§E20.2アーベル群の層

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各開集合の上の切断の列が完全であることをアーベル群の層の列の完全性とすると、次の連続関数の列が完全にならない。位相空間XXの上で、整数値の連続関数を実数値の連続関数に含め、実数値の連続関数ggにexp⁡(2πig)\exp(2\pi ig)を対応させる列0→ZX→C(−,R)→C(−,U⁡(1))→00\to\Z_X\to C(-,\R)\to C(-,\Uni(1))\to0を考える。U⁡(1)\Uni(1)に値をとる連続関数は各点の近くでは常にこの形に書くことができるが、X=S1X=S^1のとき、恒等写像S1→U⁡(1)S^1\to\Uni(1)はS1S^1全体の上ではこの形に書くことができない。そこで、層の射の像を、局所的に切断の準同型の像に入る切断の全体として定め、像と核の一致によって層の列の完全性を定める。このとき層の列が完全であることは、各点の茎の列が完全であるための必要十分条件となり、上の列は層の短完全列である。層の列の完全性についての主張は、この茎による判定によって各点のアーベル群についての主張に帰着する。一方、層の短完全列の各開集合の上の切断の列は左側では完全であるが、右端の準同型は全射とは限らない。本記事では、アーベル群の層の射の核・像・余核と層の完全列を定め、その基本的な性質と連続関数の指数列の例を解説する。

1 核と余核

補題 1.1.XX上のアーベル群の前層の射の列P′→αP→βP′′P'\xrightarrow{\alpha}P\xrightarrow{\beta}P''に対して、次が成り立つ。

  1. すべての開集合UUでP′(U)→P(U)→P′′(U)P'(U)\to P(U)\to P''(U)が中央で完全ならば、すべてのx∈Xx\in XでPx′→Px→Px′′P'_x\to P_x\to P''_xは中央で完全である。
  2. すべてのαU\alpha_Uが単射ならば、すべてのαx\alpha_xは単射である。
  3. すべてのβU\beta_Uが全射ならば、すべてのβx\beta_xは全射である。

証明.主張 (1)、主張 (2)、主張 (3)を示す。§E20.1 命題 4.5によって各茎を開近傍についてのフィルター余極限とみなし、§E6.9 定理 9.1を適用する。▨

定義 1.2.XX上のアーベル群の前層とその準同型を考える。

  1. 各A(U)A(U)がB(U)B(U)の部分群であり、BBの制限がこれらを保つとき、AAをBBの 部分前層 (subpresheaf) という。A,BA,Bがともに層ならばAAをBBの 部分層 (subsheaf) という。
  2. 前層の射φ:P→Q\varphi:P\to Qに対して、U↦ker⁡φUU\mapsto\ker\varphi_U、U↦im⁡φUU\mapsto\operatorname{im}\varphi_U、U↦Q(U)/im⁡φUU\mapsto Q(U)/\operatorname{im}\varphi_Uを、それぞれ 前層の核 (presheaf kernel)、前層の像 (presheaf image)、前層の余核 (presheaf cokernel) という。制限はP,QP,Qの制限が誘導するものを用いる。
  3. 部分前層A⊆BA\subseteq Bに対して、U↦B(U)/A(U)U\mapsto B(U)/A(U)を 前層の商 (presheaf quotient) といい、B/preAB/^{\mathrm{pre}}Aと書く。

定義 1.3.φ:F→G\varphi:F\to GをXX上のアーベル群の層の射とする。

  1. φ\varphiの前層の核をφ\varphiの 核 (kernel sheaf) といい、ker⁡φ\ker\varphiと書く。
  2. 開集合UUに対して、各x∈Ux\in Uがt∣W∈φW(F(W))t\vert_W\in\varphi_W(F(W))を満たす開近傍W⊆UW\subseteq Uをもつような切断t∈G(U)t\in G(U)の全体を(im⁡φ)(U)(\operatorname{im}\varphi)(U)とする。GGの制限写像による前層U↦(im⁡φ)(U)U\mapsto(\operatorname{im}\varphi)(U)をφ\varphiの 像 (image sheaf) といい、im⁡φ\operatorname{im}\varphiと書く。
  3. φ\varphiの前層の余核の層化と、GGから前層の余核を経て層化へ至る射の組をφ\varphiの 余核 (cokernel sheaf) といい、coker⁡φ\operatorname{coker}\varphiと書く。
  4. 部分層A⊆BA\subseteq Bに対して(B/preA)+(B/^{\mathrm{pre}}A)^+を 商層 (quotient sheaf) といい、B/AB/Aと書く。これは包含A↪BA\hookrightarrow Bの余核である。

