層コホモロジー | 層論 I

定義 1.1. Grothendieck トポス $\mathcal E$ のアーベル群対象 $A$ に対し、層コホモロジー (sheaf cohomology) を

H^n(\mathcal E,A)=R^n\Gamma(\mathcal E,A)

で定める。右辺では§E20.13 定理 2.3の関手的な入射分解と、指定した核・余核の構成を用いる。小さい site、またはsmall-generated site と比較の構成を指定した site $\mathcal C$ では、その層トポスのコホモロジーを $H^n(\mathcal C,A)$ と書く。位相空間 $X$ の場合には $H^n(X;A)$ と書く。

命題 1.2. small-generated site $(\mathcal C,J)$ と、その指定された小さい充満部分 site $\mathcal D$ をとる。このとき、比較補題は $\mathcal C$ と $\mathcal D$ のアーベル群の層の圏の間に完全な圏同値を与え、この同値は大域切断の自然同型と入射対象の対応を誘導する。したがって、すべての次数の層コホモロジーと短完全列の長完全列を同定することができる。小さい充満部分 site の二つの選択について、 $\mathcal C$ 上のコホモロジーとの同定を合成すれば両者の比較同型を得る。三つの選択について、これらの比較同型は合成と両立する。

証明. 制限と指定された延長の同値は有限積を保つので、アーベル群対象の圏同値を誘導する。圏同値は核・余核の普遍性を保つから完全である。準逆も完全なので、モノ射に沿う延長の性質を移すことにより入射対象が対応する。終対象からの Hom の自然同型が大域切断を同定する。

$\mathcal C$ 上の入射分解を同値で移すと、 $\mathcal D$ 上の入射分解となり、切断の複体は自然に同型となる。分解の比較の一意性から全次数の同型を得る。連結射との両立は、短完全列の入射分解の比較と複体の連結射の自然性による。三つの表示の比較は零次で合成と両立し、普遍δ-関手の一意性により全次数でも合成と両立する。▨

命題 1.3. Grothendieck トポス $\mathcal E$ について、次が成り立つ。位相空間 $X$ の場合には $\mathcal E=\mathbf{Sh}(X)$ とし、 $H^n(\mathcal E,F)$ を $H^n(X;F)$ と書く。

自然同型 $\tau_F:\Gamma(\mathcal E,F)\xrightarrow{\sim}H^0(\mathcal E,F)$ があり、入射分解の添加射が最初の微分の核へ誘導する射で与えられる。
短完全列 $0\to A\to B\to C\to0$ は自然な長完全列 $0\to\Gamma(\mathcal E,A)\to\Gamma(\mathcal E,B)\to\Gamma(\mathcal E,C) \xrightarrow{\delta}H^1(\mathcal E,A)\to H^1(\mathcal E,B)\to\cdots$ を与える。 $H^\bullet(\mathcal E,-)$ は普遍δ-関手である。
入射層 $I$ と $n>0$ について $H^n(\mathcal E,I)=0$ である。

証明. 大域切断の関手は左完全であり、アーベル群の層の圏には指定された入射分解がある。主張 (1)を示す。§E9.25 命題 2.1を適用する。

主張 (2)を示す。§E9.25 定理 3.2と§E9.25 系 5.2を適用する。

主張 (3)を示す。§E9.25 命題 2.2を適用する。位相空間の短完全列の意味は§E20.13 系 3.3により既習の層の完全性と一致する。▨

命題 1.4. 位相空間 $X$ に対し、 $\Phi:\mathbf{Sh}(X;\mathbf{Ab})\to\mathbf{Ab}$ を左完全な加法関手、 $T^\bullet$ をδ-関手とし、自然同型 $\iota:\Phi\xrightarrow{\sim}T^0$ を指定する。任意のアーベル群の族 $(A_x)_{x\in X}$ と $n>0$ について

T^n\left(\prod_xx_*A_x\right)=0

と仮定する。このとき $T^\bullet$ は普遍であり、零次を§E9.25 命題 2.1の $\tau:\Phi\Rightarrow R^0\Phi$ による $\tau\iota^{-1}$ とする一意なδ-関手の同型 $\Psi:T^\bullet\xrightarrow{\sim}R^\bullet\Phi$ がある。Godement の層 $\prod_xx_*A_x$ は $\Phi$ に関して非輪状である。

証明.§E20.13 定理 4.2の自然モノ射 $F\to E(F)$ の終域は Godement の層の形なので、正の次数の $T^n$ を消去する。§E9.24 定理 2.2により $T^\bullet$ は普遍である。 $R^\bullet\Phi$ も普遍であり、零次の指定した同型とその逆を延長すると、二つの合成は一意性から恒等射となる。得られた同型を Godement の層に適用すれば、正の次数の導来関手も消える。

