§E20.4パラコンパクト空間上の長完全列

証明.§E2.58 定理 2.7、§E2.15 定理 1.11 (1)により$X$は正則である。§E2.58 補題 2.8を適用し、局所有限な開被覆$(V_i)_{i\in I}$で$\tpcl{V_i}\subseteq U_i$となるものを取る。§E2.58 命題 1.4 (3)により閉包の族も局所有限である。各$x$について、開近傍$O_x$が交わる$\tpcl{V_i}$の添字集合$\Phi(x)$が有限になるように$O_x$を取り、$x\in V_{\lambda(x)}$を満たす$\lambda(x)$を選ぶ。

$\Phi(x)$の元からなる長さ$1$以上$n+1$以下の列$J$のうち、$x\in U_J$を満たすものの集合を$\mathcal J_x$とおく。次の有限個の開集合の共通部分を取る。

各集合は$x$を含むので、$W_x$は$x$の開近傍である。

$W_{x_0}\cap\cdots\cap W_{x_q}\ne\varnothing$とする。各$k$について$O_{x_0}$は$V_{\lambda(x_k)}$と交わるので$\lambda(x_k)\in\Phi(x_0)$である。もし$x_0\notin\tpcl{V_{\lambda(x_k)}}$ならば、$W_{x_0}$の定義から$W_{x_0}\cap V_{\lambda(x_k)}=\varnothing$となり矛盾する。したがって$x_0\in\tpcl{V_{\lambda(x_k)}}\subseteq U_{\lambda(x_k)}$である。列$(\lambda(x_0),\ldots,\lambda(x_q))$は$\mathcal J_{x_0}$に属するので、求める包含が従う。▨

証明.主張 (1)を示す。長さ$p+1$の各列$J=(i_0,\ldots,i_p)$と$x\in U_J$について、$c_J$の芽は零であるから、§E20.1 定義 4.1 (1)により$c_J|_{N_J(x)}=0$となる開近傍$x\in N_J(x)\subseteq U_J$を取る。長さ$1$以上$p$以下の列では$N_J(x)=U_J$とおき、補題 1.1を$n=p$で適用する。

$W_{x_0\cdots x_p}$が空でなければ、$\lambda^*c$の対応する成分は$N_{\lambda(x_0)\cdots\lambda(x_p)}(x_0)$上で零となる切断の制限なので零である。交わりが空ならば成分は$P(\varnothing)=0$に値をもつ。したがって$\lambda^*c=0$となる。

主張 (2)を示す。§E20.3 補題 2.1 (1)の前順序に、$\mathcal U\le\mathcal V$のとき$\mathcal U$から$\mathcal V$へただ一つの射を置くと、§E6.9 定義 8.1の条件を満たす圏が得られる。§E6.9 定理 8.4 (1)により帰納極限の各元は一つの被覆のコホモロジー類で表される。主張 (1)と§E20.3 命題 2.7 (4)により、その類の$\kappa_{\mathcal U}$による像は零である。負次数では複体が零なので結論は同じである。▨

証明.§E20.1 定理 4.4 (2)により、各$J$と$x\in U_J$に対して、開近傍$N_J(x)\subseteq U_J$と$b_{J,x}\in B(N_J(x))$で$\beta(b_{J,x})=c_J|_{N_J(x)}$となるものを取る。補題 1.1を適用し、交わりが空でない場合には$b_{\lambda(x_0)\cdots\lambda(x_q),x_0}$のその交わりへの制限を$b_{x_0\cdots x_q}$とする。交わりが空の場合には、§E20.1 命題 1.3 (1)により$B(\varnothing),C(\varnothing)$が一点集合なので、その唯一の切断を用いる。▨

証明.$t\in P^+(X)$を取る。層化の切断の局所表示により、開被覆$(U_i)$と$s_i\in P(U_i)$で$\eta(s_i)=t|_{U_i}$となるものを取る。$x\in U_{ij}$では$s_i,s_j$の芽が一致するので、$s_i|_{N_{ij}(x)}=s_j|_{N_{ij}(x)}$となる開近傍を取る。長さ1の列には$N_i(x)=U_i$を与え、補題 1.1を$n=1$で適用する。

