V\subseteq U$ に $F(V)$ を対応させ、制限写像をそのまま用いる $U$ 上の前層を $F|_U$ と書き、 $F$ の $U$ への制限 (restriction) という。

補題 5.2. $f:Y\to X$ 、 $g:Z\to Y$ を連続写像とする。このとき、次が成り立つ。

$G$ が $Y$ 上の層ならば、 $f_*G$ は $X$ 上の層である。
$Y$ 上の前層の射 $\beta:G\to G'$ に対して、 $f_*\beta$ は前層の射であり、順像は恒等射と射の合成を保つ。 $Z$ 上の前層 $H$ に対して $f_*g_*H=(fg)_*H$ であり、恒等写像による順像は元の前層に等しい。
$X$ 上の前層 $F$ 、 $Y$ 上の前層 $G$ 、 $Z$ 上の前層 $H$ と前層の射 $\theta:F\to f_*G$ 、 $\theta':G\to g_*H$ に対して、 $f_*\theta'\circ\theta$ は $F\to(fg)_*H$ の射である。
開集合の包含 $j:U\hookrightarrow X$ に対し、 $F(V)\to F(V\cap U)$ は前層の射 $F\to j_*(F|_U)$ を定める。 $F$ が層ならば $F|_U$ は層である。

証明.主張 (1)を示す。 $(U_i)$ が $U$ の開被覆ならば $(f^{-1}U_i)$ は $f^{-1}U$ の開被覆であり、 $f^{-1}(U_i\cap U_j)=f^{-1}U_i\cap f^{-1}U_j$ である。したがって層の局所性と貼り合わせを逆像の被覆に適用すると主張 (1)を得る。主張 (2)、主張 (3)は、 $(fg)^{-1}V=g^{-1}(f^{-1}V)$ と制限との可換性による。

主張 (4)を示す。主張の射は制限の合成則から定まる。 $U$ の開集合は $X$ の開集合でもあるので、 $F$ の局所性と貼り合わせから $F|_U$ の局所性と貼り合わせが従う。▨

命題 5.3. 前層 $P$ と開集合 $W\subseteq X$ に対して、 $\eta|_W$ と両立する自然な同型 $(P|_W)^+\cong P^+|_W$ がある。

証明. $\operatorname{Et}(P|_W)$ の点を同じ芽に送る写像は、 $\pi^{-1}(W)\subseteq\operatorname{Et}(P)$ への全単射である。実際、 $x\in W$ の芽の代表は定義域を $W$ と交わらせればよい。基本開集合も同じ制限切断で与えられるので、この写像は同相写像である。切断の層をとれば $(P|_W)^+\cong P^+|_W$ を得る。 $\eta$ との両立は代表切断の芽の式による。前層の射についての自然性は、その同じ式、または層化の普遍性の一意性から従う。▨

定義 5.4. $f:Y\to X$ を連続写像、 $F$ を $X$ 上の層とする。

ファイバー積 $Y\times_X\operatorname{Et}(F)=\{(y,a)\mid f(y)=\pi(a)\}$ に直積の部分空間位相を入れる。第1射影の切断の層を $f^{-1}F$ と書き、 $F$ の逆像 (inverse image)、または引き戻し (pull back) という。
層の射 $\varphi:F\to F'$ に対して、連続写像 $\id_Y\times\operatorname{Et}(\varphi)$ が切断の層に定める射を $f^{-1}\varphi$ と書く。
$s\in F(V)$ に対し、連続な切断 $y\mapsto(y,s_{f(y)})$ を $f^*s\in(f^{-1}F)(f^{-1}V)$ と書き、切断の引き戻し (pullback of a section) という。連続性は $\widehat s$ と $f$ の連続性、および部分空間位相から従う。

