群の層と torsor | 層論 I

定義 1.1. $G$ を位相空間 $X$ 上の群の層、 $\mathcal U=(U_i)_{i\in I}$ を開被覆とする。交わりの上の等式では制限記号を省く。

切断の族 $g=(g_{ij})$ 、 $g_{ij}\in G(U_i\cap U_j)$ が、すべての三重の交わりで $g_{ik}=g_{ij}g_{jk}$ を満たすとき、 $g$ を一次コサイクル (one-cocycle) といい、その全体を $Z^1(\mathcal U;G)$ と書く。
$h=(h_i)\in\prod_iG(U_i)$ に対し $(g^h)_{ij}=h_i^{-1}g_{ij}h_j$ とおく。 $g'=g^h$ となる $h$ が存在するとき、 $g,g'$ は捻り共役 (twisted conjugate) であるという。
捻り共役の類の集合を $H^1(\mathcal U;G)$ と書く。すべての成分が単位元であるコサイクル $1$ の類を基点とする。

補題 1.2. $G$ を位相空間 $X$ 上の群の層、 $\mathcal U$ を $X$ の開被覆とする。このとき、次が成り立つ。

一次コサイクルは $g_{ii}=1$ 、 $g_{ji}=g_{ij}^{-1}$ を満たす。
$(g,h)\mapsto g^h$ は $\prod_iG(U_i)$ の $Z^1(\mathcal U;G)$ への右作用であり、捻り共役の類はその軌道である。

証明.主張 (1)と主張 (2)の証明は演習とする（問題 5.1）。▨

命題 1.3. $\mathcal V=(V_k)_{k\in K}$ を $\mathcal U$ の細分とする。このとき、次が成り立つ。

細分射 $\lambda\colon K\to I$ に対する $(\lambda^*g)_{kl}=g_{\lambda(k)\lambda(l)}|_{V_k\cap V_l}$ は、基点付き写像 $H^1(\mathcal U;G)\to H^1(\mathcal V;G)$ を定める。
この写像は細分射によらない。これを $\rho_{\mathcal V\mathcal U}$ と書く。
$\rho_{\mathcal U\mathcal U}=\mathrm{id}$ 、 $\rho_{\mathcal W\mathcal V}\rho_{\mathcal V\mathcal U}=\rho_{\mathcal W\mathcal U}$ が成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。制限は積と可換なので、 $\lambda^*g$ はコサイクルであり、 $\lambda^*(g^h)=(\lambda^*g)^{\lambda^*h}$ である。

主張 (2)を示す。二つの細分射 $\lambda,\mu$ に対し $h_k=g_{\lambda(k)\mu(k)}|_{V_k}$ とおく。コサイクル条件により

h_k^{-1}g_{\lambda(k)\lambda(l)}h_l =g_{\mu(k)\lambda(k)}g_{\lambda(k)\lambda(l)}g_{\lambda(l)\mu(l)} =g_{\mu(k)\mu(l)}

となるので、両者は同じ類を与える。

主張 (3)の恒等則と合成則は、恒等細分射と細分射の合成を用いて従う。▨

補題 1.4.§E20.3 補題 2.1の集合 $\operatorname{Cov}(X)$ に対して、

\bigsqcup_{\mathcal U\in\operatorname{Cov}(X)}H^1(\mathcal U;G)

の二元 $\xi,\xi'$ が像が一致する共通細分が存在することを $\xi\sim\xi'$ と書く。このとき、関係 $\sim$ は同値関係であり、各被覆の基点は同じ同値類に属する。添字つきの被覆 $\mathcal U$ と元の集合による被覆 $|\mathcal U|$ の間の細分写像は互いに逆な全単射である。

証明. 反射性と対称性は定義から従う。 $\xi\sim\xi'$ と $\xi'\sim\xi''$ を与える二つの共通細分に対して、§E20.3 補題 2.1 (1)によりさらに共通細分を取る。細分写像の合成則により、そこで三元の像が一致するので推移性も従う。細分写像は基点を保ち、任意の二つの被覆には共通細分があるので、基点の類は一致する。 $\mathcal U$ と $\lvert\mathcal U\rvert$ は互いに他の細分であり、合成則から両方向の写像が互いに逆になる。▨

定義 1.5.

