§E20.9層

証明. 自然変換$\alpha$の自然性を二つの射影に適用すると、得られた族は整合的である。逆に整合的な族$(s_i)$をとり、$g=f_ih:W\to U$に対し$\alpha(g)=P(h)(s_i)$とおく。$g=f_jh'$でもあるなら、pullback の普遍性から$(h,h'):W\to U_i\times_UU_j$がある。整合性の等式をこの射に沿って制限すると二つの値が一致する。よって$\alpha$は分解によらず、前合成との可換性もこの式から従う。二つの対応は逆である。空の族では両側が一点集合であり、同じ主張が成り立つ。▨

証明.主張 (1)と主張 (2)の証明は演習とする（問題 11.1）。有向余極限の具体的な表示により、二つの代表が同じ元を与えるための必要十分条件は、共通の被覆部分篩に制限すると一致することである。

主張 (3)を示す。$x=[S_\alpha,\alpha]$と$y=[S_\beta,\beta]$が被覆篩$R$の各射に沿って一致するとする。各$f:V\to U$、$f\in R$について、$f^*S_\alpha\cap f^*S_\beta$の被覆部分篩$T_f$で$\alpha(ft)=\beta(ft)$となるものをとる。添字は$V$-小なので、この選択は集合個の選択である。合成$ft$の生成する篩$W$は$S_\alpha\cap S_\beta$に含まれ、$f^*W\supseteq T_f$である。位相の推移性から$W$は被覆である。$W$上で二つの代表が一致するので$x=y$であり、分離性を得る。

主張 (4)を示す。$P$が分離前層なら$\theta_P$は各点で単射である。実際、$s,t\in P(U)$の$\theta_P$による像が一致するなら、$s,t$はある被覆篩上で一致し、$P$の分離性により等しい。被覆篩$S$上の整合族$x_f\in P^\dagger(\operatorname{dom}f)$をとる。各$f$に主張 (2)を適用し、被覆篩$T_f$の各$t$に対し$x_f|_t=\theta_P(s_{f,t})$となる切断をとる。合成$ft$の生成する篩$W$は位相の推移性により被覆である。$ft=f't'$なら二つの像はともに$x_{ft}$であり、$\theta_P$の単射性から$s_{f,t}=s_{f',t'}$である。さらに$s$が前合成と可換であることも、像の整合性と$\theta_P$の単射性から従う。したがって切断は$W$上の$P$の整合族$s$を定める。$[W,s]$の$f$に沿う制限と$x_f$は$T_f$上で一致するので、既に示した$P^\dagger$の分離性により一致する。一意性も分離性による。これで$P^\dagger$が層であることを得る。

主張 (5)を示す。$P$が層なら各写像$P(U)\to\operatorname{Nat}(S,P)$は全単射であり、これらは制限と可換である。その余極限も$P(U)$なので$\theta_P$は同型である。

固定した$S$に対し$\operatorname{Nat}(S,-)$は Hom 関手なので極限を保つ（§E9.11 命題 2.1）。有向余極限は集合の有限極限と交換する（§E9.13 定理 3.2）。前層の極限は各点で計算されるので、両結果を合成すると plus 構成が空図式を含む有限極限を保つことを得る。アーベル群の場合、忘却関手が有限極限とフィルター余極限を作ること（§E9.13 命題 5.1）により、同じ台集合の議論が成り立つ。分離性と貼り合わせの証明も台集合で成立し、貼り合わせは一意性によって加法と可換である。▨

証明.命題 2.2 (3)と命題 2.2 (4)により$aP$は層である。層$F$への射$u:P\to F$に plus 構成を適用し、$F^\dagger\cong F$を使うと$P^\dagger\to F$を得る。もう一度適用して$aP\to F$を得て、自然性により$\eta_P$との合成は$u$である。

$P^\dagger\to F$の二つの射が$P$上で一致するなら、$P^\dagger$の各元は被覆上で$P$の像に入るため、その二つの像は局所的に一致する。$F$の分離性から二つの射は等しい。この議論を二度用いると$aP\to F$の一意性を得る。したがって$\eta_P$は普遍射であり、plus 構成の式が普遍射の族を与えるので随伴を得る。前層$P$が層$F$のとき、二つの$\theta$は同型なので余単位も同型である。