命題 1.4.XX上のアーベル群の層の射φ:F→G\varphi:F\to Gに対して、次が成り立つ。

  1. ker⁡φ\ker\varphiはFFの部分層、im⁡φ\operatorname{im}\varphiはGGの部分層である。前層の像の層化はim⁡φ\operatorname{im}\varphiと標準的に同型である。
  2. 各x∈Xx\in Xについて、自然な同一視によって、(ker⁡φ)x=ker⁡φx(\ker\varphi)_x=\ker\varphi_x、(im⁡φ)x=im⁡φx(\operatorname{im}\varphi)_x=\operatorname{im}\varphi_x、(coker⁡φ)x≅coker⁡φx(\operatorname{coker}\varphi)_x\cong\operatorname{coker}\varphi_xである。
  3. HHをXX上のアーベル群の層とする。ψ:H→F\psi:H\to Fがφψ=0\varphi\psi=0を満たせば、ψ\psiはker⁡φ\ker\varphiを通る射にただ一通りに分解する。χ:G→H\chi:G\to Hがχφ=0\chi\varphi=0を満たせば、χ\chiはcoker⁡φ\operatorname{coker}\varphiを通る射にただ一通りに分解する。
  4. φ\varphiは同型F/ker⁡φ→≅im⁡φF/\ker\varphi\xrightarrow{\cong}\operatorname{im}\varphiを誘導する。

証明.主張 (1)を示す。核の切断をFFの中で貼り合わせた切断をssとすると、φ(s)\varphi(s)は局所的に零であり、GGの局所性によって零となる。したがって核は部分層である。像の切断をGGの中で貼り合わせると、各点の近傍での持ち上げを用いることができるので、像も部分層である。前層の像からこの部分層への包含は単射であり、定義から局所的な持ち上げをもつ。§E20.1 系 3.4により、その層化はim⁡φ\operatorname{im}\varphiに同型となる。

主張 (2)を示す。前層の核、像、余核を含む切断ごとの完全列に、補題 1.1を適用する。さらに§E20.1 補題 4.2 (5)により、層化しても茎は変わらない。

主張 (3)を示す。核への分解は各開集合上で値を核へ制限すれば得られる。χ\chiは商群の普遍性により前層の余核を通る前層の射に一意に分解する。この前層の射は§E20.1 定理 3.2により余核の層化からの層の射へ一意に延長する。

主張 (4)を示す。φ\varphiの像への射は核の上で零なので、主張 (3)からF/ker⁡φ→im⁡φF/\ker\varphi\to\operatorname{im}\varphiを誘導する。主張 (2)で茎を計算すると、この射は各茎で第一同型定理の同型Fx/ker⁡φx→im⁡φxF_x/\ker\varphi_x\to\operatorname{im}\varphi_xとなる。§E20.1 定理 4.4 (3)により、この射は同型である。▨

定義 1.5. アーベル群の層の射φ:F→G\varphi:F\to Gが 層の全射 (surjective morphism of sheaves) であるとは、GGの部分層としてim⁡φ=G\operatorname{im}\varphi=Gが成り立つことをいう。

命題 1.6.XX上のアーベル群の層の射φ:F→G\varphi:F\to Gに対して、次が成り立つ。

  1. ker⁡φ=0\ker\varphi=0であることは、すべての開集合UUでφU\varphi_Uが単射であるための必要十分条件であり、すべての点xxでφx\varphi_xが単射であるための必要十分条件でもある。
  2. φ\varphiが層の全射であることは、すべてのφx\varphi_xが全射であるための必要十分条件であり、φ\varphiが局所的な持ち上げをもつための必要十分条件でもある。
  3. φ\varphiがすべての開集合上で単射かつ層の全射であることは、φ\varphiが同型であるための必要十分条件である。

証明は演習とする（問題 4.1）。

2 層の完全列

定義 2.1.XX上のアーベル群の層とその準同型を考える。

  1. 層の射の列F→φG→ψHF\xrightarrow{\varphi}G\xrightarrow{\psi}HがGGで 完全 (exact) であるとは、GGの部分層としてim⁡φ=ker⁡ψ\operatorname{im}\varphi=\ker\psiが成り立つことをいう。
  2. 両端を除く各項で完全な列を 完全列 (exact sequence) という。0→A→B→C→00\to A\to B\to C\to0の形の完全列を 層の短完全列 (short exact sequence of sheaves) という。

