§E6.9有限生成加群・有限表示加群・連接加群

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加群を生成元と関係式で記述すると、元の計算や準同型の指定を係数の条件へ移すことができる。しかし、生成元を有限個に選ぶことができても、生成元の間の関係を有限個で記述することができるとは限らない。一方、有限階数自由加群は、有限個の基底と関係式を置かない表示によって有限表示加群となる。これらの有限性は、加群を有限な記述から調べるための基本的な条件である。本記事では、三つの有限性の性質や代表的な例について解説する。

1 有限生成性・有限表示性・連接性

RRを単位元をもつ結合環とする。以下、左加群を扱う箇所ではRnR^nを左正則加群のnn個の直和とし、その標準基底をe1,…,ene_1,\ldots,e_nと書く。n=0n=0ではR0=0R^0=0とし、空族が生成する部分加群を零加群とする。

定義 1.1. 左RR加群MMが有限生成加群 (finitely generated left module) であるとは、ある非負整数nnと全射左RR線形写像

π ⁣:Rn⟶M\pi\colon R^n\longrightarrow M

が存在することをいう。

定義 1.2.RRを単位的結合環、MMを左RR加群とする。MMが有限表示加群 (finitely presented module) であるとは、ある非負整数m,nm,nとRR線形写像による完全列

Rm→ α Rn→ π M⟶0R^m\xrightarrow{\ \alpha\ }R^n \xrightarrow{\ \pi\ }M\longrightarrow0

が存在することをいう。すなわち、π\piは全射であり、im⁡α=ker⁡π\operatorname{im}\alpha=\ker\piである。この完全列をMMの有限表示 (finite presentation) という。

定義 1.3.RRを単位的結合環とする。左RR加群MMが連接加群 (coherent module) であるとは、MMが有限生成であり、任意の非負整数nnと任意の左RR線形写像f ⁣:Rn→Mf\colon R^n\to Mに対してker⁡f\ker fが有限生成であることをいう。

定義 1.4. 単位的結合環RR上の右加群が有限表示右加群 (finitely presented right module) または連接右加群 (coherent right module) であるとは、対応する左RopR^{\mathrm{op}}加群がそれぞれ有限表示または連接であることをいう。したがって右有限表示は有限自由右加群の完全列で与えられ、右連接性は有限生成性と、有限自由右加群からのすべての射の核の有限生成性を意味する。

定義 1.5. 右RR加群MMが有限生成右加群 (finitely generated right module) であるとは、ある非負整数nnと全射右RR線形写像

π ⁣:Rn⟶M\pi\colon R^n\longrightarrow M

が存在することをいう。ここでRnR^nは右正則加群RRR_Rのnn個の直和である。

命題 1.6. 左RR加群MMを取る。このとき、次の二条件は同値である。

  1. ある非負整数nnと全射左RR線形写像 π ⁣:Rn⟶M\pi\colon R^n\longrightarrow M が存在する。
  2. ある非負整数nnとx1,…,xn∈Mx_1,\ldots,x_n\in Mが存在し、 M=Rx1+⋯+RxnM=Rx_1+\cdots+Rx_n となる。

証明. 演習とする（問題 14.1 (1)）。▨

命題 1.7. 右RR加群MMを取る。このとき、MMが有限生成右加群であることは、非負整数nnとx1,…,xn∈Mx_1,\ldots,x_n\in Mが存在して

M=x1R+⋯+xnRM=x_1R+\cdots+x_nR

となるための必要十分条件である。

証明. 演習とする（問題 14.1 (2)）。▨

補題 1.8.RRを単位元をもつ結合環、MMを有限生成左RR-加群、(Nj)j∈J(N_j)_{j\in J}を左RR-加群の族とする。このとき、任意の左RR-加群の射

f ⁣:M⟶⨁j∈JNjf\colon M\longrightarrow\bigoplus_{j\in J}N_j

に対して、ある有限部分集合J0⊆JJ_0\subseteq Jと左RR-加群の射f0 ⁣:M→⨁j∈J0Njf_0\colon M\to\bigoplus_{j\in J_0}N_jが存在し、ffはf0f_0と標準包含⨁j∈J0Nj→⨁j∈JNj\bigoplus_{j\in J_0}N_j\to\bigoplus_{j\in J}N_jの合成に等しい。

証明.MMの有限生成系m1,…,mrm_1,\ldots,m_rを取る。各f(mi)f(m_i)の台は有限であるから、それらの和集合

J0:=⋃i=1rsupp⁡(f(mi))J_0:=\bigcup_{i=1}^r\supp(f(m_i))

も有限である。M=Rm1+⋯+RmrM=Rm_1+\cdots+Rm_rとffの線形性により、f(M)f(M)は⨁j∈J0Nj\bigoplus_{j\in J_0}N_jに含まれる。したがって、ffの終域をこの有限部分直和へ制限した射f0f_0が求める因子化を与える。r=0r=0の場合にはM=0M=0であり、J0=∅J_0=\varnothingとすればよい。▨

命題 1.9. 次が成り立つ。

  1. 非零有限生成左RR加群は極大左部分加群をもつ。
  2. 非零有限生成右RR加群は極大右部分加群をもつ。

証明.主張 (1)を示す。非零有限生成左RR加群MMを取り、MMの真の左部分加群全体を包含関係で順序付けた集合をP\mathcal Pとする。M≠0M\ne0なので0∈P0\in\mathcal Pであり、P\mathcal Pは空でない。

C⊆P\mathcal C\subseteq\mathcal Pを鎖とする。C\mathcal Cが空ならば、0∈P0\in\mathcal Pが上界である。以下、C\mathcal Cが空でない場合を考え、U:=⋃N∈CNU:=\bigcup_{N\in\mathcal C}Nと置く。UUは零元を含む。u,v∈Uu,v\in Uを取ると、あるN,N′∈CN,N'\in\mathcal Cがu∈Nu\in N、v∈N′v\in N'を満たす。鎖の条件から一方が他方を含むため、u−vu-vは大きい方の部分加群に属する。またr∈Rr\in Rに対してruruはuuを含む部分加群に属する。よってUUは左部分加群である。

MMの有限生成族をx1,…,xnx_1,\ldots,x_nとする。もしU=MU=Mならば、各iiについてxi∈Nix_i\in N_iとなるNi∈CN_i\in\mathcal Cが存在する。有限個のNiN_iは包含関係で全順序付けられているため、そのうち最大のものNjN_jがすべてのxix_iを含む。するとNj=MN_j=Mとなり、Nj∈PN_j\in\mathcal Pに反する。よってUUは真の部分加群であり、C\mathcal CのP\mathcal Pにおける上界である。

§E1.20 定理 2.1の Zorn の補題により、P\mathcal Pは極大元をもつ。この極大元はMMの極大左部分加群である。

主張 (2)を示す。右加群の場合は、§E6.1 定義 4.1の反対環を用いて右RR加群を左RopR^{\mathrm{op}}加群とみなし、主張 (1)を適用すればよい。有限生成性と部分加群の包含はこの対応で保たれるため、得られる極大左RopR^{\mathrm{op}}部分加群は極大右RR部分加群である。▨

2 有限表示加群と関係加群

定義 2.1. 左RR加群MMの元x1,…,xnx_1,\ldots,x_nに対して、関係加群 (module of relations) を

Rel⁡(x1,…,xn):={(a1,…,an)∈Rn | ∑i=1naixi=0}\operatorname{Rel}(x_1,\ldots,x_n) :=\left\{(a_1,\ldots,a_n)\in R^n \ \middle|\ \sum_{i=1}^n a_ix_i=0\right\}

と定める。係数はxix_iの左に置く。

関係加群は、ei↦xie_i\mapsto x_iによって定まる座標写像πx ⁣:Rn→M\pi_x\colon R^n\to Mの核である。したがって、x1,…,xnx_1,\ldots,x_nがMMを生成するとき、MMはRnR^nをすべての関係で割った商として得られる。

定理 2.2. 左RR加群MMを取る。このとき、次の三条件は同値である。

  1. MMは有限表示加群である。
  2. ある非負整数nnと全射π ⁣:Rn→M\pi\colon R^n\to Mが存在し、ker⁡π\ker\piは有限生成加群である。
  3. MMを生成する有限族x1,…,xnx_1,\ldots,x_nが存在し、Rel⁡(x1,…,xn)\operatorname{Rel}(x_1,\ldots,x_n)は有限生成加群である。

証明. 演習とする（問題 14.1 (4)）。▨

有限表示の全射Rn→MR^n\to Mにより、有限表示加群は有限生成である。

命題 2.3.MMを有限表示加群とし、nnを非負整数とする。このとき、任意の全射

φ ⁣:Rn⟶M\varphi\colon R^n\longrightarrow M

に対して、ker⁡φ\ker\varphiは有限生成加群である。

証明.定理 2.2により、全射

p ⁣:Rq⟶Mp\colon R^q\longrightarrow M

で、その核K:=ker⁡pK:=\ker pが有限生成となるものを取る。KKの生成族をk1,…,ksk_1,\ldots,k_sとする。

RqR^qが自由でφ\varphiが全射であるから、§E6.3 系 7.1をp ⁣:Rq→Mp\colon R^q\to Mに適用し、RR線形写像u ⁣:Rq→Rnu\colon R^q\to R^nを取る。この写像は