前層の極限$L=\lim_iF_i$について、$L(U)\to\operatorname{Nat}(S,L)$は各$F_i$の同型$F_i(U)\to\operatorname{Nat}(S,F_i)$の極限である。よって$L$自身が層である。前層の余極限$Q$の層化$aQ$については、随伴と余極限の普遍性から$\operatorname{Hom}(aQ,F)\cong\lim_i\operatorname{Hom}(F_i,F)$を得る。前層の完備性・余完備性は§E9.9 系 2.7による。層化$a$が有限極限を保つことは、命題 2.2 (6)を二度適用して得る。アーベル群でも同じ普遍性の議論が成り立つ。▨

証明. 一回の plus 構成では、局所的な表示は命題 2.2 (2)による。元の切断の像の一致は、余極限の代表の一致、すなわち共通の被覆篩上での一致である。二回の plus 構成について同じ性質を続けて適用する。二段の被覆の合成が被覆であることは位相の推移性による。これで層化について両性質を得る。▨

証明. 証明は演習とする（問題 11.3 (1)）。▨

証明. 篩$Q$の、始域が$\mathcal D$に属する射だけから生成される部分篩を$Q_{\mathcal D}$と書く。$Q$が$C$の被覆なら$Q_{\mathcal D}$も被覆である。実際、$f:U\to C$、$f\in Q$に対し、$U$を覆う$\mathcal D$からの射$t:D\to U$は$ft\in Q_{\mathcal D}$を満たす。よって$f^*Q_{\mathcal D}$は被覆であり、推移性を$Q$に適用すると主張を得る。

$D,D'\in\mathcal D$と$g:D'\to D$に対し、$g^*\langle S\rangle$の$\mathcal D$上の跡は$g^*S$である。ここで$\langle S\rangle$は$\mathcal C$での生成篩であり、等式は充満性による。被覆篩を生成部分篩に置き換えても被覆であることから、$\langle S\rangle$が被覆なら$\langle g^*S\rangle$も被覆となる。極大篩の公理は生成条件から従う。推移性について、$S$が$J_{\mathcal D}$の被覆で、$S$の各射による$T$の引き戻しが$J_{\mathcal D}$の被覆なら、$\langle S\rangle$の各射は$S$の射を通るので、その射による$\langle T\rangle$の引き戻しは被覆である。$J$の推移性により$\langle T\rangle$は被覆となる。よって$J_{\mathcal D}$は位相である。

$P$を$\mathcal C$上の層とする。$S\subseteq h_D|_{\mathcal D}$上の$i^*P$の整合族$s$は、$\langle S\rangle$の射$f=at$（$a\in S$）へ$P(t)s_a$を対応させる族に延びる。二つの因数分解$at=bu$があれば、始域を$\mathcal D$の対象からの射で覆う。その各射に沿って制限すると、充満性と元の整合性から二つの値が一致する。$P$の分離性により始域全体でも一致する。同じ理由で延長は自然である。$\langle S\rangle$が被覆なら$P$の層条件によって一意に貼り合わさるので、$i^*P$は層である。

$F$を$\mathcal D$上の層とし、$Q\in J(C)$上の$RF$の整合族$x_f$をとる。各$g:D\to C$に対し、$g^*Q$の$\mathcal D$上の跡$S_g$は$J_{\mathcal D}$の被覆である。$t:E\to D$、$t\in S_g$に$x_{gt}(\mathrm{id}_E)\in F(E)$を対応させると整合族になる。これを貼り合わせて$y_g\in F(D)$を得る。$a:D'\to D$について$F(a)y_g$と$y_{ga}$は$S_{ga}$上で同じ値をもつので等しい。したがって$g\mapsto y_g$は$h_C|_{\mathcal D}\to F$を定める。この元の$Q$上の制限は$x_f$である。実際、$h:D\to\operatorname{dom}f$に対する値は$y_{fh}$であり、$fh\in Q$なので貼り合わせの定義から$x_f(h)$となる。一意性は各$S_g$上の分離性による。よって$RF$は層である。

