§E20.3層の Čech コホモロジー

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層の場合、開被覆の各元の上の切断からなる族で交わりの上で一致するものは、ただ一つの切断に貼り合わされる。開被覆の各元、二つの元の交わり、三つの元の交わりと順に切断を並べ、制限の交代和を余境界とする余鎖複体を作ると、その零次のコホモロジーはこの条件を満たす族の全体であり、層の大域切断の群と同型になる。この余鎖複体を Čech 複体という。しかし、Čech 複体の一次のコホモロジーは開被覆の選び方に依ることがある。たとえば、円周S1S^1を二つの開弧で覆う開被覆では、定数層ZS1\Z_{S^1}に係数をもつ一次のコホモロジーはZ\Zと同型であるが、S1S^1だけからなる開被覆では零である。開被覆の細分射から Čech 複体の間の余鎖写像を作ると、コホモロジーの上の写像は細分射の選び方に依らない。そのため、細分についての帰納極限をとれば、空間と係数だけで定まる群が得られる。この群を Čech コホモロジーという。Čech コホモロジーは、各開集合の上の切断と制限写像から定まる、空間と層の不変量の一つである。本記事では、アーベル群の前層に係数をもつ Čech コホモロジーを定義し、その基本的な性質と計算例を解説する。

1 被覆の Čech 複体

定義 1.1.PPを位相空間XX上のアーベル群の前層、U=(Ui)i∈I\mathcal U=(U_i)_{i\in I}をXXの開被覆とする。Ui0⋯ip=Ui0∩⋯∩UipU_{i_0\cdots i_p}=U_{i_0}\cap\cdots\cap U_{i_p}とおき、

Cˇp(U;P)=∏(i0,…,ip)∈Ip+1P(Ui0⋯ip)(p≥0),Cˇp(U;P)=0(p<0)\check C^p(\mathcal U;P)=\prod_{(i_0,\ldots,i_p)\in I^{p+1}}P(U_{i_0\cdots i_p})\quad(p\ge0),\qquad \check C^p(\mathcal U;P)=0\quad(p<0)

と定める。添字の列には重複を許し、空の交わりの成分もP(∅)P(\varnothing)として含める。準同型δ ⁣:Cˇp→Cˇp+1\delta\colon\check C^p\to\check C^{p+1}を

(δc)i0⋯ip+1=∑r=0p+1(−1)rci0⋯ir^⋯ip+1∣Ui0⋯ip+1(\delta c)_{i_0\cdots i_{p+1}} =\sum_{r=0}^{p+1}(-1)^r c_{i_0\cdots\widehat{i_r}\cdots i_{p+1}}|_{U_{i_0\cdots i_{p+1}}}

で定める。この余鎖複体をU\mathcal UとPPの Čech 複体 (Čech complex) といい、そのコホモロジーをHp(U;P)H^p(\mathcal U;P)と書く。

命題 1.2.PPをXX上のアーベル群の前層、U=(Ui)i∈I\mathcal U=(U_i)_{i\in I}をXXの開被覆とする。このとき、次が成り立つ。

  1. δ2=0\delta^2=0である。
  2. 前層の射φ ⁣:P→P1\varphi\colon P\to P_1は成分ごとの準同型によって余鎖写像φ∗\varphi_*を定める。対応φ↦φ∗\varphi\mapsto\varphi_*は恒等射と合成を保つ。すべての開集合で完全な前層の列0→P′→P→P′′→00\to P'\to P\to P''\to0は、余鎖複体の短完全列 0⟶Cˇ∙(U;P′)⟶Cˇ∙(U;P)⟶Cˇ∙(U;P′′)⟶00\longrightarrow\check C^\bullet(\mathcal U;P')\longrightarrow\check C^\bullet(\mathcal U;P)\longrightarrow\check C^\bullet(\mathcal U;P'')\longrightarrow0 を与える。
  3. H0(U;P)H^0(\mathcal U;P)は、すべてのi,j∈Ii,j\in Iについてsi∣Uij=sj∣Uijs_i|_{U_{ij}}=s_j|_{U_{ij}}を満たす切断の族(si)i∈I(s_i)_{i\in I}、si∈P(Ui)s_i\in P(U_i)のなす群である。P=FP=Fが層ならば、制限によってF(X)≅H0(U;F)F(X)\cong H^0(\mathcal U;F)となる。
  4. 一次のコサイクルccはcii=0c_{ii}=0、cji=−cijc_{ji}=-c_{ij}を満たす。