命題 5.5. $f:Y\to X$ を連続写像、 $F$ を $X$ 上の層とする。このとき、次が成り立つ。

$Y\times_X\operatorname{Et}(F)\to Y$ は局所同相写像である。したがって $\operatorname{Et}(f^{-1}F)\cong Y\times_X\operatorname{Et}(F)$ であり、 $(f^{-1}F)_y\cong F_{f(y)}$ は $(f^*s)_y$ を $s_{f(y)}$ に送る。
層の射 $\varphi:F\to F'$ に対して、 $f^{-1}\varphi$ は層の射であり、逆像は恒等射と射の合成を保つ。また、 $(f^{-1}\varphi)(f^*s)=f^*(\varphi(s))$ を満たす。
$g:Z\to Y$ に対して、すべての局所切断 $s$ で $c((fg)^*s)=g^*(f^*s)$ を満たす層の射 $c:(fg)^{-1}F\to g^{-1}f^{-1}F$ がただ一つ存在し、同型である。同様に $\id_X^*s\mapsto s$ で定まる $\id_X^{-1}F\to F$ は同型である。これらの同型は層の射について自然である。
開集合の包含 $j:U\hookrightarrow X$ に対して $j^{-1}F\cong F|_U$ であり、 $\operatorname{Et}(F|_U)\cong\pi^{-1}(U)$ である。
$E\to X$ がエタール空間ならば、 $Y\times_XE\to Y$ は局所同相写像であり、 $f^{-1}\Gamma_E$ はその切断の層と同型である。
群、アーベル群、環の層の逆像は同じ種類の層であり、茎の同型は代数構造を保つ。準同型である層の射の逆像も準同型である。
$t\in(f^{-1}F)(W)$ と $y\in W$ に対して、開近傍 $y\in W'\subseteq W$ 、 $f(W')\subseteq V$ を満たす開集合 $V\subseteq X$ と $s\in F(V)$ で、 $t|_{W'}=(f^*s)|_{W'}$ となるものが存在する。
$(f^*s)|_{f^{-1}V'}=f^*(s|_{V'})$ （ $V'\subseteq V$ ）である。したがって $s\mapsto f^*s$ は $F\to f_*f^{-1}F$ の射であり、代数構造がある場合は準同型である。
一点の包含 $i_x:\{x\}\to X$ に対し、 $(i_x^{-1}F)(\{x\})\cong F_x$ であり、 $i_x^{-1}\varphi$ は $\varphi_x$ に対応する。一点空間の上の層とその射は、その点の上の値と写像で決まる。この同一視は代数構造も保つ。

証明.主張 (1)を示す。 $\operatorname{Et}(F)$ の基本開集合 $[V,s]$ の上では、ファイバー積の部分空間 $Y\times_X[V,s]$ は $f^{-1}V$ と、第1射影によって同相である。逆は $y\mapsto(y,s_{f(y)})$ である。これらはファイバー積を覆う開集合なので、射影は局所同相である。定理 2.7 (2)と補題 4.2 (3)により、主張 (1)の二つの同一視を得る。

主張 (8)は引き戻した切断の点ごとの式から従う。

主張 (9)を示す。一点上の切断はそのファイバーの点を選ぶことと同じなので、 $\{x\}\times_X\operatorname{Et}(F)\cong F_x$ を用いればよい。空集合の値は一点であるため、一点空間の層はその点の値だけで決まる。射と代数構造の記述も値ごとの式から従う。主張 (4)、主張 (3)、主張 (5)、主張 (6)、主張 (2)、主張 (7)は、それぞれ問題 7.10、問題 7.11、問題 7.10、問題 7.12、問題 7.13、問題 7.10で証明する。▨

定理 5.6. $f:Y\to X$ を連続写像、 $F$ を $X$ 上の層、 $G$ を $Y$ 上の層とする。このとき、次が成り立つ。

$\psi:f^{-1}F\to G$ に $\theta_\psi:F\to f_*G$ 、 $\theta_\psi(s)=\psi(f^*s)$ を対応させる写像は、層の射 $f^{-1}F\to G$ の全体から層の射 $F\to f_*G$ の全体への全単射である。
射 $\alpha:F'\to F$ と $\beta:G\to G'$ に対して $\theta_{\beta\psi f^{-1}\alpha}=f_*\beta\circ\theta_\psi\circ\alpha$ である。
群、アーベル群、環の層では、準同型である射どうしが対応する。

