§E20.6細層と細分解

証明.主張 (1)を示す。$s_x=0$ならば§E20.1 定義 4.1 (1)により$s$が零となる$x$の開近傍があるので、台の補集合は開である。

主張 (2)を示す。任意の$t\in F(V)$と$x\in V$について$\eta_V(t)_x=\eta_x(t_x)=0$であり、§E20.1 補題 4.3により$\eta_V(t)=0$となる。▨

証明.主張 (1)は問題 6.1、主張 (2)は問題 6.2、主張 (3)は問題 6.3で演習とする。▨

証明.主張 (1)を示す。芽の代表元を替えても、十分小さい共通近傍で両代表元が一致するので、その積も一致する。加群の公理は、同じ共通近傍での等式から芽についても従う。

主張 (2)を示す。$P^+$の切断$\sigma$は局所的に$\eta(s)$と書かれる。同じ近傍で$r\in R(U)$も制限すれば$r\sigma=\eta(rs)$なので、芽ごとの積は層化の切断である。加群の公理はこの局所表示で成り立ち、作用は制限とも可換である。式$r\eta(s)=\eta(rs)$により$\eta$は$R$上の加群の前層の射である。

主張 (3)を示す。$r_x=0$ならば、その点の開近傍で$r=0$なので掛け算は零となる。したがって掛け算の茎が零でない点は$\operatorname{supp}r$に含まれ、この集合は閉であるから、自己準同型の台もその中に含まれる。▨

証明.主張 (1)を示す。$s\in F(V)$を$X$へ延長してから$U$へ制限すると、$s$に写る$F(U)$の元を得る。

主張 (2)を示す。$F|_U$の制限写像は$F$の制限写像そのものなので、主張 (1)により全射である。▨

証明.$(U_i)_{i\in I}$に対して局所有限な開被覆による細分$(V_j)_{j\in J}$と細分射$\tau\colon J\to I$を取る。$(V_j)$に従属する分割$(\eta_j)$に対し、

とおく。命題 1.3 (2)によりこの和は定まり、その台は閉集合$F_i=\bigcup_{\tau(j)=i}\operatorname{supp}\eta_j$に含まれる。§E2.58 補題 1.6 (3)により$(F_i)$は局所有限であり、$F_i\subseteq U_i$である。したがって$(\operatorname{supp}\eta'_i)$も局所有限である。各茎では有限和の括り直しにより$\sum_i(\eta'_i)_x=\sum_j(\eta_j)_x=\mathrm{id}$なので、自己準同型の和の一意性により$\sum_i\eta'_i=\mathrm{id}$となる。▨

証明.§E2.58 定理 2.7と§E2.15 定理 1.11 (1)により正則性を得て、§E2.58 補題 2.8により$\tpcl{V_i}\subseteq U_i$を満たす局所有限な開被覆$(V_i)$を取る。各$x$に対して$x\in V_{\lambda(x)}$となる添字を選び、$A_i=\lambda^{-1}(i)$とおく。これらは$X$を分割し、$A_i\subseteq V_i$である。§E2.58 命題 1.4 (3)により$(\tpcl{V_i})$は局所有限なので、その部分集合の族$(\tpcl{A_i})$も局所有限である。▨

証明.§E20.1 命題 5.7 (3)により$D(U)=\prod_{x\in U}\Z$は層であり、演算は点ごとに定まる。

主張 (1)を示す。連続関数の場合、関数の芽が零であることは関数が零となる開近傍が存在することなので、層の切断の台は通常の関数の台に一致する。正則性は§E2.58 定理 2.7と§E2.15 定理 1.11 (1)によって得られるから、§E2.58 定理 3.2を適用する。

主張 (2)を示す。$D$の場合は補題 2.7の分割$A_i$の特性関数$\phi_i=\chi_{A_i}$を取る。$\phi_i$の芽が零であるための必要十分条件は$x\notin\tpcl{A_i}$なので、$\operatorname{supp}\phi_i=\tpcl{A_i}$である。各点でちょうど一つの値が1となるので$\sum_i\phi_i=1$である。▨

証明. 局所有限な開被覆$(U_i)$に従属する 1 の分割$(\phi_i)$を取り、$\phi_i$による掛け算を$\eta_i$とする。命題 1.5 (3)により$\operatorname{supp}\eta_i\subseteq\operatorname{supp}\phi_i\subseteq U_i$であり、台の族は局所有限である。各茎で$\sum_i(\phi_i)_x=1_x$なので、$\sum_i\eta_i=\mathrm{id}$である。$C(-,\R)$と$D$の場合には、それぞれ命題 2.8 (1)と命題 2.8 (2)を適用する。▨

