Grothendieck 位相と site | 層論 I

定義 1.1. 局所 $V$ -小圏 $\mathcal C$ の対象 $U$ の上の篩 (sieve) とは、表現可能前層 $h_U=\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,U)$ の部分前層をいう。

命題 1.2. 局所 $V$ -小圏 $\mathcal C$ の対象 $U$ の上の篩は、終域が $U$ である射の集まり $S$ で、 $f\in S$ と合成することができる任意の射 $g$ に対し $fg\in S$ となるものとして記述される。 $h_U$ 自身を極大篩 (maximal sieve) という。

射 $f:T\to U$ と篩 $S\subseteq h_U$ に対し、

(f^*S)(W)=\{g:W\to T\mid fg\in S(W)\}

は $T$ の上の篩であり、部分前層 $S\to h_U$ を $h_f:h_T\to h_U$ に沿って引き戻したものである。

すべての $f_i$ を含む最小の篩を、射の族 $(f_i:U_i\to U)_{i\in I}$ が生成する篩 (generated sieve) という。生成する篩は、ある $i$ と射 $g:W\to U_i$ によって $f_ig$ と書かれる射全体である。 $\mathcal C$ と $I$ が $V$ -小である場合、この篩は前層の射 $\coprod_i h_{U_i}\to h_U$ の像である。

証明. $h_U$ の制限写像は前合成である。したがって部分前層の条件は、各 $S(W)$ が前合成で閉じているという条件である。 $g\in(f^*S)(W)$ と $a:W'\to W$ に対し $fga\in S(W')$ なので、 $W\mapsto(f^*S)(W)$ も $h_T$ の部分前層である。各 $W$ で $(f^*S)(W)$ は $S(W)$ と $h_T(W)$ の $h_U(W)$ 上の pullback である。自然変換は成分ごとに定まるので、 $f^*S$ は前層の pullback である。

生成篩の表示は前合成で閉じ、すべての $f_i$ を含む。 $f_i$ を含む任意の篩はすべての $f_ig$ を含むので、表示した篩は最小である。小さい場合、前層の余積と像は各点で計算されるので、 $W$ における像はこの集合である（§E9.9 命題 5.3）。▨

注意 1.3. $\mathcal C$ が $V$ -小でない場合、篩は部分前層を指定する規則として扱い、すべての篩を集合として集めない。引き戻し篩の式は圏 $\mathcal C$ の pullback を用いていないので、 $\mathcal C$ に有限極限がなくても定まる。生成篩も射の因数分解によって定まる。

定義 2.1. 局所 $V$ -小圏 $\mathcal C$ のGrothendieck 位相 (Grothendieck topology) とは、各対象 $U$ に $U$ の上の篩の集まり $J(U)$ を対応させる規則であって、次の条件を満たすものをいう。 $J(U)$ の篩を被覆篩 (covering sieve) という。

極大篩 $h_U$ は $J(U)$ に属する。
$S\in J(U)$ と射 $f:T\to U$ に対し、 $f^*S\in J(T)$ である。
$S\in J(U)$ と篩 $R\subseteq h_U$ に対し、すべての $f:T\to U$ 、 $f\in S(T)$ について $f^*R\in J(T)$ ならば、 $R\in J(U)$ である。

組 $(\mathcal C,J)$ を site (site) という。 $\mathcal C$ が $V$ -小であるとき、 $(\mathcal C,J)$ を $V$ -小な site という。

注意 2.2. $\mathcal C$ が $V$ -小なら、 $U$ の上の篩は射集合の部分集合によって符号化されるので、篩の集合も $V$ の元である。 $J(U)$ はその部分集合であり、対応 $U\mapsto J(U)$ も $V$ -小な対象集合で添字づけた族である。したがって§E9.1 命題 2.3により、位相のデータ全体は $V$ の元である。

