§E9.19アーベル圏

証明. 核のモノ性は等化子のモノ性（§E9.8 命題 4.1） による。$fx=gx$と$(f-g)x=0$は同値なので普遍性も一致する。モノ射の判定は$fx=fy$と$f(x-y)=0$の同値性による。零対象があれば、$0\to A$の核としての普遍性は、$f$によって零となる射が零射だけであることを述べる。余核とエピ射の主張は反対圏で得られる。▨

証明.$m=\ker g$とする。$gm=0$なので余核の普遍性から$g=g'c$と書くことができる。$cx=0$ならば$gx=g'cx=0$となり、$x$は$m$を一意に通る。$cm=0$と合わせて$m$は$c$の核である。双対は反対圏に移して得られる。▨

証明.§E9.18 命題 2.2により反対圏も加法圏である。等化子と余等化子の双対性および§E9.8 命題 1.2により、核と余核の存在の条件、およびモノ射とエピ射の条件は、それぞれ自分自身に移る。pullback と pushout の普遍性も矢印の反転によって互いに移る。▨

証明. 有限双積は加群の直和であり、核と余核の普遍性は§E6.2 命題 4.4による。命題 1.2により、核が零であることと単射性、余核が零であることと全射性が、それぞれモノ性とエピ性を特徴づける。単射は像による商の核である。全射は第一同型定理（§E6.2 定理 5.1） によって核の余核である。反対圏については命題 2.2を用いる。▨

証明.$q=\operatorname{coker}f$とすると$qf=0$なので、核の普遍性から$f=mt$と一意に分解する。$k=\ker f$に対し$mtk=0$であり、$m$のモノ性から$tk=0$となる。余核の普遍性により$t=\bar f e$と一意に分解する。モノ性とエピ性は命題 1.2による。▨

証明.$mgx=0$と$gx=0$はモノ性によって同値であり、核の普遍性が一致する。その余核を取ると余像も一致する。残る等式は反対圏で得られる。▨

証明.$k=\ker f$、$e=\operatorname{coker}k$とし、$f=te$と分解する。$v=\ker t$と$q=\operatorname{coker}v$を取ると$t=t'q$である。エピ射の合成$qe$の核は$k$である。実際、$qex=0$ならば$fx=t'qex=0$なので$x$は$k$を通る。逆に$fx=0$ならば$x$は$k$を通り、$ex=0$となる。

アーベル圏の公理と命題 1.3により、$qe$はその核$k$の余核である。$e$も$k$の余核なので、比較射$q$は同型である。$qv=0$から$v=0$となり、$t$の核は零対象である。よって$t$はモノ射である。再び命題 1.3と補題 3.2を用いると

となり、$t$は像の包含である。

任意のエピ・モノ分解$f=m'e'$について$\ker f=\ker e'$であり、$e'$はその核の余核である。したがって$e$と$e'$の比較同型$u$が一意に定まり、エピ性から$m'u=m$も従う。▨

証明.主張 (1)を示す。核と余核の零による判定は命題 1.2による。

主張 (2)を示す。モノ射がその余核の核であること、エピ射がその核の余核であることは、命題 1.3とアーベル圏の公理による。

主張 (3)を示す。モノ射かつエピ射である$f:A\to B$は$B\to0$の核なので、$\id_B$と同じ普遍性をもち同型である。

主張 (4)を示す。$c=\operatorname{coker}m$とおくと$cf=0$である。$c$は$\operatorname{coker}f$を通るので、像の包含を零にする。$m=\ker c$の普遍性から所要の分解を得る。▨

証明.$\operatorname{im}f=\ker g$の余核を取ると、補題 3.2により$\operatorname{coker}f=\operatorname{coker}(\ker g)$を得る。逆にこの商対象の一致があれば$\operatorname{coim}g$への射は$f$を零にするので$gf=0$である。両商射の核を取ると$\operatorname{im}f=\ker g$に戻る。反対圏では$\operatorname{im}(g^{\mathrm{op}})$と$\ker(f^{\mathrm{op}})$がそれぞれ余像と余核になる。▨

