アーベル群の層の圏 | 層論 I

定義 1.1. 有限積をもつ圏 $\mathcal E$ のアーベル群対象 (abelian group object) とは、対象 $A$ と射 $+:A\times A\to A$ 、 $0:1\to A$ 、 $-:A\to A$ であって、結合律、交換律、零元および逆元の公理を表す図式が可換となるものである。これらの演算を保つ射を準同型 (homomorphism of abelian group objects) といい、アーベル群対象と準同型の圏を $\mathbf{Ab}(\mathcal E)$ と書く。

定理 1.2. $\mathcal E$ を Grothendieck トポスとし、その小さい site による表示を固定する。このとき、次が成り立つ。

$\mathbf{Ab}(\mathcal E)$ は、表示に用いた site 上のアーベル群の層の圏と同値である。
この表示のもとで、核は切断ごとの核、余核は切断ごとの余核の層化で与えられる。
アーベル群の前層の層化は完全である。
$\mathbf{Ab}(\mathcal E)$ はアーベル圏である。
small-generated site の層の圏についても、比較補題の同値を通して、核・余核の記述と層化の完全性が成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。 $\mathcal E$ を、指定した小さい site の層の圏と同一視する。積が切断ごとに計算されるので、アーベル群対象の演算と公理は、各値をアーベル群とし制限を準同型とすることに等しい。射が演算を保つという条件も各切断での準同型の条件である。

主張 (2)を示す。前層の核は有限極限であるから、層の射の核はすでに層である。前層の余核を $Q$ とすると、層化の随伴により $aQ$ が層の圏の余核の普遍性を満たす。

主張 (3)を示す。層化は左随伴として余核を保ち、左完全なので核も保つ。層化の加法性は和を定める有限双積の射を保つことから従う。よって層化は完全である。

主張 (4)を示す。射の和は切断ごとに定まり、零層と有限双積が存在するので、 $\mathbf{Ab}(\mathcal E)$ は加法圏である。前層の圏では余像から像への標準射が各点でアーベル群の第一同型定理の同型となる。完全な層化を適用すると、層の圏の余像から像への標準射も同型となる。したがってアーベル圏の公理を得る。

主張 (5)を示す。small-generated site では、指定した制限と延長の同値が有限積を保つため演算を移し、上の構成とその普遍性を移すことができる。▨

命題 1.3. $f:\mathcal E\to\mathcal F$ を幾何的射とする。このとき、次が成り立つ。

$f$ はアーベル群対象の圏の随伴 $f^*\dashv f_*$ を誘導する。
誘導された $f^*$ は完全で、 $f_*$ は左完全である。
$f$ が全射ならば、誘導された $f^*$ は保守的である。
大域切断 $\Gamma(\mathcal E,A)=\operatorname{Hom}_{\mathcal E}(1,A)$ は、値をアーベル群とする左完全な加法関手である。

証明.主張 (1)を示す。両関手は有限積を保つので、演算の射とその等式を移してアーベル群対象を定める。随伴の unit と counit は有限積の比較と両立する。したがって射の随伴対応は、加法、零元、逆元を保つという等式を反対側の同じ等式へ移し、準同型の間の随伴を与える。

主張 (2)を示す。 $f^*$ は核を保ち、アーベル群対象の圏でも左随伴なので余核を保つ。よって完全である。 $f_*$ は右随伴として核を保ち、左完全である。

主張 (3)を示す。台の射が同型である準同型の逆射も演算を保つので、全射の場合の保守性は台の射についての保守性から従う。

主張 (4)を示す。終対象からの Hom は極限を保ち、演算を切断に移すので、大域切断は値をアーベル群とする左完全な加法関手となる。▨

定義 2.1. アーベル圏の対象 $I$ が余生成対象 (cogenerator) であるとは、任意の零でない射 $f:A\to C$ に対し、 $hf\ne0$ を満たす射 $h:C\to I$ が存在することをいう。

