コンパクト台と c-軟弱層 | 層論 I

注意 1.1. 以下では、断らない限り $X$ を局所コンパクトな Hausdorff 空間とし、層はアーベル群の層とする。コンパクト集合の上の切断の定義と Godement の分解の構成では、空間について必要な仮定を個別に記す。

定義 1.2. $X$ を位相空間、 $\mathcal F$ を $X$ 上の層とする。

部分集合 $K\subseteq X$ の包含を $i_K\colon K\to X$ とし、 $\Gamma(K,\mathcal F)=(i_K^{-1}\mathcal F)(K)$ とおく。その元を $\mathcal F$ の $K$ の上の切断 (section over a subset) という。
$K\subseteq U$ である開集合 $U$ と $s\in\mathcal F(U)$ について、§E20.1 定義 5.4 (3)の引き戻し $i_K^*s$ を $s|_K$ と書く。 $\sigma\in\Gamma(K,\mathcal F)$ と $L\subseteq K$ に対して、 $\sigma|_L$ は、包含 $L\to K$ による引き戻しと§E20.1 命題 5.5 (3)の同型との合成で定める。
層の射 $\varphi\colon\mathcal F\to\mathcal F'$ に対して $\varphi_K=(i_K^{-1}\varphi)_K\colon\Gamma(K,\mathcal F)\to\Gamma(K,\mathcal F')$ とおく。

補題 1.3. 位相空間 $X$ 、 $X$ 上の層 $\mathcal F$ 、部分集合 $K\subseteq X$ について、次が成り立つ。

$\Gamma(K,\mathcal F)$ は、 $\pi\sigma\colon K\to X$ が包含となる連続写像 $\sigma\colon K\to\operatorname{Et}(\mathcal F)$ の群と自然に同型である。群演算は芽ごとの演算、制限は写像の制限、 $\varphi_K$ は $\operatorname{Et}(\varphi)$ との合成に当たる。
制限は準同型であり、 $(s|_V)|_K=s|_K$ 、 $(s|_K)|_L=s|_L$ を満たす。 $K$ が開集合なら、 $s\mapsto s|_K$ は $\mathcal F(K)\cong\Gamma(K,\mathcal F)$ を与える。
$\varphi_K$ は準同型であり、 $\varphi_U(s)|_K=\varphi_K(s|_K)$ 、 $(\psi\varphi)_K=\psi_K\varphi_K$ が成り立つ。

証明.主張 (1)、主張 (2)、主張 (3)を示す。逆像は $K\times_X\operatorname{Et}(\mathcal F)\to K$ の切断の層である。その切断の第2成分を取る写像が主張 (1)の同型を与える。群演算と射の記述は§E20.1 命題 5.5 (6)と§E20.1 命題 5.5 (2)による。制限の推移性は§E20.1 命題 5.5 (3)、開集合についての同型は§E20.1 命題 5.5 (4)による。▨

命題 1.4. $X$ を Hausdorff 空間、 $K\subseteq X$ をコンパクト集合とする。 $K$ の開近傍の族に包含の逆による順序を入れる。このとき、制限は同型

\varinjlim_{U\supseteq K}\mathcal F(U)\longrightarrow\Gamma(K,\mathcal F)

を与える。

証明. 二つの切断の芽が一致する点の集合は開集合である（§E20.1 命題 2.2 (3)）。したがって $K$ 上で等しい二つの切断は、 $K$ のある開近傍でも等しい。§E6.9 定理 8.4 (1)の余極限の元の表示により、この写像は単射である。

主張 1.4.1. コンパクト集合 $K_1,K_2$ の開近傍 $U_1,U_2$ 上の切断 $s_1,s_2$ が $K_1\cap K_2$ 上で一致すれば、両者の制限を $K_1\cup K_2$ の開近傍上の切断に貼り合わせることができる。

証明. $U_1\cap U_2$ 内で $s_1,s_2$ の芽が一致する開集合を $W$ とする。交わらないコンパクト集合 $K_1\setminus W,K_2\setminus W$ は、§E2.19 命題 6.3により交わらない開集合 $A_1,A_2$ に含まれる。 $O_i=U_i\cap(W\cup A_i)$ とおけば $K_i\subseteq O_i$ 、 $O_1\cap O_2\subseteq W$ である。層の貼り合わせによって $s_i|_{O_i}$ を貼り合わせることができる。▨