補題 1.4の商集合を $\check H^1(X;G)$ と書き、 $G$ に係数をもつ一次 Čech コホモロジー (first Čech cohomology) という。各被覆の基点の共通の類を基点とする。
添字つきの開被覆 $\mathcal U$ に対し、 $\xi\in H^1(\mathcal U;G)$ を $\rho_{|\mathcal U|\mathcal U}(\xi)$ の類へ送る写像を $\kappa_{\mathcal U}$ と書き、標準写像 (canonical map) という。

補題 1.6. $G$ を位相空間 $X$ 上の群の層とする。このとき、次が成り立つ。

添字つきの開被覆 $\mathcal V$ が $\mathcal U$ の細分ならば、 $\kappa_{\mathcal V}\rho_{\mathcal V\mathcal U}=\kappa_{\mathcal U}$ である。
$\kappa_{\mathcal U}(\xi)=\kappa_{\mathcal U'}(\xi')$ であるための必要十分条件は、 $\xi,\xi'$ の像が一致する共通細分が存在することである。
$\check H^1(X;G)$ の各元 $\eta$ に対して、 $\eta=\kappa_{\mathcal U}[g]$ を満たす開被覆 $\mathcal U$ と $g\in Z^1(\mathcal U;G)$ が存在する。

証明.主張 (1)、主張 (2)、主張 (3)を示す。集合としての被覆では、いずれも商集合の定義と細分写像の合成則による。添字つきの被覆は補題 1.4の全単射を経て集合としての被覆へ移す。二つの元の像が一致する被覆は、もとの二つの被覆の共通細分でもある。▨

命題 1.7. 群の層の準同型 $\varphi\colon G\to H$ に対して、次が成り立つ。

成分ごとの写像 $g\mapsto(\varphi(g_{ij}))$ は基点付き写像 $H^1(\mathcal U;G)\to H^1(\mathcal U;H)$ を定め、細分写像と可換である。
これらは標準写像と両立する基点付き写像 $\varphi_*\colon\check H^1(X;G)\to\check H^1(X;H)$ を定める。この対応は恒等射と合成を保つ。

証明.主張 (1)と主張 (2)を示す。 $\varphi(g_{ij}g_{jk})=\varphi(g_{ij})\varphi(g_{jk})$ 、 $\varphi(g^h)=\varphi(g)^{\varphi(h)}$ であり、 $\varphi$ は制限と可換である。したがって被覆上の写像が定まり、共通細分で像が一致するという関係も保つので補題 1.6により全体の写像が定まる。恒等射と合成は各成分で保たれる。▨

定義 2.1. 群の層 $G$ に対する右 $G$ -torsor (torsor) とは、集合の層 $P$ と、制限と可換な各開集合上の右作用 $P(U)\times G(U)\to P(U)$ の組で、次の条件を満たすものをいう。

各点は $P(U)\ne\varnothing$ となる開近傍 $U$ をもつ。
$P(U)\ne\varnothing$ ならば $G(U)$ の $P(U)$ への作用は自由かつ推移的である。

作用と可換な集合の層の射を torsor の射 (morphism of torsors) という。 $G$ 自身に右乗法で作用させた torsor を自明な torsor (trivial torsor) という。

命題 2.2. $G$ を位相空間 $X$ 上の群の層、 $P$ を右 $G$ -torsor とする。このとき、次が成り立つ。

定義の自由推移性は、 $s\in P(U)$ ごとに $g\mapsto s\cdot g$ が層の同型 $G|_U\to P|_U$ を与えるための必要十分条件である。
torsor の射は同型である。
$P$ が自明な torsor と同型であるための必要十分条件は $P(X)\ne\varnothing$ である。 $s\in P(X)$ は同型 $G\to P$ 、 $g\mapsto s\cdot g$ を与える。
開集合 $U$ 上の制限 $P|_U$ は右 $G|_U$ -torsor である。

証明.主張 (1)を示す。 $s\in P(U)$ を固定すると、各開集合 $V\subseteq U$ で $s|_V\in P(V)$ である。自由推移性は $G(V)\to P(V)$ 、 $g\mapsto s|_V\cdot g$ が全単射であることにほかならず、これらは制限と可換なので層の同型を与える。逆に層の同型ならば $V=U$ で自由推移性が従う。

主張 (2)を示す。torsor の射 $\chi\colon P\to P'$ は、 $P$ の局所切断 $s$ と $P'$ の切断 $\chi(s)$ による自明化のもとで恒等写像に対応する。したがって局所的に同型であり、§E20.1 定理 4.4 (3)により同型である。

主張 (3)は主張 (1)を $U=X$ に適用することと、自明な torsor が単位元の切断をもつことによる。

主張 (4)を示す。層の条件と局所切断の存在と自由推移性をそのまま開部分空間へ制限する。▨

補題 2.3. 右 $G$ -torsor $P$ について次が成り立つ。

開被覆 $\mathcal U$ と $s_i\in P(U_i)$ に対し、 $s_j=s_i\cdot g_{ij}$ を満たす族 $g(P,s)$ が一意に存在し、一次コサイクルである。 $h\in\prod_iG(U_i)$ に対して $g(P,(s_ih_i))=g(P,s)^h$ であり、torsor の同型 $\chi:P\to P'$ について $g(P',\chi(s))=g(P,s)$ である。
細分射 $\lambda$ に対し $(\lambda^*s)_k=s_{\lambda(k)}|_{V_k}$ とおくと、 $g(P,\lambda^*s)=\lambda^*g(P,s)$ である。
各元の上で $P$ が切断をもつ開被覆が存在し、 $\kappa_{\mathcal U}[g(P,s)]$ は被覆と切断によらず、 $P$ の同型類だけで定まる。