証明.主張 (1)は問題 4.1で証明する。

主張 (2)を示す。前層の射は制限と可換なのでδφ∗c=φ∗δc\delta\varphi_*c=\varphi_*\delta cであり、恒等射と合成についても成分ごとに等式が成り立つ。積の核は各成分の核の積であり、全射の積は全射なので短完全性も従う。

主張 (3)を示す。零次ではδs=0\delta s=0が述べた一致条件そのものであり、層の局所性と貼り合わせにより制限写像が全単射になる。

主張 (4)を示す。一次では0=(δc)iii=cii0=(\delta c)_{iii}=c_{ii}、0=(δc)iji=cji−cii+cij0=(\delta c)_{iji}=c_{ji}-c_{ii}+c_{ij}である。▨

定義 1.3.V=(Vj)j∈J\mathcal V=(V_j)_{j\in J}がU\mathcal Uの細分であり、λ ⁣:J→I\lambda\colon J\to IがVj⊆Uλ(j)V_j\subseteq U_{\lambda(j)}を満たす細分射であるとする。準同型λ∗ ⁣:Cˇp(U;P)→Cˇp(V;P)\lambda^*\colon\check C^p(\mathcal U;P)\to\check C^p(\mathcal V;P)を

(λ∗c)j0⋯jp=cλ(j0)⋯λ(jp)∣Vj0⋯jp(\lambda^*c)_{j_0\cdots j_p}=c_{\lambda(j_0)\cdots\lambda(j_p)}|_{V_{j_0\cdots j_p}}

で定める。

補題 1.4.PPをXX上のアーベル群の前層、V\mathcal VをXXの開被覆U\mathcal Uの細分、λ\lambdaをその細分射とする。このとき、λ∗\lambda^*は余鎖写像である。前層の射φ ⁣:P→P1\varphi\colon P\to P_1に対してφ∗λ∗=λ∗φ∗\varphi_*\lambda^*=\lambda^*\varphi_*が成り立つ。

証明.δλ∗c\delta\lambda^*cとλ∗δc\lambda^*\delta cのj0,…,jp+1j_0,\ldots,j_{p+1}成分は、ともに

∑r=0p+1(−1)rcλ(j0)⋯λ(jr)^⋯λ(jp+1)∣Vj0⋯jp+1\sum_{r=0}^{p+1}(-1)^r c_{\lambda(j_0)\cdots\widehat{\lambda(j_r)}\cdots\lambda(j_{p+1})}|_{V_{j_0\cdots j_{p+1}}}

である。係数の射との可換性は、φ\varphiが各制限写像と可換であることから従う。▨

定理 1.5.PPをXX上のアーベル群の前層、V=(Vj)j∈J\mathcal V=(V_j)_{j\in J}を開被覆U=(Ui)i∈I\mathcal U=(U_i)_{i\in I}の細分、λ,μ ⁣:J→I\lambda,\mu\colon J\to Iをその細分射とする。p≥1p\ge1とc∈Cˇp(U;P)c\in\check C^p(\mathcal U;P)に対して、hc∈Cˇp−1(V;P)hc\in\check C^{p-1}(\mathcal V;P)を

(hc)j0⋯jp−1=∑k=0p−1(−1)kcλ(j0)⋯λ(jk)μ(jk)⋯μ(jp−1)∣Vj0⋯jp−1(hc)_{j_0\cdots j_{p-1}}= \sum_{k=0}^{p-1}(-1)^k c_{\lambda(j_0)\cdots\lambda(j_k)\mu(j_k)\cdots\mu(j_{p-1})}|_{V_{j_0\cdots j_{p-1}}}

とおき、p≤0p\le0ではh=0h=0とおく。このときμ∗−λ∗=δh+hδ\mu^*-\lambda^*=\delta h+h\deltaであり、Hp(μ∗)=Hp(λ∗)H^p(\mu^*)=H^p(\lambda^*)である。