補題 2.2.A,B,CA,B,CをXX上のアーベル群の層とし、α:A→B\alpha:A\to Bとβ:B→C\beta:B\to Cをその射とする。このとき、0→A→αB0\to A\xrightarrow{\alpha}BがAAで完全であることは、ker⁡α=0\ker\alpha=0であるための必要十分条件である。B→βC→0B\xrightarrow{\beta}C\to0がCCで完全であることは、im⁡β=C\operatorname{im}\beta=Cであるための必要十分条件である。したがって0→A→B→C→00\to A\to B\to C\to0が短完全であるための必要十分条件は、ker⁡α=0\ker\alpha=0、BBでの完全性、β\betaの層の全射性である。

証明. 零層からの射の像は局所的に零な切断の層であり、局所性によって零層である。またC→0C\to0の核はCC自身である。これらを完全性の定義に代入すればよい。▨

定理 2.3.XX上のアーベル群の層の列0→A→αB→βC0\to A\xrightarrow{\alpha}B\xrightarrow{\beta}Cが完全ならば、すべての開集合UUで0→A(U)→αUB(U)→βUC(U)0\to A(U)\xrightarrow{\alpha_U}B(U)\xrightarrow{\beta_U}C(U)は完全である。

証明.ker⁡α=0\ker\alpha=0なので各αU\alpha_Uは単射である。命題 1.4 (4)により、α\alphaはA≅im⁡αA\cong\operatorname{im}\alphaを誘導する。完全性からim⁡α=ker⁡β\operatorname{im}\alpha=\ker\betaであり、核は切断ごとの核で定義される。したがってαU(A(U))=ker⁡βU\alpha_U(A(U))=\ker\beta_Uとなる。▨

系 2.4.A,B,CA,B,CをXX上のアーベル群の層とし、α:A→B\alpha:A\to Bとβ:B→C\beta:B\to Cをその射とする。このとき、0→A→αB→βC→00\to A\xrightarrow{\alpha}B\xrightarrow{\beta}C\to0が層の短完全列であるための必要十分条件は、すべての開集合UUでαU\alpha_Uが単射かつαU(A(U))=ker⁡βU\alpha_U(A(U))=\ker\beta_Uであり、β\betaが層の全射であることである。

証明. 必要性は定理 2.3と補題 2.2による。逆に切断ごとの条件を仮定すると、各開集合UUでker⁡βU=αU(A(U))\ker\beta_U=\alpha_U(A(U))である。一方、t∈(im⁡α)(U)t\in(\operatorname{im}\alpha)(U)は局所的にαW(A(W))\alpha_W(A(W))に入るので、βU(t)\beta_U(t)は局所的に零であり、局所性により零となる。よってBBで完全であり、両端の条件を合わせて短完全となる。▨

定理 2.5.

  1. XX上のアーベル群の層の列F→φG→ψHF\xrightarrow{\varphi}G\xrightarrow{\psi}HがGGで完全であることは、すべてのx∈Xx\in XでFx→Gx→HxF_x\to G_x\to H_xが中央で完全であるための必要十分条件である。

証明.主張 (1)を示す。像と核の茎は対応する茎の像と核であるから、層の列がGGで完全ならば、各点の茎の列は中央で完全である。逆に茎で完全とする。t∈G(U)t\in G(U)の芽がすべてker⁡ψx\ker\psi_xに入るための必要十分条件は、ψ(t)\psi(t)のすべての芽が零であることであり、これはψ(t)=0\psi(t)=0と同じである。また芽がすべてim⁡φx\operatorname{im}\varphi_xに入れば、各点で芽を持ち上げ、近傍を縮めて切断を持ち上げることができる。これはt∈(im⁡φ)(U)t\in(\operatorname{im}\varphi)(U)という条件である。したがって像と核は等しい。▨

命題 2.6.0→A→αB→βC→00\to A\xrightarrow{\alpha}B\xrightarrow{\beta}C\to0をXX上のアーベル群の層の短完全列とし、β\betaの前層の像をPPとする。このとき、次が成り立つ。