$\sigma\in\Gamma(K,\mathcal F)$ をエタール空間への切断とみる。§E20.1 命題 2.5 (2)の基本開集合を使うと、 $\sigma$ は $K$ の各点の近くで開集合上の切断の制限である。§E2.19 命題 6.10により $K$ は正則なので、これらの近傍に含まれる有限個のコンパクト集合 $K_i$ で $K$ を覆うことができる。主張 1.4.1を有限回適用すると、 $\sigma$ は $K$ の開近傍上の切断へ延びる。したがって全射性も従う。▨

定義 2.1. 位相空間 $X$ 上の層 $\mathcal F$ について、§E20.6 定義 1.1の切断の台を用いて

\Gamma_c(X,\mathcal F)=\{s\in\mathcal F(X)\mid\operatorname{supp}s\text{ はコンパクト}\}

とおく。その元を台がコンパクトな切断 (compactly supported section) という。

命題 2.2. $X$ を局所コンパクトな Hausdorff 空間とする。このとき、次が成り立つ。

$\Gamma_c(X,\mathcal F)$ は $\mathcal F(X)$ の部分群である。層の射 $\varphi$ について $\operatorname{supp}\varphi_X(s)\subseteq\operatorname{supp}s$ であり、 $\Gamma_c(X,\varphi)$ が定まる。 $\Gamma_c(X,-)$ は左完全な関手である。
開集合 $W\subseteq X$ も局所コンパクトな Hausdorff 空間である。 $s\in\Gamma_c(W,\mathcal F|_W)$ に対して、 $\tilde s|_W=s$ 、 $\tilde s|_{X\setminus\operatorname{supp}s}=0$ を満たす大域切断がただ一つ存在する。これを零による延長 (extension by zero) という。 $\operatorname{supp}\tilde s=\operatorname{supp}s$ であり、 $s\mapsto\tilde s$ は準同型である。
局所コンパクトな Hausdorff 空間の間の固有写像 $f\colon Y\to X$ に対して、 $s\mapsto f^*s$ は $\Gamma_c(X,\mathcal F)\to\Gamma_c(Y,f^{-1}\mathcal F)$ を与える。 $\operatorname{supp}f^*s=f^{-1}(\operatorname{supp}s)$ が成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。和の台は二つの台の和集合に含まれ、射は零の芽を零へ移す。単射な層の射は台を保つので、§E20.2 定理 2.3の左完全な列を台がコンパクトな切断の部分群へ制限しても完全である。

主張 (2)を示す。 $\operatorname{supp}s$ は $W$ のコンパクト集合であり、 $X$ の閉集合でもある。開被覆 $W,X\setminus\operatorname{supp}s$ 上で $s$ と零を貼り合わせるとよい。一意性、台の等号、加法との可換性も芽を取れば従う。開部分空間の局所コンパクト性は§E2.24 系 1.8による。

主張 (3)を示す。同型 $(f^{-1}\mathcal F)_y\cong\mathcal F_{f(y)}$ のもとで $(f^*s)_y$ は $s_{f(y)}$ に当たる（§E20.1 命題 5.5 (1)）。台の等号が従い、固有性からその台はコンパクトである。▨

定義 3.1. Hausdorff 空間 $X$ 上の層 $\mathcal F$ が c-軟弱層 (c-soft sheaf) であるとは、任意のコンパクト集合 $K\subseteq X$ について $\mathcal F(X)\to\Gamma(K,\mathcal F)$ が全射であることをいう。

命題 3.2. $X$ を Hausdorff 空間とする。このとき、次が成り立つ。

細層は c-軟弱層である。
脆弱層は c-軟弱層である。
茎の積の層 $\prod_xx_*A_x$ は c-軟弱層である。
c-軟弱層の開集合への制限は c-軟弱層である。

証明.主張 (1)を示す。コンパクト集合 $K$ 上の切断を命題 1.4により開近傍 $U$ 上の切断 $s$ へ延ばす。有限開被覆 $\{U,X\setminus K\}$ に従属する細層の分割を $\eta_U,\eta_{X\setminus K}$ とする。 $K$ の近傍では $\eta_U=\mathrm{id}$ であり、 $\eta_U(s)$ は $U$ の外へ零で延びる（§E20.6 命題 1.3 (3)）。その延長が求める大域切断である。