証明. 演習とする（問題 9.1）。▨

証明. 直積と等化子からの pullback の構成（§E9.6 命題 4.6） において、二射$fp_A,gp_B$の等化子を命題 1.2によって差の核と読む。pushout は反対圏に同じ構成を適用して得られる。▨

証明.$p_Ax=p_Ay$ならば$gp_Bx=fp_Ax=fp_Ay=gp_By$である。$g$がモノ射ならば$p_Bx=p_By$となり、pullback の一意性から$x=y$を得る。

アーベル圏で$g$をエピ射とし、$d=(f,-g):A\oplus B\to C$、$j=\ker d$と置く。$d$は$B$の入射との合成が$-g$なのでエピ射であり、系 3.4 (2)により$j$の余核である。$p_1:A\oplus B\to A$を双積の射影とすると$p_A=p_1j$である。$xp_A=0$ならば$xp_1j=0$なので$xp_1=yd$と書くことができる。$B$の入射と合成すると$yg=0$となり、$g$のエピ性から$y=0$である。さらに$A$の入射との合成から$x=0$となるので、$p_A$はエピ射である。双対の主張は反対圏で得られる。▨

証明.$k'$のモノ性が$u$の一意性を与え、$k$のモノ性が$u$のモノ性を与える。恒等射と合成から反射律と推移律を得る。逆向きの比較射$v$もあれば$k'uv=k'$、$kvu=k$なので、消去律から$uv=\id$、$vu=\id$となる。▨

証明.主張 (1)を示す。像の最小性（系 3.4 (4)） により、$f(L)\leq K$は$fl$が$k$を通ることと同値である。pullback の普遍性によって、これは$L\leq f^{-1}K$と同値である。因子化を合成すれば単調性を得る。$K=f(L)$および$L=f^{-1}K$を代入すれば二つの不等式も得る。

主張 (2)を示す。共通部分の下限性は pullback の普遍性である。$K,K'$がある部分対象を通ることは、双積からの射$(k,k')$がその部分対象を通ることと同値なので、像の最小性により和の上限性を得る。

主張 (3)を示す。逆像の合成則は pullback の普遍性を二度適用して得られる。像について$fl$をエピ・モノ分解し、補題 3.2を用いると$\operatorname{im}(gfl)=\operatorname{im}(g\operatorname{im}(fl))$となる。零部分対象の逆像の普遍性は核の普遍性である。

主張 (4)を示す。$f$がモノ射ならば$fl$もモノ射なので、その像は自身である。モノ射の自身に沿う逆像の普遍性から$f^{-1}f(L)=L$を得る。$f$を像の包含とみなすと、$f^{-1}K$を$B$の部分対象へ移したものは二つの包含の pullback であり、共通部分である。▨

証明.主張 (1)を示す。モノ射が余核の核、エピ射が核の余核であることが逆対応を与える。$K\leq K'$ならば商$B\to B/K'$は$B/K$を通るので、商対象として順序が逆になる。

主張 (2)を示す。$q_A:A\to A/L$と$q_B:B\to B/f(L)$を取る。$q_Bfl=0$なので$q_Bf$は$q_A$を通る。この可換四角形は pushout である。実際、$bf=tq_A$を満たす$b:B\to Y$、$t:A/L\to Y$に対して$bfl=0$となるので、$b$は$q_B$を一意に通る。誘導された射と$A/L\to B/f(L)$の合成は、エピ射$q_A$との合成が$tq_A$に等しいため$t$と一致する。これを反対圏で読むと、像が逆像に移ることを得る。

像と逆像は命題 6.3 (1)の対応を満たす。順序反転後に像の側が逆像と一致したので、もう一方も同じ不等式を特徴づける射として一致する。順序反転は上限と下限を交換する。最後に$A/\ker f=\operatorname{coim}f$は反対圏での$f^{\mathrm{op}}$の像である。▨

証明.$f=me$をエピ・モノ分解とする。エピ射$e$の逆像から元の部分対象$T$への射は命題 5.2によりエピ射であるから、$e(e^{-1}T)=T$である。したがって

最後の等式は命題 6.3 (4)による。得られた式を反対圏の$f^{\mathrm{op}}$に適用し、命題 6.4 (2)で像と逆像、共通部分と和を移すと、第二式を得る。▨