φu=p\varphi u=p

を満たす。また、RnR^nが自由でppが全射であるから、§E6.3 系 7.1をφ ⁣:Rn→M\varphi\colon R^n\to Mに適用し、RR線形写像v ⁣:Rn→Rqv\colon R^n\to R^qで

pv=φpv=\varphi

を満たすものを取る。

写像

d:=id⁡Rn−uvd:=\operatorname{id}_{R^n}-uv

を考える。上の二等式から

φd=φ−φuv=φ−pv=0\varphi d =\varphi-\varphi uv =\varphi-pv =0

であるため、d(Rn)⊆ker⁡φd(R^n)\subseteq\ker\varphiである。また、各kℓ∈Kk_\ell\in Kについて

φ(u(kℓ))=p(kℓ)=0\varphi(u(k_\ell))=p(k_\ell)=0

であるため、u(kℓ)∈ker⁡φu(k_\ell)\in\ker\varphiである。

x∈ker⁡φx\in\ker\varphiを任意に取る。p(v(x))=φ(x)=0p(v(x))=\varphi(x)=0であるためv(x)∈Kv(x)\in Kであり、あるa1,…,as∈Ra_1,\ldots,a_s\in Rによって

v(x)=∑ℓ=1saℓkℓv(x)=\sum_{\ell=1}^s a_\ell k_\ell

と表される。一方、RnR^nの標準基底を用いると、d(x)d(x)はd(e1),…,d(en)d(e_1),\ldots,d(e_n)の左一次結合である。等式

x=uv(x)+d(x)x=uv(x)+d(x)

により、xxは有限族

u(k1),…,u(ks),d(e1),…,d(en)u(k_1),\ldots,u(k_s),d(e_1),\ldots,d(e_n)

の左一次結合になる。この族の各元はker⁡φ\ker\varphiに属するため、この族はker⁡φ\ker\varphiを生成する。q,n,sq,n,sのいずれかが零の場合にも、対応する族を空族とすれば同じ証明が成り立つ。▨

3 有限表示の関係行列

RRは可換とは限らない。以下、自由左加群RmR^mの元を行ベクトルで表し、行列を右から掛ける規約を用いる。

例 3.1.kkを体、R:=Mat⁡2×2(k)R:=\operatorname{Mat}_{2\times2}(k)とし、

p:=(0100),q:=(0010)p:=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\qquad q:=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}

と置く。このとき、§E6.2 例 14.2の計算により、pq=(1000)pq=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}、qp=(0001)qp=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}である。右乗法x↦xqx\mapsto xqは左RR線形であるが、左乗法x↦qxx\mapsto qxはq(p1R)=qp≠pq=p(q1R)q(p1_R)=qp\ne pq=p(q1_R)を満たすため左RR線形でない。

命題 3.2.A=(aij)∈Mat⁡m×n(R)A=(a_{ij})\in\operatorname{Mat}_{m\times n}(R)とし、

Rm→ x↦xA Rn→ π M⟶0R^m\xrightarrow{\ x\mapsto xA\ }R^n \xrightarrow{\ \pi\ }M\longrightarrow0

を有限表示とする。xj:=π(ej)x_j:=\pi(e_j)と置く。このとき、x1,…,xnx_1,\ldots,x_nはMMを生成する。また、第ii行は関係式

∑j=1naijxj=0\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j=0

を与える。さらに、x1,…,xnx_1,\ldots,x_nのすべての関係は、AAの各行の左一次結合として一意とは限らない仕方で表される。

証明.π\piは全射であるため、x1,…,xnx_1,\ldots,x_nはMMを生成する。AAの第ii行は

eiAe_iA

である。完全性によりeiA∈ker⁡πe_iA\in\ker\piであるため、

0=π(eiA)=∑jaijπ(ej)=∑jaijxj0=\pi(e_iA)=\sum_j a_{ij}\pi(e_j)=\sum_j a_{ij}x_j

となる。

任意の関係(b1,…,bn)∈Rel⁡(x1,…,xn)(b_1,\ldots,b_n)\in\operatorname{Rel}(x_1,\ldots,x_n)を取る。このとき、(b1,…,bn)∈ker⁡π(b_1,\ldots,b_n)\in\ker\piである。完全性により、あるc=(c1,…,cm)∈Rmc=(c_1,\ldots,c_m)\in R^mが存在して

(b1,…,bn)=cA(b_1,\ldots,b_n)=cA

となる。行列積の定義から、cAcAはAAの第ii行に左係数cic_iを掛けた行の和である。したがって各行が関係加群を生成する。写像x↦xAx\mapsto xAが単射であるとは限らないため、この一次結合表示は一意とは限らない。▨

4 商加群と有限直和

命題 4.1. 次が成り立つ。

  1. MMが有限生成加群でN⊆MN\subseteq Mが部分加群ならば、M/NM/Nは有限生成加群である。
  2. 有限個の左RR加群M1,…,MtM_1,\ldots,M_tに対して、⨁j=1tMj\bigoplus_{j=1}^tM_jが有限生成であることと、各MjM_jが有限生成であることは同値である。

証明.主張 (1)を示す。MMをx1,…,xnx_1,\ldots,x_nが生成するとする。任意のx+N∈M/Nx+N\in M/Nに対してx=∑iaixix=\sum_i a_ix_iと書けば、

x+N=∑iai(xi+N)x+N=\sum_i a_i(x_i+N)

となる。したがってx1+N,…,xn+Nx_1+N,\ldots,x_n+NがM/NM/Nを生成する。

主張 (2)を示す。各MjM_jが有限族xj,1,…,xj,njx_{j,1},\ldots,x_{j,n_j}によって生成されるとする。ιj ⁣:Mj→⨁ℓ=1tMℓ\iota_j\colon M_j\to\bigoplus_{\ell=1}^tM_\ellを標準包含とする。有限族

(ιj(xj,i))1≤j≤t, 1≤i≤nj\bigl(\iota_j(x_{j,i})\bigr)_{ 1\le j\le t,\ 1\le i\le n_j}

は、各成分を生成するため直和全体を生成する。逆に、直和が有限生成ならば、各座標射影

pr⁡j ⁣:⨁ℓ=1tMℓ⟶Mj\operatorname{pr}_j\colon\bigoplus_{\ell=1}^tM_\ell\longrightarrow M_j

は全射であるため、主張 (1)により各MjM_jは有限生成である。t=0t=0の場合、直和は零加群であり、主張は空の条件と整合する。▨

命題 4.2.RRを単位的結合環とし、0→U→iV→pW→00\to U\xrightarrow{i}V\xrightarrow{p}W\to0を左RR加群の短完全列とする。このとき、次が成り立つ。

  1. U,WU,Wが有限生成ならば、VVは有限生成である。

証明.UUの有限生成族をu1,…,uau_1,\ldots,u_a、WWの有限生成族をw1,…,wbw_1,\ldots,w_bとし、p(vj)=wjp(v_j)=w_jを満たすvj∈Vv_j\in Vを取る。任意のv∈Vv\in Vについてp(v)=∑jrjwjp(v)=\sum_jr_jw_jと書くと、v−∑jrjvj∈ker⁡p=im⁡iv-\sum_jr_jv_j\in\ker p=\im iである。したがってi(u1),…,i(ua),v1,…,vbi(u_1),\ldots,i(u_a),v_1,\ldots,v_bがVVを生成する。▨

定理 4.3. 次が成り立つ。

  1. MMが有限表示加群でN⊆MN\subseteq Mが有限生成部分加群ならば、M/NM/Nは有限表示加群である。
  2. 有限個の左RR加群M1,…,MtM_1,\ldots,M_tに対して、⨁j=1tMj\bigoplus_{j=1}^tM_jが有限表示であることと、各MjM_jが有限表示であることは同値である。

証明.主張 (1)を示す。定理 2.2により、全射

π ⁣:Rn⟶M\pi\colon R^n\longrightarrow M

でK:=ker⁡πK:=\ker\piが有限生成となるものを取る。E:=π−1(N)E:=\pi^{-1}(N)と置く。π\piの全射性により制限射π∣E ⁣:E→N\pi|_E\colon E\to Nは全射であり、その核はKKである。したがって短完全列

0⟶K⟶E→π∣EN⟶00\longrightarrow K\longrightarrow E\xrightarrow{\pi|_E}N\longrightarrow0

に命題 4.2 (1)を適用すると、EEは有限生成である。商写像q ⁣:M→M/Nq\colon M\to M/Nとの合成qπq\piは全射であり、ker⁡(qπ)=π−1(N)=E\ker(q\pi)=\pi^{-1}(N)=Eである。定理 2.2によりM/NM/Nは有限表示である。

主張 (2)を示す。各MjM_jが有限表示であるとする。各jjについて、全射

πj ⁣:Rnj⟶Mj\pi_j\colon R^{n_j}\longrightarrow M_j

でKj:=ker⁡πjK_j:=\ker\pi_jが有限生成となるものを取る。有限直和を取った写像

π:=⨁j=1tπj ⁣:⨁j=1tRnj⟶⨁j=1tMj\pi:=\bigoplus_{j=1}^t\pi_j\colon \bigoplus_{j=1}^tR^{n_j} \longrightarrow \bigoplus_{j=1}^tM_j