証明.主張 (1)を示す。自由推移性により $g_{ij}$ が一意に存在する。三重の交わりで

s_k=s_j\cdot g_{jk}=s_i\cdot(g_{ij}g_{jk})

なので、自由性により $g_{ik}=g_{ij}g_{jk}$ である。切断を $s_i h_i$ に替えると、 $(s_i h_i)(h_i^{-1}g_{ij}h_j)=s_jh_j$ となる。同変な同型を作用させてもこの等式は保たれる。

主張 (2)を示す。制限した等式の一意性から主張 (2)が従う。

主張 (3)を示す。局所切断の存在は torsor の定義による。二組の被覆と切断を交わりによる共通細分へ制限すると、そこで二つの切断族は一意な $h_i$ によって関係づけられる。主張 (1)と補題 1.6 (1)により、 $\check H^1(X;G)$ での類は同じである。▨

定義 2.4.補題 2.3 (3)で得られる元を $[P]\in\check H^1(X;G)$ と書き、torsor $P$ の類という。

定義 2.5. $g\in Z^1(\mathcal U;G)$ に対し、開集合 $V$ ごとに

P_g(V)=\left\{(t_i)\in\prod_iG(V\cap U_i)\ \middle|\ t_i=g_{ij}t_j\text{ on }V\cap U_i\cap U_j\right\}

とおき、成分ごとの制限と右作用 $(t_i)\cdot a=(t_i\,a|_{V\cap U_i})$ を与える。 $U_j$ 上の族 $(g_{ij})_i$ を $e_j^g$ と書く。

補題 2.6. $G$ を位相空間 $X$ 上の群の層、 $\mathcal U$ を $X$ の開被覆、 $g\in Z^1(\mathcal U;G)$ とする。このとき、次が成り立つ。

$P_g$ は右 $G$ -torsor であり、 $e_j^g\in P_g(U_j)$ 、 $e_j^g=e_i^g\cdot g_{ij}$ が成り立つ。したがって $g(P_g,e^g)=g$ である。
$g=g(P,s)$ ならば、 $p|_{V\cap U_i}=s_i\cdot t_i$ で定まる族 $(t_i)$ を $p\in P(V)$ に対応させる写像は、 $s_j$ を $e_j^g$ へ送る torsor の同型 $P\to P_g$ である。

証明.主張 (1)を示す。成分は層の切断なので、一致する局所的な族は成分ごとに一意に貼り合わさる。関係 $t_i=g_{ij}t_j$ は局所性により貼り合わせの後にも成り立つ。したがって $P_g$ は層である。コサイクル条件から $e_j^g$ がその切断であり、 $e_j^g=e_i^g g_{ij}$ である。

二つの切断 $t,t'\in P_g(V)$ に対し、 $t_i^{-1}t_i'$ は交わりで

t_i^{-1}t_i'=(g_{ij}t_j)^{-1}(g_{ij}t_j')=t_j^{-1}t_j'

を満たす。よって一意な $a\in G(V)$ に貼り合わさり、 $t'=t\cdot a$ となる。したがって作用は自由推移的である。

主張 (2)を示す。 $t_i$ は自由推移性によって一意に定まり、 $s_it_i=s_jt_j=s_ig_{ij}t_j$ から $t_i=g_{ij}t_j$ である。対応は制限および作用と可換なので torsor の射であり、命題 2.2 (2)により同型である。 $p=s_j$ を代入すると $t_i=g_{ij}$ である。▨

定理 2.7. $G$ を位相空間 $X$ 上の群の層とする。このとき、次が成り立つ。

$\mathcal U$ の各元の上で切断をもつ右 $G$ -torsor の同型類は、 $P\mapsto[g(P,s)]$ により $H^1(\mathcal U;G)$ と一対一に対応する。逆対応は $[g]\mapsto[P_g]$ であり、自明な torsor が基点に対応する。
$\mathcal V$ を $\mathcal U$ の細分とする。 $\mathcal U$ の各元の上で切断をもつ torsor は $\mathcal V$ の各元の上でも切断をもつ。この包含は、上の対応のもとで細分写像 $\rho_{\mathcal V\mathcal U}$ に対応する。
$P\mapsto[P]$ は右 $G$ -torsor の同型類の全体と $\check H^1(X;G)$ の全単射を与え、自明な torsor を基点へ送る。

証明.主張 (1)を示す。切断と同型類の代表についての独立性は補題 2.3による。補題 2.6 (1)により $g(P_g,e^g)=g$ であるので、この対応は全射である。二つの切断族のコサイクルが捻り共役ならば、一方の切断を取り替えて同じコサイクルにすることができる。補題 2.6 (2)により両 torsor は同じ $P_g$ と同型なので、単射でもある。自明な torsor の単位元の切断はコサイクル $1$ を与える。

