§E20.12Boolean 局所化

証明. Boolean 代数では、$a\wedge x\leq y$であることは$x\leq\neg a\vee y$であるための必要十分条件である。したがって$a\wedge(-)$は左随伴であり、存在する上限を保つ。したがって、frame の分配則を得る。

恒等射は被覆である。被覆を$c\leq b$に沿って引き戻すと$(c\wedge b_i)$となり、その上限は$c$である。各$b_i$の被覆を合成した族の上限も$b$なので、被覆族の公理が成り立つ。▨

証明. 被覆$(b_i)_{i\in I}$の添字を整列し、

とおく。$c_i$は互いに素で、$\bigvee_i c_i=\bigvee_i b_i$である。最後の等式は、各$i$について$\bigvee_{j\leq i}c_j=\bigvee_{j\leq i}b_j$が整列順の帰納法で成り立つことから従う。したがって各被覆は互いに素な被覆へ細分される。

主張 (1)を示す。部分層$A\subseteq F$と$s\in F(b)$に対し、$s$の制限が$A$に属する$c\leq b$全体の上限を$a_s$とする。層条件により$s|_{a_s}\in A(a_s)$であり、$a_{s|_c}=a_s\wedge c$である。$a_s=0$となる切断全体は部分層$A'\subseteq F$をなす。実際、所属条件は制限で保たれ、被覆上で$a_s$が零ならば$a_s$も零である。$b=a_s\vee(b\wedge\neg a_s)$上で$s$は$A$と$A'$の切断へ分かれるので、$A\vee A'=F$、$A\cap A'=0$となる。

主張 (2)を示す。部分終対象$b$へのエピ射$E\to b$は分裂する。局所的な全射性から、ある被覆$(b_i)$上で切断をもち、上で作った互いに素な細分上へ制限する。異なる二つの被覆要素の交わりは$0\in B$である。空被覆の層条件により$E(0)$は一点集合なので、これらの切断は重なり上で一致し、一意に貼り合わさる。

任意の層$F$を、その全切断に対応する射$b\to F$で覆う。$b$は部分終対象なので各射はモノ射である。切断全体は$\coprod_{b\in B}F(b)$という小さい集合であり、これを整列する。先行する像の和の補元と各像との交わりをとると、互いに素な部分対象$(D_i)$で$F$を覆う。各$D_i$はある部分終対象$b_i$の部分対象なので、再び部分終対象である。層の余積の互いに素な性質と像の和の記述により$\coprod_iD_i\to F$はモノ射かつエピ射、したがって同型である。

エピ射$E\to F$を各$D_i$へ引き戻すと分裂する。分裂の全体は小さい Hom 集合の空でない部分集合なので、小さい族への選択により分裂を一つずつとる。余積の普遍性によって得る射$F\to E$が分裂である。▨

証明. 有限極限と被覆の保存から連続性を得るので、随伴と左完全性は§E20.10 定理 2.3による。$P$を$\mathcal C$上の分離前層とし、$L P=\operatorname{Lan}_{T^{\mathrm{op}}}P$とおく。各点のフィルター余極限の元は、$h:D\to TC$と$x\in P(C)$の組で表される。二つの代表が等しいことは、有限極限を用いて共通の代表へ移した後に値が等しいことによって判定される。

unit$P(C)\to LP(TC)$は単射である。実際、$x,y$の像が等しければ、ある$g:C'\to C$と$k:TC\to TC'$について$Tg\circ k=\mathrm{id}$、$P(g)x=P(g)y$となる。二つの射を使った余極限の等式の証人は、その等化子へ移すことでこの形になる。$g$の像分解を$g=me$とすると、$Tm$はモノ射であり、分裂全射$Tg$を通じて右逆をもつため同型である。$T$の保守性から$m$は同型であり、$g$は被覆である。$P$の分離性から$x=y$となる。

また$LP$は分離前層である。積を使って二つの元を$(h,x),(h,y)$と同じ$h:D\to TC$で表す。被覆$(d_i:D_i\to D)$上で両者が等しいとする。余極限の等式と等化子により、各$i$について$g_i:C_i\to C$、$k_i:D_i\to TC_i$をとり、