は全射であり、

ker⁡π=⨁j=1tKj\ker\pi=\bigoplus_{j=1}^tK_j

である。§E6.3 補題 4.12により、始域は有限個の標準基底を合わせた基底をもつ有限階数自由加群である。命題 4.1により、核は有限生成である。したがって直和は有限表示である。t=0t=0の場合、零加群はR0→0R^0\to0という全射と零核をもつため有限表示である。

逆に、F:=⨁j=1tMjF:=\bigoplus_{j=1}^tM_jが有限表示であるとする。有限表示加群は有限生成であるため、命題 4.1により各MjM_jは有限生成である。固定したjjに対して、座標射影F→MjF\to M_jの核は

Nj:=⨁1≤ℓ≤tℓ≠jMℓN_j:=\bigoplus_{\substack{1\le\ell\le t\\\ell\ne j}}M_\ell

である。ほかの成分も有限生成であり、成分の個数は有限であるため、命題 4.1によりNjN_jは有限生成である。主張 (1)をF/Nj≅MjF/N_j\cong M_jに適用すると、MjM_jは有限表示である。▨

5 有限表示性と拡大

補題 5.1.RRを単位的結合環とする。このとき、有限生成左RR加群NNから有限表示左RR加群PPへの全射q ⁣:N→Pq\colon N\to Pの核は有限生成である。

証明. 有限自由加群からの全射p ⁣:Rn→Np\colon R^n\to Nを取る。合成qpqpは全射であるから、命題 2.3によりker⁡(qp)\ker(qp)は有限生成である。ppはker⁡(qp)\ker(qp)からker⁡q\ker qへの全射を誘導するので、命題 4.1 (1)によりker⁡q\ker qは有限生成である。▨

命題 5.2.RRを単位的結合環とし、0→U→iV→pW→00\to U\xrightarrow{i}V\xrightarrow{p}W\to0を左RR加群の短完全列とする。このとき、次が成り立つ。

  1. U,WU,Wが有限表示ならば、VVは有限表示である。

証明. 有限自由加群FFからの全射q ⁣:F→Wq\colon F\to Wを取り、K=ker⁡qK=\ker qと置く。命題 2.3によりKKは有限生成である。§E6.3 命題 3.2 (3)の引戻し

E=V×WF={(v,x)∈V⊕F∣p(v)=q(x)}E=V\times_W F=\{(v,x)\in V\oplus F\mid p(v)=q(x)\}

を取る。第二射影b ⁣:E→Fb\colon E\to Fはppの全射性により全射であり、ker⁡b={(i(u),0)∣u∈U}\ker b=\{(i(u),0)\mid u\in U\}である。第一射影a ⁣:E→Va\colon E\to Vはqqの全射性により全射であり、ker⁡a={(0,x)∣x∈K}\ker a=\{(0,x)\mid x\in K\}である。したがって二つの短完全列

0⟶U→u↦(i(u),0)E→bF⟶0,0\longrightarrow U\xrightarrow{u\mapsto(i(u),0)}E\xrightarrow{b}F\longrightarrow0,0⟶K→x↦(0,x)E→aV⟶00\longrightarrow K\xrightarrow{x\mapsto(0,x)}E\xrightarrow{a}V\longrightarrow0

を得る。§E6.3 系 7.1により、ps=qps=qを満たすs ⁣:F→Vs\colon F\to Vが存在する。引戻しの普遍性により定まる射t ⁣:F→Et\colon F\to E、t(x)=(s(x),x)t(x)=(s(x),x)はbt=1Fbt=1_Fを満たす。§E6.8 命題 3.2により最初の短完全列は分裂し、E≅U⊕FE\cong U\oplus Fである。U,FU,Fは有限表示なので、定理 4.3 (2)によりEEも有限表示である。第二の短完全列と定理 4.3 (1)により、V≅E/ker⁡aV\cong E/\ker aは有限表示である。▨

6 連接加群と連接環

命題 6.1.RRを単位的結合環、MMを左RR加群とする。MMが連接であるための必要十分条件は、MMが有限生成であり、MMの有限生成部分加群がすべて有限表示であることである。特に、連接加群は有限表示であり、有限表示加群は有限生成である。

証明. 必要性を示す。有限生成部分加群N⊆MN\subseteq Mを取り、全射p ⁣:Rn→Np\colon R^n\to Nを取る。包含N↪MN\hookrightarrow Mとppの合成の核はker⁡p\ker pであり、連接性により有限生成である。定理 2.2によりNNは有限表示である。

十分性を示す。任意の射f ⁣:Rn→Mf\colon R^n\to Mに対してim⁡f\im fは有限生成なので、仮定により有限表示である。全射Rn→im⁡fR^n\to\im fに命題 2.3を適用すると、ker⁡f\ker fは有限生成である。仮定したMMの有限生成性と合わせてMMは連接である。

連接の場合は有限生成部分加群としてMM自身を取ると有限表示性を得る。有限表示の定義に現れる全射Rn→MR^n\to Mは有限生成性を与える。▨

定理 6.2.RRを単位的結合環とする。このとき、左RR加群について次が成り立つ。

  1. MMが連接で、N⊆MN\subseteq Mが有限生成部分加群ならば、NNとM/NM/Nは連接である。
  2. f ⁣:N→Mf\colon N\to Mを射とし、NNが有限生成でMMが連接であるとする。このときker⁡f\ker fは有限生成であり、im⁡f\im fとcoker⁡f\coker fは連接である。さらにNNも連接ならばker⁡f\ker fは連接である。
  3. 短完全列0→U→V→W→00\to U\to V\to W\to0において、三加群のうち二つが連接ならば、残りの加群も連接である。

証明.主張 (1)を示す。NNの任意の有限生成部分加群はMMの有限生成部分加群でもあるので、有限表示である。命題 6.1によりNNは連接である。

商C=M/NC=M/Nは有限生成である。任意の有限生成部分加群H⊆CH\subseteq Cを取り、商写像による逆像をE⊆ME\subseteq Mとする。短完全列0→N→E→H→00\to N\to E\to H\to0と命題 4.2 (1)によりEEは有限生成である。MMの連接性によりEEは有限表示である。NNは有限生成なので、定理 4.3 (1)によりH=E/NH=E/Nは有限表示である。したがってCCは連接である。

主張 (2)を示す。im⁡f\im fはNNの商なので有限生成であり、MMの連接性により有限表示である。全射N→im⁡fN\to\im fに補題 5.1を適用すると、ker⁡f\ker fは有限生成である。主張 (1)をim⁡f⊆M\im f\subseteq Mに適用すると、im⁡f\im fとM/im⁡fM/\im fは連接である。NNも連接ならば、同じ項をker⁡f⊆N\ker f\subseteq Nに適用することにより核の連接性を得る。

主張 (3)を示す。U,WU,Wが連接であるとし、UUをVVの部分加群と同一視する。命題 4.2 (1)によりVVは有限生成である。任意の有限生成部分加群E⊆VE\subseteq Vに対し、そのWWにおける像HHは有限生成である。WWの連接性によりHHは有限表示であり、補題 5.1をE→HE\to Hに適用するとE∩UE\cap Uは有限生成である。UUの連接性によりE∩UE\cap Uは有限表示である。短完全列

0⟶E∩U⟶E⟶H⟶00\longrightarrow E\cap U\longrightarrow E\longrightarrow H\longrightarrow0

に命題 5.2 (1)を適用するとEEは有限表示である。したがってVVは連接である。

V,WV,Wが連接である場合、主張 (2)をV→WV\to Wに適用するとUUは連接である。U,VU,Vが連接である場合、UUは有限生成なので、主張 (1)によりW=V/UW=V/Uは連接である。▨

定義 6.3. 単位的結合環RRが左連接環 (left coherent ring) であるとは、左正則加群RR{}_RRが連接であることをいう。右連接環 (right coherent ring) は右正則加群RRR_Rの連接性によって定義する。

定理 6.4. 単位的結合環RRが左連接環であるための必要十分条件は、任意の有限生成左イデアルが有限表示左RR加群であることである。左連接環上の左加群は、有限表示であることと連接であることが同値である。

右連接環についても、左イデアルと左加群を右イデアルと右加群に置き換えた主張が成り立つ。

証明. 左正則加群は1R1_Rによって生成され、その部分加群は左イデアルである。したがって最初の同値は命題 6.1をRR{}_RRに適用すれば従う。

RRが左連接環ならば、分裂短完全列0→Rn−1→Rn→R→00\to R^{n-1}\to R^n\to R\to0に定理 6.2 (3)を繰り返し適用することにより、すべての有限自由左加群RnR^nは連接である。R0=0R^0=0の連接性は定義から従う。有限表示加群MMは、定理 2.2によりRnR^nを有限生成部分加群で割った商であるから、定理 6.2 (1)により連接である。逆に連接加群は命題 6.1により有限表示である。