証明.Vj0⋯jp−1V_{j_0\cdots j_{p-1}}は式に現れるすべてのUλ(jr)U_{\lambda(j_r)}とUμ(jr)U_{\mu(j_r)}に含まれるので、各制限は定義される。

c∈Cˇp(U;P)c\in\check C^p(\mathcal U;P)とj0,…,jpj_0,\ldots,j_pを固定し、すべての項をVj0⋯jpV_{j_0\cdots j_p}に制限して計算する。λr=λ(jr)\lambda_r=\lambda(j_r)、μr=μ(jr)\mu_r=\mu(j_r)と略記する。hδch\delta cのkk番目の和は、列

(λ0,…,λk,μk,…,μp)(\lambda_0,\ldots,\lambda_k,\mu_k,\ldots,\mu_p)

から一項ずつ除いた添字をもつccの成分の交代和の(−1)k(-1)^k倍である。λr\lambda_rをr<kr<kで除く項の符号は(−1)k+r(-1)^{k+r}であり、δhc\delta hcで先にjrj_rを除き、(hc)j0⋯jr^⋯jp(hc)_{j_0\cdots\widehat{j_r}\cdots j_p}の和のk−1k-1番目の項の符号(−1)r+k−1(-1)^{r+k-1}と反対になる。μr\mu_rをr>kr>kで除く項の符号は(−1)k+r+1(-1)^{k+r+1}であり、δhc\delta hcで先にjrj_rを除き、(hc)j0⋯jr^⋯jp(hc)_{j_0\cdots\widehat{j_r}\cdots j_p}の和のkk番目の項の符号(−1)r+k(-1)^{r+k}と反対になる。したがってδhc\delta hcの全項はhδch\delta cの項と打ち消し合う。

hδch\delta cの各kk番目の和には、λk\lambda_kを除く項とμk\mu_kを除く項が残る。これらをk=0,…,pk=0,\ldots,pについて足すと、

∑k=0p(cλ0⋯λk−1μk⋯μp−cλ0⋯λkμk+1⋯μp)=cμ0⋯μp−cλ0⋯λp.\sum_{k=0}^{p}\left(c_{\lambda_0\cdots\lambda_{k-1}\mu_k\cdots\mu_p} -c_{\lambda_0\cdots\lambda_k\mu_{k+1}\cdots\mu_p}\right) =c_{\mu_0\cdots\mu_p}-c_{\lambda_0\cdots\lambda_p}.

この計算はp=0p=0にも成り立つ。したがってμ∗−λ∗=δh+hδ\mu^*-\lambda^*=\delta h+h\deltaであり、コホモロジー上の等式は§E6.34 命題 4.2による。▨

系 1.6.PPを位相空間XX上のアーベル群の前層とする。このとき、次が成り立つ。

  1. V\mathcal VがU\mathcal Uの細分ならば、細分射によらない準同型ρVU=Hp(λ∗) ⁣:Hp(U;P)→Hp(V;P)\rho_{\mathcal V\mathcal U}=H^p(\lambda^*)\colon H^p(\mathcal U;P)\to H^p(\mathcal V;P)が定まる。これを 細分写像 (refinement map) という。
  2. ρUU=id⁡\rho_{\mathcal U\mathcal U}=\idである。V\mathcal VがU\mathcal Uの細分、W\mathcal WがV\mathcal Vの細分ならば、ρWVρVU=ρWU\rho_{\mathcal W\mathcal V}\rho_{\mathcal V\mathcal U}=\rho_{\mathcal W\mathcal U}である。細分写像は前層の射と可換である。
  3. 二つの被覆が互いに他の細分ならば、細分写像は互いに逆な同型である。とくに、添字つきの被覆と、その元の集合を自分自身で添字づけた被覆のコホモロジーは標準的に同型である。

証明.主張 (1)の独立性は定理 1.5による。

主張 (2)を示す。細分射の合成について(λμ)∗=μ∗λ∗(\lambda\mu)^*=\mu^*\lambda^*であるから、§E6.33 命題 4.2により合成則が従う。係数の射との可換性は補題 1.4による。

主張 (3)を示す。互いに細分である場合には、両方向の細分写像の合成が恒等写像になる。最後の場合は、各UiU_iを同じ開集合へ対応させる写像と、各開集合を表す添字の選択によって両方向の細分射が得られる。▨

