幾何的射 | 層論 I

1 幾何的射

定義 1.1. Grothendieck トポス $\mathcal E,\mathcal F$ の間の幾何的射 (geometric morphism) $f:\mathcal E\to\mathcal F$ とは、有限極限を保つ関手 $f^*:\mathcal F\to\mathcal E$ 、関手 $f_*:\mathcal E\to\mathcal F$ および随伴 $f^*\dashv f_*$ のデータである。 $f^*$ を逆像、 $f_*$ を順像という。幾何的射のデータとして、関手と随伴を与える構成を指定する。

恒等幾何的射は恒等関手の随伴である。 $g:\mathcal D\to\mathcal E$ との合成 $fg$ は、随伴の合成 $g^*f^*\dashv f_*g_*$ で定める。逆像の合成は有限極限を保つので、合成も幾何的射である。

定義 1.2. 幾何的射 $f:\mathcal E\to\mathcal F$ について、 $f^*$ が同型を反映するとき $f$ は全射 (surjective geometric morphism) であるという。 $f_*$ が充満忠実であるとき $f$ は幾何的包含 (geometric inclusion)、または単射であるという。ここでの単射は、圏の射のモノ射という意味ではない。

命題 1.3. 幾何的射の逆像はエピ射と有限極限を保つ。全射な幾何的射 $f$ の unit $\eta_A:A\to f_*f^*A$ はモノ射である。幾何的包含 $f$ の counit $\varepsilon_B:f^*f_*B\to B$ は同型である。

証明. 層のエピ射は、その核対の余等化子である。左随伴 $f^*$ は余等化子を保つので、エピ射を保つ。有限極限の保存は定義に含まれる。

有限極限を保つ保守的関手 $L$ はモノ射を反映する。実際、射 $a:A\to B$ がモノ射であることは対角射 $A\to A\times_BA$ が同型であるための必要十分条件であり、 $L$ はこの対角射を $L(a)$ の対角射へ移す。三角恒等式 $\varepsilon_{f^*A}f^*(\eta_A)=\mathrm{id}$ により $f^*(\eta_A)$ は分裂モノ射である。 $f$ が全射ならば、上の反映性から $\eta_A$ はモノ射である。最後の主張は§E9.10 命題 2.5の充満忠実な右随伴の判定による。▨

2 site の間の関手

定義 2.1. $V$ -小な site $(\mathcal C,J),(\mathcal D,K)$ の間の関手 $u:\mathcal C\to\mathcal D$ が連続 (continuous functor of sites) であるとは、前合成 $u^pP=P\circ u^{\mathrm{op}}$ が $K$ -層を $J$ -層に送ることをいう。 $u^p$ の $K$ -層の圏への制限を $u^s$ と書く。また、層の包含を $\iota$ 、 $K$ に関する層化を $a_K$ として、

u_s=a_K\operatorname{Lan}_{u^{\mathrm{op}}}\iota

と定める。 $u^s$ を順像、 $u_s$ を逆像という。左 Kan 拡張は集合の余極限の具体的な構成を各点の公式に適用して定める。アーベル群に値をとる場合にも、アーベル群の余極限と層化により同じ記号を用いる。

命題 2.2. $u:(\mathcal C,J)\to(\mathcal D,K)$ を $V$ -小な site の間の関手とする。 $\mathcal C,\mathcal D$ が pullback をもち、 $u$ が pullback を保ち、各 $U\in\mathcal C$ と各 $S\in J(U)$ について、射の族 $(u(f))_{f\in S}$ が生成する篩が $u(U)$ の $K$ -被覆篩であるとする。このとき、 $u$ は連続である。

証明. $K$ -層 $G$ をとる。§E20.9 命題 1.2により、 $u^pG$ の $S$ に対する層条件は

G(u(U))\longrightarrow\prod_{f\in S}G(u(\operatorname{dom}f)) \rightrightarrows\prod_{f,g\in S}G(u(\operatorname{dom}f\times_U\operatorname{dom}g))