主張 (2)を示す。脆弱層 $\mathcal F$ のコンパクト集合 $K$ 上の切断を、命題 1.4により開近傍 $U$ 上の切断へ延ばす。脆弱性により $\mathcal F(X)\to\mathcal F(U)$ は全射なので、この切断は大域切断へ延びる。

主張 (3)は、§E20.6 命題 2.10 (2)と主張 (2)による。

主張 (4)を示す。開集合 $W$ のコンパクト集合 $K$ は $X$ でもコンパクトである。逆像の合成同型により $K$ 上の切断を $\mathcal F$ の切断とみなし、 $X$ へ延長した後に $W$ へ制限する。▨

例 3.3. $\Z_{\R}$ は c-軟弱層でない。 $K=\{0,1\}$ 上でそれぞれ $1,0$ を取る切断は、 $\R$ 上の局所定数関数へ延びない。実際、 $\R$ は連結なので大域切断は定数である（§E20.1 命題 6.4 (2)）。

定理 3.4. $X$ を局所コンパクトな Hausdorff 空間とし、 $0\to\mathcal A\xrightarrow{\alpha}\mathcal B\xrightarrow{\beta}\mathcal C\to0$ を層の短完全列とする。このとき、次が成り立つ。

$\mathcal A$ が c-軟弱層なら、任意のコンパクト集合 $K$ について $\Gamma(K,\mathcal B)\to\Gamma(K,\mathcal C)$ は全射である。
$\mathcal A$ が c-軟弱層なら、 $0\to\Gamma_c(X,\mathcal A)\to\Gamma_c(X,\mathcal B)\to\Gamma_c(X,\mathcal C)\to0$ は完全である。
$\mathcal A,\mathcal B$ が c-軟弱層なら $\mathcal C$ も c-軟弱層である。
下に有界な層の完全列 $0\to\mathcal L^0\to\mathcal L^1\to\cdots$ の各項が c-軟弱層なら、 $0\to\Gamma_c(X,\mathcal L^0)\to\Gamma_c(X,\mathcal L^1)\to\cdots$ は完全である。

証明.

主張 3.4.1. 任意の部分集合 $D\subseteq X$ について、 $\Gamma(D,\mathcal A)$ は $\Gamma(D,\mathcal B)\to\Gamma(D,\mathcal C)$ の核に同型である。

証明.§E20.2 命題 2.8により、包含 $i_D$ による引き戻しは完全性を保つ。その後に§E20.2 定理 2.3の切断の左完全性を適用する。▨

主張 (1)を示す。 $c\in\Gamma(K,\mathcal C)$ は各点の近くで $\mathcal B$ の切断へ持ち上がる（§E20.2 命題 1.6 (2)）。有限個のコンパクト集合 $K_i$ で $K$ を覆い、各 $K_i$ 上の持ち上げ $b_i$ を取る。 $K_1\cup\cdots\cup K_{i-1}$ 上で既に持ち上げ $b$ を作ったとする。交わりの上の $b_i-b$ は主張 3.4.1により $\mathcal A$ の切断である。c-軟弱性でそれを大域切断 $a$ へ延ばせば、 $b_i-\alpha(a)|_{K_i}$ と $b$ は交わりで一致する。§E2.12 系 4.11 (2)をエタール空間への写像に適用して延長する。帰納法で $K$ 上の持ち上げを得る。

主張 (2)を示す。左完全性は命題 2.2 (1)によるので、全射性を示す。 $c\in\Gamma_c(X,\mathcal C)$ の台を $K$ とする。§E2.24 命題 2.4により $K\subseteq V$ かつ $L=\tpcl{V}$ がコンパクトとなる開集合 $V$ を取る。主張 (1)で $c|_L$ を $b\in\Gamma(L,\mathcal B)$ へ持ち上げる。 $D=L\setminus V$ 上では $\beta(b)=0$ なので、主張 3.4.1と c-軟弱性により $b|_D=\alpha(a)|_D$ となる $a\in\mathcal A(X)$ がある。 $L$ 上の $b-\alpha(a)|_L$ と $X\setminus V$ 上の零は交わり $D$ で一致する。有限閉集合上の貼り合わせにより、台が $L$ に含まれる大域切断 $\tilde b$ を得る。 $L$ 上でも $X\setminus V$ 上でも $\beta(\tilde b)=c$ である。

