Godement の定理 | 層論 I

命題 1.1. $X$ をパラコンパクトな Hausdorff 空間とする。Čech コホモロジーの被覆についての余極限は、相異なる開集合の集合としての被覆全体を添字とする。このとき、次が成り立つ。

$\check H^n(X;-)$ は、層の短完全列の Čech 連結準同型について、 $\mathbf{Sh}(X;\mathbf{Ab})$ から $\mathbf{Ab}$ へのδ-関手である。
大域切断の制限は自然同型 $\zeta_F:\Gamma(X,F)\xrightarrow{\sim}\check H^0(X;F)$ を与える。

証明.主張 (1)を示す。層の射は Čech 複体の成分ごとの射を誘導し、恒等射、合成および和を保つ。この対応は細分写像と可換なので、コホモロジーと被覆についての余極限をとった後も加法関手となる。 $\mathbf{Sh}(X;\mathbf{Ab})$ の短完全列と茎ごとに完全な列は、§E20.13 系 3.3により一致する。§E20.4 定理 2.1と§E20.4 命題 2.2により長完全列と連結射の自然性を得るため、δ-関手の公理が成り立つ。

主張 (2)を示す。 $s$ を被覆上の族 $(s|_U)_U$ の類へ送る。零次コサイクルは整合的な族であり、一意に大域切断へ貼り合わさる。この貼り合わせへの対応が逆写像である。両写像は層の射と可換である。

$\mathcal O(X)$ は $V$ -小であり、被覆全体はその冪集合の部分集合である。各 Čech コチェイン群は小さい有限列の集合で添字づけた小さい群の積なので、その核、商および被覆にわたる余極限も $V$ -小である。▨

定理 1.2 (Godement の定理). $X$ をパラコンパクトな Hausdorff 空間とする。 $\tau:\Gamma(X,-)\xrightarrow{\sim}H^0(X;-)$ を導来関手の零次の同型とし、 $\zeta$ を命題 1.1 (2)の同型とする。このとき、次が成り立つ。

$\check H^\bullet(X;-)$ は普遍δ-関手である。
零次の成分を $\tau\zeta^{-1}$ とする一意なδ-関手の同型 $\Psi_F^n:\check H^n(X;F)\xrightarrow{\sim}H^n(X;F) \qquad(n\geq0)$ がある。特に $\Psi$ は係数の層の射に自然であり、短完全列の Čech 連結準同型を導来関手の連結射へ移す。

証明.主張 (1)を示す。Godement の層 $\prod_xx_*A_x$ は、パラコンパクトな Hausdorff 空間上では細層である（§E20.6 命題 2.10）。細層の正の次数の Čech コホモロジーは§E20.6 定理 3.1により零である。したがって命題 1.1 (1)のδ-関手と零次の同型に、§E20.14 命題 1.4を $\Phi=\Gamma(X,-)$ として適用すると、普遍性を得る。

主張 (2)を示す。同じ§E20.14 命題 1.4の適用により、指定された零次をもつ一意なδ-関手の同型を得る。δ-関手の射であることから、係数についての自然性と連結射との両立が従う。▨

系 2.1. $X$ をパラコンパクトな Hausdorff 空間とする。このとき、 $X$ 上の細層は大域切断の関手に関して非輪状である。したがって $X$ 上のアーベル群の層 $F$ の細層による分解 $F\to L^\bullet$ は、標準同型

\kappa_L:H^n(\Gamma(X,L^\bullet))\xrightarrow{\sim}H^n(X;F)

を与える。

証明. 細層 $A$ の Čech コホモロジーの消滅を $\Psi_A$ で移すと、 $n>0$ で $H^n(X;A)=0$ となる。分解による計算は§E9.26 定理 3.1の適用である。▨

系 2.2. $X$ をパラコンパクトな Hausdorff 空間とし、 $X$ 上の細分解 $F\to L^\bullet$ をとる。§E20.6 定理 4.4の同型を $\theta_L^{\check H}:\check H^n(X;F)\to H^n(\Gamma(X,L^\bullet))$ 、§E9.26 補題 2.1の同型を $\theta_L^R:H^n(X;F)\to H^n(\Gamma(X,L^\bullet))$ と書く。このとき、次が成り立つ。