が等化子であることに等しい。 $u$ が pullback を保つので、この図式は $G$ の被覆族 $(u(f))$ に対する層条件と一致する。 $S$ は射の集合の部分集合であるから、積の添字は $V$ -小である。空の篩では右辺の積が終対象となり、同じ議論が適用される。▨

定理 2.3. 連続な関手 $u:(\mathcal C,J)\to(\mathcal D,K)$ に対し $u_s\dashv u^s$ である。これは集合の層とアーベル群の層の両方で成り立つ。さらに $\mathcal C$ が有限極限をもち、 $u$ が有限極限を保つならば、 $u_s$ は有限極限を保つ。この場合、集合の層について、 $(u^s,u_s)$ は幾何的射 $\mathbf{Sh}(\mathcal D,K)\to\mathbf{Sh}(\mathcal C,J)$ を定める。

証明. 層 $F,G$ に対し、層化と Kan 拡張の随伴を合成すると、自然な全単射

\operatorname{Hom}(a_K\operatorname{Lan}_{u^{\mathrm{op}}}\iota F,G) \cong\operatorname{Hom}(\operatorname{Lan}_{u^{\mathrm{op}}}\iota F,\iota G) \cong\operatorname{Hom}(\iota F,u^p\iota G) \cong\operatorname{Hom}(F,u^sG)

を得る。最後の対応は包含の充満忠実性による。

有限極限の仮定のもとで、 $W\in\mathcal D$ における Kan 拡張は

(\operatorname{Lan}_{u^{\mathrm{op}}}P)(W) =\operatorname*{colim}_{(W\downarrow u)^{\mathrm{op}}}P(U)

である（§E9.15 定理 4.1）。 $W\downarrow u$ は余フィルター圏である。実際、 $W\to u(1)$ が対象を与え、二つの対象 $W\to u(U)$ 、 $W\to u(U')$ は $W\to u(U\times U')$ を経由する。平行射 $a,b:U\rightrightarrows U'$ で $u(a)h=u(b)h$ ならば、 $h$ は $u$ が保つ等化子を一意に経由する。したがって反対圏はフィルター圏である。§E9.13 定理 3.2により各点の Kan 拡張は有限極限を保つ。アーベル群の場合もフィルター余極限は台集合で計算されるので同じ結論を得る。包含と層化も有限極限を保つため、合成 $u_s$ は有限極限を保つ。▨

例 2.4. 群 $G$ の真部分群 $H$ に対し、包含 $i:\mathcal BH\to\mathcal BG$ をとり、両圏に最小の Grothendieck 位相を入れる。このとき、すべての前層が層なので $i$ は連続である。順像は右 $G$ -集合の作用を $H$ に制限する関手であり、逆像は $X\mapsto X\times_HG$ である。ここで $(x,g)\sim(xh,h^{-1}g)$ によって商をとり、右 $G$ -作用は第二成分の右乗法で定める。したがって $i_s(1)=H\backslash G$ は一点集合でなく、 $i_s$ は終対象を保たない。逆像の計算は問題 5.7 (1)で行う。

3 位相空間の順像と逆像

命題 3.1. 連続写像 $f:Y\to X$ に対し、 $u_f:\mathcal O(X)\to\mathcal O(Y)$ 、 $V\mapsto f^{-1}(V)$ は有限極限と被覆を保つ連続な関手である。集合またはアーベル群の層 $G$ の順像は

(f_*G)(V)=G(f^{-1}(V))

であり、 $u_f^s=f_*$ である。 $g:Z\to Y$ に対し $(fg)_*=f_*g_*$ 、 $(\mathrm{id}_X)_*=\mathrm{id}$ が成り立つ。 $f_*$ は $V$ -小な極限を保つ。

証明. 開集合の逆像は全空間、有限交叉、任意の合併を保つ。命題 2.2により $u_f$ は連続であり、前合成の式から $u_f^sG(V)=G(f^{-1}(V))$ を得る。逆像の合成の等式から順像の合成の等式を得る。層の極限は切断ごとに計算されるので、前合成 $f_*$ は極限を保つ。▨