得られた被覆で、$s_{\lambda(x)}|_{W_x}$と$s_{\lambda(y)}|_{W_y}$は交わりが空でなければ$N_{\lambda(x)\lambda(y)}(x)$上での一致により両立する。空の交わりでは$P(\varnothing)=0$により両立する。貼り合わせの仮定から、すべての$x$で$s|_{W_x}=s_{\lambda(x)}|_{W_x}$を満たす$s\in P(X)$が存在し、層$P^+$の局所性から$\eta(s)=t$となる。▨

証明.主張 (1)を示す。$\beta$の前層の像を$P$とし、$Q=C/^{\mathrm{pre}}P$と置く。§E20.2 命題 2.6により、各開集合で

は短完全であり、$Q(\varnothing)=0$、すべての$x$で$Q_x=0$である。

§E20.3 命題 1.2 (2)により、各被覆について二つの余鎖複体の短完全列が得られる。§E6.34 定理 4.3を適用して長完全列を取る。細分射の余鎖写像は§E20.3 補題 1.4により係数の射と可換なので、適用した定理の自然性によって、得られた長完全列のすべての射は細分写像と可換である。

§E20.3 補題 2.1 (1)の有向な前順序に$\mathcal U\le\mathcal V$のとき$\mathcal U$から$\mathcal V$へ唯一の射を置くと、空でないこと、二対象の上界、平行射の一致という§E6.9 定義 8.1の条件が満たされる。したがって§E6.9 定理 9.1により、二つの長完全列の帰納極限は完全である。定理 1.2 (2)より$\check H^p(X;Q)=0$であるから、二つ目の長完全列により、包含$j\colon P\to C$が同型

を誘導することが分かる。一つ目の長完全列の連結準同型を$\partial_P$とし、$\partial=\partial_P\check H^p(j)^{-1}$と定める。$A,B,C$の零次の Čech コホモロジーを§E20.3 命題 2.7 (2)によって大域切断の群と同一視すると、主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。命題 1.4により、$c$を持ち上げる組$(\mathcal W,\lambda,b)$が存在する。そのような任意の組を固定する。$\beta_*\delta b=\delta\lambda^*c=0$なので、§E20.2 定理 2.3により$\alpha_*a=\delta b$を満たす$a$が一意に存在する。$\alpha_*\delta a=\delta^2b=0$と$\alpha_*$の単射性から$\delta a=0$である。

$\lambda^*c$を$P$に値をもつ余鎖と見なすと、$P\to C$の単射性によりコサイクルである。§E6.34 定理 4.3の代表元公式により、$[\lambda^*c]\in H^p(\mathcal W;P)$の連結準同型による像は$[a]$である。§E20.3 補題 2.3により、$[\lambda^*c]$の$\kappa_{\mathcal W}$による像は$\check H^p(j)^{-1}\kappa_{\mathcal U}([c])$に等しい。したがって主張 (2)の式が成り立つ。▨

証明.主張 (2)を示す。各係数の射による余鎖写像を$f^*$と書く。§E20.3 命題 2.5 (1)により、この写像は余境界、細分射による写像、および短完全列の射と可換である。

$c\in\check C^p(\mathcal U;C)$をコサイクルとし、定理 2.1 (2)の組$(\mathcal W,\lambda,b)$と$a$を取る。逆像被覆の間の細分射も$\lambda$と書けば、

となる。同じ公式を$Y$上で適用すると、

を得る。各 Čech コホモロジー類は一つの被覆上の類で表されるので、$\partial'f^*=f^*\partial$である。長完全列の残りの射との可換性も、係数の射との可換性から従う。逆像の層の射で与えられた場合は§E20.1 定理 5.6 (1)の自然性を用いる。

主張 (1)は$f=\id_X$の場合である。▨

証明. 開部分空間は Hausdorff かつ第二可算である。また、座標近傍を制限すると、各点に$\R^n$の開集合と同相な開近傍が得られる。したがって、この開部分空間は Hausdorff かつ第二可算な局所 Euclid 空間である。第二可算性から§E2.21 命題 1.6により Lindelöf である。座標内で十分小さい閉球を取るとコンパクト近傍を得るので、§E2.24 定理 1.6と§E2.15 補題 2.6により正則である。§E2.58 系 4.6 (2)を適用してパラコンパクト性を得る。▨