主張 (2)を示す。補題 2.3 (2)により成り立つ。

主張 (3)を示す。全体の対応の全射性は補題 1.6 (3)と $P_g$ の構成から従う。二つの類が全体で等しければ、補題 1.6 (2)によって共通細分で等しくなるので、主張 (1)の単射性を適用する。▨

系 2.8. $G$ を位相空間 $X$ 上の群の層、 $\mathcal V$ を $X$ の添字つきの開被覆 $\mathcal U$ の細分とする。このとき、細分写像 $\rho_{\mathcal V\mathcal U}:H^1(\mathcal U;G)\to H^1(\mathcal V;G)$ と標準写像 $\kappa_{\mathcal U}:H^1(\mathcal U;G)\to\check H^1(X;G)$ は単射である。標準写像の像は、 $\mathcal U$ の各元で切断をもつ torsor の類の全体である。

証明.定理 2.7の対応のもとで、両写像は指定された被覆上で切断をもつ torsor の同型類の集合の包含である。▨

命題 2.9. 連続写像 $f\colon Y\to X$ と $X$ 上の群の層 $G$ に対し、次が成り立つ。

$f^{-1}G$ は群の層であり、右 $G$ -torsor $P$ の逆像 $f^{-1}P$ は引き戻した作用によって右 $f^{-1}G$ -torsor である。
コサイクルの引き戻し $(g_{ij})\mapsto(f^*g_{ij})$ は基点付き写像 $f^*\colon\check H^1(X;G)\to\check H^1(Y;f^{-1}G)$ を定め、 $f^*[P]=[f^{-1}P]$ である。
逆像の標準同型のもとで、引き戻しは恒等写像と合成を保ち、係数の準同型と可換である。

証明.主張 (1)を示す。逆像は§E20.1 命題 5.5により積と群演算を保つ。 $s_i$ による自明化 $G|_{U_i}\cong P|_{U_i}$ を引き戻すと、 $f^*s_i$ による $f^{-1}U_i$ 上の自明化を得る。したがって局所切断の存在と自由推移性が成り立つ。

主張 (2)を示す。引き戻しは積と制限を保つので、コサイクル、捻り共役、細分後の等号を保つ。したがって標準写像を介して主張 (2)の写像が定まる。 $f^*s_j=f^*s_i\cdot f^*g_{ij}$ から、この写像は torsor の逆像に対応する。

主張 (3)は問題 5.2で証明する。▨

定義 3.1. 群の層の準同型の列 $1\to A\xrightarrow{\iota}B\xrightarrow{\pi}C\to1$ が群の層の短完全列 (short exact sequence of sheaves of groups) であるとは、各開集合 $U$ で $\iota_U$ が単射かつ $\iota_U(A(U))=\ker\pi_U$ であり、すべての茎で $\pi_x$ が全射であることをいう。 $A$ を $B$ の部分層と同一視する。基点付き集合の列の完全性は§E7.39 定義 3.1の意味で用い、切断の群には単位元を基点として入れる。

命題 3.2. 群の層の短完全列 $1\to A\to B\xrightarrow{\pi}C\to1$ に対し、次が成り立つ。

$c\in C(X)$ について $P_c(U)=\{b\in B(U)\mid\pi(b)=c|_U\}$ とおくと、 $B$ の右乗法を $A$ へ制限した作用によって $P_c$ は右 $A$ -torsor である。
$\delta(c)=[P_c]$ とおくと、 $\delta\colon C(X)\to\check H^1(X;A)$ は基点付き写像である。局所的な持ち上げ $b_i\in B(U_i)$ 、 $\pi(b_i)=c|_{U_i}$ を取ると、 $\delta(c)$ はコサイクル $(b_i^{-1}b_j)$ の類である。

証明.主張 (1)を示す。 $P_c$ の局所切断は§E20.1 定理 4.4 (2)により存在する。 $B$ の局所切断の貼り合わせは方程式 $\pi(b)=c$ を保つので $P_c$ は層である。二つの持ち上げ $b,b'$ の比 $b^{-1}b'$ は $\ker\pi_U=A(U)$ に属するので、作用は自由推移的である。

主張 (2)を示す。 $c=1$ ならば $P_c=A$ なので基点を保つ。局所切断 $b_i$ に対して $b_j=b_i(b_i^{-1}b_j)$ であるので、 $\delta(c)$ はコサイクル $(b_i^{-1}b_j)$ の類である。▨

定理 3.3. $X$ を位相空間、 $1\to A\xrightarrow{\iota}B\xrightarrow{\pi}C\to1$ を $X$ 上の群の層の短完全列とし、 $\delta$ を命題 3.2 (2)の写像とする。このとき、基点付き集合の列