命題 3.2. 一点空間 $\mathrm{pt}$ 上の層を $\mathrm{pt}$ における値へ送る関手は $\mathbf{Sh}(\mathrm{pt})\simeq\mathbf{Set}$ を与える。準逆は、集合 $S$ を $\mathrm{pt}$ 上で $S$ 、空集合上で一点集合をとる層へ送る。同様に $\mathbf{Sh}(\mathrm{pt};\mathbf{Ab})\simeq\mathbf{Ab}$ である。この同一視により、 $c_X:X\to\mathrm{pt}$ の順像は $\Gamma(X,-)$ 、 $i_x:\mathrm{pt}\to X$ の順像は摩天楼層の関手 $x_*$ である。

証明. 空被覆の層条件により、空集合上の値は終対象である。したがって指定した準逆との二つの合成は、恒等関手との間に、 $\mathrm{pt}$ 成分を恒等射、空集合成分を終対象の間の唯一の同型とする自然同型をもつ。大域切断と摩天楼層については順像の式を適用すればよい。▨

定義 3.3. 連続写像 $f:Y\to X$ と $X$ 上の層 $F$ に対し、前層の逆像と層の逆像を

(f^{-1}_{\mathrm{pre}}F)(U)=\operatorname*{colim}_{W\supseteq f(U)}F(W), \qquad f^{-1}F=a_Y(f^{-1}_{\mathrm{pre}}F)

で定める。添字は $X$ の開集合 $W$ を包含の逆で順序づけたものであり、 $X$ を含み、有限交叉で有向となる。層の射 $F\to F'$ への対応は、余極限と層化の関手性で定める。集合の層とアーベル群の層の両方で同じ定義を用いる。

定理 3.4. 連続写像 $f:Y\to X$ に対し $f^{-1}\dashv f_*$ である。unit の $V$ 成分は、 $s\in F(V)$ を $f^{-1}_{\mathrm{pre}}F(f^{-1}(V))$ における代表元 $(V,s)$ の層化での像へ送る。集合の層とアーベル群の層の両方で成り立つ。

証明.§E9.15 命題 7.1の各点の公式により、前層の逆像は $\operatorname{Lan}_{u_f^{\mathrm{op}}}$ である。定理 2.3を $u_f$ に適用すると随伴を得る。その unit は Kan 拡張の余極限への構造射と層化の unit の合成であり、記載した式となる。▨

命題 3.5. 連続写像 $f:Y\to X$ 、 $X$ 上の層 $F$ 、 $y\in Y$ と、定理 3.4の unit $\eta$ を考える。このとき、 $s_{f(y)}\mapsto(\eta(s))_y$ は自然な同型 $F_{f(y)}\cong(f^{-1}F)_y$ を定める。アーベル群の場合には群の同型である。

証明. 前層の逆像の茎の公式§E9.15 命題 7.2と、層化が茎を保つことを合成する。二つの同型はいずれも層の射について自然であり、アーベル群の場合は準同型である。▨

系 3.6. 連続写像 $f:Y\to X$ に対し、 $f^{-1}$ は $V$ -小な余極限と有限極限を保ち、アーベル群の層の完全列を完全列に送る。

証明. $f^{-1}$ は左随伴であるから余極限を保つ。有限極限は $u_f$ が有限極限を保つことと定理 2.3から保存される。具体的には各開集合 $U\subseteq Y$ で、比較射は

\operatorname*{colim}_{W\supseteq f(U)}\lim_kF_k(W) \longrightarrow\lim_k\operatorname*{colim}_{W\supseteq f(U)}F_k(W)

であり、空図式を含む有限図式について同型である。アーベル群の完全性は命題 3.5と茎による完全性の判定から従う。▨

例 3.7. $c:S^1\to\mathrm{pt}$ の順像は大域切断である。指数列の射 $h_{\R}\to h_{\Uni(1)}$ は層のエピ射であるが、大域切断の上での余核は $\Z$ である（§E20.2 命題 3.3）。したがって順像は一般にエピ射を保たない。