証明.主張 (1)を示す。 $f^{-1}F$ の部分前層 $I$ を、 $I(W)$ が $f(W)\subseteq V$ と $s\in F(V)$ によって $(f^*s)|_W$ と書くことができる切断からなるように定める。包含 $I\to f^{-1}F$ は単射であり、命題 5.5 (7)により局所的な持ち上げをもつ。系 3.4 (2)により、層の射 $f^{-1}F\to G$ は $I\to G$ の前層の射と、制限によって一対一に対応する。

前層の射 $\chi:I\to G$ からは $\theta(s)=\chi(f^*s)$ を得る。逆に $\theta:F\to f_*G$ から

\chi((f^*s)|_W)=\theta(s)|_W

と置く。この値が表示によらないことを確かめる。 $(f^*s)|_W=(f^*s')|_W$ ならば、 $s_x=s'_x$ となる点の開集合 $V''$ は $f(W)$ を含む。補題 4.3により $s|_{V''}=s'|_{V''}$ であり、 $\theta$ の制限との可換性により $\theta(s)|_W=\theta(s')|_W$ となる。したがって $\chi$ は定まり、制限とも可換である。この二つの対応は定義から互いに逆であり、最初の対応と合成すると $\psi\mapsto\theta_\psi$ を得る。

主張 (2)は $(f^{-1}\alpha)(f^*s)=f^*(\alpha(s))$ を代入した式である。

主張 (3)を示す。代数構造がある場合には $I$ は共通の定義域へ制限して演算する部分前層であり、上の二つの対応は演算を保つ。命題 3.6 (4)により、延長も準同型となる。▨

命題 5.7.

層の族 $(F_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ に対して、 $U\mapsto\prod_\lambda F_\lambda(U)$ と成分ごとの制限は層である。
$x\in X$ と集合、群、アーベル群 $A$ に対して、一点空間上の値 $A$ の層の包含 $i_x$ による順像を $x_*A$ と書く。その値は $x\in U$ で $A$ 、 $x\notin U$ で一点集合である。
各 $x$ に集合、群、アーベル群 $A_x$ を与えると、 $U\mapsto\prod_{x\in U}A_x$ は層 $\prod_xx_*A_x$ と自然に同一視される。
層 $F$ について、 $F(U)\to\prod_{x\in U}F_x$ 、 $s\mapsto(s_x)_x$ は各開集合で単射な層の射を定める。
層の射 $\psi:F\to x_*A$ と写像 $\bar\psi:F_x\to A$ は、 $F(U)\to F_x\to A$ の合成によって一対一に対応する。射 $\varphi:F'\to F$ と写像 $u:A\to A'$ に対して、 $x_*u\circ\psi\circ\varphi$ は $u\circ\bar\psi\circ\varphi_x$ に対応する。群、アーベル群では準同型どうしが対応する。

証明.主張 (1)と主張 (3)は問題 7.16で確かめる。主張 (2)は順像の定義による。

主張 (4)を示す。主張の射は制限との可換性から定まり、単射性は補題 4.3による。主張 (5)は定理 5.6 (1)を $f=i_x$ に適用し、 $i_x^{-1}F$ を $F_x$ と同一視したものである。両変数についての式と準同型の主張も同じ対応の性質による。▨

6 例

例 6.1. 層 $x_*A$ を $x$ における摩天楼層 (skyscraper sheaf) という。

$y\in\tpcl\{x\}$ ならば $(x_*A)_y\cong A$ 、そうでなければ茎は一点集合である。前者では $y$ のすべての開近傍が $x$ を含み、値と制限は常に $A$ と恒等写像である。後者では $x$ を含まない近傍へ縮めることができる。
層 $F$ から $x_*A$ への射は、命題 5.7 (5)により $F_x\to A$ の写像と対応する。
$X$ が $T_1$ でない場合、茎が $A$ となる点は $x$ だけとは限らない。たとえば開集合が $\varnothing,\{1\},\{0,1\}$ である二点空間で $x=1$ とすると、 $\tpcl\{1\}=X$ なので両点の茎が $A$ となる。

例 6.2.