$D\in\mathcal D$では充満性から$h_D|_{\mathcal D}$は$\mathcal D$の表現可能前層であり、米田の補題により$RF(D)\cong F(D)$を得る。一方、層$P$と族$s_D\in P(D)$（$D\to C$について自然）に対し、始域が$\mathcal D$の対象である射$D\to C$全体が生成する被覆篩へ、$P$の制限を用いて族$(s_D)$を延長する。先に用いた$\mathcal D$による始域の被覆と分離性によって、延長は因数分解によらない。$P$の層条件が唯一の$s\in P(C)$を与える。この貼り合わせへの対応が$P(C)\to R(i^*P)(C)$の逆である。両同型の自然性は制限と評価の式から従う。

$\mathcal D$と各 Hom は$V$-小なので、$RF(C)$は$V$-小な積の部分集合である。層の射も$\mathcal D$上の自然変換から一意に延長される。$\mathcal D$上の自然変換の集合によって Hom を記述すると、層の圏は$\mathbf{Sh}(\mathcal D,J_{\mathcal D})$で具体的に表示される。アーベル群では全式を成分ごとの加法で用い、貼り合わせの一意性から各同型が準同型になる。▨

証明.$\mathcal D$上の前層$F$に対し、射$P\to RF$は射$P|_{\mathcal D}\to F$と一対一に対応する。逆向きの対応は、$s\in P(C)$を$(g:D\to C\mapsto\alpha_D(P(g)s))$に送る式である。米田の評価が逆であり、両対応は合成について自然である。比較補題の$Q\cong R(Q|_{\mathcal D})$を層$Q$に用い、小さい site の層化の随伴を合成すると、所望の普遍性を得る。

制限は各点極限を保ち、$a_{\mathcal D}$は有限極限を保つ。$R$は各値で Hom 関手なので極限を保つ。したがって合成は有限極限を保つ。大きい$\mathcal C$の被覆篩全体を添字にする余極限は用いない。▨

証明.主張 (1)を示す。極限と余極限は定理 2.3による。以後、指定した表示の層の圏で構成する。

主張 (2)を示す。篩$S$に対し、$\overline S=\{f\mid f^*S\text{ は被覆}\}$とおく。位相の引き戻しと推移性の公理から、これは篩であり、$S\subseteq\overline S$、$\overline{\overline S}=\overline S$、$g^*\overline S=\overline{g^*S}$である。たとえば二重閉包について、$f^*\overline S$が被覆なら、その各射$t$に対し$(ft)^*S$が被覆であるので、推移性から$f^*S$は被覆となる。したがって閉篩は引き戻しで閉じ、$\Omega$は前層となる。

被覆篩$Q$上の整合的な閉篩の族$(S_f)_{f\in Q}$をとる。射$fg$（$f\in Q,g\in S_f$）の生成する篩を$R$とし、$\overline R$をとる。$f\in Q$に対し$f^*R=S_f$である。包含$S_f\subseteq f^*R$は構成による。逆に$fh=ag$、$a\in Q,g\in S_a$なら、整合性から$h^*S_f=g^*S_a$であり、右辺は恒等射を含むので$h\in S_f$である。したがって$f^*\overline R=S_f$となる。一意性について、閉篩の所属条件は被覆篩上で判定することができる。実際$f^*Q$のすべての射$t$について$ft$が閉篩に入れば、その引き戻しは被覆を含み、閉性から$f$自身も入る。よって$\Omega$は層である。

部分層$A\subseteq F$に対し、$s\in F(C)$を篩

へ送る。$A$は層なのでこの篩は閉じている。制限との可換性は式から従い、$s$が$A(C)$に属することは$\chi_A(s)=h_C$と同じである。したがって$A$は$F\xrightarrow{\chi_A}\Omega$による真の射の引き戻しである。逆にこの引き戻し条件を満たす射は、各$f$に対する所属条件によって同じ篩を与えるので一意である。得られた引き戻しと分類射の一意性が部分対象分類子の普遍性である。