とすることができる。$C'\subseteq C$を像$\operatorname{im}g_i$の和とする。族$(C_i\to C')$は被覆であるから、$P$の分離性により$x|_{C'}=y|_{C'}$である。すべての$hd_i$は$TC'\subseteq TC$を経由する。引き戻し$D\times_{TC}TC'\to D$が被覆族$(d_i)$のすべてを含むため、この部分対象は$D$全体である。よって$h$は$TC'$を経由し、$(h,x)$と$(h,y)$は同じ元を表す。

分離前層の層化の unit はモノ射である。したがって$P\to T^pa_{\mathcal D}LP$もモノ射であり、層の射に対する$T_s$は忠実である。左完全な忠実関手はモノ射を反映する。実際、核対の二射の像が等しいならば元の二射も等しい。$T_s(f)$が同型ならば$f$はモノ射となる。モノ射$f:A\hookrightarrow C$の分類射$\chi_f:C\to\Omega$と真の射は$f$上で等しいため、$T_s(f)$が同型ならば両者の像は等しい。忠実性により$\chi_f$は真の射であり、$f$は同型となる。▨

証明. 指定した表示の小さい生成族の余積を$G$とする。各生成対象は$G$の部分対象である。$G\to1$の像が真の部分対象ならば、生成族から$1$へのすべての射がその部分対象を経由するため、部分対象の分類射と真の射を区別することができない。したがって$G\to1$はエピ射である。

$G,\Omega$を含む小さい充満部分圏を、有限極限、有限余極限、部分対象、商対象および指数対象で可算回閉じたものを$\mathcal C$とする。各対象の部分対象は小さい集合をなし、商は同値関係の有効商で表されるので、各段階で必要な操作の添字は小さい。代表の選択には小さい添字に対する選択を用いる。可算和も$V$-小である。$\mathcal C$の部分対象束は$\mathcal E$の部分対象束に一致し、完備である。共同エピ射族の位相を用いると、§E20.9 命題 5.3により具体的な同値$\mathcal E\simeq\mathbf{Sh}(\mathcal C)$を得る。

切片圏$\mathcal C_n=\mathcal C/G^n$をとり、射影$G^{n+1}\to G^n$による引き戻しを$T_n:\mathcal C_n\to\mathcal C_{n+1}$とする。これらの切片圏は有限極限、有限余極限、像、部分対象分類子および指数対象をもつ。切片の分類子は$G^n\times\Omega$である。切片の指数対象は、指数対象と部分対象分類子を使い、「同じ底の元に属する各元を、指定された底の元に属する元へ送る写像」という条件を課した部分対象として構成される。したがって上で指定した閉包の中にある。引き戻しはこれらの構造を保つ。有限余極限と像については層の余極限の引き戻し安定性を、指数対象については切片での評価の普遍性を用いる。

$T_n$は忠実である。射の二つの合成が引き戻し後に等しければ、元の射も$G\times A\to A$というエピ射上で等しくなるからである。また$T_n$は共同エピ射族を保つ。切片の部分対象は元のトポスの部分対象であり、共同エピ射族の引き戻しは再び共同エピ射族となる。

$\mathcal D$をこの列のフィルター余極限の圏として構成する。対象は各有限段階の対象であり、二対象間の射は両者を同じ段階へ移した後の射の余極限とする。射の等号は、ある後の有限段階での等号である。有限個の対象、射、等式は一つの段階で表されるので、有限極限、有限余極限、像、指数対象および部分対象分類子の普遍性も有限段階から移る。たとえば有限極限への錐を後の共通段階で表し、その段階の普遍射を用いれば存在を得る。一意性も二つの射をさらに共通段階へ移して判定する。分類射と指数対象の射の対応も同じ方法で得られる。各$\mathcal C_n\to\mathcal D$は忠実であり、これらの有限の構造を保つ。