定理 3.8. 連続写像 $f:Y\to X$ と $X$ 上の層 $F$ に対し、エタール空間 $Y\times_X\operatorname{Et}(F)$ の切断による逆像を $f^{-1}_{\mathrm{et}}F$ と書く。このとき、unit $F\to f_*f^{-1}_{\mathrm{et}}F$ に随伴する射 $f^{-1}F\to f^{-1}_{\mathrm{et}}F$ は自然同型である。この同型のもとで、 $f^{-1}\dashv f_*$ と $f^{-1}_{\mathrm{et}}\dashv f_*$ の随伴の対応は一致し、茎の同型も一致する。随伴の対応を一致させる自然同型はこの同型だけである。集合の層とアーベル群の層の両方で成り立つ。

証明.§E20.1 定理 5.6により $f^{-1}_{\mathrm{et}}\dashv f_*$ である。左随伴の一意性§E9.10 命題 3.5を適用すると、指定した unit に随伴する射が一意な比較同型となる。茎の写像は、いずれも $s_{f(y)}$ を unit の像の $y$ における芽へ送るため一致する。各成分は unit と counit の合成で定まり、層の全体にわたる選択を用いない。▨

系 3.9. 連続写像 $g:Z\to Y$ 、 $f:Y\to X$ について $(fg)^{-1}\cong g^{-1}f^{-1}$ 、 $(\mathrm{id}_X)^{-1}\cong\mathrm{id}$ が自然に成り立つ。局所定数層の逆像は局所定数層である。二重被覆 $p_2:S^1\to S^1$ 、 $z\mapsto z^2$ の切断の層 $\mathcal E$ は $p_2^{-1}\mathcal E\cong\{1,-1\}_{S^1}$ を満たす。

証明. 随伴の合成により $g^{-1}f^{-1}\dashv f_*g_*=(fg)_*$ であるから、左随伴の一意性によって合成の同型を得る。恒等写像も同様である。局所定数性は§E20.1 命題 6.13とエタール空間による逆像との比較から従う。二重被覆の引き戻しでは $(y,\varepsilon)\mapsto(y,\varepsilon y)$ が二つの円の直和からファイバー積への同相写像を与えるので、切断の層は記載した定数層となる。▨

命題 3.10. 一点への写像 $c_Y:Y\to\mathrm{pt}$ の逆像は定数層の関手 $\Delta_Y$ と自然に同型である。したがって連続写像 $f:Y\to X$ と集合またはアーベル群 $S$ に対し $f^{-1}(S_X)\cong S_Y$ である。

証明. $\Delta_Y$ と $c_Y^{-1}$ はともに $\Gamma(Y,-)$ の左随伴であるから、一意な比較同型をもつ。後半は $c_Xf=c_Y$ と逆像の合成の同型による。▨

例 3.11. 一点空間の層 $S$ の前層としての逆像 $(c_Y)^{-1}_{\mathrm{pre}}S$ は、空でない開集合上で $S$ 、空集合上で一点集合をとる。 $S$ が二元以上をもち、 $Y$ が互いに交わらない二つの空でない開集合をもつならば、各開集合で異なる定数を指定した族は和集合上へ貼り合わさらない。したがって前層の逆像は層とは限らない。その層化は定数層 $S_Y$ である。

4 制限、摩天楼層および点

命題 4.1. 位相空間 $X$ の部分空間の包含 $i:A\hookrightarrow X$ と $X$ 上の層 $F$ に対し、 $F|_A=i^{-1}F$ を $F$ の $A$ への制限という。このとき、集合の層とアーベル群の層について次が成り立つ。

$(F|_A)_x\cong F_x$ であり、制限は有限極限と余極限を保つ。アーベル群の場合には完全である。また $\operatorname{Hom}(F|_A,G)\cong\operatorname{Hom}(F,i_*G)$ である。
$A$ が開ならば、 $F|_A$ は $W\subseteq A$ に $F(W)$ を対応させる層と自然に同型である。
$B\subseteq A$ について $(F|_A)|_B\cong F|_B$ である。
$\Gamma(A,F|_A)$ は、 $\operatorname{Et}(F)\to X$ の $A$ 上の連続な切断の集合と一対一に対応する。