補題 2.2. 小さい完備 Boolean 代数 $B$ に対し、定数アーベル群の層 $Q_B=(\Q/\Z)_B$ は $\mathbf{Ab}(\mathbf{Sh}(B))$ の入射的余生成対象である。

証明. 各 $b\in B$ 上の $Q_B$ の切断は、 $b$ の被覆上で $\Q/\Z$ の定数として表される。互いに素な被覆へ細分すれば、各成分で整数 $n>0$ による除算を行い、貼り合わせることができる。したがって $n:Q_B(b)\to Q_B(b)$ は全射である。

各 $b\in B$ と整数 $n>0$ について $n:D(b)\to D(b)$ が全射であるアーベル群の層 $D$ は入射的である。モノ射 $M\subseteq A$ と準同型 $v:M\to D$ を固定し、 $v$ を延長する組 $(N,w)$ 、 $M\subseteq N\subseteq A$ 、 $w:N\to D$ を延長関係で順序づける。この全体は、部分層と各 Hom 集合の小さい和の部分集合である。鎖の上界は部分層の和と、局所的に鎖の各段階で定める準同型で与えられる。鎖の二つの値は大きい方の段階で一致するので、その準同型は一意に貼り合わさる。Zorn の補題により極大な $(N,w)$ をとる。

$N\ne A$ ならば、ある $b\in B$ と $x\in A(b)$ について $x\notin N(b)$ である。各整数 $n>0$ に対し、 $nx$ が $N$ に入る最大の部分元を $b_n\leq b$ とする。この最大元は該当する部分元の和であり、層条件からその上でも $nx$ は $N$ に入る。次の互いに素な分割をとる。

c_n=b_n\wedge\neg\bigvee_{1\leq j<n}b_j, \qquad c_\infty=b\wedge\neg\bigvee_{n>0}b_n.

$n>0$ と $k\in\Z$ について、 $kx$ が $N$ に入る $c_n$ の最大の部分元は、 $n\mid k$ ならば $c_n$ 、それ以外ならば $0$ である。実際、 $nx$ は $c_n$ 上で $N$ に入るので、その整数倍も入る。 $n\nmid k$ の場合、Euclid の除法で $k=qn+r$ 、 $0<r<n$ と書く。部分元 $d\leq c_n$ 上で $kx$ が $N$ に入れば、 $rx=kx-qnx$ も入り、 $d\leq c_n\wedge b_r=0$ となる。 $c_\infty$ 上では、零でない整数倍が $N$ に入る最大の部分元は零である。

$c_n$ 上で $nq_n=w(nx)$ を満たす $q_n\in D(c_n)$ をとり、 $c_\infty$ 上では $q_\infty=0$ とする。互いに素な分割なので、これらは $q\in D(b)$ へ貼り合わさる。 $N$ と $x$ で生成される部分層の局所表示 $m+kx$ に

m+kx\longmapsto w(m)+kq

を対応させる。二つの表示が $c_n$ の零でない部分元上で等しければ、上の最大領域の判定から係数の差は $n$ の倍数であり、 $nq_n=w(nx)$ により値は一致する。 $c_\infty$ の零でない部分元上では、係数の差は零である。零領域上では $D(0)$ が零群なので、値は一意に一致する。整数値の係数が局所定数の場合も、その値ごとの被覆へ制限すれば同じ検証が適用される。したがって、この対応は $N$ と $x$ で生成される部分層からの準同型を一意に定め、 $w$ を真に大きい部分層へ延長する。極大性に反するので $N=A$ である。これを $D=Q_B$ に適用して入射性を得る。

余生成性を確かめる。零でない準同型 $f:A\to C$ をとり、ある $x\in A(b)$ について $y=f(x)\ne0$ とする。 $y$ が零となる最大の部分元の補元を改めて $b$ とする。 $b\ne0$ であり、 $y$ は $b$ の零でないどの部分元上でも零にならない。 $ny=0$ となる最大の部分元を $b_n$ とし、上と同じ式で分割 $c_n,c_\infty$ をとる。少なくとも一つの零でない成分で、 $y$ の位数は固定された $n\geq2$ または無限である。有限位数の成分では $y\mapsto1/n+\Z$ 、無限位数の成分では $y\mapsto1/2+\Z$ と定める。これはその成分上で $y$ が生成する巡回部分層から $Q_B$ への零でない準同型となる。成分の補元上では零として貼り合わせると、 $C$ の部分層上の準同型を得る。入射性によって $h:C\to Q_B$ へ延長することができる。合成 $hf$ は零でない。よって $Q_B$ は余生成対象である。▨