主張 (3)を示す。射$f:F\to G$に対し、局所的に$f$の像に入る切断全体を$I\subseteq G$とする。引き戻しと被覆の推移性から$I$は部分層である。局所的に全射な射はエピ射である。実際、その射との合成が等しい二つの射は、各切断の局所的な持ち上げで等しく、終域の分離性から等しい。よって$F\to I$はエピ射である。もし$f$がエピ射なら、$\chi_I$と真を選ぶ定値射$G\to\Omega$は$f$との合成が等しいため一致し、$I=G$である。これでエピ射の判定を得る。エピ射の引き戻し$F\times_GK\to K$について、$K$の切断の局所的な持ち上げは、$G$での像の$F$への局所的な持ち上げともとの切断の組である。

主張 (4)を示す。エピ射$f$の核対上で二つの合成が等しい射$u:F\to H$をとる。$G$の切断を局所的に持ち上げ、$u$を適用する。異なる持ち上げの組は核対の切断なので、得る値は一致する。層条件により一意に貼り合わせると$G\to H$を得る。したがって$f$は核対の余等化子である。

主張 (5)を示す。各射$ah_C\to F$は随伴と米田の補題により$F(C)$の元と一対一に対応する。異なる二つの層の射はある$C$のある切断で異なるので、$(ah_C)$は生成族である。

主張 (6)を示す。指数対象の構成では、層化の左完全性と随伴から

を得る。右辺の元は、各$g:D\to C$と$s\in F(D)$に$G(D)$の元を自然に対応させる規則である。被覆篩上でこの規則が与えられた場合、固定した$(g,s)$に対し引き戻し被覆上の値を$G$で貼り合わせると唯一の値を得る。一意性からその値は$D$の射について自然である。したがって表示の$G^F$は層である。$K\to G^F$と$K\times F\to G$の対応は、前者の$k\in K(C)$の像を$(\mathrm{id}_C,s)$に評価する写像と、$g:D\to C$に沿って$k$を制限して評価する逆向きの写像である。この二つが互いに逆で自然なので、指数対象の普遍性を得る。

主張 (7)を示す。部分層$(A_i\subseteq F)$の和は、ある被覆上の各切断がいずれかの$A_i$に入る切断全体である。被覆の推移性が貼り合わせに対する閉性を与え、この記述から最小の上界であることが従う。部分層$B$との交わりについて、$B$に入る切断の制限も$B$に入るので

である。部分層全体は$\prod_C\mathcal P(F(C))$の部分集合として$V$-小なので、部分対象の任意の集合もこの構成の範囲に入る。

主張 (8)を示す。同値関係$R\subseteq F\times F$に対し、前層の各点商$P(C)=F(C)/R(C)$を作り$Q=aP$とする。商の普遍性と層化の随伴により$Q$は余等化子である。$F(C)$の二元が$Q(C)$で等しいための必要十分条件は、補題 2.4により局所的に$R$で関係づけられることである。$R$は部分層なので、この条件はもとの二元が$R(C)$に属することと同じである。よって$R=F\times_QF$であり、同値関係は有効である。

主張 (9)を示す。引き戻しの余極限保存は、次の右随伴によって示される。$f:F\to G$と$X\to F$に対し、$\Pi_fX$の$C$における切断は、$g\in G(C)$と$F$上の射$ah_C\times_G F\to X$の組とする。指数対象と同じ貼り合わせの議論により、これは$G$上の層である。評価と制限によって

を得る。したがって引き戻しは左随伴として余極限を保つ。

主張 (10)を示す。前層の余積の異なる成分の引き戻しは空前層であり、各入射はモノ射である。層化は有限極限を保つので、層の余積でも各入射はモノ射、異なる成分の引き戻しは始対象となる。▨

証明.$\mathcal A$の族$(A_i\to A)$が共同エピ射であることは、$\coprod_iA_i\to A$がエピ射であることを意味する。エピ射の引き戻し安定性と余極限の引き戻し安定性から、被覆族の引き戻しは再び共同エピ射である。$\mathcal A$が有限極限で閉じているので、引き戻しの対象も$\mathcal A$にある。共同エピ射族の合成は共同エピ射なので、生成篩は位相の公理を満たす。