1\longrightarrow A(X)\longrightarrow B(X)\longrightarrow C(X) \xrightarrow{\delta}\check H^1(X;A)\xrightarrow{\iota_*}\check H^1(X;B) \xrightarrow{\pi_*}\check H^1(X;C)

は完全である。

証明. $A(X),B(X)$ での完全性は定義による。 $\delta(c)$ が基点であるための必要十分条件は、命題 2.2 (3)により $P_c(X)\ne\varnothing$ であり、これは $c$ が $B(X)$ の像に属することに等しい。

$[a]\in\check H^1(X;A)$ を被覆上のコサイクルで表す。 $\iota_*[a]$ が基点ならば、系 2.8によりその被覆上で $a_{ij}=b_i^{-1}b_j$ と書くことができる。 $\pi(b_i)=\pi(b_j)$ なので局所切断 $\pi(b_i)$ は $c\in C(X)$ に貼り合わさり、 $[a]=\delta(c)$ となる。逆にこの形のコサイクルは $B$ で捻り共役により $1$ となる。

$[z]\in\check H^1(X;B)$ の像が基点ならば、系 2.8により $\pi(z_{ij})=c_i^{-1}c_j$ と書くことができる。各 $c_i$ を局所的に持ち上げ、得られる近傍による細分上で $\pi(b_i)=c_i$ とする。この細分では

z'_{ij}=b_i z_{ij}b_j^{-1}

は $A$ に値をもち、 $z'=z^{b^{-1}}$ なので同じ類を与える。逆に $A$ に値をもつコサイクルは $C$ で $1$ へ写る。したがって $\check H^1(X;B)$ での完全性が成り立つ。▨

例 3.4. 連続写像 $f\colon X\to\Uni(1)$ に対し、指数列 $0\to\Z_X\to C(-,\R)\to C(-,\Uni(1))\to0$ と連続写像 $f:X\to\Uni(1)$ に対し、命題 3.2 (1)の $P_f(U)$ は $f|_U$ の連続な対数の全体である。対数 $g$ と切断 $x\mapsto(x,g(x))$ の対応により、 $P_f$ は引き戻した指数被覆

\{(x,t)\in X\times\R\mid f(x)=e^{2\pi it}\}\longrightarrow X

の切断の層である。したがって $\delta(f)$ は局所対数のなす $\Z_X$ -torsor の類である。 $X=S^1$ 、 $f=\mathrm{id}$ では§E20.2 命題 3.3により大域対数が存在しないので、 $\delta(\mathrm{id})$ は基点でない。

命題 3.5. $A$ をアーベル群の層とし、演算を加法で書く。

本記事の $Z^1(\mathcal U;A)$ は Čech 複体の一次コサイクルの群である。
$g^h=g+\delta h$ である。したがって本記事の $H^1(\mathcal U;A)$ は§E20.3 定義 1.1の群の台集合と同じであり、基点は零元である。
両者の細分写像は一致する。
本記事の $\check H^1(X;A)$ は標準写像と両立する全単射によって§E20.3 定義 2.2の群の台集合と同一視される。共通細分上でのコサイクルの和は、この集合に同じ群構造を与える。
この同一視は係数の射による写像と可換である。
この同一視は連続写像による引き戻しと可換である。アーベル群の Čech コホモロジー側では、切断の引き戻し $A\to f_*f^{-1}A$ による写像を用いる。
$X$ がパラコンパクトな Hausdorff 空間ならば、アーベル群の層の短完全列の $\delta$ は§E20.4 定理 2.1の $\partial\colon C(X)\to\check H^1(X;A)$ と一致し、定理 3.3はその長完全列の最初の六項である。

証明.主張 (1)、主張 (2)、主張 (3)を示す。コサイクル条件は $g_{jk}-g_{ik}+g_{ij}=0$ 、捻り共役の式は $(g^h)_{ij}=-h_i+g_{ij}+h_j=g_{ij}+(\delta h)_{ij}$ となる。細分写像も同じ成分の制限である。

主張 (4)を示す。§E20.3 補題 2.1 (1)により、被覆の前順序は比較可能な二元の間に唯一の射を置くことで§E6.9 定義 8.1の条件を満たす。§E6.9 定理 8.4の元の表示と等号判定により、帰納極限の群の台集合は本記事の商集合と一致する。二元を共通細分上で表すと、構造写像が準同型であるため、その和はコサイクルの和で表される。

主張 (5)と主張 (6)を示す。係数の射と連続写像による引き戻しは、どちらの構成でも同じ成分ごとの操作なので一致する。

主張 (7)を示す。 $c\in C(X)$ の局所的な持ち上げ $b_i$ に対して、§E20.4 定理 2.1 (2)により $\partial c$ は差 $b_j-b_i$ の類である。これは命題 3.2 (2)を加法で書いた式に等しい。▨