定理 2.3. $\mathcal E$ を Grothendieck トポスとする。§E20.12 定理 3.2による Boolean 局所化 $p:\mathbf{Sh}(B)\to\mathcal E$ を固定し、 $I=p_*Q_B$ とおく。このとき、次が成り立つ。

$I$ は $\mathbf{Ab}(\mathcal E)$ の入射的余生成対象である。
評価射 $u_A:A\longrightarrow E(A)=I^{\operatorname{Hom}(A,I)}$ は自然なモノ射であり、 $E(A)$ は入射対象である。したがって $\mathbf{Ab}(\mathcal E)$ は十分な入射対象をもつ。
$u_A$ の余核を反復する構成は、関手的な入射分解を与える。

証明.主張 (1)を示す。 $p$ は全射なので、命題 1.3により $p^*$ は完全かつ保守的である。§E9.23 命題 1.7の入射対象の随伴による保存により $I$ は入射的である。保守的な左完全関手は忠実である。実際、関手が二つの射を同じ射へ送れば、その等化子の関手による値は同型となり、保守性から元の等化子も同型となる。したがって $p^*$ は零でない準同型を零でない準同型へ送る。 $Q_B$ の余生成性と随伴から、 $I$ も余生成対象となる。

主張 (2)を示す。評価射の核の包含 $K\to A$ が零でなければ、 $I$ の余生成性により、 $K\to A$ との合成が零でない射 $A\to I$ が存在する。これは評価射のすべての成分がその核上で零であることに反する。よって $u_A$ はモノ射である。積 $E(A)$ は§E9.23 命題 1.6により入射的である。射 $f:A\to A'$ に対して $E(f)$ の $h:A'\to I$ 成分を $hf$ 成分への射影で定めると、 $E$ は関手であり $E(f)u_A=u_{A'}f$ である。

主張 (3)を示す。前層の余核の層化を余核の指定された構成として用い、§E9.23 命題 2.5を $E,u$ に適用する。これにより分解と分解の射が各対象と射から式で定まる。積の添字は小さい Hom 集合であり、分解は可算列である。▨

命題 3.1. 位相空間 $X$ 上の $\mathbf{Sh}(X;\mathbf{Ab})$ の Hom の加法は切断ごとの和であり、零対象は零層、有限双積は切断ごとの直和である。包含 $J$ 、層化 $a$ 、茎の関手 $(-)_x$ は加法関手である。

証明. 一般のアーベル群対象の構成を開集合の site に適用する。有限双積の入射と射影は各開集合の上の入射と射影であり、制限と可換である。包含はこの加法を保つ。層化は有限双積を保ち、茎では $(s+t)_x=s_x+t_x$ なので、両関手も加法的である。▨

定理 3.2. $X$ を位相空間とする。このとき、 $\mathbf{Sh}(X;\mathbf{Ab})$ はアーベル圏であり、その射 $\varphi:F\to G$ について次が成り立つ。

核は切断ごとの核、余核は前層の余核の層化である。像は像前層の層化であり、余像から像への標準同型は位相幾何で構成した $F/\ker\varphi\cong\operatorname{im}\varphi$ と一致する。
茎は核、余核および像を保つ。特に $(\ker\varphi)_x=\ker\varphi_x$ 、 $(\operatorname{coker}\varphi)_x\cong\operatorname{coker}\varphi_x$ である。
$\varphi$ がモノ射であること、各開集合上で単射であること、各茎で単射であることは同値である。 $\varphi$ がエピ射であること、各茎で全射であること、各切断が局所的に持ち上がることは同値である。