2 Čech コホモロジー

補題 2.1.XXを位相空間、PPをXX上のアーベル群の前層とする。XXの位相をOX\mathcal O_Xとし、XXを覆う部分集合U⊆OX\mathcal U\subseteq\mathcal O_Xの全体をCov⁡(X)\operatorname{Cov}(X)とする。各被覆は自分自身で添字づけるものとする。V\mathcal VがU\mathcal Uの細分であることをU≤V\mathcal U\le\mathcal Vと書く。このとき、次が成り立つ。

  1. Cov⁡(X)\operatorname{Cov}(X)は空でない有向な前順序集合である。U,V\mathcal U,\mathcal Vの共通の上界は{U∩V∣U∈U, V∈V}\{U\cap V\mid U\in\mathcal U,\ V\in\mathcal V\}で与えられる。
  2. 細分写像を遷移写像とするHp(U;P)H^p(\mathcal U;P)の族は、Cov⁡(X)\operatorname{Cov}(X)上のアーベル群の有向系である。

証明.主張 (1)を示す。{X}\{X\}は開被覆である。細分の反射性は恒等写像から、推移性は細分射の合成から従う。二つの被覆の各元の交わりの全体はXXを覆い、どちらの被覆も細分する。

主張 (2)を示す。遷移写像の恒等則と合成則は系 1.6 (2)により成り立つ。▨

定義 2.2.PPを位相空間XX上のアーベル群の前層、ppを整数とする。

  1. 前層PPに係数をもつXXのpp次 Čech コホモロジー (Čech cohomology) を Hˇp(X;P)=lim→⁡U∈Cov⁡(X)Hp(U;P)\check H^p(X;P)=\varinjlim_{\mathcal U\in\operatorname{Cov}(X)}H^p(\mathcal U;P) と定め、その構造写像をqUq_{\mathcal U}と書く。
  2. 添字つきの開被覆U=(Ui)i∈I\mathcal U=(U_i)_{i\in I}に対して、U′={Ui∣i∈I}\mathcal U'=\{U_i\mid i\in I\}とおく。合成 κU=qU′ρU′U ⁣:Hp(U;P)⟶Hˇp(X;P)\kappa_{\mathcal U}=q_{\mathcal U'}\rho_{\mathcal U'\mathcal U}\colon H^p(\mathcal U;P)\longrightarrow\check H^p(X;P) を 標準写像 (canonical map) という。

補題 2.3.PPを位相空間XX上のアーベル群の前層とする。このとき、U∈Cov⁡(X)\mathcal U\in\operatorname{Cov}(X)ならばκU=qU\kappa_{\mathcal U}=q_{\mathcal U}である。添字つきの開被覆U,V\mathcal U,\mathcal Vについて、V\mathcal VがU\mathcal Uの細分ならば、κVρVU=κU\kappa_{\mathcal V}\rho_{\mathcal V\mathcal U}=\kappa_{\mathcal U}である。

証明. 前半はU′=U\mathcal U'=\mathcal UとρUU=id\rho_{\mathcal U\mathcal U}=\mathrm{id}による。後半ではU′≤V′\mathcal U'\le\mathcal V'であり、細分写像の合成則と構造写像の条件から

qV′ρV′VρVU=qV′ρV′U′ρU′U=qU′ρU′Uq_{\mathcal V'}\rho_{\mathcal V'\mathcal V}\rho_{\mathcal V\mathcal U} =q_{\mathcal V'}\rho_{\mathcal V'\mathcal U'}\rho_{\mathcal U'\mathcal U} =q_{\mathcal U'}\rho_{\mathcal U'\mathcal U}

となる。▨

注意 2.4. 任意の添字集合による開被覆の全体は集合をなさないが、Cov⁡(X)\operatorname{Cov}(X)はOX\mathcal O_Xの冪集合の部分集合である。系 1.6 (3)により、添字つきの被覆からも標準写像を通して同じ帰納極限を用いることができる。

命題 2.5.f ⁣:Y→Xf\colon Y\to Xを連続写像、P,QP,QをそれぞれX,YX,Y上のアーベル群の前層、θ ⁣:P→f∗Q\theta\colon P\to f_*Qを前層の射とする。このとき、次が成り立つ。