命題 2.3. site $(\mathcal C,J)$ の対象 $U$ について、次が成り立つ。

$S\in J(U)$ と $f:T\to U$ 、 $f\in S(T)$ に対し $f^*S=h_T$ である。
$S\in J(U)$ と $S\subseteq R\subseteq h_U$ に対し $R\in J(U)$ である。
$R,S\in J(U)$ ならば $R\cap S\in J(U)$ である。

したがって $J(U)$ は包含の逆に関して有向である。 $\mathcal C$ が $V$ -小なら $J(U)$ は $V$ -小な有向集合である。

証明.主張 (1)を示す。 $f\in S(T)$ なら、任意の $g:W\to T$ に対し $fg\in S(W)$ なので $f^*S=h_T$ である。

主張 (2)を示す。 $S\subseteq R$ なら、このような $f$ について $f^*R=h_T$ でもある。極大篩が被覆であることと条件 (T3)を用いると $R$ が被覆であることを得る。

主張 (3)を示す。 $R,S$ がともに被覆なら、 $f\in S(T)$ に対し

f^*(R\cap S)=f^*R\cap f^*S=f^*R

は被覆である。再び条件 (T3)を用いると $R\cap S$ は被覆となる。 $J(U)$ は極大篩を含むので空でなく、 $R,S\in J(U)$ に対し $R\cap S\in J(U)$ は $R,S$ の両方に含まれる。小ささは注意 2.2による。▨

例 3.1.

位相空間 $X$ の開集合の圏 $\mathcal O(X)$ で、篩を包含射の始域の集まりとみなす。 $U$ の上の篩 $S$ が被覆であることを $\bigcup_{W\in S}W=U$ によって定める。極大篩は $U$ を含む。 $T\subseteq U$ への引き戻しでは、 $W\in S$ に対する $T\cap W$ が引き戻し篩に属し、その和は $T$ である。推移性について、 $S$ が $U$ を覆い、各 $W\in S$ の上で $R$ が覆うなら、 $R$ の元の和は各 $W$ を含み、したがって $U$ に等しい。よって Grothendieck 位相 $J_X$ を得る。 $(\mathcal O(X),J_X)$ を $X$ の開集合の site という。開集合の全体は $\mathcal P(X)$ の部分集合なので、この site は $V$ -小である。空集合の上では空の篩も被覆である。
任意の $V$ -小圏で、極大篩だけを被覆とする位相がある。推移性の仮定は極大篩の元 $\mathrm{id}_U$ に適用すると $R$ 自身が被覆であることを要求するので満たされる。極大篩だけを被覆とする位相が最小の位相である。すべての篩を被覆とするものは最大の位相である。
群 $G$ を一対象の圏 $\mathcal BG$ と見ると、空でない篩はある $g$ とすべての $gh$ を含むので極大篩である。したがって位相は最小と最大の二つだけである。

加法モノイド $\N$ の一対象圏では、篩は $n\in S$ と $m\in\N$ に対し $n+m\in S$ を満たす部分集合 $S\subseteq\N$ である。したがって空の篩と $S_k=\{k,k+1,\ldots\}$ （ $k\ge0$ ）がすべてである。空でない篩をすべて被覆とすると、 $m^*S_k=S_{\max(k-m,0)}$ により引き戻しの公理が成り立つ。推移性の仮定を満たす $R$ に対し、被覆篩から一つ $m$ をとると $m^*R$ は空でないので $R$ も空でない。よって推移性も成り立つ。

例 3.2. 鎖 $0<1<2$ を圏と見る。 $0,1$ では極大篩だけを被覆とし、 $2$ では極大篩に加えて $\{0\to2\}$ を被覆とする。このとき、この指定は条件 (T1)を満たすが、条件 (T2)を満たさない。実際、 $1\to2$ に沿って $\{0\to2\}$ を引き戻すと $\{0\to1\}$ となり、これは $1$ の極大篩ではない。

§E20.8Grothendieck 位相と site

1 篩

2 Grothendieck 位相と site

3 例

参考文献

前提記事