証明. アーベル圏であることは定理 1.2による。位相空間 $X$ 上のアーベル群の層の射 $\varphi$ に§E20.2 命題 1.4を適用すると、切断ごとの核と前層の余核の層化の普遍性、像前層の層化との同型、および核・像・余核の茎の式を得る。この茎の式により、既習の像と $\ker(G\to\operatorname{coker}\varphi)$ は、 $G$ の部分層として各点で同じ茎をもつため一致する。

余像から像への射は $\varphi$ の分解の中央の射として余核の普遍性で一意に決まるため、既習の同型と一致する。モノ射とエピ射の判定は、核と余核が零であることを茎で判定し、局所的な持ち上げの判定を適用すれば得られる。▨

系 3.3. 射の列 $F\xrightarrow\varphi G\xrightarrow\psi H$ に対し、次の三条件は同値である。

列はアーベル圏として $G$ で完全である。
部分層として $\operatorname{im}\varphi=\ker\psi$ である。
すべての点 $x$ で $F_x\to G_x\to H_x$ が中央で完全である。

証明.(a) $\Leftrightarrow$ (b)を示す。定理 3.2 (1)により、アーベル圏の像と核は層の像と核に一致するので、どちらも $\operatorname{im}\varphi=\ker\psi$ を表す。

(b) $\Leftrightarrow$ (c)を示す。定理 3.2 (2)により茎は像と核を保ち、部分層の等式は茎で判定される。▨

命題 3.4.

茎の関手は完全である。
層化は完全であり、包含 $J$ は左完全である。
開集合 $U$ 上の切断の関手 $\Gamma(U,-)$ は左完全であり、 $\Gamma(X,-)\cong\operatorname{Hom}(\Z_X,-)$ が自然に成り立つ。
連続写像の逆像と部分空間への制限は完全であり、順像は左完全である。包含、大域切断および順像は、一般に右完全でない。

証明.主張 (1)を示す。系 3.3を適用する。

主張 (2)を示す。層化の完全性は定理 1.2による。包含は右随伴なので左完全である。

主張 (3)を示す。切断の関手は包含と評価の合成なので左完全である。定数層の随伴により、 $\Z_X$ からの準同型は大域切断を一つ指定することに等しい。

主張 (4)を示す。逆像の完全性は§E20.10 系 3.6、順像の左完全性は命題 1.3による。制限は逆像の一例である。右完全性の失敗は§E20.10 例 3.7の円周上の指数列で得られる。▨

例 3.5. $p_n=(1/n,0)$ とし、 $X=\R^2\setminus\{p_n\mid n\geq1\}$ とする。このとき、指数列の射 $e:h_{\R}\to h_{\Uni(1)}$ はエピ射であるが、可算積 $\prod_ne$ はエピ射でない。

実際、 $f_n(z)=(z-p_n)/|z-p_n|$ は $X$ 上の切断であり、 $(f_n)_n$ は積の切断を定める。原点の任意の近傍は、ある $\varepsilon>0$ について $X\cap B(0,\varepsilon)$ を含む。 $1/n<\varepsilon/2$ となる $n$ をとり、

0<r<\min\{\varepsilon/2,1/(2n(n+1))\}

とすると、 $p_n$ を中心とする半径 $r$ の円周はその近傍に含まれ、他の除去点と交わらない。この円周上で $f_n$ は一周する写像であり、連続な対数をもたない。よって $(f_n)_n$ の原点での芽は積の指数射に沿って持ち上がらない。一方、各 $n$ を固定すれば、 $f_n(0)=-1$ の小さい弧に像が入る近傍上で対数をとることができる。積の関手は右随伴として左完全であるが、無限積について右完全性は成り立たない。

命題 4.1. 入射アーベル群 $I$ と点 $x\in X$ に対し、摩天楼層 $x_*I$ は入射層である。入射アーベル群の小さい族 $(I_x)_{x\in X}$ に対し $\prod_xx_*I_x$ も入射層であり、開集合 $U$ での値は $\prod_{x\in U}I_x$ である。