定義 4.1. 群の層の短完全列 $1\to A\xrightarrow{\iota}\widehat G\xrightarrow{\pi}G\to1$ で、各開集合 $U$ に対し $\iota(A(U))$ が $\widehat G(U)$ の中心に含まれるものを中心拡大 (central extension) という。 $\iota$ の単射性と中心性により $A$ はアーベル群の層である。その演算を加法で書く。二つの中心拡大 $1\to A\xrightarrow{\iota}\widehat G\xrightarrow{\pi}G\to1$ と $1\to A'\xrightarrow{\iota'}\widehat G'\xrightarrow{\pi'}G'\to1$ に対し、準同型 $\alpha:A\to A'$ 、 $\widehat\varphi:\widehat G\to\widehat G'$ 、 $\varphi:G\to G'$ の組で $\widehat\varphi\iota=\iota'\alpha$ と $\varphi\pi=\pi'\widehat\varphi$ を満たすものを中心拡大の射 (morphism of central extensions) という。

定理 4.2. $X$ をパラコンパクトな Hausdorff 空間とし、中心拡大 $1\to A\to\widehat G\to G\to1$ とコサイクル $g\in Z^1(\mathcal U;G)$ を考える。このとき、次が成り立つ。

$\lambda^*g$ の各成分を $\widehat G$ の切断 $\widehat g_{xy}$ へ持ち上げることができる細分 $\mathcal W$ と細分射 $\lambda$ が存在する。
等式 $\iota(a_{xyz})=\widehat g_{xy}\widehat g_{yz}\widehat g_{xz}^{-1}$ によって定まる $A$ 値の余鎖 $a$ は二次コサイクルである。その $\check H^2(X;A)$ における類は、持ち上げ、細分、細分射、元のコサイクルの代表によらず、 $\kappa_{\mathcal U}[g]$ だけで定まる。これを $\Delta(\kappa_{\mathcal U}[g])$ と書き、障害類 (obstruction class) という。
$\Delta$ は基点付き写像であり、 $\check H^1(X;\widehat G)\xrightarrow{\pi_*}\check H^1(X;G)\xrightarrow{\Delta}\check H^2(X;A)$ は完全である。
$\Delta$ は中心拡大の射、およびパラコンパクトな Hausdorff 空間の間の連続写像による引き戻しと可換である。

証明.主張 (1)を示す。§E20.4 命題 1.4を $n=1$ で適用する。長さ $1$ の列に対する切断には単位元を与え、長さ $2$ の列 $ij$ に対する切断には $g_{ij}$ を与えると、 $g$ の各成分の持ち上げを同時に得る。空の交わりでは層の唯一の切断を用いる。

主張 4.2.1. 固定した被覆上で、 $G$ 値のコサイクルを持ち上げる族 $\widehat\gamma_{ij}$ によって $a(\widehat\gamma)$ を主張 (2)の等式で定める。

$a(\widehat\gamma)$ は $A$ 値の二次コサイクルである。
持ち上げを $\iota(b_{ij})\widehat\gamma_{ij}$ に替えると、 $a$ は $a+\delta b$ に替わる。同じコサイクルの持ち上げはすべてこの形である。
$a$ の構成は細分射による引き戻しと可換である。
$\widehat\gamma_{ij}$ を $\widehat h_i^{-1}\widehat\gamma_{ij}\widehat h_j$ に替えても $a$ は変わらない。

証明.主張 4.2.1 (1)を示す。 $G$ への像は $\gamma_{ij}\gamma_{jk}\gamma_{ik}^{-1}=1$ なので、積は一意に $\iota(a_{ijk})$ と書かれる。四重の交わりで $\widehat\gamma_{ij}\widehat\gamma_{jk}\widehat\gamma_{kl}$ を二通りに結合すると、中心性により

\iota(a_{ijk}+a_{ikl})\widehat\gamma_{il} =\iota(a_{jkl}+a_{ijl})\widehat\gamma_{il}

となる。 $\iota$ の単射性から $(\delta a)_{ijkl}=a_{jkl}-a_{ikl}+a_{ijl}-a_{ijk}=0$ である。

主張 4.2.1 (2)を示す。中心の元を集めると

a'_{ijk}=a_{ijk}+b_{ij}+b_{jk}-b_{ik}=a_{ijk}+(\delta b)_{ijk}

となる。同じ $G$ 値の切断を持ち上げる二元の比は $\ker\pi=\iota(A)$ に属するので、すべての変更がこの形である。

主張 4.2.1 (3)を示す。制限が群演算と可換であるため主張 4.2.1 (3)が従う。

主張 4.2.1 (4)を示す。最後の場合の積は $\widehat h_i^{-1}\iota(a_{ijk})\widehat h_i=\iota(a_{ijk})$ となるので主張 4.2.1 (4)も従う。▨