証明.主張 (1)を示す。逆像の茎、完全性および随伴を $i$ に適用する。

主張 (2)を示す。 $A$ が開で $W\subseteq A$ が開ならば、 $W$ 自身が前層の逆像の余極限の添字の終対象なので、値は $F(W)$ となる。これはすでに層であるから主張 (2)を得る。

主張 (3)を示す。逆像の合成を適用する。

主張 (4)を示す。 $A\times_X\operatorname{Et}(F)\to A$ の切断と $A\to\operatorname{Et}(F)$ の $X$ 上の連続写像との対応、および定理 3.8による。▨

系 4.2. $x\in X$ について茎の関手と摩天楼層の関手は $(-)_x\dashv x_*$ を満たす。この随伴は $i_x^{-1}\dashv(i_x)_*$ と一致する。茎の関手は有限極限と余極限を保つが、一般に無限積を保たない。また $f:Y\to X$ 、 $y\in Y$ に対し $f_*(y_*A)=f(y)_*A$ である。

証明. 茎の同型を $i_x$ に適用すると $i_x^{-1}F\cong F_x$ を得る。この同型は unit の芽で与えられるので、摩天楼層への射と茎からの写像の既習の対応と一致する。無限積を保たない例は§E20.9 例 7.3である。最後の等式は $fi_y=i_{f(y)}$ と順像の合成の等式による。▨

命題 4.3. 層に茎の族 $(F_x)_{x\in X}$ を対応させる関手の右随伴は、族 $(A_x)_{x\in X}$ に $\prod_xx_*A_x$ を対応させる関手である。集合の層とアーベル群の層の両方で成り立つ。unit は $s\mapsto(s_x)_{x\in U}$ であり、各開集合 $U$ 上で単射である。

証明. 積の普遍性と茎の随伴を合成した自然な全単射

\operatorname{Hom}\left(F,\prod_xx_*A_x\right) \cong\prod_x\operatorname{Hom}(F,x_*A_x) \cong\prod_x\operatorname{Hom}(F_x,A_x)

を用いる。恒等写像の族に対応する射が unit であり、その式は芽をとる写像である。層の切断は各点の芽で決まるので単射である。空空間では空積を終対象とすれば同じ主張が成り立つ。▨

定義 4.4. Grothendieck トポス $\mathcal E$ の点 (point of a topos) とは、幾何的射 $x:\mathbf{Set}_V\to\mathcal E$ のことである。 $x^*$ をその点における茎の関手という。 $V$ -小な点の族 $(x_i)_{i\in I}$ について、その逆像の族が共同で同型を反映するとき、十分な点の族という。

命題 4.5. 十分な点の族はモノ射とエピ射も検出する。位相空間 $X$ の各点の茎と摩天楼層の随伴は $\mathbf{Sh}(X)$ の十分な点の族を与える。 $X=\varnothing$ では空の族が十分である。

証明. モノ射は対角射が同型であることで判定され、各逆像は有限極限を保つ。したがって十分な点の族はモノ射を検出する。射 $a:A\to B$ をエピ射とモノ射の合成 $A\to\operatorname{im}a\hookrightarrow B$ に分解すると、逆像はエピ射とモノ射を保つので、この分解を像分解へ送る。すべての点で $a$ が全射ならば、像の包含はすべての点で同型となり、元の包含も同型となる。よって $a$ はエピ射である。位相空間の場合には§E20.1 定理 4.4により同型の検出を得る。空空間の層の圏ではすべての射が同型である。▨

系 4.6. 連続写像 $f:Y\to X$ に付随する site の関手 $u_f$ は幾何的射を定め、その順像は $f_*$ 、逆像は $f^{-1}$ と自然に同型である。

証明.命題 3.1により順像が一致する。二つの逆像は同じ順像の左随伴であるから、左随伴の一意性により比較同型を得る。▨

5 演習

問題 5.1.

一点空間の層と集合の圏同値における、射への対応と二つの自然同型を記述せよ。

解答.

一点空間では、写像 $S\to T$ の空集合成分は一点集合の間の唯一の写像である。層の射の自然性はこの一意性から従う。評価後の準逆との比較は、全空間成分で恒等写像、空集合成分で唯一の同型となる。▨

問題 5.2.