主張 (3)を示す。コンパクト集合上の $\mathcal C$ の切断を主張 (1)で $\mathcal B$ へ持ち上げ、 $\mathcal B$ の c-軟弱性で延長してから $\beta$ を施す。

主張 (4)を示す。 $\mathcal Z^p=\ker(\mathcal L^p\to\mathcal L^{p+1})$ とおく。 $\mathcal Z^0=0$ であり、短完全列 $0\to\mathcal Z^p\to\mathcal L^p\to\mathcal Z^{p+1}\to0$ と主張 (3)により、すべての $\mathcal Z^p$ が c-軟弱層である。各短完全列に主張 (2)を適用すればよい。▨

例 3.5. $\R$ 上の指数列 $0\to\Z_{\R}\to C(-,\R)\xrightarrow{\exp(2\pi i-)}C(-,\Uni(1))\to0$ （§E20.2 命題 3.2）について、次が成り立つ。

$C(-,\R)$ は細層であり、c-軟弱層である。
台がコンパクトな切断の写像 $\Gamma_c(\R,C(-,\R))\to\Gamma_c(\R,C(-,\Uni(1)))$ は全射でない。
この写像の余核は $\Z$ と同型である。

証明.主張 (1)は§E20.6 定理 2.9と命題 3.2 (1)による。

主張 (2)を示す。 $t\le0$ で $0$ 、 $0\le t\le1$ で $t$ 、 $t\ge1$ で $1$ となる連続関数を $\phi$ とする。 $f=\exp(2\pi i\phi)$ の台は $[0,1]$ である。しかし連続な対数は $\phi+n$ （ $n\in\Z$ ）に限られ、その台はコンパクトでない。

主張 (3)を示す。一般に、台がコンパクトな $f\colon\R\to\Uni(1)$ の対数 $h$ を、十分小さい $t$ で $h(t)=0$ となるように取ることができる。この対数は、指数被覆に§E20.2 補題 3.1 (2)を有限区間で適用し、得られた持ち上げを左右へ定数で延ばして得る。十分大きい $t$ での $h(t)$ は整数 $n(f)$ である。持ち上げの一意性から $n(fg)=n(f)+n(g)$ であり、 $n(f)=0$ であることは、 $f$ が台がコンパクトな対数をもつための必要十分条件である。前段落の $f$ の整数べきについて $n(f^k)=k$ であり、任意の整数を実現するので、第一同型定理により余核は $\Z$ である。短完全列の左端の c-軟弱性は外すことができない。▨

定義 4.1. 任意の位相空間 $X$ 上の層 $\mathcal F$ に対して、§E20.6 命題 4.2の構成を

\mathcal Z^0\mathcal F=\mathcal F,\qquad \mathcal G^p\mathcal F=\mathcal G^0(\mathcal Z^p\mathcal F),\qquad \mathcal Z^{p+1}\mathcal F=\operatorname{coker}(j_p\colon\mathcal Z^p\mathcal F\to\mathcal G^p\mathcal F)

と書く。商射を $q_p$ 、微分を $d^p=j_{p+1}q_p$ とする。この完全列 $0\to\mathcal F\xrightarrow{j_0}\mathcal G^\bullet\mathcal F$ を $\mathcal F$ の Godement の標準分解 (canonical Godement resolution) という。