有界連続関数の前層の包含 $C_b\to C(-,\R)$ は、層化の同型 $C_b^+\cong C(-,\R)$ を誘導する。包含は単射であり、連続関数 $a$ は各点 $x$ の近傍 $a^{-1}((a(x)-1,a(x)+1))$ で有界である。したがって系 3.4 条件 (a)と系 3.4 条件 (b)を満たす。

定義 6.3.

集合、群、アーベル群 $S$ に対して、定数前層の層化 $S_X=(S^{\mathrm{pre}})^+$ を定数層 (constant sheaf) という。
層 $F$ が局所定数層 (locally constant sheaf) であるとは、各点が、ある集合 $S$ に対して $F|_U\cong S_U$ となる開近傍 $U$ をもつことをいう。 $S$ は空でもよく、近傍によって異なってよい。群、アーベル群の層では、その種類の層の同型を要求する。

命題 6.4. $S$ に離散位相を入れる。このとき、次が成り立つ。

元を定数写像へ送る射 $S^{\mathrm{pre}}\to C(-,S)$ はすべての茎で全単射であり、同型 $S_X\cong C(-,S)$ を誘導する。
$\operatorname{Et}(S_X)\cong X\times S$ であり、 $S_X(U)$ は局所定数写像、すなわち連続写像 $U\to S$ の集合と同一視される。
開集合 $U$ に対して $S_X|_U\cong S_U$ である。とくに定数層は局所定数層である。
$U$ が局所連結ならば、各連結成分上の値をとる写像は、 $S_X(U)$ と $U$ の連結成分の集合から $S$ への写像全体との全単射である。

群、アーベル群の場合の同一視は、値ごとの演算を保つ。

証明.主張 (1)を示す。離散集合への連続写像は各点の近傍で一定なので、その芽はその点での値によって決まり、任意の値が定数写像の芽として現れる。 $S=\varnothing$ の場合には両方の茎が空である。したがって主張 (1)の茎の写像は全単射であり、補題 4.2 (7)と系 3.4 (1)により同型を得る。

主張 (2)を示す。 $C(-,S)$ は射影 $X\times S\to X$ の切断の層であり、この射影は局所同相写像なので、定理 2.7 (2)により主張 (2)を得る。

主張 (3)を示す。 $C(-,S)$ の $U$ への制限は $U$ 上の $C(-,S)$ であるから、主張 (1)を $X$ と $U$ に適用すればよい。

主張 (4)を示す。連結集合上の局所定数写像は一定である。局所連結空間の連結成分は開集合なので、逆に成分ごとに任意の値を選んだ写像は局所定数である。これで主張 (4)は示された。代数構造についてはすべての対応が値を保つので、演算も保つ。▨

例 6.5. 離散集合 $S$ について、定数前層 $S^{\mathrm{pre}}\to C(-,S)$ を、元を定数写像へ送る射とする。このとき、命題 6.4 (1)により、この射はすべての茎で全単射である。

しかし $S$ が二元以上で $X=\R$ ならば、 $U=(0,1)\cup(2,3)$ の二つの成分で異なる値をとる関数は定数切断の像でない。また空集合上では $S\to\{*\}$ なので単射でない。茎ごとの同型判定で、始域も層であるという仮定を外すことはできない。

例 6.6.