$\theta_L^R\Psi_F=\theta_L^{\check H}$ である。
$\kappa_L\theta_L^{\check H}=(-1)^{n(n+1)/2}\Psi_F$ である。
$\theta_L^{\check H},\theta_L^R,\kappa_L,\Psi_F$ は、係数の射の上の細分解の射が誘導する写像と可換である。

証明.主張 (1)を示す。分解の微分の核を $Z^k$ 、包含を $j_k:Z^k\to L^k$ とし、 $F\cong Z^0$ を $\varepsilon_0$ とする。短完全列 $0\to Z^k\to L^k\to Z^{k+1}\to0$ の Čech 連結射を $\partial_k$ とする。既習の§E20.6 定理 4.4の同型は、 $z\in\Gamma(X,Z^n)$ に対し

\theta_L^{\check H}\left(\check H^n(\varepsilon_0)^{-1} \partial_0\cdots\partial_{n-1}(\zeta(z))\right) =[\Gamma(j_n)(z)]

で決まる。この式は、零次を $\zeta^{-1}$ によって切断へ戻した§E9.26 補題 2.1の決定式に等しい。よって§E20.14 補題 1.5を適用すれば、最初の等式を得る。

主張 (2)を示す。同じ§E20.14 補題 1.5の標準同型と次元移動の比較式を適用する。

主張 (3)を示す。分解の射に対する自然性は、連結射の自然性、核と余核の普遍性、および標準比較同型の自然性による。▨

系 3.1. $X$ をパラコンパクトな Hausdorff 空間、 $F$ をアーベル群の層、 $\mathcal U\subseteq\mathcal O(X)$ を開被覆とする。すべての空でない有限交叉 $U_0\cap\cdots\cap U_p$ がパラコンパクトであり、その上で

H^q(U_0\cap\cdots\cap U_p;F|_{U_0\cap\cdots\cap U_p})=0 \qquad(q>0)

と仮定する。このとき被覆の標準写像と $\Psi$ の合成

H^n(\mathcal U;F)\longrightarrow\check H^n(X;F) \xrightarrow{\Psi_F^n}H^n(X;F)

は、すべての $n$ で同型である。

証明. 各有限交叉は Hausdorff 空間の部分空間なので Hausdorff であり、仮定によりパラコンパクトでもある。各有限交叉に Godement の定理を適用すると、正の次数の Čech コホモロジーも消える。したがって§E20.6 定理 5.1により最初の標準写像は同型であり、 $\Psi$ との合成も同型となる。▨

注意 3.2. 集合 $I$ で添字づけた被覆 $(U_i)_{i\in I}$ に系 3.1を適用するときは、その像の集合 $\mathcal U_{\mathrm{red}}=\{U_i\mid i\in I\}$ を $\mathcal U$ とする。重複を除いても有限交叉の仮定は変わらず、§E20.3 系 1.6 (3)の同型によって元の被覆と比較することができる。 $I$ が $V$ -小でない場合は、元のコチェイン群を $\mathbf{Ab}_V$ の対象とせず、 $H^n(\mathcal U_{\mathrm{red}};F)$ を用いる。

また、交叉の上のコホモロジーは、§E20.14 命題 2.5により $X$ 上の一つの入射分解の切断で計算することができる。交叉のパラコンパクト性は、 $X$ のパラコンパクト性だけからは従わない。

命題 4.1. パラコンパクトな Hausdorff 空間 $X$ 上のアーベル群の層 $A$ について、Čech 一次コサイクルから $A$ -torsor を作り、§E20.16 定理 4.1の $\alpha_A$ で導来一次コホモロジーへ移す写像は、 $\Psi_A^1$ と一致する。

証明. 入射層への埋め込みから短完全列 $0\to A\to I\to Q\to0$ を作る。入射層の層コホモロジーは正の次数で消えるので、Godement の定理により $\check H^1(X;I)=0$ である。Čech 長完全列から、 $\check H^1(X;A)$ の任意の元は、ある $q\in\Gamma(X,Q)$ の連結射による像である。

$q$ の局所持ち上げ $s_i\in I(U_i)$ をとると、Čech 連結射による像は $a_{ij}=s_j-s_i$ で表される。 $I\to Q$ の $q$ 上のファイバーを $P_q$ とする。 $P_q$ の右 $A$ 作用の規約は $s_j=s_i+a_{ij}$ なので、このコサイクルの torsor は $P_q$ である。§E20.16 定理 4.1により $\alpha_A(P_q)=\delta(q)$ を得る。一方、 $\Psi$ は零次の切断を同定し連結射と可換なので、この Čech 類を同じ $\delta(q)$ へ送る。すべての類がこの形であるため、二つの写像は一致する。▨