証明. 茎の関手は完全であり、 $x_*$ の左随伴である。§E9.23 命題 1.7によって $x_*I$ は入射的である。積については§E9.23 命題 1.6を用いる。積の切断の式は切断ごとの積の構成による。▨

定理 4.2. アーベル群 $A$ に対し $D_A=(\Q/\Z)^{\operatorname{Hom}_{\Z}(A,\Q/\Z)}$ とし、評価射を $\iota_A:A\to D_A$ とする。層 $F$ に対し

E(F)=\prod_{x\in X}x_*D_{F_x},\qquad u_F(U)(s)=(\iota_{F_x}(s_x))_{x\in U}

とおく。このとき、次が成り立つ。

$E(F)$ は入射層であり、 $u_F$ はモノ射である。
$E$ は関手であり、 $u:\mathrm{id}\Rightarrow E$ は自然変換である。
$E(F)$ は Godement の層 $\prod_xx_*A_x$ の形である。したがって脆弱であり、パラコンパクトな Hausdorff 空間では細層、局所コンパクトな Hausdorff 空間では c-軟弱層である。
$Z^0(F)=F$ 、 $I^n(F)=E(Z^n(F))$ 、 $Z^{n+1}(F)=\operatorname{coker}u_{Z^n(F)}$ とし、微分を $I^n(F)\to Z^{n+1}(F)\to I^{n+1}(F)$ とすると、関手的な入射分解 $F\to I^\bullet(F)$ を得る。

証明.主張 (1)を示す。§E9.23 例 2.6の $R=\Z$ の場合を、 $\operatorname{Hom}_{\Z}(\Z,D_A)\cong D_A$ 、 $h\mapsto h(1)$ で移すと、 $D_A$ の入射性と $\iota_A$ の単射性、自然性を得る。前命題から $E(F)$ は入射的である。 $u_F$ は芽をとるモノ射と各 $\iota_{F_x}$ の積の合成なのでモノ射である。

主張 (2)を示す。射 $\varphi:F\to F'$ に対して $E(\varphi)=\prod_xx_*D(\varphi_x)$ と定める。茎と $D$ と積の関手性から恒等射と合成を保ち、 $D(\varphi_x)\iota_{F_x}=\iota_{F'_x}\varphi_x$ から $u$ の自然性を得る。

主張 (3)を示す。Godement の層の性質は§E20.6 命題 2.10と§E20.7 命題 3.2による。

主張 (4)を示す。余核は前層の余核の層化として指定する。§E9.23 命題 2.5を $E,u$ に適用すると、主張の微分が二乗零であること、分解の完全性と関手性を得る。 $X,\mathcal O(X)$ と各茎は $V$ -小であり、各層の分解は $\N$ で添字づけられるため、構成のすべてのデータも $V$ -小である。▨

例 4.3. $X=\{a,b\}$ に開集合 $\varnothing,\{a\},X$ を与える。層の条件は $F(\varnothing)=0$ に尽きるので、 $F\mapsto(F(X)\to F(\{a\}))$ は $\mathbf{Sh}(X;\mathbf{Ab})\simeq[\mathbf2,\mathbf{Ab}]$ を与える。準逆は準同型 $M\to N$ をそのまま二つの空でない開集合の値と制限とする構成であり、射は可換な四角形を成分として移す。

最小の開近傍で茎を計算すると、 $F_a=F(\{a\})$ 、 $F_b=F(X)$ である。摩天楼層は $a_*A=(A\xrightarrow{\mathrm{id}}A)$ 、 $b_*A=(A\to0)$ となり、 $F$ に対応する準同型を $\rho:M\to N$ と書くと、 $E(F)$ は射影 $D_N\times D_M\to D_N$ に対応する。埋め込みの全空間成分は

m\longmapsto(\iota_N(\rho(m)),\iota_M(m))

である。大域切断は茎 $(-)_b$ に一致するので完全である。

§E20.13アーベル群の層の圏

1 アーベル群対象

2 入射対象

3 位相空間上のアーベル群の層

4 摩天楼層による入射分解

参考文献

前提記事