$\R\setminus\{0\}$ は二つの連結な開半直線の和なので、 $\Z_{\R}(\R\setminus\{0\})\cong\Z^2$ である。
$\Q$ の連結成分は一点集合である。しかし $\{0\}$ の特性関数 $\Q\to\Z$ は $0$ の近傍で一定でないため局所定数ではない。したがって、成分ごとの値をとる写像 $\Z_{\Q}(\Q)\to\prod_{x\in\Q}\Z$ は全射でない。局所連結性の仮定を外すことはできない。

命題 6.7.

任意の位相空間 $X$ に対して、 $C(-,\R)$ は値ごとの和と積により環の層であり、 $\Uni(1)=\{z\in\C\mid|z|=1\}$ に対する $C(-,\Uni(1))$ は値ごとの積によりアーベル群の層である。

証明. 和、積、逆元の連続性により、各演算は連続関数を連続関数へ送る。制限は値ごとの演算を保つ。 $C(-,\R)$ と $C(-,\Uni(1))$ が集合の層であることは命題 1.6 (3)と命題 1.6 (1)による。▨

例 6.8.

$C(-,\R)_x$ は、 $x$ の開近傍上の連続実数値関数を、より小さい近傍での一致によって同一視した芽の環である。和と積は二つの代表関数の共通の定義域で計算する。点での値が同じでも芽が同じとは限らず、たとえば $\R$ の原点で零関数と恒等関数の芽は異なる。

例 6.9. $X=\R$ の連続関数の層のエタール空間は Hausdorff 空間でない。零関数と $a(t)=\max(t,0)$ の原点での芽は異なるが、任意の基本近傍は十分小さい負の点で同じ芽を含む。そのため二つの芽を交わらない開近傍で分離することができない。Hausdorff 空間上の被覆では、異なる底の点は底の近傍で、同じファイバーの異なる点は異なるシートで分離することができるので、全空間も Hausdorff 空間である。したがって、このエタール空間の射影は被覆写像でもない。

例 6.10.

開集合の包含 $U\hookrightarrow X$ は局所同相写像である。その像は閉であるとは限らない。
$E=(\R\times\{0,1\})/{\sim}$ で $t\neq0$ のときだけ $(t,0)\sim(t,1)$ と同一視する。射影 $E\to\R$ は、各成分の像の上で同相写像となるため局所同相である。二つの原点の任意の近傍は非零の点を共有するので、 $E$ は Hausdorff 空間でない。また原点のファイバーは二点、ほかのファイバーは一点であり、原点のどの開近傍も均等被覆されない。よって被覆写像ではない。

例 6.11. $p_2:S^1\to S^1$ 、 $z\mapsto z^2$ の切断の層を $\mathcal E$ とする。このとき、次が成り立つ。

各点の十分小さい連結な開弧 $U$ 上では切断はちょうど二つあり、各点の茎も二元からなる。均等被覆近傍の二枚のシートの逆写像が切断を与え、連結な $U$ 上の切断は一枚のシートに入るからである。茎の記述は補題 4.2 (4)による。
$\mathcal E(S^1)=\varnothing$ である。大域切断 $s$ があれば、 $g(t)=s(e^{2\pi it})$ に対して $g(t)e^{-\pi it}\in\{1,-1\}$ となる。この連続関数は区間上で一定なので $g(1)=-g(0)$ であるが、 $g(1)=s(1)=g(0)$ に反する。

例 6.12. 二重被覆 $z\mapsto z^2$ の切断の層 $\mathcal E$ は局所定数層であるが、定数層ではない。その茎は二元なので、定数層であるなら二元集合 $S$ の層でなければならない。連結な円周上で $S_{S^1}(S^1)=S$ は空でないが、例 6.11 (2)により $\mathcal E(S^1)=\varnothing$ である。

命題 6.13. $f:Y\to X$ を連続写像とする。このとき、次が成り立つ。

離散集合 $S$ に対して、定数層の切断を局所定数関数と同一視するとき、 $f^*a\mapsto a\circ f|_{f^{-1}V}$ （ $a\in C(V,S)$ ）を満たす層の射 $f^{-1}(S_X)\to S_Y$ がただ一つ存在し、同型である。群、アーベル群の場合は準同型である。
局所定数層の逆像は局所定数層である。

証明は問題 7.17で与える。

7 演習

問題 7.1.