$\Psi$ の各成分は指定された自然モノ射による消去と、核・余核の普遍性で定まる射である。したがってこの構成は層の全体を添字とする選択を用いない。▨

補題 1.5.命題 1.4の設定で、 $F\to L^\bullet$ を $\Phi$ に関して非輪状な層による分解とする。 $T^0$ を $\iota^{-1}$ で、 $R^0\Phi$ を $\tau^{-1}$ で $\Phi$ へ移した次元移動の同型を

\theta_L^T:T^n(F)\to H^n(\Phi(L)),\qquad \theta_L^R:R^n\Phi(F)\to H^n(\Phi(L))

とし、分解の比較射による標準同型を $\kappa_L:H^n(\Phi(L))\to R^n\Phi(F)$ とする。このとき

\theta_L^R\Psi_F=\theta_L^T, \qquad \kappa_L\theta_L^T=(-1)^{n(n+1)/2}\Psi_F

である。

証明. 零次を移す写像は $T^0$ では $\iota^{-1}$ 、 $R^0\Phi$ では $\tau^{-1}$ であり、 $\tau^{-1}\Psi^0\iota=\mathrm{id}_\Phi$ である。したがって§E9.26 補題 2.1 (3)を $\Psi$ に適用すると最初の等式を得る。選択した入射分解 $I$ について、零次を移した $\theta_I^R$ は§E9.26 命題 3.2により $(-1)^{n(n+1)/2}\mathrm{id}$ である。分解の射 $L\to I$ に対する次元移動の自然性から

\kappa_L=(-1)^{n(n+1)/2}(\theta_L^R)^{-1}

となり、最初の等式と合成して第二の等式を得る。▨

定義 2.1. 以下では $X$ を任意の $V$ -小な位相空間とする。アーベル群の層 $L$ が§E20.6 定義 2.3の脆弱層であるとは、すべての開集合 $U\subseteq X$ について制限 $L(X)\to L(U)$ が全射であることをいう。この条件は、任意の開集合の包含 $U\subseteq W$ に対する制限 $L(W)\to L(U)$ の全射性を含む。

補題 2.2. 短完全列 $0\to A\xrightarrow\alpha B\xrightarrow\beta C\to0$ の $A$ が脆弱ならば、すべての開集合 $U$ で $B(U)\to C(U)$ は全射である。さらに $B$ も脆弱ならば、 $C$ は脆弱である。

証明. $c\in C(U)$ を固定し、 $W\subseteq U$ と $t\in B(W)$ で $\beta(t)=c|_W$ を満たす組を、切断の延長によって順序づける。鎖に属する切断は重なりで一致するので、定義域の和の上へ貼り合わさり、上界を与える。空鎖の上界は $(\varnothing,0)$ である。組全体は $\coprod_{W\subseteq U}B(W)$ の部分集合であり小さい。Zorn の補題によって極大な組 $(W,t)$ をとる。

$W\ne U$ とすると、 $x\in U\setminus W$ のある開近傍 $W'\subseteq U$ に $c$ の持ち上げ $t'$ が存在する。 $W\cap W'$ 上で $t-t'$ は $A$ の切断である。 $A$ の脆弱性により、その切断を $a\in A(X)$ へ延長する。すると $t$ と $t'+\alpha(a)|_{W'}$ は重なりで一致し、 $W\cup W'$ 上の持ち上げへ貼り合わさる。これは極大性に反する。よって $W=U$ であり全射性を得る。

$B$ も脆弱ならば、 $c\in C(U)$ を $B(U)$ へ持ち上げ、 $B(X)$ へ延長した後で $\beta$ を適用すれば、 $c$ の大域的な延長を得る。▨

例 2.3. 円周上の指数列 $0\to\Z_{S^1}\to h_{\R}\to h_{\Uni(1)}\to0$ は、大域切断における余核 $\Z$ をもつ（§E20.2 命題 3.3）。 $\Z_{S^1}$ は脆弱でない。実際、円周から二点を除いた二つの開弧上で異なる整数値をとる切断は、連結な円周上の局所定数関数へ延長されない。したがって前補題の脆弱性の仮定は外すことができない。

定理 2.4. 脆弱層 $L$ と $n>0$ に対し $H^n(X;L)=0$ である。したがって脆弱層による分解 $F\to L^\bullet$ は、標準同型

\kappa_L:H^n(\Gamma(X,L^\bullet))\xrightarrow{\sim}H^n(X;F)

を与える。

証明. 短完全列 $0\to L\to E(L)\to Q\to0$ をとる。 $E(L)$ は入射層であり、Godement の層の形なので§E20.6 命題 2.10 (2)により脆弱である。前補題から $Q$ も脆弱で、 $\Gamma(X,E(L))\to\Gamma(X,Q)$ は全射である。長完全列と入射層の消滅から $H^1(X;L)=0$ 、および $n\geq1$ に対し