  1. すべての開集合UUで0→A(U)→B(U)→P(U)→00\to A(U)\to B(U)\to P(U)\to0は短完全列である。
  2. P(∅)=0P(\varnothing)=0である。
  3. Q=C/prePQ=C/^{\mathrm{pre}}PはQ(∅)=0Q(\varnothing)=0と、すべてのx∈Xx\in XでQx=0Q_x=0を満たす。したがってQ+=0Q^+=0である。
  4. 包含j:P↪Cj:P\hookrightarrow Cは同型ψ:P+→C\psi:P^+\to C、ψη=j\psi\eta=jを誘導する。また商層への射π:B→B/im⁡α\pi:B\to B/\operatorname{im}\alphaに対して、β‾π=β\overline\beta\pi=\betaを満たす層の射β‾:B/im⁡α→C\overline\beta:B/\operatorname{im}\alpha\to Cがただ一つ存在し、同型である。

証明.主張 (1)は定理 2.3とP(U)P(U)の定義による。

主張 (2)と主張 (3)を示す。層の空集合上の値は零なので、主張 (2)とQ(∅)=0Q(\varnothing)=0を得る。β\betaは層の全射であるから、CCの各切断は局所的にPPに入り、QQの各切断は局所的に零である。§E20.1 補題 4.2 (6)と§E20.1 補題 4.2 (5)により、QQの各茎とQ+Q^+は零である。

主張 (4)を示す。前層の像の層化は層の像に一致し、im⁡β=C\operatorname{im}\beta=CなのでP+≅CP^+\cong Cである。さらにker⁡β=im⁡α\ker\beta=\operatorname{im}\alphaだから、命題 1.4 (4)によりB/im⁡α≅CB/\operatorname{im}\alpha\cong Cである。射の一意性は余核の普遍性による。▨

系 2.7. アーベル群の層の短完全列0→A→αB→βC→00\to A\xrightarrow{\alpha}B\xrightarrow{\beta}C\to0と層の射χ:B→H\chi:B\to Hがχα=0\chi\alpha=0を満たすとする。このときχ′β=χ\chi'\beta=\chiを満たす層の射χ′:C→H\chi':C\to Hがただ一つ存在する。

証明.t∈(im⁡α)(U)t\in(\operatorname{im}\alpha)(U)は局所的にαW(A(W))\alpha_W(A(W))に入るので、χU(t)\chi_U(t)は局所的に零であり、層の局所性によって零である。余核の普遍性によりχ\chiはB/im⁡αB/\operatorname{im}\alphaを通して一意に分解する。命題 2.6 (4)の同型β‾\overline\betaを用いれば、所要のχ′\chi'を得る。一意性もこの余核を通る分解の一意性による。▨

命題 2.8.f:Y→Xf:Y\to Xを連続写像とし、XX上のアーベル群の層を考える。このとき、次が成り立つ。

  1. XX上の層の列F′→φF→ψF′′F'\xrightarrow{\varphi}F\xrightarrow{\psi}F''がFFで完全ならば、その逆像の列はf−1Ff^{-1}Fで完全である。
  2. すべてのφU\varphi_Uが単射ならば、すべての(f−1φ)W(f^{-1}\varphi)_Wは単射である。ψ\psiが層の全射ならばf−1ψf^{-1}\psiも層の全射である。したがって短完全列の逆像は短完全列である。
  3. 開集合U⊆XU\subseteq Xへの制限は、中央での完全性、切断ごとの単射性、層の全射性を保つ。

証明.主張 (1)と主張 (2)を示す。逆像はアーベル群の層とその準同型を保つ。§E20.1 命題 5.5 (1)の同型ϑyF:(f−1F)y→Ff(y)\vartheta_y^F:(f^{-1}F)_y\to F_{f(y)}のもとで

ϑyF(f−1φ)y=φf(y)ϑyF′\vartheta_y^F(f^{-1}\varphi)_y=\varphi_{f(y)}\vartheta_y^{F'}

であることは、引き戻した局所切断の芽の式から従う。したがって逆像の茎の列は元の列のf(y)f(y)での茎の列に同型であり、定理 2.5 (1)、命題 1.6 (1)、命題 1.6 (2)を適用すればよい。

主張 (3)を示す。開集合への制限では、その開集合内の切断と局所的な持ち上げをそのまま用いることができる。よって像と核は制限と交換し、主張 (3)も従う。▨

3 指数列

補題 3.1. 指数写像e ⁣:R→U⁡(1)e\colon\R\to\Uni(1)、e(t)=exp⁡(2πit)e(t)=\exp(2\pi it)について、次が成り立つ。