例 2.9 (1)を証明せよ。

解答.

(1)。射集合は台集合の写像集合の部分集合なので局所 $V$ -小である。図式 $(E_j\to X)$ の台空間の余極限を $(E,\iota_j)$ とする。構造写像は余錐をなすので、一意の $p:E\to X$ を定める。任意のスライス圏の余錐 $E_j\to E'$ に対して、台空間での一意の媒介射 $t:E\to E'$ は $p't\iota_j=p\iota_j$ を満たす。余極限の一意性から $p't=p$ であり、スライス圏でも普遍である。台空間の余極限は§E9.12 命題 4.1により、集合の余極限に終位相を入れて指定することができる。▨

問題 7.2.命題 1.3 (1)と命題 1.3 (2)を証明せよ。

解答.

空集合の空な被覆に貼り合わせを適用すると切断が存在し、局所性を適用すると二つの切断は必ず等しい。よって空集合上の値は一点である。互いに交わらない被覆では、交わりへの制限はこの唯一の切断なので、任意の切断の族が両立する。貼り合わせが制限写像の全射性を、局所性が単射性を与える。▨

問題 7.3.命題 2.2の各項を証明せよ。

解答.

局所的な同相近傍で開集合の像が開となるので、 $p$ は開写像である。同じ近傍は一つのファイバーと高々一点で交わるため、ファイバーは離散である。

切断 $s$ と $x$ をとり、 $s(x)$ の同相近傍 $V$ を選ぶ。 $s^{-1}(V)$ に縮めれば $s=(p|_V)^{-1}$ なので、 $s$ の像は局所的に開である。 $ps=\id$ により $s$ はその像への同相写像である。任意の点の同相近傍の逆写像が切断を与えるので、それらの像は開基となる。

二つの切断の一致集合は $s^{-1}(t(U\cap V))$ であり、切断の像が開なので開である。最後に $h:E\to E'$ を $X$ 上の連続写像とし、 $h(e)$ の同相近傍 $V'$ をとる。 $e$ の同相近傍を $h^{-1}(V')$ と交わらせ、底の共通の開集合へ制限すると、 $h=(p'|_{V'})^{-1}p$ と書くことができる。よって $h$ は局所同相である。全単射なら開写像でもあるため同相写像となる。▨

問題 7.4.命題 2.5 (2)と命題 2.5 (4)を証明せよ。

解答.

商空間の開集合 $O$ の逆像と各成分 $(U,s)$ の交わりは開集合 $W\subseteq U$ である。その像は $[W,s|_W]$ である。 $q$ は全射なので、 $O$ はこの形の基本開集合の和となる。 $s_x=t_x$ という条件は商の同値関係そのものであり、一致を与える近傍の全点でも芽が一致するから、 $W=\{x\mid s_x=t_x\}$ は開である。共通の芽はちょうどこの $W$ 上の $s$ の芽なので、 $[U,s]\cap[V,t]=[W,s|_W]$ となる。▨

問題 7.5.命題 2.5 (3)を証明せよ。

解答.

各成分に $(x;U,s)\mapsto(x;U,\varphi_U(s))$ を対応させると、位相的直和の普遍性により連続写像 $S_P\to S_Q$ を得る。制限との可換性により、同一視される二点は同一視される二点へ写る。したがって商上の連続写像を誘導し、芽の式 $s_x\mapsto\varphi_U(s)_x$ を得る。恒等射と合成はこの式へ代入すれば保たれる。▨

問題 7.6.命題 3.6 (2)、命題 3.6 (3)、命題 3.6 (4)を証明せよ。

解答.