$\mathcal D$に、共通の真の部分対象を経由しない族を被覆とする位相を入れる。この条件は共同エピ射であることに等しい。実際、二つの射が族上で等しければその等化子が族を含み、等化子は全対象となる。逆に、族が真の部分対象を経由すれば、その分類射と真の射が共同エピ射性に反する。

被覆の引き戻し安定性も成り立つ。$f:Y\to X$に沿って被覆$(X_i\to X)$を引き戻し、その全体が部分対象$M\subseteq Y$に入るとする。部分対象の引き戻しは右随伴$\forall_f$をもち、

で特徴づけられる。ここで$\forall_fM$は、各底の元についてそのファイバー全体が$M$に入るという条件の分類射で構成される。この構成は上の切片の指数対象と分類子の構成の一例である。各$X_i$の像は$\forall_fM$に入るので、被覆性から$\forall_fM=X$、したがって$M=Y$となる。恒等被覆と被覆の合成の公理は、部分対象を経由する条件からただちに従う。得られた位相を$J_{\mathrm{str}}$と書く。

関手$T:\mathcal C\to\mathcal D$は被覆を保つ。これを確かめるため、真の部分対象の検出を用いる。有限段階で$a:A\to B$が$M\subseteq B$を経由しないならば、引き戻し$A\times_BM\to A$は真のモノ射である。その分類射と真の射は異なり、各遷移の忠実性によって後のすべての段階でも異なる。したがって経由しない性質は後の段階で保たれる。

$\mathcal D$のモノ射を一つの段階で表すと、その代表もモノ射である。代表の核対の二射が$\mathcal D$で等しければ、忠実性によって有限段階でも等しいからである。代表が真の部分対象であることも忠実性と分類射で検出される。いま$\mathcal C$の被覆族の像が$\mathcal D$の真の部分対象$M\subseteq TC$を経由すると仮定する。$M$をある有限段階で表す。その段階へ移した元の族は被覆なので、族のある射は$M$を経由しない。この性質はすべての後の段階で保たれ、$\mathcal D$で経由するという仮定に反する。よって$T$は被覆を保つ。$T$は有限極限と有限余極限を保つ忠実関手でもあるので、核対と余核対によってモノ射とエピ射を反映し、同型を反映する。

補題 2.1を$T$に適用すると、左完全かつ保守的な逆像$T_s:\mathbf{Sh}(\mathcal C)\to\mathbf{Sh}(\mathcal D,J_{\mathrm{str}})$と、前合成による右随伴を得る。

$\mathcal D$の任意の対象は部分終対象で覆われる。実際、対象を$C\to G^n$で、真の部分対象を、さらに有限段階へ移して$C'\subsetneq G^i\times C$で表す。$G$の部分対象は生成族を含むので、ある部分対象$S\hookrightarrow G$と射$S\to G^i\times C$が$C'$を経由しない。この射と$S\hookrightarrow G$を組にすると、次の段階で$S\to G^{i+n+1}$はモノ射となる。したがって$S$はその切片の終対象の部分対象であり、元の対象への射をもつ。この射が$C'$を経由しない性質は後の段階でも保たれる。よって部分終対象からのすべての射は共通の真の部分対象を経由せず、被覆をなす。

$\mathcal T=\mathbf{Sh}(\mathcal D,J_{\mathrm{str}})$とおく。層化した表現可能層は生成族であり、直前の被覆によって部分終対象で覆われる。したがって$\mathcal T$は部分終対象で生成される。$H=\operatorname{Sub}_{\mathcal T}(1)$は小さい集合であり、層の部分対象の和と有限交わりの分配則によって frame である。各$h\in H$の代表を小さい族として選び、部分終対象の充満部分圏を作ると、有限極限で閉じ、生成族を含む。§E20.9 命題 5.3の制限と元の圏に沿う余極限により、具体的な同値$\mathcal T\simeq\mathbf{Sh}(H)$を得る。この同値と$T_s\dashv T^s$、$\mathcal E\simeq\mathbf{Sh}(\mathcal C)$を合成したものが求める$q$である。▨