  1. 各z0∈U⁡(1)z_0\in\Uni(1)について、開弧A=U⁡(1)∖{−z0}A=\Uni(1)\setminus\{-z_0\}の上にe∘σ=idAe\circ\sigma=\mathrm{id}_Aを満たす連続写像σ ⁣:A→R\sigma\colon A\to\Rがある。
  2. 連続写像g ⁣:[a,b]→U⁡(1)g\colon[a,b]\to\Uni(1)とe(t0)=g(a)e(t_0)=g(a)を満たすt0∈Rt_0\in\Rに対して、g~(a)=t0\widetilde g(a)=t_0かつe∘g~=ge\circ\widetilde g=gを満たす連続写像g~ ⁣:[a,b]→R\widetilde g\colon[a,b]\to\Rがただ一つ存在する。

証明.主張 (1)を示す。z0=e(t0)z_0=e(t_0)とする。z∈Az\in Aについてz/z0z/z_0は負の実数でないので、主値の対数Log⁡(z/z0)\operatorname{Log}(z/z_0)が定義される（§E5.3 定義 2.7）。Log⁡\operatorname{Log}はC∖(−∞,0]\C\setminus(-\infty,0]の上で連続であり（§E5.3 命題 2.10）、exp⁡(Log⁡w)=w\exp(\operatorname{Log}w)=wを満たす。σ(z)=t0+Log⁡(z/z0)/(2πi)\sigma(z)=t_0+\operatorname{Log}(z/z_0)/(2\pi i)とおくと、σ\sigmaは実数値の連続写像であり、e(σ(z))=z0⋅z/z0=ze(\sigma(z))=z_0\cdot z/z_0=zである。

主張 (2)を示す。二つの持ち上げの差は、§D1.24 定理 4.5 (3)により整数値をとる連続関数であり、区間の連結性により一定である。aaで零であるから、二つの持ち上げは一致する。存在を示す。開弧U⁡(1)∖{−z}\Uni(1)\setminus\{-z\}（z∈U⁡(1)z\in\Uni(1)）のggによる逆像は[a,b][a,b]の開被覆であり、§E2.9 補題 2.3により、分割a=s0<s1<⋯<sm=ba=s_0<s_1<\cdots<s_m=bであって各g([sk,sk+1])g([s_k,s_{k+1}])がそのような開弧に含まれるものがとれる。[s0,s1][s_0,s_1]の上では、g(a)g(a)を含む開弧の切断σ\sigma（主張 (1)）をとり、g~=σ∘g+(t0−σ(g(a)))\widetilde g=\sigma\circ g+(t_0-\sigma(g(a)))とおく。t0−σ(g(a))t_0-\sigma(g(a))は整数であるからe∘g~=ge\circ\widetilde g=gである。次の区間では前の区間の終点の値を始点の値として同じ構成を行い、端点で一致する連続写像を貼り合わせて[a,b][a,b]全体の持ち上げを得る。▨

命題 3.2. 任意の位相空間XXについて、局所定数整数値関数の層ZX\Z_Xと連続関数の層による列

0→ZX→ιC(−,R)→eC(−,U⁡(1))→0,e(g)=exp⁡(2πig)0\to\Z_X\xrightarrow{\iota}C(-,\R) \xrightarrow{e}C(-,\Uni(1))\to0, \qquad e(g)=\exp(2\pi i g)

は層の短完全列である。U⁡(1)\Uni(1)の群演算は乗法である。

証明. 包含は各開集合で単射である。§D1.24 定理 4.5 (3)によりe(g)=1e(g)=1となるための必要十分条件はggが整数値をとることである。Z\ZはR\Rの離散部分空間なので、このような整数値の連続関数は局所定数整数値関数である。したがって切断の列は中央で完全である。

指数写像は、U⁡(1)\Uni(1)の各点を含む開弧の上に連続な切断をもつ（補題 3.1 (1)）。連続関数h:W→U⁡(1)h:W\to\Uni(1)と点x∈Wx\in Wに対し、h(x)h(x)を含むそのような開弧AAと連続な切断σ:A→R\sigma:A\to\Rを選ぶ。開近傍h−1(A)h^{-1}(A)の上でg=σ∘hg=\sigma\circ hと置けばe(g)=he(g)=hとなる。よってeeは局所的な持ち上げをもつ。命題 1.6 (2)と系 2.4により、列は短完全である。▨