証明.主張 (1)を示す。$D$の作用と制限の両立は点ごとの整数倍から従い、細層であることは定理 2.9による。

主張 (2)を示す。切断の制限は積の射影であり、補集合の座標に零を補うことで延長することができる。したがって$G$は脆弱層であり、制限の表示も同じ積の式から従う。

主張 (3)を示す。芽を取る射は§E20.1 命題 5.7 (4)により単射である。茎の誘導写像は恒等写像と合成を保ち、$\varphi(s)_x=\varphi_x(s_x)$なので埋め込みとも可換である。

主張 (4)を示す。§E20.2 定理 2.5 (1)の茎の短完全列を$x\in U$にわたって積に取る。核の等式と全射性は成分ごとに成立する。各開集合の短完全性から§E20.2 系 2.4により層の短完全性を得る。▨

証明.$\Z_X$の自己準同型$\eta$は、定数関数 1 の像$m=\eta_X(1)$による掛け算である。実際、局所定数切断が整数$n$に等しい近傍では、その像は$n\eta(1)$であり、局所性によってすべての切断の像が決まる。$m$は連結な$X$上の局所定数関数なので定数である。したがって$\eta$の台は零写像なら空、そうでなければ$X$となる。$U_1,U_2$はともに真部分集合なので、それぞれに従属する自己準同型は零であり、その和は恒等射にならない。▨

証明.命題 2.6により$\mathcal U=(U_i)$に従属する分割$(\eta_i)$を取る。$p\ge1$と$c\in\check C^p(\mathcal U;F)$に対して

とおく。右辺の各項は命題 1.3 (3)により$U_{i_0\cdots i_{p-1}}$へ零で延長する。延長した切断の台は$\operatorname{supp}\eta_i$に含まれるので、命題 1.3 (1)によって和が定まる。

$J=(j_0,\ldots,j_p)$を固定する。零による延長は制限と可換なので、$U_J$上で

各芽で有限和なので二重和を並べ替えることができ、打ち消しの後に$\sum_i\eta_i(c_J)=c_J$が残る。したがって$\delta K+K\delta=\mathrm{id}$である。$\delta c=0$ならば$c=\delta Kc$なので、正次数のコホモロジーは零である。Čech コホモロジー$\check H^p(X;F)$も、各被覆の零群の帰納極限なので零となる。▨

証明.主張 (1)を示す。$C(-,\R)$は細層なので、その正次数の Čech コホモロジーは零である。§E20.2 命題 3.2と§E20.4 定理 2.1 (1)の長完全列にこの消滅を代入すると、主張 (1)の同型を得る。

主張 (2)を示す。円周はコンパクトな距離空間なので仮定を満たす。§E20.2 命題 3.3の巻き数は$C(S^1,\Uni(1))/\exp(2\pi iC(S^1,\R))\cong\Z$を与え、恒等写像を1へ送る。この巻き数の同型と、主張 (1)の連結準同型が誘導する同型の逆を合成する。恒等写像の連結準同型による像は 1 に写るので生成元である。▨

証明.命題 2.10 (3)と余核の性質により、各$p$で$0\to Q^p\to G^p\to Q^{p+1}\to0$は層の短完全列である。$Q^{p+1}\to G^{p+1}$が単射なので、$\ker d^p=\operatorname{im}(Q^p\to G^p)$であり、$p\ge1$ではこれが$\operatorname{im}d^{p-1}$に等しい。$p=0$でも像は$F$である。各項が脆弱層であることと、パラコンパクトな Hausdorff 空間で細層であることは命題 2.10による。▨

証明.主張 (1)を示す。$\ker d^p=\operatorname{im}d^{p-1}$という分解の完全性と核の普遍性により、$\varepsilon_0,\bar d^p$は一意に存在する。茎で完全性を確かめると、$\varepsilon_0$は同型であり、$\bar d^p$は全射で核は$Z^p$である。§E20.2 定理 2.5 (1)により主張 (1)の短完全性が従う。

主張 (2)を示す。零層だけからなる短完全列に仮定を適用すると、連続する恒等写像の間の完全性から$T^q(0)=0$となる。したがって零写像も零写像へ送られ、$d^{p+1}d^p=0$から$T^0(L^\bullet)$は余鎖複体になる。