証明.主張 (1)を示す。$fl$の核は$l^{-1}(\ker f)$であり、$L$内の部分対象として$L\cap\ker f$である。定理 3.3を$fl$に適用して第一の同型を得る。

主張 (2)を示す。$q_L:B\to B/L$と$r:B/L\to B/K$を取ると$rq_L=q_K$であり、$r$はエピ射である。逆像を取ると$q_L^{-1}(\ker r)=\ker q_K=K$である。定理 6.5と$q_L$のエピ性から$\ker r=q_L(K)$を得る。第一の同型を$q_L$と$K$に適用すると$q_L(K)\cong K/L$となる。▨

証明. 充満性によって射の群と合成は制限され、双積の普遍性も制限されるので、§E9.18 命題 3.2により$\mathcal B$は加法圏である。全体圏の核と余核は部分圏でも普遍性を満たす。部分圏のモノ射の核は零なので、部分圏に属する全体圏の核も零であり、その射は全体圏でもモノ射である。全体圏では余核の核であり、その余核も部分圏に属するので、部分圏でも核である。エピ射については双対の議論を適用する。像と完全性は核と余核から定まるので一致する。▨

証明.主張 (1)を示す。加法性は§E9.18 命題 5.1による。各点の核と余核の族は、始域が$V$-小なので§E1.21 命題 4.1で取ることができる。選択規則があればその値を使う。§E9.9 定理 2.6により、これらが関手圏の核と余核を与える。命題 5.1により値の圏は pullback と pushout をもつので、§E9.9 命題 3.1により各点判定を得る。モノ自然変換からその余核の核への標準射は各点で同型なので、§E9.3 命題 4.3により同型である。エピ射は双対である。像と完全性の各点判定は核と余核の計算から従う。

主張 (2)を示す。加法関手間の射の核$k:K\to F$について、

であり、$k_{c'}$のモノ性から$K$は加法的である。余核では商射のエピ性を使う。有限双積の閉性は§E9.18 命題 5.3によるので、命題 7.1を適用することができる。▨

証明.命題 7.3を$\mathcal A=\mathbf{Ab}$に適用する。核と余核の選択は命題 2.3による。位相空間$X\in V$の開集合の圏は$V$-小なので、その上の前層もこの場合に含まれる。$\mathcal C=\mathcal BR$の加法的な前層は§E9.18 命題 5.4により右$R$加群であり、各点の核と余核は加群の核と余核に一致する。▨

証明.主張 (1)を示す。$F$を左完全とし、$f=me$を像の分解とする。二つの短完全列

に$F$を適用すると、$F(\ker f)\to F(A)$は$F(e)$の核であり、$F(m)$はモノ射である。補題 3.2により$F(e)$と$F(f)$の核は一致するので核を保つ。逆に完全列$0\to A'\to A\to A''$では最初の射が次の射の核であるから、核を保てばその完全性を保つ。短完全列はその特殊な場合である。

主張 (2)を示す。双対性から右完全性の主張を得る。

主張 (3)を示す。$F$が核と余核を保つならば

が包含と両立して成り立つ。したがって像と核の一致、すなわち中央での完全性を保つ。逆に中央での完全性を保つならば、零対象を保つことと合わせて短完全列の三項での完全性を保つ。モノ性とエピ性の保存は核が零であること、余核が零であることによる判定による。

主張 (4)を示す。命題 4.2により、左完全性と右完全性は反対圏への移行で交換される。▨

証明. 合成の双線形性から加法性を得る。核の普遍性は、$\operatorname{Hom}(X,\ker f)\to\operatorname{Hom}(X,A)$が$\operatorname{Hom}(X,f)$の核であることを述べる。命題 8.2 (1)によって左完全である。反変の側は反対圏の核、すなわち元の圏の余核の普遍性を用いる。▨

証明.§E9.18 系 4.3により両関手は加法的である。$G$は§E9.11 定理 4.1により等化子を保ち、零射も保つので核を保つ。$L$は双対に余核を保つ。命題 8.2を適用する。▨