右RR加群を左RopR^{\mathrm{op}}加群とみなす対応は、部分加群、自由表示および核を保つ。この対応を左版に適用すると右版を得る。▨

例 6.5. 体kk上の無限次元ベクトル空間VVを取る。このとき、任意の線形写像kn→Vk^n\to Vの核は有限次元空間knk^nの部分空間なので、§D3.8 命題 3.5により有限生成である。しかし、VV自身は有限生成でないため連接でない。したがって、連接性の定義から有限生成性の条件を除くことはできない。

7 有限生成であるが有限表示でない部分加群

例 7.1.kkを体とし、

B:={x}⊔{y1,y2,…}B:=\{x\}\sqcup\{y_1,y_2,\ldots\}

と置く。V:=k(B)V:=k^{(B)}をBB上の自由kk線形空間とし、その標準基底を

ex,ey1,ey2,…e_x,e_{y_1},e_{y_2},\ldots

と書く。加法群としてR:=k⊕VR:=k\oplus Vと置き、積を

(a,u)(b,v):=(ab,av+bu)(a,b∈k, u,v∈V)(a,u)(b,v):=(ab,av+bu) \qquad(a,b\in k,\ u,v\in V)

によって定める。

このとき、この積によってRRは単位的可換環となる。分配律はkkの分配律とVVのkk線形性から従う。結合律は、任意の(a,u),(b,v),(c,w)∈R(a,u),(b,v),(c,w)\in Rに対して、二通りの積がともに

(abc,abw+acv+bcu)\bigl(abc,ab w+ac v+bc u\bigr)

となることから従う。単位元は(1,0)(1,0)であり、積の表示が二つの因子について対称であるため可換である。部分集合

m:=0⊕V\mathfrak m:=0\oplus V

はイデアルである。実際、m\mathfrak mは加法部分群であり、任意の(a,u)∈R(a,u)\in Rと(0,v)∈m(0,v)\in\mathfrak mに対して

(a,u)(0,v)=(0,av)∈m(a,u)(0,v)=(0,av)\in\mathfrak m

となる。また、

(0,u)(0,v)=(0,0)(0,u)(0,v)=(0,0)

であるためm2=0\mathfrak m^2=0である。

ξ:=(0,ex)∈R\xi:=(0,e_x)\in Rとし、左正則加群RR{}_RRの部分加群

I:=RξI:=R\xi

を考える。任意の(a,u)∈R(a,u)\in Rに対して

(a,u)ξ=(0,aex)(a,u)\xi=(0,ae_x)

であるため、I=kξI=k\xiである。特にIIは一元ξ\xiによって生成される。また、ex≠0e_x\ne0であるため、

(a,u)ξ=0⟺a=0(a,u)\xi=0 \quad\Longleftrightarrow\quad a=0

であり、

ann⁡R(ξ):={r∈R∣rξ=0}=m\operatorname{ann}_R(\xi) :=\{r\in R\mid r\xi=0\} =\mathfrak m

となる。

有限個の元(0,u1),…,(0,ut)∈m(0,u_1),\ldots,(0,u_t)\in\mathfrak mを任意に取る。r=(a,v)∈Rr=(a,v)\in Rに対して

r(0,ui)=(0,aui)r(0,u_i)=(0,au_i)

であるため、これらの元が生成するRR部分加群は、u1,…,utu_1,\ldots,u_tのkk線形包に等しい。各ui∈k(B)u_i\in k^{(B)}の台は有限であるため、その有限個の台の和集合も有限である。したがって、あるN≥1N\ge1が存在してeyNe_{y_N}はこの和集合に現れない。このとき(0,eyN)(0,e_{y_N})はu1,…,utu_1,\ldots,u_tのkk線形包に属さない。よって任意の有限族はm\mathfrak mを生成せず、m\mathfrak mは有限生成でない。

左RR線形写像

π ⁣:R=R1⟶I,r⟼rξ\pi\colon R=R^1\longrightarrow I, \qquad r\longmapsto r\xi

は全射であり、その核はann⁡R(ξ)=m\operatorname{ann}_R(\xi)=\mathfrak mである。仮にIIが有限表示ならば、命題 2.3をこの全射に適用することによりm\mathfrak mが有限生成となるが、m\mathfrak mの有限生成性は上の結論に反する。したがってIIは有限生成であるが有限表示でない。

一方、左正則加群RR{}_RRは階数一の自由加群であり、

R0⟶R1→ id⁡R R⟶0R^0\longrightarrow R^1 \xrightarrow{\ \operatorname{id}_R\ }R\longrightarrow0

が有限表示を与える。したがってIIは、有限表示加群RRの有限生成部分加群であるにもかかわらず有限表示ではない。

注意 7.2 (退化する場合との整合性). 零加群は空族によって有限生成であり、

R0⟶R0⟶0⟶0R^0\longrightarrow R^0\longrightarrow0\longrightarrow0

によって有限表示である。零環上では、単位的左加群MMの任意の元xxに対してx=1Rx=0x=0x=1_Rx=0x=0となるため、左加群は零加群だけである。したがって零環の場合にも本記事の定義と各保存命題は成り立つ。

有限表示でm=0m=0ならばker⁡π=0\ker\pi=0であり、MMは有限階数自由加群RnR^nと同型である。n=0n=0ならばM=0M=0であり、m=n=0m=n=0ならば表示はすべて零対象からなる。

注意 7.3.例 7.1の環R=k⊕VR=k\oplus Vは左連接でも右連接でもない。実際、有限生成イデアルI=RξI=R\xiが有限表示でないため、定理 6.4の条件を満たさない。したがって有限表示加群RR{}_RRは連接でない。

8 フィルター余極限の元

定義 8.1 (フィルター圏). 小圏IIがフィルター圏 (filtered category) であるとは、次を満たすことをいう。

  1. IIは少なくとも一つの対象をもつ。
  2. 任意の二対象i,ji,jに対し、ある対象kkと射i→ki\to k、j→kj\to kが存在する。
  3. 任意の二射u,v ⁣:i→ju,v\colon i\to jに対し、ある射w ⁣:j→kw\colon j\to kが存在してwu=wvwu=wvとなる。

フィルター圏で添字づけられた図式の余極限をフィルター余極限 (filtered colimit) という。

例 8.2. 空でない半順序集合IIが、任意の二元に共通の上界をもつとき、IIを有向集合 (directed set) という。i≤ji\le jのときにただ一つの射i→ji\to jを置くと、IIはフィルター圏になる。実際、共通の上界が二対象の共通の行き先を与え、平行射は初めから等しい。有向集合で添字づけられたフィルター余極限は有向極限（帰納極限、direct limit）とも呼ばれる。

加群MMの有限生成部分加群全体は、包含関係によって有向集合になる。二つの有限生成部分加群A,BA,Bの共通の上界として、両者の生成元を合わせて生成されるA+BA+Bを取ればよい。

補題 8.3.IIをフィルター圏とする。このとき、有限個の対象と、それらの間の有限個の指定された射に対し、ある対象kkと、各指定対象iiからkkへの射hih_iが存在して、すべての指定射u ⁣:i→ju\colon i\to jについてhju=hih_ju=h_iとなる。

証明.定義 8.1 条件 (b)を有限回用い、すべての指定対象から射hi ⁣:i→kh_i\colon i\to kをもつ対象kkを取る。対象が一つも指定されていない場合は、IIの任意の対象を取る。指定射を一つ取りu ⁣:i→ju\colon i\to jとすると、hju,hih_ju,h_iは平行射である。定義 8.1 条件 (c)によって両者を等しくする射w ⁣:k→k′w\colon k\to k'を取り、すべてのhih_iをwhiwh_iに置き換える。この置換は既に成立した等式を保つので、有限個の指定射に順に適用すると所要の族を得る。▨

定理 8.4.RRを単位的結合環、DDをフィルター圏II上の左RR-加群の図式とし、C=lim→⁡IDiC=\varinjlim_ID_iの構造写像をqiq_iとする。このとき、次が成り立つ。

  1. 任意のz∈Cz\in Cは、ある対象iiと元x∈Dix\in D_iによってz=qi(x)z=q_i(x)と表される。有限個の元は、同じ一つの対象で同時に表すことができる。
  2. x∈Dix\in D_i、y∈Djy\in D_jに対し、qi(x)=qj(y)q_i(x)=q_j(y)となることと、ある対象kkおよび射u ⁣:i→ku\colon i\to k、v ⁣:j→kv\colon j\to kによってD(u)(x)=D(v)(y)D(u)(x)=D(v)(y)となることは同値である。
  3. x∈Dix\in D_iに対し、qi(x)=0q_i(x)=0となることと、ある射u ⁣:i→ju\colon i\to jによってD(u)(x)=0D(u)(x)=0となることは同値である。有限個のx1,…,xn∈Dix_1,\ldots,x_n\in D_iがCCで零になるならば、それらをすべて零へ送る一つの射u ⁣:i→ju\colon i\to jが存在する。

