§E20.16torsor と非アーベルコホモロジー

証明.主張 (1)を示す。切片$\mathcal E/U$で、切断$s$に対する$g\mapsto sg$の逆射は、定義の同型の逆を$(s,p)$に適用した第二成分である。したがって$s:U\to P$は$U\times G\to U\times P$の同型を与える。

主張 (2)を示す。自明な torsor は単位切断をもつ。逆に大域切断$s$があれば、$g\mapsto sg$により$P$は自明である。

主張 (3)を示す。torsor の射$P\to Q$を$P\to1$に沿って引き戻すと、対角切断とその像により両者が自明化され、射は$G\to G$の恒等射となる。エピ射による引き戻しは同型を反映する。実際、射の局所的な逆射は重なりで一意性により一致し、層条件で貼り合わさる。よって$P\to Q$は同型である。

主張 (4)を示す。エピ射は局所的な全射であり、$P\times G\to P\times P$の同型は、任意の二切断の間にただ一つの作用の元があることを表す。局所的な全射性と、二切断の間の作用する元の一意性により、site での条件との一致を得る。▨

証明. コサイクルの等式を対角へ制限すると$g_{11}=1$、$g_{21}=g_{12}^{-1}$となる。したがって指定した関係は反射的、対称的、推移的であり、部分層として同値関係をなす。小さい表示で切断ごとの商前層を作り、層化して商$P_g$を得る。二つの元が商の層で等しいための必要十分条件は、被覆上で$\sim$が成立することである。関係は部分層なので、局所的な成立は貼り合わさる。したがって商の核対は元の関係に一致する。

$U$上では、$(u,[(v,b)])\mapsto(u,g(u,v)b)$が$U\times P_g\to U\times G$を与える。関係の定義とコサイクルの等式から商へ降り、逆射は$(u,a)\mapsto(u,[(u,a)])$である。右乗法も関係を保つため商へ降りる。この自明化の上で作用は自由推移的であり、$P_g\to1$もエピ射となるので、$P_g$は torsor である。

逆に切断$s:U\to P$に対し、自由推移性で$s_2=s_1g_{12}$を満たす一意な$g_{12}$を定める。$s_3=s_1g_{12}g_{23}=s_1g_{13}$と自由性からコサイクルの等式を得る。新しい切断$s'_i=s_ih_i$を代入すると、$s'_2=s'_1h_1^{-1}g_{12}h_2$となり、変換則を得る。▨

証明. 小さい表示$(\mathcal C,J)$を固定する。各$S\subseteq\operatorname{Ob}\mathcal C$に対し$U_S=\coprod_{C\in S}ah_C$とする。$U_S\to1$がエピ射となる$S$と、$\operatorname{Hom}(U_S\times U_S,G)$の中のコサイクル全体を集める。この集合は、小さい冪集合で添字づけた小さい Hom 集合の和の部分集合なので$V$-小である。貼り合わせた torsor が同型となる関係でこの集合を割る。

任意の torsor$P$に対し$S=\{C\mid P(C)\ne\varnothing\}$とする。各$C\in S$の切断を小さい族への選択でとれば、$U_S\to P$を得る。$P\to1$の局所的な全射性と生成族の性質により$U_S\to1$はエピ射である。したがって$P$はこの被覆上で自明となり、前補題のコサイクルから回収される。よって作った商集合がすべての同型類を表す。▨

証明. 貼り合わせた$P_g$を$U$上で自明化すると、定義した関係から元の$g$を得る。逆に$P$の自明化から得た商には$[(u,a)]\mapsto s(u)a$という同変射があり、torsor の射なので同型である。二つの被覆$U,V$はエピ被覆$U\times V$で比較することができる。同じ torsor の二つの自明化の差は一意な$h$で与えられ、補題 2.1の変換則が同型の条件を表す。