証明. 有界分配束$H$の素フィルター全体を$S$とする。$a\not\leq b$ならば、$a$の生成するフィルターは$b$の生成するイデアルと交わらない。後者を避けるフィルターの極大元を Zorn の補題でとると、この極大フィルターは素フィルターである。実際、$x\vee y$が入り$x,y$がともに入らなければ、$x$と$y$をそれぞれ添加したフィルターは避けていたイデアルに交わる。元のフィルターのある$p,q$について$p\wedge x\leq b$、$q\wedge y\leq b$となり、分配則から$p\wedge q\wedge(x\vee y)\leq b$となって矛盾する。

よって$a\mapsto\widehat a=\{s\in S\mid a\in s\}$は$H$を$\mathcal P(S)$へ単射に埋め込み、有限上限と有限下限を保つ。$\widehat a$で生成される Boolean 部分代数を$A$とする。$A$の各元は、有限個の$\widehat u\setminus\widehat v$の和で表される。

この埋め込みは$H$の任意の上限を、$A$における上限へ送る。$a=\bigvee_i a_i$とし、$c\in A$がすべての$\widehat a_i$を含むとする。$S\setminus c$を有限個の$\widehat u\setminus\widehat v$の和で表す。各項について$\widehat{u\wedge a_i}\subseteq\widehat v$、すなわち$u\wedge a_i\leq v$である。frame の分配則から$u\wedge a\leq v$となる。したがって$\widehat a$も$c$に含まれ、上限の主張が従う。

Boolean 代数$A$の超フィルター全体を$X$とし、$a\in A$に対応する集合$[a]=\{x\mid a\in x\}$を開基とする。極大フィルターの存在とその素性は上と同じ Zorn の補題による。$[a]\cap[b]=[a\wedge b]$、$X\setminus[a]=[\neg a]$であり、$a\mapsto[a]$は単射である。

$X$の正則開集合、すなわち$U=\tpint{\tpcl{U}}$を満たす開集合全体を$B$とする。演算を

と定める。開集合$O$について$r(O)=\tpint{\tpcl{O}}$は正則開である。実際、$O\subseteq r(O)\subseteq\overline O$なので$r(r(O))=r(O)$である。二つの正則開集合の交わりも正則開であり、上の上限は最小上界となる。$U\cap\neg U=\varnothing$であり、$U\cup\neg U$は稠密なので上限は$X$である。分配則は、開集合$W$と稠密な開部分集合$D\subseteq O$に対し$W\cap D$が$W\cap O$で稠密であることを適用して得られる。したがって$B$は完備 Boolean 代数である。下限は上限と補元から定まる。

$a\mapsto[a]$は$A$を$B$へ埋め込み、$A$内に存在する任意の上限を保つ。実際、$a=\sup_i a_i$ならば、$\bigcup_i[a_i]$は$[a]$で稠密である。そうでなければ、開基から零でない$b\leq a$をとり、すべての$a_i$と$b$が交わらないようにすることができる。すると$a\wedge\neg b$は$a$より小さい上界となり矛盾する。$[a]$は開かつ閉なので、$B$での上限も$[a]$である。二つの埋め込みを合成すればよい。$S,X,B$は順に小さい集合の冪集合の部分集合として構成されるので、すべて$V$-小である。▨

証明.命題 2.2による$q:\mathbf{Sh}(H)\to\mathcal E$と、補題 3.1による$j:H\hookrightarrow B$をとる。$j$は有限極限と被覆を保つ連続な site 関手であり、順序の埋め込みなので同型を反映する。順序圏ではすべての射がモノ射なので像はその射自身であり、$\operatorname{Sub}_H(h)=\{k\mid k\leq h\}$は完備である。したがって補題 2.1により、層化した左 Kan 拡張$j_s$は左完全かつ保守的であり、前合成$j^s$を右随伴にもつ。この随伴が定める幾何的射と$q$を合成すると$p$を得る。二つの保守的関手の合成も保守的であるから、$p$は全射である。▨