証明.§E6.3 定理 2.4と§E6.3 命題 2.5により、P=⨁i∈IDiP=\bigoplus_{i\in I}D_iとし、H⊆PH\subseteq Pを、すべての射u ⁣:i→ju\colon i\to jと元x∈Dix\in D_iに対応する差ιj(D(u)(x))−ιi(x)\iota_j(D(u)(x))-\iota_i(x)の有限和の全体とする。C=P/HC=P/Hおよびqi(x)=ιi(x)+Hq_i(x)=\iota_i(x)+Hとしてよい。z∈Cz\in Cを表すPPの元は、ある有限個の元xa∈Diax_a\in D_{i_a}によって∑a=1nιia(xa)\sum_{a=1}^n\iota_{i_a}(x_a)と書くことができる。補題 8.3を対象i1,…,ini_1,\ldots,i_nに適用し、射ha ⁣:ia→kh_a\colon i_a\to kを取ると、

z=∑a=1nqia(xa)=qk ⁣(∑a=1nD(ha)(xa))z=\sum_{a=1}^n q_{i_a}(x_a) =q_k\!\left(\sum_{a=1}^nD(h_a)(x_a)\right)

となる。n=0n=0のときは補題 8.3によって対象kkを取ると、z=qk(0)z=q_k(0)である。

qi(x)=qj(y)q_i(x)=q_j(y)とすると、HHの定義から、有限個の射fa ⁣:ℓa→maf_a\colon \ell_a\to m_a、元za∈Dℓaz_a\in D_{\ell_a}および係数ra∈Rr_a\in Rが存在して

ιi(x)−ιj(y)=∑a=1nra(ιma(D(fa)(za))−ιℓa(za))\iota_i(x)-\iota_j(y) =\sum_{a=1}^n r_a\bigl(\iota_{m_a}(D(f_a)(z_a))-\iota_{\ell_a}(z_a)\bigr)

となる。この式に現れる対象と射faf_aへ補題 8.3を適用し、対象kkと射ht ⁣:t→kh_t\colon t\to kを取る。すべてのaaに対してhmafa=hℓah_{m_a}f_a=h_{\ell_a}が成り立つ。直和の普遍性により、式に現れる対象ttの成分上でD(ht)D(h_t)、その他の成分上で零写像となる線形写像φ ⁣:P→Dk\varphi\colon P\to D_kを取る。上の等式にφ\varphiを適用すると、

D(hi)(x)−D(hj)(y)=∑a=1nra(D(hmafa)(za)−D(hℓa)(za))=0D(h_i)(x)-D(h_j)(y) =\sum_{a=1}^n r_a\bigl(D(h_{m_a}f_a)(z_a)-D(h_{\ell_a})(z_a)\bigr)=0

を得る。逆に、射u ⁣:i→ku\colon i\to k、v ⁣:j→kv\colon j\to kがD(u)(x)=D(v)(y)D(u)(x)=D(v)(y)を満たすならば、構造写像の整合性から

qi(x)=qkD(u)(x)=qkD(v)(y)=qj(y)q_i(x)=q_kD(u)(x)=q_kD(v)(y)=q_j(y)

である。

有限個の元をqia(xa)q_{i_a}(x_a)と表し、対象iai_aに補題 8.3を適用して射ha ⁣:ia→kh_a\colon i_a\to kを取ると、各元はqkD(ha)(xa)q_kD(h_a)(x_a)と表される。したがって、有限個の元は対象kkで同時に表される。

qi(x)=qi(0)q_i(x)=q_i(0)ならば、等号判定からD(u)(x)=D(v)(0)=0D(u)(x)=D(v)(0)=0となる射u,v ⁣:i→ju,v\colon i\to jが存在する。逆にD(u)(x)=0D(u)(x)=0ならばqi(x)=qjD(u)(x)=0q_i(x)=q_jD(u)(x)=0である。有限個の零判定に用いた射を補題 8.3によってまとめると、一つの射がすべてのxax_aを零へ送る。▨

補題 8.5.RRを単位的結合環、IIを非空有向半順序集合、MMを左RR加群とする。(Li)i∈I(L_i)_{i\in I}をMMの部分加群の族とし、i≤ji\leq jならばLi⊆LjL_i\subseteq L_jとする。このとき、U:=⋃i∈ILiU:=\bigcup_{i\in I}L_iはMMの左部分加群であり、包含Li→UL_i\to Uは、遷移写像を包含Li↪LjL_i\hookrightarrow L_jとする図式の余極限を与える。異なる添字が同じ部分加群を表していてもよい。右RR加群とその右部分加群の族についても同じ結論が成り立つ。

証明.IIは空でないので0∈U0\in Uである。x∈Lix\in L_i、y∈Ljy\in L_jとr∈Rr\in Rを取り、i,ji,jの共通上界kkを取ると、x−y∈Lk⊆Ux-y\in L_k\subseteq Uかつrx∈Li⊆Urx\in L_i\subseteq Uである。したがってUUは左部分加群である。

左RR加群PPと、i≤ji\leq jならばfj∣Li=fif_j|_{L_i}=f_iを満たす線形写像の族fi ⁣:Li→Pf_i\colon L_i\to Pを取る。x∈Ux\in Uに対し、x∈Lix\in L_iとなる添字iiを選び、f(x):=fi(x)f(x):=f_i(x)と定める。x∈Ljx\in L_jでもあるなら、共通上界kkにおいてfi(x)=fk(x)=fj(x)f_i(x)=f_k(x)=f_j(x)となるため、f(x)f(x)は添字の選び方によらない。x∈Lix\in L_i、y∈Ljy\in L_jとr∈Rr\in Rに対し、共通上界kkを取ると

f(x+y)=fk(x+y)=fk(x)+fk(y)=f(x)+f(y),f(rx)=fi(rx)=rf(x)f(x+y)=f_k(x+y)=f_k(x)+f_k(y)=f(x)+f(y), \qquad f(rx)=f_i(rx)=rf(x)

であるからffは左RR線形である。f∣Li=fif|_{L_i}=f_iがすべてのiiで成り立ち、任意の元があるLiL_iに属することから、この条件を満たす射は一意である。したがって包含の余錐は余極限である。

右RR加群を左RopR^{\mathrm{op}}加群とみなして左版を適用すると、右版を得る。▨

9 完全性と共終部分圏

定理 9.1.RRを単位的結合環、IIをフィルター圏とし、A→aB→bCA\xrightarrow{a}B\xrightarrow{b}CをII上の左RR-加群の図式の射の列とする。すべての対象iiでim⁡ai=ker⁡bi\im a_i=\ker b_iが成り立つならば、

lim→⁡IAi⟶lim→⁡IBi⟶lim→⁡ICi\varinjlim_I A_i\longrightarrow\varinjlim_I B_i\longrightarrow\varinjlim_I C_i

も中央で完全である。また、図式の射の各成分が単射ならば余極限の誘導写像も単射であり、各成分が全射ならば余極限の誘導写像も全射である。したがってフィルター余極限は短完全列を保つ。

証明.biai=0b_ia_i=0であるから、誘導写像の合成も零である。lim→⁡IBi\varinjlim_I B_iの元zzがlim→⁡ICi\varinjlim_I C_iで零になるとし、定理 8.4 (1)によってzzをy∈Biy\in B_iで表す。定理 8.4 (3)によってC(u)bi(y)=0C(u)b_i(y)=0となる射u ⁣:i→ju\colon i\to jが存在する。図式の射の条件からbjB(u)(y)=0b_jB(u)(y)=0である。段階jjの完全性によってaj(x)=B(u)(y)a_j(x)=B(u)(y)となるx∈Ajx\in A_jを取ると、xxの類はzzへ写る。よって核は像に含まれる。

各aia_iが単射であり、x∈Aix\in A_iの類がlim→⁡IBi\varinjlim_I B_iで零になるとする。零判定によってB(u)ai(x)=ajA(u)(x)=0B(u)a_i(x)=a_jA(u)(x)=0となる射u ⁣:i→ju\colon i\to jが存在する。aja_jの単射性からA(u)(x)=0A(u)(x)=0であり、xxの類は既に零である。各bib_iが全射ならば、CiC_iの任意の代表元をBiB_iに持ち上げることで誘導写像の全射性を得る。▨

定義 9.2 (共終な充満部分圏).IIをフィルター圏とする。IIの対象の部分集合を取り、それらの間の射をすべて残した小圏JJを、IIの充満部分圏 (full subcategory) という。充満部分圏JJがIIで共終 (cofinal) であるとは、任意の対象i∈Ii\in Iに対して、ある対象j∈Jj\in Jと射i→ji\to jが存在することをいう。

命題 9.3.RRを単位的結合環、IIをフィルター圏、JJをIIの共終な充満部分圏とする。このとき、JJはフィルター圏であり、任意の左RR-加群の図式DDに対する標準写像

lim→⁡j∈JDj⟶lim→⁡i∈IDi\varinjlim_{j\in J}D_j\longrightarrow\varinjlim_{i\in I}D_i

は同型である。

証明.IIの対象を一つ取って共終性を用いると、JJの対象が存在する。JJの二対象をII内で一つの対象kkへ送り、共終性によってさらにk→jk\to j、j∈Jj\in Jを取る。JJが充満なので、得られた二本の合成射はJJの射である。JJの平行射に対しては、II内で等しくする射を取り、その終域からさらにJJの対象へ送る。充満性から得られる合成射はJJの射である。したがってJJはフィルター圏である。