  1. 開被覆U=(Ui)\mathcal U=(U_i)に対して、 ((f,θ)∗c)i0⋯ip=θUi0⋯ip(ci0⋯ip)((f,\theta)^*c)_{i_0\cdots i_p}=\theta_{U_{i_0\cdots i_p}}(c_{i_0\cdots i_p}) はCˇ∙(U;P)→Cˇ∙(f−1U;Q)\check C^\bullet(\mathcal U;P)\to\check C^\bullet(f^{-1}\mathcal U;Q)の余鎖写像を定める。λ\lambdaがV\mathcal VからU\mathcal Uへの細分射ならば、λ\lambdaはf−1Vf^{-1}\mathcal Vからf−1Uf^{-1}\mathcal Uへの細分射でもあり、λ∗(f,θ)∗=(f,θ)∗λ∗\lambda^*(f,\theta)^*=(f,\theta)^*\lambda^*が成り立つ。すべての開被覆U\mathcal Uについて (f,θ)∗κU=κf−1UHp((f,θ)∗)(f,\theta)^*\kappa_{\mathcal U}=\kappa_{f^{-1}\mathcal U}H^p((f,\theta)^*) を満たす準同型(f,θ)∗ ⁣:Hˇp(X;P)→Hˇp(Y;Q)(f,\theta)^*\colon\check H^p(X;P)\to\check H^p(Y;Q)がただ一つ存在する。XX上の前層の射φ:P→P1\varphi:P\to P_1に対して(id⁡X,φ)∗(\id_X,\varphi)^*をHˇp(φ)\check H^p(\varphi)と書く。
  2. 連続写像g ⁣:Z→Yg\colon Z\to Yと前層の射θ′ ⁣:Q→g∗R\theta'\colon Q\to g_*Rについて (f∘g,f∗θ′∘θ)∗=(g,θ′)∗(f,θ)∗,(idX,idP)∗=id.(f\circ g,f_*\theta'\circ\theta)^*=(g,\theta')^*(f,\theta)^*,\qquad(\mathrm{id}_X,\mathrm{id}_P)^*=\mathrm{id}. 係数の射φ ⁣:P′→P\varphi\colon P'\to P、χ ⁣:Q→Q′\chi\colon Q\to Q'について (f,f∗χ∘θ∘φ)∗=Hˇp(χ)(f,θ)∗Hˇp(φ)(f,f_*\chi\circ\theta\circ\varphi)^*=\check H^p(\chi)(f,\theta)^*\check H^p(\varphi) が成り立つ。
  3. F,GF,GがそれぞれX,YX,Y上のアーベル群の層であるとする。層の射ψ ⁣:f−1F→G\psi\colon f^{-1}F\to Gに§E20.1 定理 5.6 (1)で対応する射θψ ⁣:F→f∗G\theta_\psi\colon F\to f_*Gは、Hˇp(X;F)→Hˇp(Y;G)\check H^p(X;F)\to\check H^p(Y;G)を誘導する。この誘導写像は零次では、大域切断との同一視のもとでs↦ψ(f∗s)s\mapsto\psi(f^*s)である。

証明.主張 (1)を示す。θ\thetaは制限と可換なので、余境界の各項にθ\thetaを適用することと、先にθ\thetaを適用して余境界を取ることは一致する。Vj⊆Uλ(j)V_j\subseteq U_{\lambda(j)}ならばf−1Vj⊆f−1Uλ(j)f^{-1}V_j\subseteq f^{-1}U_{\lambda(j)}である。同じ添字の列の成分を比較すると、細分射による引き戻しとθ\thetaによる写像が可換である。

したがって、U∈Cov⁡(X)\mathcal U\in\operatorname{Cov}(X)に対する写像の族κf−1UHp((f,θ)∗)\kappa_{f^{-1}\mathcal U}H^p((f,\theta)^*)は、補題 2.3により帰納極限の余錐をなす。§E6.3 定義 2.3の普遍性が求める写像を一意に定める。添字つきの被覆についての等式も、元の集合による被覆との標準同型を経て従う。

主張 (2)の合成則と主張 (3)の層の逆像による記述は問題 4.2、問題 4.3で証明する。▨

定義 2.6.PPをXX上のアーベル群の前層、U⊆XU\subseteq Xを開集合とする。包含をj:U↪Xj:U\hookrightarrow Xとし、PPの制限写像からなる前層の射をϱ:P→j∗(P∣U)\varrho:P\to j_*(P|_U)とする。誘導写像