主張 (2)を示す。二組の構成が同じ $\check H^1(X;G)$ の元から得られたとする。共通細分へ移ると、補題 1.6 (2)により二つの $G$ 値のコサイクルは $\gamma'=\gamma^h$ と関係づけられる。さらに $h_i$ を局所的に持ち上げる細分を取り、 $\widehat h_i$ を選ぶ。主張の主張 4.2.1 (4)により $\widehat\gamma$ を $\widehat h^{-1}\widehat\gamma\widehat h$ に替えても $a$ は同じであり、取り替えた族は $\gamma'$ の持ち上げである。もう一方の持ち上げとの差は主張 4.2.1 (2)によって余境界である。細分との両立と§E20.3 補題 2.3により、帰納極限での二次の類は等しい。

主張 (3)を示す。 $\Delta[g]=0$ とする。§E20.3 命題 2.7 (4)により、 $a=\delta b$ を満たす細分と $b$ が存在する。そこで $\widehat g_{ij}$ を $\iota(-b_{ij})\widehat g_{ij}$ に替えると、主張の主張 4.2.1 (2)により $a$ は零に替わる。したがってこの族は $\widehat G$ 値のコサイクルであり、 $[g]$ を持ち上げる。逆に $\widehat g$ が $g$ を持ち上げる $\widehat G$ 値のコサイクルならば、 $a(\widehat g)=0$ である。単位コサイクルには単位元の持ち上げを選ぶことができるので $\Delta$ は基点を保つ。

主張 (4)を示す。中心拡大の射を持ち上げの族へ適用すると、障害余鎖にも同じ $A$ の射が適用される。連続写像の逆像についても、引き戻した族は引き戻したコサイクルを持ち上げ、障害余鎖は $f^*a$ となる。両空間のパラコンパクト性と Hausdorff 性により主張 (2)を $X$ と $Y$ の双方に適用することができ、自然性が従う。▨

定義 4.3. 中心拡大 $1\to A\xrightarrow{\iota}\widehat G\xrightarrow{\pi}G\to1$ と右 $G$ -torsor $P$ に対し、 $P$ の持ち上げ (lift of a torsor) とは、右 $\widehat G$ -torsor $\widehat P$ と、 $\varphi(\widehat p\cdot\widehat g)=\varphi(\widehat p)\cdot\pi(\widehat g)$ を満たす層の射 $\varphi\colon\widehat P\to P$ の組をいう。持ち上げの同型 (isomorphism of lifts) とは、 $\varphi'\psi=\varphi$ を満たす $\widehat G$ -torsor の同型 $\psi\colon\widehat P\to\widehat P'$ である。その同型類の集合を $\operatorname{Lift}(P)$ と書く。

定理 4.4. $X$ をパラコンパクトな Hausdorff 空間とし、中心拡大 $1\to A\xrightarrow{\iota}\widehat G\xrightarrow{\pi}G\to1$ と右 $G$ -torsor $P$ を固定する。このとき、次が成り立つ。

$(\widehat P,\varphi)\mapsto[\widehat P]$ の像は $\pi_*^{-1}([P])$ である。
$\operatorname{Lift}(P)$ が空でないための必要十分条件は $\Delta[P]=0$ である。
共通細分上で、持ち上げのコサイクル $\widehat g$ を $A$ 値の一次コサイクル $a$ との積 $\iota(a)\widehat g$ に替える操作は、 $\check H^1(X;A)$ の $\operatorname{Lift}(P)$ への作用を定める。
$\operatorname{Lift}(P)$ が空でなければ、この作用は自由かつ推移的である。

証明.

主張 4.4.1. $(\widehat P,\varphi)$ を $P$ の持ち上げとする。層の射 $\varphi:\widehat P\to P$ は局所的な持ち上げをもつ。同じ $s\in P(U)$ に写る二切断 $\widehat s,\widehat s'\in\widehat P(U)$ は、一意な $b\in A(U)$ によって $\widehat s'=\widehat s\cdot\iota(b)$ と書かれる。

証明. $P$ の切断 $s$ と $\widehat P$ の局所切断 $\widehat q$ を取る。局所的に $s=\varphi(\widehat q)\cdot h$ と書き、 $\pi$ の局所的な持ち上げにより $h=\pi(\widehat h)$ とすると、 $\widehat q\widehat h$ は $s$ を持ち上げる。二つの持ち上げの比は $\widehat G(U)$ の一意な元であり、その $G(U)$ への像は自由性から単位元である。したがってこの比は $\iota(A(U))$ に属する。▨

主張 4.4.2. $P$ の局所切断 $s_i$ のコサイクルを $g$ とする。このとき、次が成り立つ。

任意の持ち上げに対して、その上で $s_i$ を持ち上げる局所切断をもつ細分が存在し、そのコサイクル $\widehat g$ は $g$ を持ち上げる。
$g$ を持ち上げる $\widehat G$ 値のコサイクルは、 $P$ の持ち上げによって実現される。
二つの持ち上げが同型であるための必要十分条件は、共通細分上で対応する $g$ を持ち上げるコサイクルが $A$ 値の零次余鎖によって捻り共役になることである。