IIの余極限の元をx∈Dix\in D_iで表し、共終性によってu ⁣:i→ju\colon i\to j、j∈Jj\in Jを取る。D(u)(x)D(u)(x)は同じ元を表すので、標準写像は全射である。JJの余極限の元をx∈Djx\in D_jで表し、その像がIIの余極限で零になるとする。定理 8.4 (3)によりD(u)(x)=0D(u)(x)=0となる射u ⁣:j→ku\colon j\to kが存在する。さらにv ⁣:k→j′v\colon k\to j'、j′∈Jj'\in Jを取ると、vuvuはJJの射でありD(vu)(x)=0D(vu)(x)=0である。JJにおける零判定から元は既に零であり、標準写像は単射である。▨

10 共終な有向集合と同型の図式

命題 10.1.RRを単位的結合環、I,JI,Jを空でない有向集合、p ⁣:I→Jp\colon I\to Jを単調写像とする。任意のj∈Jj\in Jに対して、j≤p(i)j\le p(i)を満たすi∈Ii\in Iが存在すると仮定する。DDをJJ上の左RR加群の図式とし、その遷移射をdjk ⁣:Dj→Dkd_{jk}\colon D_j\to D_k（j≤kj\le k）と書く。このとき、構造射と可換する標準射

Φ ⁣:lim→⁡i∈IDp(i)⟶lim→⁡j∈JDj\Phi\colon\varinjlim_{i\in I}D_{p(i)}\longrightarrow\varinjlim_{j\in J}D_j

は同型である。右RR加群の図式についても同じ結論が成り立つ。

証明.LI=lim→⁡i∈IDp(i)L_I=\varinjlim_{i\in I}D_{p(i)}、LJ=lim→⁡j∈JDjL_J=\varinjlim_{j\in J}D_jとおき、構造射をそれぞれai ⁣:Dp(i)→LIa_i\colon D_{p(i)}\to L_I、bj ⁣:Dj→LJb_j\colon D_j\to L_Jと書く。ppの単調性と余錐の条件により、(bp(i))i∈I(b_{p(i)})_{i\in I}はD∘pD\circ pからLJL_Jへの余錐である。余極限の普遍性により、すべてのi∈Ii\in Iに対してΦai=bp(i)\Phi a_i=b_{p(i)}を満たす左RR線形写像Φ ⁣:LI→LJ\Phi\colon L_I\to L_Jが一意に存在する。

y∈LJy\in L_Jを取る。定理 8.4により、あるj∈Jj\in Jとx∈Djx\in D_jが存在してy=bj(x)y=b_j(x)となる。仮定によりj≤p(i)j\le p(i)を満たすi∈Ii\in Iを取ると、

y=bp(i)(dj,p(i)(x))=Φ(ai(dj,p(i)(x)))y=b_{p(i)}\bigl(d_{j,p(i)}(x)\bigr) =\Phi\bigl(a_i(d_{j,p(i)}(x))\bigr)

である。したがってΦ\Phiは全射である。

z∈ker⁡Φz\in\ker\Phiを取る。定理 8.4により、あるi∈Ii\in Iとx∈Dp(i)x\in D_{p(i)}が存在してz=ai(x)z=a_i(x)となる。bp(i)(x)=Φ(z)=0b_{p(i)}(x)=\Phi(z)=0であるから、定理 8.4の零判定により、p(i)≤jp(i)\le jかつdp(i),j(x)=0d_{p(i),j}(x)=0を満たすj∈Jj\in Jが存在する。仮定によりj≤p(i′)j\le p(i')を満たすi′∈Ii'\in Iを取り、IIの有向性によりi≤ki\le kかつi′≤ki'\le kを満たすk∈Ik\in Iを取る。ppは単調であるからp(i)≤j≤p(i′)≤p(k)p(i)\le j\le p(i')\le p(k)であり、

dp(i),p(k)(x)=dj,p(k)(dp(i),j(x))=0d_{p(i),p(k)}(x)=d_{j,p(k)}\bigl(d_{p(i),j}(x)\bigr)=0

となる。i≤ki\le kなので、余錐の条件から

z=ai(x)=ak(dp(i),p(k)(x))=0z=a_i(x)=a_k\bigl(d_{p(i),p(k)}(x)\bigr)=0

である。したがってΦ\Phiは単射でもあるので、同型である。右RR加群の場合は、反対環RopR^{\mathrm{op}}上の左加群に同じ議論を適用する。▨

命題 10.2.RRを単位的結合環、IIを空でない有向集合、DDをII上の左RR加群の図式とする。すべてのi≤ji\le jに対する遷移射dij ⁣:Di→Djd_{ij}\colon D_i\to D_jが同型であると仮定する。このとき、各i∈Ii\in Iに対して、余極限への構造射

ai ⁣:Di⟶lim→⁡j∈IDja_i\colon D_i\longrightarrow\varinjlim_{j\in I}D_j

は同型である。右RR加群の図式についても同じ結論が成り立つ。

証明.i∈Ii\in Iを固定し、L=lim→⁡j∈IDjL=\varinjlim_{j\in I}D_jとおく。x∈Dix\in D_iがai(x)=0a_i(x)=0を満たすとする。定理 8.4の零判定により、i≤ki\le kかつdik(x)=0d_{ik}(x)=0を満たすk∈Ik\in Iが存在する。dikd_{ik}は単射であるからx=0x=0となる。したがってaia_iは単射である。

y∈Ly\in Lを取る。定理 8.4により、あるj∈Ij\in Iとx∈Djx\in D_jが存在してy=aj(x)y=a_j(x)となる。IIの有向性によりi≤ki\le kかつj≤kj\le kを満たすk∈Ik\in Iを取る。dikd_{ik}は全射であるから、dik(u)=djk(x)d_{ik}(u)=d_{jk}(x)を満たすu∈Diu\in D_iが存在する。余錐の条件により

ai(u)=ak(dik(u))=ak(djk(x))=aj(x)=ya_i(u)=a_k(d_{ik}(u))=a_k(d_{jk}(x))=a_j(x)=y

である。したがってaia_iは全射でもあるので、同型である。右RR加群の場合は、反対環RopR^{\mathrm{op}}上の左加群に同じ議論を適用する。▨

例 10.3.Z\Z加群の有向系

Z/2Z⟶0⟶0⟶⋯\Z/2\Z\longrightarrow 0\longrightarrow 0\longrightarrow\cdots

を考える。このとき、遷移射はすべて全射である。定理 8.4により、余極限の各元は一つの段階の元で表示される。最初の段階の元も次の段階で零へ写るので、余極限は零加群である。したがって、最初の構造射Z/2Z→0\Z/2\Z\to0は単射でなく、同型ではない。

11 有限表示加群による表示

定理 11.1.RRを単位的結合環、MMを左RR-加群とする。このとき、次の小圏FMF_Mはフィルター圏である。対象はn∈N≥0n\in\N、有限生成部分加群K⊆RnK\subseteq R^nおよび線形写像α ⁣:Rn/K→M\alpha\colon R^n/K\to Mの組とする。対象P=(n,K,α)P=(n,K,\alpha)から対象Q=(m,L,β)Q=(m,L,\beta)への射は、βh=α\beta h=\alphaを満たす線形写像h ⁣:Rn/K→Rm/Lh\colon R^n/K\to R^m/Lとする。

各対象P=(n,K,α)P=(n,K,\alpha)にDP=Rn/KD_P=R^n/Kを、各射にその線形写像を対応させると、すべてのDPD_Pは有限表示加群であり、標準写像

lim→⁡P∈FMDP⟶M\varinjlim_{P\in F_M}D_P\longrightarrow M

は同型である。したがって、任意の左RR-加群は有限表示左RR-加群のフィルター余極限である。

証明. 各nnに対する部分加群KKは集合RnR^nの部分集合であり、各α\alphaは二つの集合の間の写像である。したがって対象全体は集合である。各二対象の間の線形写像も集合をなし、射全体は集合である。合成と恒等射は線形写像の合成と恒等写像から定まり、MMへの写像との可換性を保つ。定理 2.2によって各DPD_Pは有限表示である。

n=0n=0、K=0K=0、α=0\alpha=0が対象を与える。二対象P=(n,K,α)P=(n,K,\alpha)、Q=(m,L,β)Q=(m,L,\beta)に対し、Rn+m/(K⊕L)R^{n+m}/(K\oplus L)と写像[x,y]↦α([x])+β([y])[x,y]\mapsto\alpha([x])+\beta([y])は対象を与える。K⊕LK\oplus Lは両者の有限生成元によって生成され、二つの標準包含はMM上で可換するので、この対象はP,QP,Qの共通の行き先である。

平行射h,h′ ⁣:P→Qh,h'\colon P\to Qを取り、Q=(m,L,β)Q=(m,L,\beta)とする。DPD_Pは有限生成なので、H=im⁡(h−h′)⊆DQH=\im(h-h')\subseteq D_Qは有限生成である。商写像π ⁣:Rm→DQ\pi\colon R^m\to D_Qに対して、HHの有限生成元を持ち上げると、L′=π−1(H)L'=\pi^{-1}(H)はLLの生成元と有限個の持ち上げによって生成される。β(h−h′)=0\beta(h-h')=0なので、β\betaはRm/L′R^m/L'からMMへの写像を定める。商写像DQ→Rm/L′D_Q\to R^m/L'はFMF_Mの射であり、h,h′h,h'との合成を等しくする。よってFMF_Mはフィルター圏である。