(j,ϱ)∗ ⁣:Hˇp(X;P)→Hˇp(U;P∣U)(j,\varrho)^*\colon\check H^p(X;P)\to\check H^p(U;P|_U)

を 制限写像 (restriction map) という。この写像は、開被覆(Ui)(U_i)の上では各成分ci0⋯ipc_{i_0\cdots i_p}をUi0⋯ip∩UU_{i_0\cdots i_p}\cap Uへ制限する余鎖写像によって表される。

命題 2.7.XXを位相空間、PPをXX上のアーベル群の前層、ppを整数とする。このとき、次が成り立つ。

  1. 前層の射φ ⁣:P→P1\varphi\colon P\to P_1に対して、すべての開被覆U\mathcal Uについて Hˇp(φ)κU=κUHp(φ∗)\check H^p(\varphi)\kappa_{\mathcal U}=\kappa_{\mathcal U}H^p(\varphi_*) を満たす準同型Hˇp(φ) ⁣:Hˇp(X;P)→Hˇp(X;P1)\check H^p(\varphi)\colon\check H^p(X;P)\to\check H^p(X;P_1)がただ一つ存在する。この対応は恒等射と合成を保つ。
  2. XX上のアーベル群の層FFについて、制限F(X)→H0(U;F)F(X)\to H^0(\mathcal U;F)とκU\kappa_{\mathcal U}の合成は開被覆U\mathcal Uに依らない同型F(X)≅Hˇ0(X;F)F(X)\cong\check H^0(X;F)であり、この同型は層の射と可換である。
  3. 任意の開被覆がC⊆Cov⁡(X)\mathcal C\subseteq\operatorname{Cov}(X)のある元によって細分されるならば、構造写像qUq_{\mathcal U}、U∈C\mathcal U\in\mathcal Cが誘導する写像lim→⁡U∈CHp(U;P)→Hˇp(X;P)\varinjlim_{\mathcal U\in\mathcal C}H^p(\mathcal U;P)\to\check H^p(X;P)は同型である。とくに、任意の開被覆を細分する被覆U0\mathcal U_0があればκU0\kappa_{\mathcal U_0}は同型である。
  4. ξ∈Hp(U;P)\xi\in H^p(\mathcal U;P)に対してκU(ξ)=0\kappa_{\mathcal U}(\xi)=0であるための必要十分条件は、ある細分V\mathcal Vが存在してρVU(ξ)=0\rho_{\mathcal V\mathcal U}(\xi)=0となることである。

証明.主張 (1)を示す。命題 2.5 (1)と命題 2.5 (2)にf=id⁡Xf=\id_Xを適用する。

主張 (2)を示す。層の場合、命題 1.2 (3)の切断の族をその貼り合わせへ送る写像H0(U;F)→F(X)H^0(\mathcal U;F)\to F(X)は細分写像と可換である。帰納極限上に誘導される写像は、制限から得られるF(X)→Hˇ0(X;F)F(X)\to\check H^0(X;F)の逆である。局所切断の貼り合わせは層の射と可換なので、同型の自然性も従う。

主張 (3)と主張 (4)を示す。Cov⁡(X)\operatorname{Cov}(X)を、U≤V\mathcal U\le\mathcal Vのときただ一つの射をもつ小圏とみなす。この圏は補題 2.1 (1)により§E6.9 定義 8.1の条件を満たす。C\mathcal Cはこの圏の共終な充満部分圏なので、§E6.9 命題 9.3を適用すれば主張 (3)を得る。特別な場合はC={U0}\mathcal C=\{\mathcal U_0\}とすればよい。

同じ圏に§E6.9 定理 8.4 (3)を適用すれば主張 (4)を得る。添字つきの被覆の場合はU′\mathcal U'との標準同型と補題 2.3を用いる。▨

命題 2.8.FFをXX上のアーベル群の層、U,V\mathcal U,\mathcal VをXXの添字つきの開被覆とし、V\mathcal VがU\mathcal Uの細分であるとする。このとき、ρVU ⁣:H1(U;F)→H1(V;F)\rho_{\mathcal V\mathcal U}\colon H^1(\mathcal U;F)\to H^1(\mathcal V;F)は単射である。標準写像κU ⁣:H1(U;F)→Hˇ1(X;F)\kappa_{\mathcal U}\colon H^1(\mathcal U;F)\to\check H^1(X;F)も単射である。