証明.主張 4.4.2 (1)を示す。主張 4.4.1を局所切断 $s_i$ に適用して $\varphi(\widehat s_i)=s_i$ とすると、 $\widehat s_j=\widehat s_i\widehat g_{ij}$ の像は $s_j=s_i\pi(\widehat g_{ij})$ である。よって $\pi(\widehat g_{ij})=g_{ij}$ となる。

主張 4.4.2 (2)を示す。 $P_{\widehat g}\to P_g$ を成分ごとの $\pi$ で定め、補題 2.6 (2)の同型 $P_g\to P$ を合成する。これは作用と両立するので持ち上げである。

主張 4.4.2 (3)を示す。持ち上げの同型 $\psi$ に対し、 $\psi(\widehat s_i)$ と $\widehat s_i'$ は同じ $s_i$ に写るので、主張 4.4.1により $\psi(\widehat s_i)=\widehat s_i'\iota(b_i)$ と書かれる。同変性から

\iota(b_i)\widehat g_{ij}=\widehat g'_{ij}\iota(b_j)

となるので、 $\widehat g'$ は $\widehat g$ を $-b$ で捻り共役にしたものである。逆にこの等式が成り立てば、 $\widehat s_i\widehat h\mapsto\widehat s_i'\iota(b_i)\widehat h$ は交わりで一致し、 $P$ への写像と可換な同型へ貼り合わさる。▨

主張 (1)を示す。持ち上げのコサイクルの像は $g$ なので、主張 (1)の像は $\pi_*^{-1}([P])$ に含まれる。逆に $\pi_*[\widehat P]=[P]$ ならば、共通細分で $\widehat P$ のコサイクルの像と $P$ のコサイクルが捻り共役になる。 $P$ の局所切断を替えて両者を一致させ、各自明化上の写像 $\widehat s_i\widehat h\mapsto s_i\pi(\widehat h)$ を貼り合わせると、 $\widehat P\to P$ が得られる。したがって主張 (1)が成り立つ。

主張 (2)は主張 (1)と定理 4.2 (3)の完全性による。

主張 (3)と主張 (4)を示す。二つの持ち上げを同じ $s_i$ の上で表し、 $\iota(a_{ij})=\widehat g'_{ij}\widehat g_{ij}^{-1}$ とおく。中心性と両コサイクルの条件から

a_{ik}=a_{ij}+a_{jk}

である。したがって差は $A$ 値の一次コサイクルとなる。持ち上げの局所切断を $A$ 値の零次余鎖で替えると、この差は余境界だけ変わる。逆に任意の $A$ 値のコサイクル $a$ について $\iota(a)\widehat g$ はコサイクルであり、 $g$ を持ち上げる。

被覆の細分は積 $\iota(a)\widehat g$ と差 $a$ を保つ。元の torsor の切断を $s_i h_i$ に替える場合には、さらに細分して $h_i$ を $\widehat h_i$ へ持ち上げ、両コサイクルを $\widehat h^{-1}\widehat g\widehat h$ 、 $\widehat h^{-1}\widehat g'\widehat h$ に替える。中心性により差 $a$ は変わらない。 $\widehat h_i$ の選択の違いは $A$ 値の零次余鎖による変更である。したがってコホモロジー類と持ち上げの同型類だけで操作が定まり、 $\iota(a+a')\widehat g=\iota(a)\iota(a')\widehat g$ から作用則が従う。任意の二つの持ち上げの差が一意なコホモロジー類となるので、作用は自由かつ推移的である。

主張 4.4.3. 二つの持ち上げの間の、 $P$ への写像と可換な $\widehat G$ -同変同型の層は、右 $A$ -torsor である。その類は上で得られた差 $[a]$ に等しい。

証明. 局所的な同型は、同じ $s_i$ を持ち上げる $\widehat s_i,\widehat s_i'$ を選び、前者を後者へ送ることで得られる。同型の貼り合わせは写像の貼り合わせであり、同変性と $P$ への可換性は局所的な条件なので層になる。二つの同型の差は各局所自明化で $A$ の元による右乗法であり、中心性により $\widehat G$ -同変である。局所的な差は一意性によって貼り合わさるので、作用は自由推移的である。

$\widehat s_i$ を $\widehat s_i'$ へ送る同型を $F_i$ とする。交わりでは

F_j(\widehat s_i)=\widehat s_i'\widehat g'_{ij}\widehat g_{ij}^{-1}=F_i(\widehat s_i)\iota(a_{ij})

となるので、 $F_j=F_i\cdot a_{ij}$ であり、この torsor のコサイクルは $a$ である。▨

▨

問題 5.1.補題 1.2を証明せよ。

問題 5.2.命題 2.9 (3)を証明せよ。

§E20.5群の層と torsor

1 一次 Čech コホモロジー

2 torsor の分類

3 短完全列とアーベル係数

4 中心拡大

5 演習

参考文献

前提記事