共同エピ射族に沿う射$A_i\to E$が重なりで一致するなら、$\coprod_iA_i\to E$は$\coprod_iA_i\to A$の核対を等化する。余積の引き戻し安定性により核対は各$A_i\times_AA_j$で覆われるので、重なりの一致が核対全体の一致を与える。エピ射の有効性から一意な$A\to E$に降りる。したがって$N(E)$は層である。

$\mathcal A$は小さく、各$P(A)$も小さいので$\int P$は小さい。余極限の普遍性と米田の対応により

を得る。単位は$s\in P(A)$を余極限への標準射$A\to LP$に送り、余単位はすべての射$A\to E$を評価する射$LN(E)\to E$である。

生成族の性質から、任意の$E$に対する族$(A\to E)_{A\in\mathcal A}$は共同エピ射である。実際、その局所的な像$I\subseteq E$が真の部分対象なら、$\chi_I$と真の射は異なる。生成族からのある射がこの二射を区別するはずだが、その射自身が族に含まれ像は$I$に入るので矛盾する。したがって余単位はエピ射である。

任意の図式の余極限は、対象の余積を射の余積からの二つの射で余等化したものである。この余等化子は、生成関係と逆関係の有限合成による同値関係の商である。層の表示においては、前層の商の等式が有限の関係の列で与えられ、層化後の等式は局所的にそのような列で与えられる（補題 2.4）。したがって余極限への二つの局所表示が等しいことは、被覆上で有限個の図式の射の関係によって結ばれることで判定される。この記述は指定した層の表示から$\mathcal E$に移すことができる。

層$P$の単位$P\to N(LP)$を調べる。$A\to LP$をとる。余極限への対象の余積の射はエピ射なので、引き戻しと、各引き戻し対象を$\mathcal A$の対象から覆う操作により、$A$を共同エピ射族$(B_j\to A)$で覆い、各制限を$B_j\to A_j\to LP$の形にすることができる。$A_j\to LP$はある$s_j\in P(A_j)$の標準射であるため、制限は$P(B_j)$の元の像である。したがって単位は局所的に全射である。

$s,t\in P(A)$の単位による像が一致したとする。上の余極限の等式の記述により、被覆上で両表示を有限個の元の圏の射の関係によって結ぶことができる。各中間の対象を$\mathcal A$の対象で覆い、有限回の引き戻しによって同じ被覆へ細分する。一つの関係は、元の圏の射$u:(B,b)\to(C,c)$、すなわち$P(u)c=b$の制限である。したがって同じ始域からの二つの表示は$P$で等しい。有限列の両端も等しく、$s,t$は被覆上で一致する。$P$の分離性から$s=t$である。よって単位は単射である。局所的な全射性と単射性から得る局所的な逆像は重なりで一致し、$P$の層条件によって貼り合わさるので、単位は同型である。

余単位について、$A\to E$と$B\to E$の像が等しくなる関係を考える。引き戻し$A\times_E B$を$\mathcal A$の対象$C$からの射で覆う。各$C$は元の圏$\int N(E)$の二つの射$C\to A,C\to B$を与えるので、その関係は$LN(E)$で既に成立する。上の局所表示とエピ性により、余単位の核対の二つの射は一致する。よって余単位はモノ射でもある。エピ射は核対の余等化子なので、モノ射でもある余単位は同型である。単位と余単位は随伴の自然変換として構成されており、これで具体的な準逆を得る。▨

証明. 被覆篩$S$に属する開集合の族は、その篩自身を生成する開被覆である。開集合の pullback は交わりなので、命題 1.2により篩の層条件は開被覆の貼り合わせ条件になる。逆に任意の開被覆が生成する篩は被覆篩なので、同じ命題が逆向きを与える。アーベル群でも台集合上の同じ条件である。▨