H^{n+1}(X;L)\cong H^n(X;Q)

を得る。次数について、すべての脆弱層を同時に対象とする帰納法を適用すれば高次の消滅を得る。分解による計算は§E9.26 定理 3.1の適用である。▨

命題 2.5. 入射層は脆弱である。開集合 $U\subseteq X$ と入射分解 $F\to I^\bullet$ に対し、制限 $F|_U\to I^\bullet|_U$ は脆弱層による分解であり、自然な同型

H^n(I^\bullet(U))\cong H^n(U;F|_U)

を与える。

証明. 入射層 $I$ のモノ射 $u_I:I\to E(I)$ は分裂し、 $ru_I=\mathrm{id}$ を満たす $r$ がある。 $s\in I(U)$ に対し、 $u_I(s)$ を脆弱層 $E(I)$ の大域切断 $t$ へ延長すると、 $r(t)|_U=s$ となる。よって $I$ は脆弱である。

開集合への制限は完全であり、§E20.6 補題 2.4 (2)により脆弱層の制限は脆弱である。したがって制限した列は脆弱分解となる。各次数の自然同型 $\Gamma(U,I^k|_U)=I^k(U)$ と前定理を合成すれば、主張の同型を得る。▨

命題 3.1. 任意の位相空間 $X$ と層 $F$ について、Godement の標準分解 $F\to\mathcal G^\bullet(F)$ は脆弱分解であり、自然な標準同型

H^n(\Gamma(X,\mathcal G^\bullet(F)))\cong H^n(X;F)

を与える。また左辺は、標準分解により誘導される複体の短完全列の連結射についてδ-関手となる。零次には添加射による自然同型 $\zeta_G:\Gamma(X,-)\xrightarrow{\sim}H^0(\Gamma(X,\mathcal G^\bullet(-)))$ があり、零次を $\tau\zeta_G^{-1}$ とする一意なδ-関手の同型 $\Psi_G:H^\bullet(\Gamma(X,\mathcal G^\bullet(-)))\xrightarrow{\sim}H^\bullet(X;-)$ がある。

証明.§E20.7 命題 4.2の構成は、 $\mathcal G^0(F)=\prod_xx_*F_x$ への芽の射と、余核を反復するものである。各項は脆弱であり、前定理によって標準同型を得る。標準分解は短完全列を各次数の短完全列へ送り、その左端は脆弱なので、切断をとった後も前補題により短完全である。複体の長完全列とその自然性によりδ-関手を得る。

$\mathcal G^0$ は射の和を茎ごとの和の積へ送る。余核上の射も、余核へのエピ射と合成して確かめれば和を保つ。帰納法により各 $\mathcal G^n$ は加法的である。よって切断の複体のコホモロジーも加法的である。零次の同型は分解の完全性と切断の左完全性による。

Godement の層においては、脆弱層の消滅と最初の標準同型により、正の次数のこのδ-関手は消える。したがって命題 1.4により、零次を指定したδ-関手の同型を得る。▨

命題 3.2. 連続写像 $f:Y\to X$ とする。このとき、次が成り立つ。

脆弱層の順像は脆弱であり、 $\Gamma(X,f_*G)=\Gamma(Y,G)$ である。
閉部分空間の包含 $i:Z\hookrightarrow X$ の順像は完全である。茎は $x\in Z$ なら $(i_*G)_x\cong G_x$ 、 $x\notin Z$ なら $(i_*G)_x=0$ である。
この閉包含について、自然な同型 $H^n(X;i_*G)\cong H^n(Z;G)$ がある。

証明.主張 (1)を示す。順像の制限は $G(Y)\to G(f^{-1}(U))$ なので、脆弱性と切断の等式が従う。

主張 (2)を示す。 $x\in Z$ の $X$ における開近傍 $U$ について、 $U\cap Z$ の全体は $x$ の $Z$ における近傍の基本系をなし、 $x\notin Z$ は $X\setminus Z$ という近傍をもつ。茎の式を得るので、茎による完全性の判定から $i_*$ は完全である。

主張 (3)を示す。 $G$ の Godement の標準分解に $i_*$ を適用すると、 $i_*G$ の脆弱分解となる。両分解の大域切断の複体は等しいので、二つの標準同型を合成するとコホモロジーの同型を得る。分解と標準同型は $G$ の射に自然なので、この同型も自然である。▨

定理 4.1. $X$ を局所コンパクトな Hausdorff 空間とする。 $\Gamma_c(X,F)$ は台がコンパクトな切断の群とし、既習の標準分解による群を $H_c^n(X;F)=H^n(\Gamma_c(X,\mathcal G^\bullet(F)))$ とする。