命題 4.2. 任意の位相空間 $X$ と $X$ 上の層 $\mathcal F$ について、次が成り立つ。

$0\to\mathcal F\xrightarrow{j_0}\mathcal G^\bullet\mathcal F$ は脆弱層による分解である。 $X$ が局所コンパクトな Hausdorff 空間なら各項は c-軟弱層であり、パラコンパクトな Hausdorff 空間なら各項は細層である。
層の射は自然に分解の射を誘導し、 $\mathcal Z^p,\mathcal G^p$ は加法的関手である。
$\mathcal G^p$ は層の短完全列を短完全列へ移す。
開集合 $W\subseteq X$ に対し、自然な同型 $\nu^p\colon(\mathcal Z^p\mathcal F)|_W\to\mathcal Z^p(\mathcal F|_W)$ 、 $\mu^p\colon(\mathcal G^p\mathcal F)|_W\to\mathcal G^p(\mathcal F|_W)$ がある。 $\nu^0=\mathrm{id}$ とし、茎の標準同型による $\mu^0_{\mathcal H}\colon(\mathcal G^0\mathcal H)|_W\to\mathcal G^0(\mathcal H|_W)$ を用いて $\mu^p=\mathcal G^0(\nu^p)\mu^0_{\mathcal Z^p\mathcal F},\qquad \nu^{p+1}(q_p|_W)=q_p\mu^p$ で帰納的に定まる。これらは $j_p,q_p,d^p$ および層の射と可換である。
連続写像 $f\colon Y\to X$ に対し、自然な射 $\zeta^p\colon f^{-1}\mathcal Z^p\mathcal F\to\mathcal Z^p(f^{-1}\mathcal F)$ 、 $\kappa^p\colon f^{-1}\mathcal G^p\mathcal F\to\mathcal G^p(f^{-1}\mathcal F)$ がある。茎の同型 $\vartheta_y\colon(f^{-1}\mathcal H)_y\to\mathcal H_{f(y)}$ により $(a_x)_{x\in U}\longmapsto(\vartheta_y^{-1}a_{f(y)})_{y\in f^{-1}U}$ が定める射 $\mathcal G^0\mathcal H\to f_*\mathcal G^0(f^{-1}\mathcal H)$ に随伴で対応する射を $\kappa^0_{\mathcal H}$ とする。 $\zeta^0=\mathrm{id}$ として $\kappa^p=\mathcal G^0(\zeta^p)\kappa^0_{\mathcal Z^p\mathcal F},\qquad \zeta^{p+1}f^{-1}q_p=q_p\kappa^p$ で帰納的に定まる。これらも $j_p,q_p,d^p$ および層の射と可換である。

証明.主張 (1)を示す。完全性と、各項が脆弱層であることおよびパラコンパクトな Hausdorff 空間上で細層であることは§E20.6 命題 4.2による。c-軟弱性は命題 3.2 (3)による。

主張 (2)を示す。 $\mathcal G^0$ の関手性と埋め込みの自然性は§E20.6 命題 2.10 (3)にある。 $\mathcal Z^p$ 上の射が与えられれば、 $\mathcal G^p$ 上の射と、余核を通る $\mathcal Z^{p+1}$ 上の一意な射が定まる（§E20.2 系 2.7）。この一意性を恒等射、合成、和に適用すると主張 (2)を得る。

主張 (3)を示す。 $\mathcal Z^p$ も短完全列を保つことを同時に帰納的に示す。 $\mathcal Z^0$ は恒等関手なので $p=0$ では成り立つ。§E20.6 命題 2.10 (4)により $\mathcal G^p$ の完全性を得る。三つの短完全列 $0\to\mathcal Z^p\to\mathcal G^p\to\mathcal Z^{p+1}\to0$ の茎を取り、§E6.8 命題 2.1を適用すると $\mathcal Z^{p+1}$ の列も完全である。

主張 (4)を示す。 $\mu^0_{\mathcal H}$ は、開集合 $V\subseteq W$ での茎の積の同型である。開集合への制限は完全なので、余核の普遍性により表示された $\nu^{p+1}$ がただ一つ定まる。 $\nu^p$ が同型なら $\mu^p$ も同型であり、その余核上の射 $\nu^{p+1}$ も同型である。埋め込みとの可換性と余核での一意性から、微分および層の射との可換性も帰納的に従う。

主張 (5)を示す。茎の積の写像は制限と可換なので層の射であり、§E20.1 定理 5.6 (1)により $\kappa^0_{\mathcal H}$ を得る。芽の公式から $\kappa^0_{\mathcal H}f^{-1}j_0=j_0$ である。§E20.2 命題 2.8の引き戻しの完全性により、 $q_p\kappa^p$ は $f^{-1}j_p$ を零に移し、 $\zeta^{p+1}$ を一意に誘導する。帰納法で全段の射と可換性を得る。▨