構造写像α\alphaの族は余錐をなすので、標準写像Φ ⁣:lim→⁡FMDP→M\Phi\colon\varinjlim_{F_M}D_P\to Mが定まる。任意のx∈Mx\in Mは、対象(1,0,r↦rx)(1,0,r\mapsto rx)の元1∈R1\in Rの像である。したがってΦ\Phiは全射である。

Φ\Phiの核の元を定理 8.4 (1)によってy∈DPy\in D_Pで表し、P=(n,K,α)P=(n,K,\alpha)とする。α(y)=0\alpha(y)=0であるから、α\alphaは商DP/RyD_P/Ryへ因子化する。yyの持ち上げy~∈Rn\widetilde y\in R^nを一つ取ると、DP/Ry=Rn/(K+Ry~)D_P/Ry=R^n/(K+R\widetilde y)であり、K+Ry~K+R\widetilde yは有限生成である。この商はFMF_Mの対象を与え、標準射はyyを零へ送る。定理 8.4 (3)によってyyの類は零であり、Φ\Phiは単射である。▨

12 有限生成性・有限表示性と Hom

定理 12.1.RRを単位的結合環、MMを左RR-加群とする。フィルター圏II上の左RR-加群の図式DDに対し、Hom⁡R(M,Di)\Hom_R(M,D_i)を後合成によるアーベル群の図式とみなす。余極限の構造写像をqiq_iとする。このとき、標準準同型

ΘD ⁣:lim→⁡IHom⁡R(M,Di)⟶Hom⁡R(M,lim→⁡IDi),[f]⟼qif\Theta_D\colon\varinjlim_I\Hom_R(M,D_i) \longrightarrow\Hom_R\left(M,\varinjlim_I D_i\right), \qquad [f]\longmapsto q_if

について次が成り立つ。

  1. MMが有限生成であることと、任意のフィルター圏IIおよび任意の図式DDに対してΘD\Theta_Dが単射であることは同値である。
  2. MMが有限表示であることと、任意のフィルター圏IIおよび任意の図式DDに対してΘD\Theta_Dが全単射であることは同値である。

証明.主張 (1)を示す。MMがm1,…,mnm_1,\ldots,m_nによって生成されるとし、ΘD\Theta_Dの核の元をf ⁣:M→Dif\colon M\to D_iで表す。各f(ma)f(m_a)は余極限で零になるので、定理 8.4 (3)によって、一つの射u ⁣:i→ju\colon i\to jがすべてのf(ma)f(m_a)を零へ送る。mam_aはMMを生成するためD(u)f=0D(u)f=0であり、[f]=0[f]=0となる。

逆に、すべてのΘD\Theta_Dが単射であるとする。MMの有限生成部分加群LL全体を包含で順序づけ、DL=M/LD_L=M/Lとする。包含L⊆L′L\subseteq L'に対して商写像を遷移写像とする。x+Lx+Lは段階L+RxL+Rxで零になるので、この有向極限は零である。段階L=0L=0の恒等写像1M ⁣:M→M1_M\colon M\to Mの類はΘD\Theta_Dによって零へ送られる。単射性と定理 8.4 (3)によって、ある有限生成部分加群LLに対して商写像M→M/LM\to M/Lが零となる。したがってM=LM=Lであり、MMは有限生成である。

主張 (2)を示す。MMが有限表示ならば有限生成であるから、既に示した主張 (1)によりΘD\Theta_Dは単射である。定理 2.2によってM=Rn/KM=R^n/Kという表示を取り、KKの生成元をk1,…,ktk_1,\ldots,k_tとする。射f ⁣:M→C=lim→⁡IDif\colon M\to C=\varinjlim_I D_iを取り、標準基底eae_aの像f(ea+K)f(e_a+K)を定理 8.4 (1)によって一つのDiD_iの元yay_aで同時に表す。線形写像g ⁣:Rn→Dig\colon R^n\to D_iをg(ea)=yag(e_a)=y_aで定めると、各g(kb)g(k_b)はCCで零になる。定理 8.4 (3)によって、あるu ⁣:i→ju\colon i\to jに対してすべてのD(u)g(kb)D(u)g(k_b)が零になる。したがってD(u)gD(u)gはKKを零へ送り、射g‾ ⁣:M→Dj\overline g\colon M\to D_jを定める。生成元の像を比較するとqjg‾=fq_j\overline g=fであるから、ΘD\Theta_Dは全射である。

逆に、すべてのΘD\Theta_Dが全単射であるとする。定理 11.1によってMMを有限表示加群のフィルター余極限として表す。ΘD\Theta_Dの全射性を1M1_Mに適用すると、ある有限表示加群PPからの構造写像α ⁣:P→M\alpha\colon P\to Mと射s ⁣:M→Ps\colon M\to Pがαs=1M\alpha s=1_Mを満たす。したがってα\alphaは全射であり、短完全列0→ker⁡α→P→αM→00\to\ker\alpha\to P\xrightarrow{\alpha}M\to0は切断ssをもつ。§E6.8 命題 3.2によりP≅ker⁡α⊕MP\cong\ker\alpha\oplus Mであるから、定理 4.3 (2)によってMMは有限表示である。▨

13 有向極限の例

例 13.1.ppを素数とし、n∈N≥0n\in\Nに対してDn=Z/pnZD_n=\Z/p^n\Zと置く。遷移写像Dn→Dn+1D_n\to D_{n+1}を[a]↦[pa][a]\mapsto[pa]とすると、有向極限は

lim→⁡nDn≅Z[1/p]/Z\varinjlim_nD_n\cong\Z[1/p]/\Z

となる。この群を Prüferpp群 (Prüfer p-group) といい、Z(p∞)\Z(p^\infty)と書く。実際、写像Dn→Z[1/p]/ZD_n\to\Z[1/p]/\Z、[a]↦a/pn+Z[a]\mapsto a/p^n+\Zは単射であり、遷移写像と可換する。任意の分数a/pna/p^nが像に属するので余極限からの写像は全射である。余極限の元を[a]∈Dn[a]\in D_nで表したとき、その像が零ならばpnp^nはaaを割るので、代表元は既に零である。したがって写像は単射でもある。

各段階は有限群であるが、1/pn+Z1/p^n+\Zの位数はpnp^nであるから、余極限は有限群ではない。

例 13.2. 正整数の集合を割切り関係で順序づけると、m,nm,nの共通の上界としてmnmnを取ることができる。Dn=1nZ⊆QD_n=\frac1n\Z\subseteq\Qとし、n∣mn\mid mのときの遷移写像を包含とすると、

lim→⁡n1nZ≅Q\varinjlim_n\frac1n\Z\cong\Q

である。すべての有理数があるDnD_nに属するので、標準写像は全射である。その核の元をx∈Dnx\in D_nで表すと、xxのQ\Qへの像が零であることからx=0x=0であり、写像は単射である。

各DnD_nは一つの元で生成されるが、Q\Qは有限生成のZ\Z-加群ではない。実際、有限個の有理数は共通の分母nnをもち、それらが生成する部分群は1nZ\frac1n\Zに含まれる。一方、1/(2n)1/(2n)はこの部分群に含まれない。