$\Gamma_c(X,-)$ は左完全な加法関手である。
$H_c^\bullet$ は§E20.7 命題 5.2の連結射についてδ-関手であり、零次には添加射による自然同型 $\zeta_c:\Gamma_c\xrightarrow{\sim}H_c^0$ があり、零次を $\tau\zeta_c^{-1}$ とする一意なδ-関手の同型 $\Psi_c:H_c^\bullet\xrightarrow{\sim}R^\bullet\Gamma_c$ がある。
c-軟弱層は $\Gamma_c$ に関して非輪状である。c-軟弱分解 $F\to L$ について、§E20.7 定理 5.3の次元移動の同型 $\theta_L^c:H_c^n(X;F)\to H^n(\Gamma_c(X,L))$ と標準同型 $\kappa_L$ は $\kappa_L\theta_L^c=(-1)^{n(n+1)/2}\Psi_c$ を満たす。
$X$ がコンパクトならば $\Gamma_c=\Gamma$ であり、導来関手も一致する。

証明.主張 (1)を示す。モノ射 $A\to B$ は各茎で単射なので、切断とその像の台は等しい。 $B$ のコンパクト台切断が $C$ で零ならば、核 $A$ への一意な持ち上げも同じ台をもつ。したがって $\Gamma_c$ は核を保ち、左完全である。有限個のコンパクト集合の和はコンパクトなので、切断の和もコンパクト台をもち、加法性を得る。

主張 (2)を示す。§E20.7 命題 5.2により零次の同型、長完全列とその自然性、および c-軟弱層における高次の消滅を得る。標準分解の加法性は前節で確かめたので、 $H_c^\bullet$ は加法的なδ-関手である。Godement の層は c-軟弱であり、その正の次数は消える。命題 1.4を適用して $\Psi_c$ を得る。

主張 (3)を示す。この同型と c-軟弱層の消滅から導来関手の非輪状性も従う。

分解の核を $Z^k$ 、包含を $j_k:Z^k\to L^k$ 、 $F\cong Z^0$ を $\varepsilon_0$ とする。§E20.7 定理 5.3の $\theta_L^c$ は、各短完全列 $0\to Z^k\to L^k\to Z^{k+1}\to0$ の連結射 $\partial_k$ に対し

\theta_L^c\left(H_c^n(\varepsilon_0)^{-1}\partial_0\cdots\partial_{n-1}(\zeta_c(z))\right) =[\Gamma_c(j_n)(z)]

で決まる。これは§E9.26 補題 2.1の決定式と同じである。したがって補題 1.5により主張の符号の比較を得る。

主張 (4)を示す。コンパクト空間ではすべての切断の台が閉集合としてコンパクトなので、二つの切断関手が一致する。▨

例 5.1. 点 $\xi\in X$ の開近傍が $X$ だけならば、大域切断は茎 $(-)_\xi$ と一致し、完全である。したがってすべての層 $F$ と $n>0$ に対し $H^n(X;F)=0$ である。Sierpiński 空間の閉点はこの条件を満たす。

例 5.2. 空でない空間 $X$ の空でない二つの開集合が常に交わるならば、空でない各開集合は連結である。空でない開集合が非連結ならば、その分離を与える二つの相対開集合が $X$ の互いに素な空でない開集合となるからである。よって、アーベル群 $A$ の定数層 $A_X$ は各空でない開集合で $A$ をとり、制限は恒等写像である。したがって $A_X$ は脆弱で、 $n>0$ で $H^n(X;A_X)=0$ となる。無限集合の補有限位相はこの例である。

例 5.3. 円周上の指数列の長完全列により、連結射は

C(S^1,\Uni(1))/\exp(2\pi iC(S^1,\R))\hookrightarrow H^1(S^1;\Z_{S^1})

を誘導する。左辺は $\Z$ であり、恒等写像 $S^1\to\Uni(1)$ の類が生成元である。したがってその連結射による像は位数が無限である。

例 5.4.§E20.7 例 6.2 (1)と定理 4.1 (2)により、

R^1\Gamma_c(\R,-)(\Z_{\R})\cong\Z

となる。指数列の中央の $h_{\R}$ は c-軟弱なので、長完全列の連結射は $\Gamma_c(\R,h_{\R})\to\Gamma_c(\R,h_{\Uni(1)})$ の余核から、 $R^1\Gamma_c(\R,-)(\Z_{\R})$ への同型を与える。余核が $\Z$ である具体的な計算は§E20.7 例 3.5である。 $n\geq2$ での消滅は、特異コホモロジーとの比較を要するので位相幾何入門で扱う。

§E20.14層コホモロジー

1 層コホモロジー

2 脆弱層

3 Godement の標準分解と順像

4 コンパクト台

5 計算例

参考文献

前提記事