系 4.2. $X$ をパラコンパクトな Hausdorff 空間とし、群の層の中心拡大 $1\to A\to B\to C\to1$ と右 $C$ -torsor $P$ を固定する。§E20.5 定理 4.2の Čech 障害類を $\check\Delta(P)$ とし、

o(P)=\Psi_A^2(\check\Delta(P))\in H^2(X;A)

とおく。このとき、次が成り立つ。

$o(P)=0$ であることは、 $P$ が $B$ -torsor へ持ち上がるための必要十分条件である。
持ち上げが存在する場合、 $P$ との同定を指定した持ち上げの同型類の集合は、層コホモロジーの群 $H^1(X;A)$ の自由推移的な作用をもつ。
$o(P)$ は中心拡大の射について自然である。

証明.主張 (1)を示す。§E20.5 定理 4.2と§E20.5 定理 4.4により、持ち上げの存在は $\check\Delta(P)=0$ と同値である。 $\Psi_A^2$ は同型なので、これは $o(P)=0$ と同値である。

主張 (2)を示す。§E20.5 定理 4.4の持ち上げの射 $Q\to P$ は、構造群の変更の普遍性により $Q\times^B C\to P$ を誘導し、これは torsor の射なので同型である。したがって持ち上げの同型類は§E20.16 命題 5.2の集合と一致する。その作用を $\alpha_A$ によって導来一次コホモロジーの作用へ移す。局所的な切断に対して縮約積は遷移関数を $b_{ij}\mapsto a_{ij}b_{ij}$ へ変えるので、既習の Čech の作用と同じである。命題 4.1により、 $\alpha_A$ による比較は $\Psi_A^1$ と一致する。

主張 (3)を示す。中心拡大の射を局所的な持ち上げ $b_{ij}$ に適用すると、障害を表す $b_{ij}b_{jk}b_{ik}^{-1}$ は係数の射による像へ移る。Čech 障害の自然性と $\Psi^2$ の係数に関する自然性から、 $o(P)$ の自然性を得る。▨

例 5.1. パラコンパクトな Hausdorff 空間 $X$ 上の連続実数値関数の層 $h_{\R}$ は細層である。指数列 $0\to\Z_X\to h_{\R}\to h_{\Uni(1)}\to0$ の長完全列と $h_{\R}$ の非輪状性により、

H^1(X;\Z_X)\cong C(X,\Uni(1))/\exp(2\pi iC(X,\R)), \qquad H^n(X;h_{\Uni(1)})\cong H^{n+1}(X;\Z_X)\quad(n>0)

を得る。 $X=S^1$ では右辺の商群は巻き数により $\Z$ であり、恒等写像の類が $1$ に対応する。したがって $H^1(S^1;\Z_{S^1})\cong\Z$ で、その生成元は恒等写像の連結射による像である。§E20.14 例 5.3の単射は、この非輪状性により全射でもある。

例 5.2. $U=\R^2\setminus\{0\}$ の包含 $j:U\hookrightarrow\R^2$ に対し、 $j_*\Z_U\cong\Z_{\R^2}$ である。実際、 $\R^2$ の連結な開集合は道連結であり、原点を通る道を原点の周りの小円弧で変更すれば、一点を除いた後も道連結となる。任意の開集合 $V\subseteq\R^2$ は開な連結成分の和なので、 $V\setminus\{0\}$ 上の局所定数関数は $V$ 上へ一意に延びる。この延長への対応により、定数層の unit の同型を得る。

特異コホモロジーとの比較と、 $U$ の円周への変形収縮から

H^1(\R^2;j_*\Z_U)=0,\qquad H^1(U;\Z_U)\cong\Z

となる。したがって§E20.14 命題 3.2の閉部分空間の順像の比較で、閉性の仮定は外すことができない。もし $j_*$ が完全ならば、 $U$ 上の脆弱分解を $\R^2$ 上の脆弱分解へ送り、大域切断の複体は一致するので、表示した二つのコホモロジーは同型となる。零群と $\Z$ は同型でないため、 $j_*$ は完全でない。

§E20.23Godement の定理

1 Čech コホモロジーと導来関手

2 細層と細分解

3 Leray の定理

4 torsor と二次の障害

5 例

参考文献

前提記事