ファイバーの演算が連続なら、二つの連続切断の積と逆元も連続切断である。群や環の法則は各点で成り立ち、制限は値ごとの演算と可換なので、同じ種類の層になる。

定理 2.6 (1)の式 $h_\varphi(s_x)=\varphi(s)(x)$ により、 $\varphi$ が準同型なら $h_\varphi$ はファイバーごとに準同型である。逆にファイバーごとの準同型 $h$ を切断と合成すると、各点で演算が保たれるため切断上でも準同型となる。 $E$ が一般の $X$ 上の空間でファイバーの演算が連続な場合も、同じ議論で命題 3.6 (3)を得る。

$\eta(s)=\widehat s$ は演算の芽の定義により準同型である。 $\varphi:P\to F$ が準同型なら、その対応する $\operatorname{Et}(P)\to\operatorname{Et}(F)$ はファイバーごとに準同型である。切断の層に戻した写像が普遍性の延長 $\psi$ なので、 $\psi$ も準同型となる。▨

問題 7.7.補題 4.2 (4)と補題 4.2 (5)を証明せよ。

解答.

$\Gamma_E$ の茎を $\operatorname{Et}(\Gamma_E)$ のファイバーと同一視し、同相写像 $\varepsilon_E$ を制限すると $s_x\mapsto s(x)$ を得る。層化については $\operatorname{Et}(\eta)$ が同相写像であり、そのファイバーへの制限が $\eta_x$ だから全単射である。▨

問題 7.8.補題 4.2 (6)を証明せよ。

解答.

$s_x=0_x$ であるための必要十分条件は、ある $x$ の近傍で $s$ が零切断に等しいことである。各芽は切断の芽で表されるから、すべての茎が零であることと各切断が局所的に零であることは同じ条件である。層化が零となる条件は定理 3.2 (5)ですでにこの局所的な条件として示した。▨

問題 7.9.補題 4.2 (7)を証明せよ。

解答.

茎の写像が単射で、 $\iota_U(s)=\iota_U(t)$ ならば $s_x=t_x$ なので、各点の近傍で $s,t$ は等しい。逆に系 3.4 条件 (a)を仮定し、二つの芽の像が等しいとする。まず近傍を縮めて像の切断を等しくし、系 3.4 条件 (a)によりさらに縮めれば元の切断も等しくなる。よって元の芽は等しい。

局所的な持ち上げがあれば、任意の芽の代表切断をその点の近くで持ち上げることにより茎の全射性を得る。逆に茎の写像が全射なら、持ち上げた芽の代表切断を選び、その像と指定された切断の芽が等しいことを使って近傍を縮めれば、切断そのものが持ち上がる。▨

問題 7.10.命題 5.5 (4)、命題 5.5 (5)、命題 5.5 (7)を証明せよ。

解答.

開集合の包含 $j$ では $U\times_X\operatorname{Et}(F)$ は $\pi^{-1}(U)$ に同相であり、その切断は $F$ の $U$ への制限と同じである。一般のエタール空間 $E$ では $\operatorname{Et}(\Gamma_E)\cong E$ を引き戻すと、命題 5.5 (5)の同一視を得る。

$f^{-1}F$ の切断 $t$ と点 $y$ をとる。 $t(y)$ が属するファイバー積の基本開集合 $Y\times_X[V,s]$ を選び、 $W'=t^{-1}(Y\times_X[V,s])$ に縮める。この基本開集合では第1射影が単射なので、 $t(y')=(y',s_{f(y')})$ となる。したがって $t|_{W'}=(f^*s)|_{W'}$ であり、 $f(W')\subseteq V$ も満たす。▨

問題 7.11.命題 5.5 (3)を証明せよ。

解答.