定義 5.1. 局所コンパクトな Hausdorff 空間 $X$ 上の層 $\mathcal F$ に対して

H^p_c(X;\mathcal F)=H^p\bigl(\Gamma_c(X,\mathcal G^\bullet\mathcal F)\bigr)

を、 $\mathcal F$ に係数をもつコンパクト台の層コホモロジー (sheaf cohomology with compact support) という。層の射に対する写像は、命題 4.2 (2)の分解の射に $\Gamma_c$ とコホモロジーを施して定める。

命題 5.2. 局所コンパクトな Hausdorff 空間 $X$ 上のコンパクト台の層コホモロジーは、次の性質をもつ。

自然な同型 $H^0_c(X;\mathcal F)\cong\Gamma_c(X,\mathcal F)$ がある。
層の短完全列 $0\to\mathcal F'\to\mathcal F\to\mathcal F''\to0$ は、短完全列の射について自然な長完全列 $\cdots\longrightarrow H^p_c(X;\mathcal F)\longrightarrow H^p_c(X;\mathcal F'') \xrightarrow{\partial}H^{p+1}_c(X;\mathcal F')\longrightarrow H^{p+1}_c(X;\mathcal F)\longrightarrow\cdots$ を与える。
$\mathcal F$ が c-軟弱層なら、 $p\ge1$ で $H^p_c(X;\mathcal F)=0$ である。
$X$ がコンパクト Hausdorff 空間なら、自然な同型 $H^p_c(X;\mathcal F)\cong\check H^p(X;\mathcal F)$ がある。

証明.主張 (1)は $\Gamma_c$ の左完全性による。

主張 (2)を示す。命題 4.2 (3)の各次数の短完全列の左端は c-軟弱層である。定理 3.4 (2)により $\Gamma_c$ を施した列も短完全列なので、§E6.34 定理 4.3を適用する。分解の関手性から自然性も従う。

主張 (3)を示す。列 $0\to\mathcal F\to\mathcal G^\bullet\mathcal F$ のすべての項が c-軟弱層なので、定理 3.4 (4)により $\Gamma_c$ を施しても完全である。

主張 (4)を示す。 $\Gamma_c=\Gamma$ である。コンパクト Hausdorff 空間はパラコンパクトであり、標準分解は細分解なので§E20.6 定理 4.4を適用する。▨

定理 5.3. $X$ を局所コンパクトな Hausdorff 空間とし、 $0\to\mathcal F\xrightarrow{\varepsilon}\mathcal L^\bullet$ を $X$ 上の c-軟弱層による分解とする。このとき、次が成り立つ。

$\mathcal Z^k=\ker d^k$ とおくと、 $\varepsilon$ は同型 $\varepsilon_0\colon\mathcal F\to\mathcal Z^0$ を与え、 $0\to\mathcal Z^k\to\mathcal L^k\to\mathcal Z^{k+1}\to0$ は短完全列である。標準的な同型 $\Phi_{\mathcal L}\colon H^p_c(X;\mathcal F)\longrightarrow H^p(\Gamma_c(X,\mathcal L^\bullet))$ がある。次数 $0$ では、 $\Phi_{\mathcal L}$ は切断に $\varepsilon$ を施す同型である。 $p\ge1$ では、連結準同型を $\partial_k$ と書くと、コサイクル $z\in\Gamma_c(X,\mathcal Z^p)=H^0_c(X;\mathcal Z^p)$ に対して $\Phi_{\mathcal L}^{-1}[z] =H^p_c(\varepsilon_0)^{-1}\partial_0\partial_1\cdots\partial_{p-1}(z)$ である。
層の射 $\varphi$ の上の c-軟弱層による分解の射 $\lambda\colon\mathcal L^\bullet\to\mathcal L'^\bullet$ について、 $\Phi_{\mathcal L'}H^p_c(\varphi)=H^p(\Gamma_c\lambda)\Phi_{\mathcal L}$ が成り立つ。