例 3.11の前層の逆像を計算し、そのエタール空間から層化を求めよ。

解答.

前層の逆像の添字は、空でない $U$ では $\{\mathrm{pt}\}$ 、空集合では $\{\mathrm{pt},\varnothing\}$ であり、後者の終対象は $\varnothing$ である。したがって値はそれぞれ $S$ と一点集合である。各点の芽は $S$ であり、エタール空間は離散集合 $S$ との積 $Y\times S$ となる。その切断は局所定数写像 $Y\supseteq U\to S$ であるから、層化は $S_Y$ である。▨

問題 5.3.

$f_*(y_*A)=f(y)_*A$ と随伴を用いて $(f^{-1}F)_y\cong F_{f(y)}$ を導け。

解答.

随伴を合成して

\operatorname{Hom}((f^{-1}F)_y,A) \cong\operatorname{Hom}(f^{-1}F,y_*A) \cong\operatorname{Hom}(F,f(y)_*A) \cong\operatorname{Hom}(F_{f(y)},A)

を得る。 $A$ について自然な全単射なので、米田の補題から指定した同型を得る。▨

問題 5.4.

被覆篩の上方閉性と二つの被覆篩の共通部分の被覆性を、Grothendieck 位相の公理から示せ。

解答.

対象 $U$ 上の被覆篩に§E20.8 命題 2.3を適用する。 $S\subseteq T\subseteq h_U$ ならば上方閉性の項が $T$ の被覆性を与え、 $S,T\in J(U)$ ならば共通部分の項が $S\cap T$ の被覆性を与える。▨

問題 5.5.

被覆族上の整合的な族と、その生成する篩上の自然変換との対応を記述せよ。

解答.

被覆族を $(f_i:U_i\to U)$ 、その生成する篩を $S$ とする。族 $(s_i)$ の整合性とは、任意の共通の始域 $W$ と射 $h:W\to U_i$ 、 $h':W\to U_j$ について、 $f_ih=f_jh'$ ならば $P(h)(s_i)=P(h')(s_j)$ となる条件である。自然変換 $\alpha:S\to P$ に対し、族 $(\alpha(f_i))_i$ は自然性によりこの条件を満たす。逆に整合的な族から $\alpha_W(f_ih)=P(h)(s_i)$ と定めると、整合性によって値は分解に依存しない。射 $k:Z\to W$ に対し $P(k)P(h)(s_i)=P(hk)(s_i)$ であるから、 $\alpha$ は自然変換となる。生成射で評価すれば $P(\mathrm{id}_{U_i})(s_i)=s_i$ を得る。自然変換から出発した場合は、自然性の等式 $\alpha_W(f_ih)=P(h)(\alpha_{U_i}(f_i))$ により元の自然変換へ戻る。したがって二つの対応は互いに逆である。▨

問題 5.6.

plus 構成 $P^+$ が分離的であり、 $P$ が分離的ならば $P^+$ が層であることを、代表する整合的な族の共通細分から示せ。

解答.

問題の $P^+$ は、§E20.9 命題 2.2の $P^\dagger$ と同じ plus 構成である。同命題の分離性と層条件の項を適用すると、 $P^+$ は分離的であり、 $P$ が分離的ならば $P^+$ は層となる。代表する整合族の共通細分による同値関係は、この構成における同値関係そのものである。▨

問題 5.7.

群の包含の逆像を各点の Kan 拡張で計算せよ。

解答.

群の場合、Kan 拡張の添字の対象は $g\in G$ 、 $g$ から $g'$ への射は $g=hg'$ を満たす $h\in H$ である。図式の射は $x\mapsto xh$ なので、余極限の関係は $(x,g)\sim(xh,h^{-1}g)$ である。 $\mathcal BG$ の射に対応する写像は第二成分の右乗法である。よって $i_s(X)=X\times_HG$ であり、 $X=1$ ならば $H\backslash G$ となる。▨

§E20.10幾何的射

1 幾何的射

2 site の間の関手

3 位相空間の順像と逆像

4 制限、摩天楼層および点

5 演習

参考文献

前提記事