ファイバー積の写像

Z\times_X\operatorname{Et}(F)\longrightarrow Z\times_Y(Y\times_X\operatorname{Et}(F)),\qquad (z,a)\longmapsto(z,(g(z),a))

は連続で、逆は $(z,(y,a))\mapsto(z,a)$ である。したがって同相写像であり、切断の層をとれば $(fg)^*s\mapsto g^*(f^*s)$ を満たす同型を得る。恒等写像の場合は $X\times_X\operatorname{Et}(F)\cong\operatorname{Et}(F)$ を用いる。逆像の切断は局所的に引き戻しの形なので、指定された切断上での値が射を一意に定める。層の射との二つの合成もその切断上で一致するため、同型は自然である。▨

問題 7.12.命題 5.5 (6)を証明せよ。

解答.

引き戻したエタール空間のファイバー $\{y\}\times\operatorname{Et}(F)_{f(y)}$ に、 $\pi^{-1}(f(y))$ の演算を入れる。演算の連続性は元の演算の連続性とファイバー積の位相から従うので、切断の層は同じ種類の層となる。茎の同一視はファイバーの第2成分を読む写像であり、演算を保つ。準同型 $\varphi$ が誘導する $\id_Y\times\operatorname{Et}(\varphi)$ もファイバーごとに準同型なので、その切断上の写像も準同型である。▨

問題 7.13.命題 5.5 (2)を証明せよ。

解答.

$f^{-1}\varphi$ は切断に写像 $(y,s_{f(y)})\mapsto(y,\varphi(s)_{f(y)})$ を合成する写像である。この式から、恒等射と合成の保存、および $(f^{-1}\varphi)(f^*s)=f^*(\varphi(s))$ が従う。▨

問題 7.14. 層の射について、茎ごとの全射性と局所的な持ち上げの条件が一致することを証明せよ。また、局所的な持ち上げをもつ層の射の $\varphi_U$ が全射とは限らない理由を説明せよ。

解答.

定理 4.4 (2)は補題 4.2 (7)の全射性の部分を層の射に適用したものである。局所的な持ち上げは点ごとに異なる近傍上にあり、重なりで一致するとは限らないため、大域的な持ち上げの存在は従わない。▨

問題 7.15.命題 4.5を証明せよ。

解答.

$x$ の近傍の集合は $X$ を含み、二つの近傍の共通部分が逆包含順序での共通上界となる。制限は有向系を定める。§E6.9 定理 8.4 (1)により余極限の各元は一つの近傍上の切断で表され、§E6.9 定理 8.4 (2)により二つの表示が等しいための必要十分条件は、より小さい共通近傍で制限が等しいことである。これは芽の同値関係そのものなので、自然な写像は全単射である。加法も共通近傍で計算されるため、この写像は群の同型である。▨

問題 7.16.命題 5.7 (1)と命題 5.7 (3)を証明せよ。

解答.

積の二つの切断が被覆上で一致すれば、各成分が被覆上で一致するので各成分の局所性により等しい。両立する切断の族は各成分で一意に貼り合わさり、その成分を集めれば積の切断となる。よって積は層である。 $x_*A_x(U)$ は $x\in U$ で $A_x$ 、それ以外で一点集合なので、その積は自然に $\prod_{x\in U}A_x$ となる。制限は残る座標を読む写像であり、同一視と可換である。▨

問題 7.17.命題 6.13 (1)、命題 6.13 (2)を証明せよ。

解答.

定数層のエタール空間は $X\times S$ なので、 $Y\times_X(X\times S)\cong Y\times S$ を用いると $f^{-1}(S_X)\cong S_Y$ となる。この写像は引き戻した切断を関数 $a\circ f$ に送り、値ごとの演算を保つ。局所切断は引き戻しの形で表されるので、その条件を満たす射は一意である。

$F|_U\cong S_U$ を $f^{-1}U$ へ引き戻すと、開集合への制限と逆像の合成の同型、および定数層の計算から、 $f^{-1}F$ は各点の近くで定数層となる。▨

§E20.1前層と層

1 前層と層

2 エタール空間

3 層化

4 茎

5 順像と逆像

6 例

7 演習

参考文献

前提記事