証明. 細分射λ\lambdaを取り、一次コサイクルccがλ∗c=δb\lambda^*c=\delta b、b∈Cˇ0(V;F)b\in\check C^0(\mathcal V;F)を満たすとする。各iiについてUi∩VjU_i\cap V_j上の切断ciλ(j)−bjc_{i\lambda(j)}-b_jを考える。Ui∩Vj∩VkU_i\cap V_j\cap V_k上では

ciλ(k)−ciλ(j)=cλ(j)λ(k)=bk−bjc_{i\lambda(k)}-c_{i\lambda(j)}=c_{\lambda(j)\lambda(k)}=b_k-b_j

なので、これらは§E20.1 定義 1.2 条件 (b)によってgi∈F(Ui)g_i\in F(U_i)に貼り合わさる。Ui∩Ul∩VjU_i\cap U_l\cap V_j上では

gl−gi=clλ(j)−ciλ(j)=−cil.g_l-g_i=c_{l\lambda(j)}-c_{i\lambda(j)}=-c_{il}.

§E20.1 定義 1.2 条件 (a)によりδg=−c\delta g=-cとなり、[c]=0[c]=0である。標準写像の単射性は、この結果と命題 2.7 (4)から従う。▨

3 例

命題 3.1.XXが離散空間で、FFがアーベル群の層ならば、Hˇ0(X;F)≅F(X)\check H^0(X;F)\cong F(X)、p≥1p\ge1でHˇp(X;F)=0\check H^p(X;F)=0である。

証明. 一点集合による被覆U0\mathcal U_0はすべての開被覆の細分なので、命題 2.7 (3)を適用する。F(∅)=0F(\varnothing)=0であり、空でない交わりを与える添字の列は定値の列だけなので、各次数で

Cˇp(U0;F)=∏x∈XF({x}).\check C^p(\mathcal U_0;F)=\prod_{x\in X}F(\{x\}).

余境界は∑r=0p+1(−1)r\sum_{r=0}^{p+1}(-1)^r倍、すなわちppが偶数なら零、奇数なら恒等写像である。したがって正次数のコホモロジーは消え、零次は命題 2.7 (2)による。▨

例 3.2. 離散空間X={a,b}X=\{a,b\}上で、空集合を含むすべての開集合にZ\Zを割り当て、すべての制限を恒等写像とする前層P=ZpreP=\Z^{\mathrm{pre}}を考える。このとき、一点集合からなる被覆はすべての被覆の細分である。この被覆の零次コサイクル(sa,sb)(s_a,s_b)には、空の交わりでの一致sa=sbs_a=s_bも課される。したがって命題 2.7 (3)よりHˇ0(X;P)≅Z\check H^0(X;P)\cong\Zである。他方、層化ZX\Z_Xの大域切断はZ2\Z^2である。前層の零次の Čech コホモロジーは、層化の大域切断と一致するとは限らない。

命題 3.3.S1⊂CS^1\subset\Cの開被覆U=(U,V)\mathcal U=(U,V)をU=S1∖{1}U=S^1\setminus\{1\}、V=S1∖{−1}V=S^1\setminus\{-1\}とする。このとき

H1(U;ZS1)≅Z,H1({S1};ZS1)=0.H^1(\mathcal U;\Z_{S^1})\cong\Z,\qquad H^1(\{S^1\};\Z_{S^1})=0.

標準写像の像κU(H1(U;ZS1))\kappa_{\mathcal U}(H^1(\mathcal U;\Z_{S^1}))は、Hˇ1(S1;ZS1)\check H^1(S^1;\Z_{S^1})のZ\Zと同型な部分群である。

証明.U,VU,Vと、U∩VU\cap Vの上半円W+W_+、下半円W−W_-は、それぞれ開区間の連続像なので連結である。§E20.1 命題 6.4 (2)により定数層の切断は局所定数写像であり、連結集合上では定数である。したがってZS1(U)=ZS1(V)=Z\Z_{S^1}(U)=\Z_{S^1}(V)=\Z、ZS1(U∩V)=Z2\Z_{S^1}(U\cap V)=\Z^2である。