位相空間では開集合上の局所切断の被覆をとることができ、得られる関係$a_i=g_{ij}a_j$は§E20.5 定理 2.7と同じである。圏同値は有限積、エピ射および商の普遍性を保つので、同じ構成を移す。大域切断については終対象の保存を用いる。▨

証明.$P$の局所自明化上で、$[g,h]\mapsto u(g)h$は商を$H$と同定し、右作用を右乗法へ移す。したがって商は torsor である。$v:H\to K$に対して$[[p,h],k]\mapsto[p,v(h)k]$は、商の普遍性から定まる自然同型

であり、局所自明化上で恒等写像になる。恒等準同型の場合も$[p,g]\mapsto pg$が比較同型となる。よって同型類の上で関手性を得る。幾何的射の逆像は有限極限と余極限を保ち、エピ射も保つので、torsor の定義と商を保つ。終対象の保存により大域切断も引き戻す。▨

証明.$B_c\to1$はエピ射の引き戻しであり、同じファイバー内の二切断の比は一意に核$A$に入る。よって$B_c$は右$A$-torsor である。大域切断の群の部分の完全性は核の普遍性による。$B_c$が自明であるための必要十分条件は$c$が$B$の大域切断へ持ち上がることである。

$B_c\times^A B\to B$、$[b,b']\mapsto bb'$は同変射なので同型である。逆に$A$-torsor$P$の構造群を$B$へ拡張したものが自明ならば、指定した自明化との合成で$A$同変射$P\to B$を得る。$C$への像は$A$作用で不変である。$P\to1$はエピ射で、その核対は作用で記述されるため、有効商の普遍性によって一つの$c:1\to C$へ降りる。$P\to B_c$は torsor の射なので同型である。このファイバーによる記述から、$H^1(A)$での完全性が従う。

$A$-torsor から作った$B$-torsor の$C$への拡張は、$A$が$C$上で自明に作用することから自明になる。逆に$B$-torsor$Q$の$C$への拡張を自明化し、$Q\to Q\times^B C\cong C$の単位切断上のファイバーをとる。局所自明化でこの射は$B\to C$となるので、ファイバー$P$は$A$-torsor である。射$P\times^A B\to Q$、$[p,b]\mapsto pb$は同型となり、$H^1(B)$での完全性を得る。短完全列の射はファイバーとこれらの商の射を誘導するので、すべての対応は自然である。▨

証明. 対象$P$の自由アーベル群の層$\Z[P]$を、切断ごとの自由アーベル群の前層を層化して構成する。自由アーベル群と層化の随伴を合成すると、$\Z[P]$からの準同型は$P$から台の層への射と自然に一対一に対応する。$A$-torsor$P$の添加射$\epsilon:\Z[P]\to\Z[1]=\Z_{\mathcal E}$は、局所切断を使えば分裂全射となるためエピ射である。その核を$K$とする。

$K\to A$を、局所的な原点$p_0\in P$により

と定める。原点を$p_0+a$に変えても値の差は$-\sum_i n_i a=0$である。したがって準同型は重なりで一致し、一意な$v:K\to A$を与える。特に$v([p]-[q])=p-q$である。$0\to K\to\Z[P]\to\Z_{\mathcal E}\to0$を$v$に沿って押し出し、

を得る。この短完全列の連結射による$1\in\Gamma(\Z_{\mathcal E})$の像を$\alpha_A(P)$とする。$p\mapsto[p]$の像は$E_P$の$1$上のファイバーに入り、$[p+a]=[p]+a$であるため$A$同変である。局所原点を選べば$E_P\cong A\oplus\Z_{\mathcal E}$となり、$P$はその$1$上のファイバーと同型になる。

固定した入射的埋め込み$i:A\hookrightarrow I$と余核$Q$をとる。長完全列により

は完全である。$q\in\Gamma(Q)$に対し$P_q=I\times_Q1$は$A$-torsor である。$q'=q+\overline t$、$t\in\Gamma(I)$ならば$z\mapsto z+t$が$P_q\cong P_{q'}$を与えるので、$\delta(q)\mapsto[P_q]$はよく定まる。