主張 (1)の短完全列の長完全列で すべての$q\ge1$に対する$T^q(L^p)=0$を用いると、$q\ge1$に対して

となり、さらに

は完全である。長完全列の左端から$T^0(\iota_p)$は単射であり、$T^0(\iota_{p+1})$の単射性と$d^p=\iota_{p+1}\bar d^p$により

である。

$p\ge1$で$D_p=T^p(\varepsilon_0)^{-1}\partial_0\cdots\partial_{p-1}$とおく。最初に適用する$\partial_{p-1}\colon T^0(Z^p)\to T^1(Z^{p-1})$は全射で、その後の連結準同型は同型なので、$D_p$は全射である。その核は$\operatorname{im}T^0(\bar d^{p-1})$であり、$T^0(\iota_p)$によって余境界群へ写る。したがって二つの全射

は同じ核をもち、第一同型定理によって主張 (2)の式を満たす一意な同型$\Theta^p$が得られる。$p=0$の主張は$F\cong Z^0$と左端の完全性による。

主張 (3)を示す。分解の射は核の普遍性により$Z^p\to Z'^p$を誘導し、主張 (1)の短完全列の射を与える。仮定の自然性により、$D_p$はこれらの射と可換である。$T^0(\iota_p)$も可換なので、同型を特徴づける主張 (2)の式から主張 (3)が従う。▨

証明.主張 (1)と主張 (2)を示す。$T^p(F)=\check H^p(X;F)$とおく。係数の射についての関手性は§E20.3 命題 2.7 (1)、$T^0=\Gamma(X,-)$は§E20.3 命題 2.7 (2)、長完全列とその自然性は§E20.4 定理 2.1 (1)と§E20.4 命題 2.2 (1)による。細層の正次数での消滅は定理 3.1なので、補題 4.3により主張 (1)と主張 (2)が従う。

主張 (3)を示す。分解の射は各開集合上でコサイクルをコサイクルへ送るので、$Z^p\to f_*Z'^p$を誘導する。したがって$X$上のコサイクルの短完全列から$Y$上のコサイクルの短完全列への、順像を介した可換図式が得られる。§E20.4 命題 2.2 (2)により、連結準同型の合成はこの図式と可換である。零次の写像は大域切断の写像であるから、主張 (1)の特徴づけの式とその一意性により 分解による同型も、Čech コホモロジーの引き戻しと大域切断の複体が誘導する写像と可換になる。▨

証明.$p=0$は、両辺が標準写像と両立する形で$F(X)$に同一視されることから従う。正次数について、仮定を満たすすべての層に同時に帰納法を適用する。

$G=G^0(F)$とし、埋め込みの余核を$Q$とすると、$0\to F\to G\to Q\to0$は層の短完全列である。各$U_J$は開部分空間として Hausdorff 空間であり、仮定によりパラコンパクトである。命題 2.10 (2)により$G|_{U_J}$はその上の同じ形の積の層なので細層である。したがって$G|_{U_J}$の正次数の Čech コホモロジーも消える。$U_J$上の長完全列により、$Q|_{U_J}$の Čech コホモロジーも正次数で消え、$G(U_J)\to Q(U_J)$は全射となる。空の交わりでは切断の群は零である。

したがって§E20.3 命題 1.2 (2)により、固定した被覆の上で

は短完全列である。§E6.34 定理 4.3を適用する。$G$は$X$上でも細層なので、定理 3.1によって$H^{q}(\mathcal U;G)=\check H^{q}(X;G)=0$、$q\ge1$である。

標準写像は係数の射と可換である。また、固定被覆上のコサイクルを$G$へ持ち上げて得る連結準同型の公式に、§E20.4 定理 2.1 (2)を恒等細分射で適用すると、標準写像は連結準同型とも可換である。

$p=1$では、$H^\bullet(\mathcal U;-)$の長完全列と$\check H^\bullet(X;-)$の長完全列はいずれも

という形になり、標準写像は左の二項で恒等写像である。したがって同じ余核を取ることにより$H^1(\mathcal U;F)\to\check H^1(X;F)$は同型である。$p\ge2$では、二つの長完全列の連結準同型は

を与える。$Q$も$q\ge1$で$\check H^q(U_J;Q|_{U_J})=0$を満たすので、帰納法の仮定を$Q$に適用する。連結準同型との可換性から、次数$p$の標準写像も同型となる。▨