命題 3.3.f∈C(S1,U⁡(1))f\in C(S^1,\Uni(1))に対して、道t↦f(e2πit)t\mapsto f(e^{2\pi it})の指数写像に沿う持ち上げg~:[0,1]→R\widetilde g:[0,1]\to\R（補題 3.1 (2)）をとり、w(f)=g~(1)−g~(0)w(f)=\widetilde g(1)-\widetilde g(0)と置く。なお、f(1)=1f(1)=1のとき、w(f)w(f)はループt↦f(e2πit)t\mapsto f(e^{2\pi it})の巻き数である。このとき、次が成り立つ。

  1. w(f)∈Zw(f)\in\Zは持ち上げの始点によらず、w:C(S1,U⁡(1))→Zw:C(S^1,\Uni(1))\to\Zは準同型である。
  2. ker⁡w=e(C(S1,R))\ker w=e(C(S^1,\R))、w(z↦zm)=mw(z\mapsto z^m)=m（m∈Zm\in\Z）である。したがってwwは同型C(S1,U⁡(1))/e(C(S1,R))≅ZC(S^1,\Uni(1))/e(C(S^1,\R))\cong\Zを誘導する。とくに恒等写像id⁡:S1→U⁡(1)\id:S^1\to\Uni(1)はeS1(C(S1,R))e_{S^1}(C(S^1,\R))に入らない。

証明.主張 (1)を示す。持ち上げの存在は補題 3.1 (2)による。両端で指数写像の値が同じなので、持ち上げの両端での値の差は整数である。別の持ち上げとの差は整数値の連続関数であり、区間の連結性により一定となる。したがって両端の差は変わらない。二つの関数の持ち上げの和は、その積の持ち上げなのでw(fh)=w(f)+w(h)w(fh)=w(f)+w(h)である。

主張 (2)を示す。f=e(a)f=e(a)ならばg~(t)=a(e2πit)\widetilde g(t)=a(e^{2\pi it})をとることができ、両端が等しいためw(f)=0w(f)=0である。逆にw(f)=0w(f)=0ならば持ち上げの両端が一致する。写像q ⁣:[0,1]→S1q\colon[0,1]\to S^1、q(t)=e2πitq(t)=e^{2\pi it}は、コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続全射なので閉写像であり（§E2.20 命題 1.2 (4)）、したがって商写像である（§E2.12 命題 8.3）。g~\widetilde gはqqの各ファイバーの上で一定であるから、S1S^1上の連続関数aaを定め、e(a)=fe(a)=fとなる。z↦zmz\mapsto z^mには持ち上げt↦mtt\mapsto mtをとることができるので、w=mw=mである。全射性と核の計算に第一同型定理を適用すれば、商の同型を得る。▨

例 3.4.

  1. 円周の指数列でeeは層の全射であるが、大域切断の写像eS1e_{S^1}は全射でない。したがって層の短完全列から得られる切断の列は、右端に零を加えて完全になるとは限らない。また前層の像P(U)=e(C(U,R))P(U)=e(C(U,\R))は層でない。

eeが層の全射であることは命題 3.2により、eS1e_{S^1}が全射でないことは命題 3.3 (2)による。恒等写像S1→U⁡(1)S^1\to\Uni(1)は各点の小さい開弧WW上でeW(g)=id⁡∣We_W(g)=\id\vert_Wと書くことができるので、その制限はPPの両立する切断の族になる。PPが層ならば、この族は大域切断へ貼り合わさり、関数としての一意性により恒等写像がP(S1)P(S^1)に入る。しかしw(id⁡)=1w(\id)=1なので矛盾する。

4 演習

問題 4.1.命題 1.6の単射性、層の全射性、同型性の三つの判定を証明せよ。

解答.

核は切断ごとの核なので、ker⁡φ=0\ker\varphi=0はすべてのφU\varphi_Uが単射であることと同じである。§E20.1 定理 4.4 (1)により、これはすべてのφx\varphi_xが単射であることと同じになる。

像の定義を用いると、im⁡φ=G\operatorname{im}\varphi=GはGGの任意の切断が各点の近傍で持ち上がることを意味する。§E20.1 定理 4.4 (2)により、これは茎ごとの全射性と同じである。したがって、切断ごとの単射性と層の全射性を合わせると茎ごとの全単射性となり、§E20.1 定理 4.4 (3)により同型性を得る。逆に層の同型は各開集合と各茎で全単射なので、すべてのφU\varphi_Uが単射であり、φ\varphiは層の全射である。▨

参考文献

  1. Glen E. Bredon, Sheaf Theory, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 170, Springer, New York, 1997.アーベル群の層の射の核・像・余核の構成と、完全性の茎による判定を参考にした。

前提記事