任意の$P$について、$iv:K\to I$を入射性により$\lambda:\Z[P]\to I$へ延長する。$p\mapsto\lambda([p])$の$Q$での像は、二切断の差が$i(A)$に入るため$P\times P$の二射上で一致する。$P\to1$の有効商の普遍性から、その像は$q:1\to Q$へ降りる。$\lambda([p+a])=\lambda([p])+i(a)$により$P\to P_q$は同変射、したがって同型である。

押し出しの普遍性は$E_P\to I$を与え、右端の射$\Z_{\mathcal E}\to Q$は$1\mapsto q$である。得られた短完全列の射の連結射の自然性から$\alpha_A(P)=\delta(q)$となる。特に$P=P_q$では、自由射$\Z[P_q]\to I$を包含$P_q\to I$から作ることで、同じ$q$を得る。したがって二つの対応は互いに逆である。

係数の準同型$A\to A'$は、構造群の変更$P\to P\times^A A'$、自由アーベル群の射、添加射の核の射、押し出しの射を順に誘導する。これらから得る短完全列の射と連結射の自然性により$\alpha$は係数に自然である。圏同値は自由対象の普遍性と押し出しを保つので、圏同値についても自然である。

同じ埋め込み$A\to I$を用いて二つの torsor を$P_q,P_r$と表す。加法$I\times I\to I$は縮約積から$P_{q+r}$への同変射を与える。この同変射は同型である。$\delta(q+r)=\delta(q)+\delta(r)$なので、$\alpha$は和を保つ。自明な torsor は零、作用を反転した torsor は逆元に対応し、群構造を得る。

最後に可換な短完全列$0\to A\to B\to C\to0$と切断$c\in\Gamma(C)$をとる。ファイバー$P=B_c$から$B$への包含は$\Z[P]\to B$を誘導し、$K$上では$v:K\to A$と一致する。押し出しからの短完全列の射の右端は$\Z_{\mathcal E}\to C$、$1\mapsto c$である。連結射の自然性から$\alpha_A(B_c)=\delta(c)$となる。▨

証明.主張 (1)を示す。$A$が中心にあるので$[q,r]b=[qb,r]$は商へ降りる。局所的に$R$の原点をとれば$Q\otimes^AR$は$Q$と同型となり、$B$-torsor である。その$C$への拡張は$Q\times^B C$に標準的に同型なので、$\phi$を合成して持ち上げを得る。商の普遍性と加法による縮約積の結合性から、同型類の上で作用を定める。

二つの持ち上げ$(Q,\phi),(Q',\phi')$に対し、指定された$P$への同定と両立する$B$同変同型の層を$R$とする。この層は、$Q'{}^Q$の部分層として、同変性と同定との可換性の等式で構成される。$Q,Q'$と$P$を共通のエピ被覆上で自明化する。必要な同型は$B$の元による左乗法で与えられ、その$C$での像が指定された元になることが条件である。$B\to C$はエピ射なので局所的にその元を持ち上げることができ、$R$は局所的に非空である。二つの持ち上げの差は一意な$A$の元であり、中心性により$f\cdot a:q\mapsto f(q)a$が$B$同変となる。よって$R$は$A$-torsor である。

評価$[q,f]\mapsto f(q)$は$Q\otimes^A R\to Q'$を与える。関係との両立は$f(qa)=f(q)a=(f\cdot a)(q)$による。これは$P$上の$B$同変射なので、持ち上げの同型となる。逆に$R$から作用で得た持ち上げについて、$r\mapsto(q\mapsto[q,r])$はこの同型の層を$R$と同定する。したがって作用は自由かつ推移的である。

主張 (2)を示す。$Q'=Q$の場合、恒等写像が同型の層の切断を与える。$a$を$q\mapsto qa$へ送る同定の下で合成は$A$の積に一致するため、大域自己同型群は$H^0(\mathcal E,A)$である。▨