証明.主張 (1)と主張 (2)を示す。§E20.6 補題 4.3を $T^p=H^p_c(X;-)$ と c-軟弱層の類に適用する。関手性は定義により、次数 $0$ の同一視と自然な長完全列は命題 5.2により、c-軟弱層での正次数の消滅は命題 5.2 (3)により成り立つ。§E20.6 補題 4.3 (2)の式から主張 (1)が従い、§E20.6 補題 4.3 (3)から主張 (2)が従う。▨

注意 5.4. c-軟弱層による分解から Godement の分解への、係数の恒等射を延ばす射は一般には存在しない。 $\R$ 上で指数列の後ろに $C(-,\Uni(1))$ の標準分解をつないだ

0\longrightarrow\Z_{\R}\longrightarrow C(-,\R)\longrightarrow \mathcal G^0(C(-,\Uni(1)))\longrightarrow\mathcal G^1(C(-,\Uni(1)))\longrightarrow\cdots

は c-軟弱層による分解である。しかし $C(-,\R)\to\mathcal G^0(\Z_{\R})=\prod_xx_*\Z$ は、§E20.1 命題 5.7 (5)により茎の準同型 $C(-,\R)_x\to\Z$ の族に当たる。連続関数の芽の群は可除であり、 $\Z$ の可除部分群は零なので、これらの準同型はすべて零である。したがって $\Z_{\R}$ の標準埋め込みを延ばす射は存在しない。分解の独立性には次元をずらす同型を用いる。

命題 6.1. 局所コンパクトな Hausdorff 空間の上で、次が成り立つ。

開集合 $W\subseteq X$ に対して、標準分解の切断 $s$ を $(\mu^p)^{-1}s$ の零による延長へ移す写像は余鎖写像であり、 $\iota_{W,X}\colon H^p_c(W;\mathcal F|_W)\to H^p_c(X;\mathcal F)$ を誘導する。 $W\subseteq W'\subseteq X$ に対して $\iota_{W',X}\iota_{W,W'}=\iota_{W,X}$ である。
固有写像 $f\colon Y\to X$ に対して $s\mapsto\kappa^p(f^*s)$ は余鎖写像であり、 $f^*\colon H^p_c(X;\mathcal F)\to H^p_c(Y;f^{-1}\mathcal F)$ を誘導する。固有写像 $g\colon Z\to Y$ と§E20.1 命題 5.5 (3)の同型 $c\colon(fg)^{-1}\mathcal F\to g^{-1}f^{-1}\mathcal F$ に対して、 $H^p_c(c)(fg)^*=g^*f^*$ である。
c-軟弱層による分解 $\mathcal L^\bullet$ の開集合への制限は c-軟弱層による分解である。零による延長が誘導する写像を $\Lambda$ とすると、 $\Lambda\Phi_{\mathcal L|_W}=\Phi_{\mathcal L}\iota_{W,X}$ である。
固有写像 $f\colon Y\to X$ と、層の射 $\phi\colon\mathcal F\to f_*\mathcal F'$ の上の c-軟弱層による分解の射 $\lambda\colon\mathcal L^\bullet\to f_*\mathcal L'^\bullet$ を取る。 $\phi$ に随伴で対応する射を $\psi\colon f^{-1}\mathcal F\to\mathcal F'$ とする。 $s\mapsto\lambda_X^p(s)$ が誘導する写像 $\Lambda$ に対して、 $\Lambda\Phi_{\mathcal L}=\Phi_{\mathcal L'}H^p_c(\psi)f^*$ が成り立つ。

証明.主張 (1)と主張 (2)を示す。零による延長と層の射は芽の上で可換である。具体的には任意の層の射 $u$ について

(u\tilde s)_x=\begin{cases}u_x(s_x)&x\in W,\\0&x\notin W,\end{cases} \qquad u\tilde s=\widetilde{u(s)}

\text{(6.1.1)}

である。 $\mu^\bullet$ は微分と可換なので、主張 (1)の写像は余鎖写像になる。主張 (2)では $\kappa^\bullet$ の可換性を使う。固有性と命題 2.2 (3)により、各切断の像の台もコンパクトである。

主張 (4)の準備として、随伴の対応は、切断の上では

\lambda_X^p(s)=\lambda^{p,\sharp}_Y(f^*s),\qquad \lambda^{p,\sharp}\colon f^{-1}\mathcal L^p\longrightarrow\mathcal L'^p