命題 1.2 (4)により一次コサイクルはcUV=(a+,a−)c_{UV}=(a_+,a_-)で決まる。逆に任意の(a+,a−)(a_+,a_-)に対してcUU=cVV=0c_{UU}=c_{VV}=0、cVU=−cUVc_{VU}=-c_{UV}とおくと、三つの添字のうち二つが等しいことからコサイクル条件が成り立つ。零次余鎖(sU,sV)(s_U,s_V)の余境界は(sV−sU,sV−sU)(s_V-s_U,s_V-s_U)である。よって

H1(U;ZS1)=Z2/{(a,a)∣a∈Z}→≅ Z,[(a+,a−)]⟼a+−a−.H^1(\mathcal U;\Z_{S^1})=\Z^2/\{(a,a)\mid a\in\Z\}\xrightarrow{\cong\ }\Z,\qquad[(a_+,a_-)]\longmapsto a_+-a_-.

一元被覆ではδ ⁣:Cˇ1→Cˇ2\delta\colon\check C^1\to\check C^2は恒等写像なのでH1=0H^1=0である。最後の主張は命題 2.8による。▨

例 3.4.命題 3.3の細分写像ρU{S1}\rho_{\mathcal U\{S^1\}}は0→Z0\to\Zなので全射でない。

4 演習

問題 4.1.命題 1.2 (1)のδ2=0\delta^2=0を証明せよ。

解答.

添字の列i0,…,ip+2i_0,\ldots,i_{p+2}からia,ibi_a,i_b、a<ba<bを除く項を比較する。先にiai_aを除く場合の符号は(−1)a(−1)b−1(-1)^a(-1)^{b-1}であり、先にibi_bを除く場合の符号は(−1)b(−1)a(-1)^b(-1)^aである。二つの項は同じ切断を同じ交わりへ制限したものなので打ち消し合う。すべての項がこのように対になるためδ2=0\delta^2=0である。▨

問題 4.2.命題 2.5 (2)の合成則、恒等則、係数の射との両立を証明せよ。

解答.

U\mathcal Uの各交わりWWで、合成射の成分はθf−1W′θW\theta'_{f^{-1}W}\theta_Wである。したがって被覆の複体上で

(f∘g,f∗θ′∘θ)∗=(g,θ′)∗(f,θ)∗(f\circ g,f_*\theta'\circ\theta)^*=(g,\theta')^*(f,\theta)^*

が成り立ち、(f∘g)−1U=g−1(f−1U)(f\circ g)^{-1}\mathcal U=g^{-1}(f^{-1}\mathcal U)である。コホモロジーを取り、命題 2.5 (1)の標準写像との等式を適用すると、帰納極限上でも両辺はすべての構造写像との合成が一致する。普遍性の一意性から求める合成則が従う。

恒等写像と恒等射は各成分を変えないので恒等則が成り立つ。係数の射についての等式は、合成則に(id⁡X,φ)(\id_X,\varphi)、(f,θ)(f,\theta)、(id⁡Y,χ)(\id_Y,\chi)を適用して得る。▨

問題 4.3.命題 2.5 (3)を証明せよ。

解答.

§E20.1 定理 5.6 (3)により、対応するθψ ⁣:F→f∗G\theta_\psi\colon F\to f_*Gはアーベル群の層の射であるから、命題 2.5 (1)を適用することができる。対応の公式はθψ,U(s)=ψf−1U(f∗s)\theta_{\psi,U}(s)=\psi_{f^{-1}U}(f^*s)である。零次でs∈F(X)s\in F(X)を被覆の各元へ制限し、この公式を適用すると、得られる切断の族はψ(f∗s)\psi(f^*s)の制限である。命題 2.7 (2)の同型はこの族を大域切断へ貼り合わせるので、零次の写像はs↦ψ(f∗s)s\mapsto\psi(f^*s)に一致する。▨

参考文献

  1. Glen E. Bredon, Sheaf Theory, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 170, Springer, New York, 1997.前層に係数をもつ開被覆の Čech 複体、細分射による写像が細分射の選び方に依らないことの余鎖ホモトピーによる証明、および細分についての帰納極限による Čech コホモロジーの定義を参考にした。
  2. Roger Godement, Topologie algébrique et théorie des faisceaux, 3rd ed., Actualités scientifiques et industrielles 1252, Hermann, Paris, 1998, originally published 1973.零次の Čech コホモロジーと大域切断の一致、および層の一次の細分写像が単射であることの扱いを参考にした。

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