証明. 証明は演習とする（問題 11.2 (1)）。▨

証明. 茎の余極限表示と関手性は、集合では§E9.13 命題 4.1、アーベル群では§E20.1 命題 4.5による。開近傍は有限交わりで細分されるので、添字は有向である。有限極限の保存は集合での§E9.13 命題 4.1を用いる。アーベル群では忘却関手が有限極限とフィルター余極限を作るため、標準射の台の写像が集合の場合の全単射となり、準同型としても同型である。

§E20.1 命題 5.7 (5)により、$\operatorname{Hom}(F,x_*A)\cong\operatorname{Hom}(F_x,A)$とその両変数の自然性を得る。この自然な全単射により随伴を得る。左随伴の余極限保存から最後の主張を得る。▨

証明.定理 6.2と定理 2.3により、開集合の site の一般定理を適用することができる。積の制限写像は各成分の制限であり、§E20.1 命題 5.7 (1)の積と同じである。茎の有限極限保存は命題 7.1 (2)による。▨

証明.主張 (1)を示す。同型の茎による判定は§E20.1 定理 4.4 (3)による。射の一致は、各切断の像の芽が一致することと§E20.1 補題 4.3による。

主張 (2)を示す。層の核対は前層の核対である。§E9.8 命題 4.2のモノ射の判定を各点の極限に適用すると、モノ射であることは各成分の単射性に等しい。アーベル群でも台集合で核対を計算するので同じ結論を得る。成分の単射性と茎の単射性の一致は§E20.1 定理 4.4 (1)による。

主張 (3)を示す。茎の全射性と局所的な持ち上げの一致は§E20.1 定理 4.4 (2)による。茎ごとに全射なら、その射との合成が等しい二つの射は各茎で等しく、したがって等しいのでエピ射である。逆にある$\varphi_x$が全射でないとする。集合の場合、$G_x\to\{0,1\}$として$\operatorname{im}\varphi_x$の特性関数と定値関数$1$をとる。アーベル群の場合、$G_x\to G_x/\operatorname{im}\varphi_x$の商写像と零写像をとる。いずれも異なる二つの写像が$\varphi_x$との合成では一致する。命題 7.1 (3)の随伴の自然性により、異なる二つの層の射$G\to x_*A$が$\varphi$との合成で一致するので、$\varphi$はエピ射ではない。

主張 (4)は、茎の単射性・全射性と同型判定による。▨

証明.主張 (1)を示す。射への対応と恒等射・合成の保存は§E20.1 系 2.8による。二つの表示した写像が同型であることは§E20.1 定理 2.7による。層の射$\varphi$について$\widehat{\varphi(s)}=\operatorname{Et}(\varphi)\widehat s$なので第一の同型は自然である。$X$上の連続写像$h:E\to E'$に対し、$\Gamma(h)$は$s\mapsto h\circ s$であるから、芽を評価する第二の同型も$h$と可換である。

主張 (2)は§E20.1 命題 3.6により、構成と二つの同型が加法を保つことから従う。▨

証明.§E20.1 定理 3.2 (2)により各$\eta_P$の普遍性を得て、§E20.1 定理 3.2 (4)により射の対応を得る。普遍性の一意性から両変数の自然性を得るので随伴となる。層における単位の同型性は§E20.1 定理 3.2 (3)により、余単位はその逆である。アーベル群については§E20.1 命題 3.6 (4)により、普遍性の射も準同型である。▨

証明.定理 6.2により終域と包含関手は同じである。二つの単位の普遍性によって両方向の射を定めると、合成は単位上で恒等射と一致するので、一意性により恒等射である。射についての自然性も同じ一意性による。▨

証明.定理 2.3と系 9.3により余極限の構成を得る。表示の射は余単位による同一視を明示した余錐である。層化は包含の左随伴、層の茎は命題 7.1 (3)の左随伴なので、いずれも余極限を保つ。▨

証明.定理 2.3の有限極限保存を系 9.3の自然同型で移す。モノ射の核対による判定から単射の保存を得る。標準射$(\lim_kP_k)^+\to\lim_kP_k^+$の各茎は、層化が茎を変えないことと茎の有限極限保存により、$\lim_k(P_k)_x$の恒等写像に同一視される。この同一視は極限の射影と層化単位の自然性から定まる。▨