\text{(6.1.2)}

である。したがって像の台は $f^{-1}(\operatorname{supp}s)$ に含まれ、 $\Lambda$ は定義される。

主張 6.1.1. コンパクト台の層コホモロジーの連結準同型は、開集合からの拡張と可換である。また、固有写像 $f\colon Y\to X$ と、 $X$ 上の短完全列から $Y$ 上の短完全列の順像への可換な射の族に対して、随伴を通じた写像 $H_c(\psi)f^*$ と可換である。

証明. 標準分解の各次数で $\Gamma_c$ を施すと、命題 4.2 (3)と定理 3.4 (2)により短完全列を得る。開集合の場合は $\mu$ と零による延長が、固有写像の場合は $\kappa$ と随伴の射が、この三つの複体の可換な射を与える。したがって§E6.34 定理 4.3の余鎖複体の長完全列の自然性を適用することができる。▨

主張 (3)を示す。 $\mathcal L^\bullet|_W$ の完全性は開集合への制限の完全性、c-軟弱性は命題 3.2 (4)による。 $\mathcal L$ のコサイクルの層を $\mathcal Z^k$ とする。主張 (3)の両辺に定理 5.3 (1)の逆同型の公式を適用すると、次数 $0$ の切断の零による延長に連結準同型を順に施す写像になる。主張 6.1.1により連結準同型と零による延長を交換することができ、両辺は一致する。

主張 (4)を示す。 $\lambda$ はコサイクルの層からコサイクルの層の順像への射を誘導する。短完全列 $0\to\mathcal Z^k\to\mathcal L^k\to\mathcal Z^{k+1}\to0$ と $Y$ 上の対応する短完全列に主張 6.1.1を適用する。次数 $0$ の写像は式 (6.1.2)の切断の公式で表され、連結準同型を順に交換すると、主張 (4)の等式を得る。

最後に主張 (1)と主張 (2)の合成則を確かめる。主張 (3)を一つの分解とその二段階の開集合への制限に適用すれば、零による延長の推移性から主張 (1)の合成則を得る。主張 (4)を $\mathcal G^\bullet\mathcal F$ 、 $\mathcal G^\bullet(f^{-1}\mathcal F)$ 、 $\mathcal G^\bullet(g^{-1}f^{-1}\mathcal F)$ の間の随伴された射とその合成に適用する。係数の合成は§E20.1 命題 5.5 (3)の $c$ を通じて $(fg)^*$ と同じであり、切断の射の合成も§E20.1 補題 5.2 (3)により一致する。主張 (4)の式を合成することで主張 (2)の合成則を得る。▨

例 6.2. 直線のコンパクト台の層コホモロジーについて、次が成り立つ。

指数列の連結準同型は同型 $\overline\partial\colon\operatorname{coker}\bigl(\Gamma_c(\R,C(-,\R))\to\Gamma_c(\R,C(-,\Uni(1)))\bigr)\xrightarrow{\cong}H^1_c(\R;\Z_{\R})$ を誘導する。例 3.5 (3)の整数 $n(f)$ による余核の同型を $\overline n$ とすると、 $\overline n\,\overline\partial^{-1}$ は $H^1_c(\R;\Z_{\R})$ から $\Z$ への同型である。

証明.主張 (1)を示す。 $C(-,\R)$ が c-軟弱層なので、その $H^1_c$ は零である。指数列の長完全列は

\Gamma_c(\R,C(-,\R))\longrightarrow\Gamma_c(\R,C(-,\Uni(1))) \xrightarrow{\partial} H^1_c(\R;\Z_{\R})\longrightarrow0

を与える。完全性により $\partial$ は余核からの同型 $\overline\partial$ を誘導する。例 3.5 (3)の同型 $\overline n$ と $\overline\partial^{-1}$ を合成すると、表示された $\Z$ への同型を得る。▨

§E20.7コンパクト台と c-軟弱層

1 コンパクト集合の上の切断

2 台がコンパクトな切断

3 c-軟弱層と切断の完全性

4 Godement の標準分解

5 コンパクト台の層コホモロジー

6 開集合からの拡張と固有写像

参考文献

前提記事