14 演習

問題 14.1 (有限生成加群と有限表示加群の確認). 次の各問に答えよ。

  1. 命題 1.6の証明を完成させよ。n=0n=0の場合も述べよ。
  2. 命題 1.7の証明を完成させよ。n=0n=0の場合も述べよ。
  3. 非零有限生成左加群の真の部分加群全体に Zorn の補題を適用せよ。鎖の和が真であることを有限生成性から示し、右加群版を反対環から導け。
  4. 定理 2.2の証明を完成させよ。
  5. MMが有限表示であるとき、任意の全射φ ⁣:Rn→M\varphi\colon R^n\to Mの核が有限生成であることを、二つの持ち上げ写像を構成して証明せよ。
  6. A∈Mat⁡m×n(R)A\in\operatorname{Mat}_{m\times n}(R)に対して(xA)j=∑ixiaij(xA)_j=\sum_i x_i a_{ij}と定めた写像が左RR線形であることを示し、(xA)B=x(AB)(xA)B=x(AB)を係数の順序を変えずに証明せよ。また、例 3.1で左乗法が左線形でないことを直接確認せよ。
  7. 有限表示Rm→x↦xARn→M→0R^m\xrightarrow{x\mapsto xA}R^n\to M\to0において、AAの各行が関係式を与え、すべての関係がそれらの行の左一次結合になることを証明せよ。
  8. 有限生成加群の商が有限生成であることを証明せよ。また、有限直和が有限生成であることと各成分が有限生成であることの同値を証明せよ。
  9. MMが有限表示でN⊆MN\subseteq Mが有限生成であるとき、M/NM/Nが有限表示であることを証明せよ。特に、全射Rn→M/NR^n\to M/Nの核を具体的に記述せよ。
  10. 有限直和が有限表示であることと各成分が有限表示であることの同値を証明せよ。
  11. 例 7.1について、RRの結合律と単位元、m2=0\mathfrak m^2=0、ker⁡π=m\ker\pi=\mathfrak m、m\mathfrak mの非有限生成性、IIの非有限表示性、およびRR自身の有限表示性を順に確認せよ。
解答 (演習の解答).
  1. 定義から全射π ⁣:Rn→M\pi\colon R^n\to Mを取ると、π(e1),…,π(en)\pi(e_1),\ldots,\pi(e_n)がMMを生成する。逆にx1,…,xnx_1,\ldots,x_nがMMを生成するならば、自由加群の普遍性によりei↦xie_i\mapsto x_iを線形に延長した写像Rn→MR^n\to Mは全射である。n=0n=0のときR0=0R^0=0であり、0→M0\to Mが全射であることはM=0M=0と同値である。
  2. 全射π ⁣:Rn→M\pi\colon R^n\to Mがあれば、π(e1),…,π(en)\pi(e_1),\ldots,\pi(e_n)がMMを右から生成する。逆に右生成族xix_iがあれば、右自由加群の普遍性によってei↦xie_i\mapsto x_iを指定する全射を得る。係数は常に生成元の右側に置く。n=0n=0の場合、0→M0\to Mが全射であることも空族がMMを生成することも、M=0M=0と同値である。
  3. 真の左部分加群全体は00を含む。鎖の和UUは部分加群である。もしU=MU=Mならば有限生成族の各元は鎖のある元に属し、それら有限個の部分加群の最大のものが生成族全体を含むためMMに等しくなる。鎖のある元がMMに等しいという結論は、鎖の各元が真の部分加群であることに反する。よって Zorn の補題から極大部分加群を得る。右加群を左RopR^{\mathrm{op}}加群とみなせば右版が従う。
  4. 有限完全列Rm→αRn→πM→0R^m\xrightarrow{\alpha}R^n\xrightarrow{\pi}M\to0があれば、ker⁡π=im⁡α\ker\pi=\operatorname{im}\alphaはα(e1),…,α(em)\alpha(e_1),\ldots,\alpha(e_m)によって生成される。逆に、ker⁡π\ker\piがz1,…,zmz_1,\ldots,z_mによって生成されるならば、ej↦zje_j\mapsto z_jを線形に延長した写像の像はker⁡π\ker\piであり、有限完全列を得る。生成族xix_iの座標写像πx\pi_xについてker⁡πx=Rel⁡(x1,…,xn)\ker\pi_x=\operatorname{Rel}(x_1,\ldots,x_n)であるため、残る同値も従う。
  5. 有限生成核KKをもつ全射p ⁣:Rq→Mp\colon R^q\to Mを取る。標準基底の像を全射によって持ち上げ、φu=p\varphi u=pを満たすu ⁣:Rq→Rnu\colon R^q\to R^nとpv=φpv=\varphiを満たすv ⁣:Rn→Rqv\colon R^n\to R^qを構成する。d=id⁡Rn−uvd=\operatorname{id}_{R^n}-uvと置くとd(Rn)⊆ker⁡φd(R^n)\subseteq\ker\varphiである。KKがk1,…,ksk_1,\ldots,k_sによって生成されるならば、x∈ker⁡φx\in\ker\varphiに対してv(x)∈Kv(x)\in Kかつx=uv(x)+d(x)x=uv(x)+d(x)である。したがってker⁡φ\ker\varphiはu(k1),…,u(ks),d(e1),…,d(en)u(k_1),\ldots,u(k_s),d(e_1),\ldots,d(e_n)によって生成される。
  6. §E6.3 命題 6.2をA∈Mat⁡m×n(R)A\in\operatorname{Mat}_{m\times n}(R)に適用すると、(xA)j=∑ixiaij(xA)_j=\sum_i x_i a_{ij}によって定まる写像Rm→RnR^m\to R^nは左RR線形である。同じ命題をB∈Mat⁡n×p(R)B\in\operatorname{Mat}_{n\times p}(R)とともに適用すると、任意のx∈Rmx\in R^mに対して(xA)B=x(AB)(xA)B=x(AB)を得る。合成に現れる係数の積の順序はxiaijbjkx_i a_{ij}b_{jk}であり、係数の可換性を仮定しない。例のp,qp,qについて、右乗法は(rx)q=r(xq)(rx)q=r(xq)を満たす。一方、左乗法ではqpqpとp(q1R)=pqp(q1_R)=pqが一致せず、qp≠pqqp\ne pqである。
  7. 第ii行はeiAe_iAであり、完全性からeiA∈ker⁡πe_iA\in\ker\piである。したがって∑jaijxj=0\sum_j a_{ij}x_j=0となる。任意の関係b∈ker⁡πb\in\ker\piはb=cAb=cAと書かれ、cAcAはAAの各行を左係数cic_iで一次結合した行である。
  8. MMの生成元xix_iの像xi+Nx_i+NがM/NM/Nを生成する。各MjM_jの有限生成族を標準包含で直和へ移すと、その有限個の合併が直和を生成する。逆に、各MjM_jは直和からの座標射影による商であるため有限生成である。
  9. 有限生成核KKをもつ全射π ⁣:Rn→M\pi\colon R^n\to Mを取り、NNの生成元yℓy_\ellをy~ℓ∈Rn\widetilde y_\ell\in R^nへ持ち上げる。商写像をq ⁣:M→M/Nq\colon M\to M/Nとすると、 ker⁡(qπ)=K+∑ℓRy~ℓ\ker(q\pi)=K+\sum_\ell R\widetilde y_\ell である。右辺が核に含まれることは直ちに従う。逆にqπ(z)=0q\pi(z)=0ならば、π(z)=∑ℓaℓyℓ\pi(z)=\sum_\ell a_\ell y_\ellと書くことができ、z−∑ℓaℓy~ℓ∈Kz-\sum_\ell a_\ell\widetilde y_\ell\in Kとなる。よって核は有限生成であり、M/NM/Nは有限表示である。
  10. 各成分について有限自由全射Rnj→MjR^{n_j}\to M_jと有限生成核KjK_jを取る。有限直和を取ると、始域は有限階数自由加群、核は有限生成加群⨁jKj\bigoplus_jK_jになるため、直和は有限表示である。逆に直和FFが有限表示ならば有限生成でもあり、各成分とほかの成分の有限直和は有限生成である。座標射影の核であるほかの成分の直和をNjN_jとすると、商F/Nj≅MjF/N_j\cong M_jは有限表示である。
  11. 三つの元の積をどちらから計算しても(abc,abw+acv+bcu)(abc,ab w+ac v+bc u)となり、(1,0)(1,0)が単位元である。(0,u)(0,v)=0(0,u)(0,v)=0であるためm2=0\mathfrak m^2=0である。π(a,u)=(0,aex)\pi(a,u)=(0,ae_x)なのでker⁡π=0⊕V=m\ker\pi=0\oplus V=\mathfrak mとなる。m\mathfrak mの有限個の元が生成する部分加群は、それらのVV成分の有限次元kk線形包であり、有限個の台の外にあるeyNe_{y_N}を含まない。よってm\mathfrak mは有限生成でない。IIが有限表示ならば全射R→IR\to Iの核は有限生成となるため矛盾する。一方、RRは階数一の自由左加群であり、零核をもつ恒等写像R→RR\to Rが有限表示を与える。

▨

問題 14.2 (有向極限の計算).

  1. 素数ppに対し、Z(p∞)\Z(p^\infty)のpap^a倍写像は任意のa∈N≥0a\in\Nについて全射であり、その核はZ/paZ\Z/p^a\Zに同型であることを示せ。
  2. 左RR-加群MMの有限部分集合XXに対し、R⊕X→MR^{\oplus X}\to M、ex↦xe_x\mapsto xの核をKXK_Xとする。KXK_Xの有限部分集合EEとXXの組を添字とし、X⊆X′X\subseteq X'かつ標準包含R⊕X→R⊕X′R^{\oplus X}\to R^{\oplus X'}がEEをE′E'に送るとき(X,E)≤(X′,E′)(X,E)\le(X',E')と定める。この添字は有向集合であり、PX,E=R⊕X/⟨E⟩P_{X,E}=R^{\oplus X}/\langle E\rangleの有向極限はMMに標準的に同型であることを示せ。
  3. 小圏IIの対象を0,10,1とし、恒等射以外の射を二本u,v ⁣:0→1u,v\colon0\to1だけとする。アーベル群の図式A,BA,Bを A0=0,A1=Z,B0=B1=Z,B(u)=1Z,B(v)=0A_0=0,\quad A_1=\Z,\qquad B_0=B_1=\Z,\quad B(u)=1_\Z,\quad B(v)=0 で定める。A(u)=A(v)=0A(u)=A(v)=0とする。図式の射A→BA\to Bを段階00では零加群からの包含、段階11では恒等写像とすると、各成分は単射であるが余極限の射は単射でないことを示せ。
解答.

(1)。元b/pn+Zb/p^n+\Zは、pap^a倍写像によってb/pn+a+Zb/p^{n+a}+\Zから得られるので全射性が成り立つ。核はpax∈Zp^ax\in\Zを満たすx∈Z[1/p]x\in\Z[1/p]の類である。この条件はx∈p−aZx\in p^{-a}\Zと同値であり、写像Z/paZ→p−aZ/Z\Z/p^a\Z\to p^{-a}\Z/\Z、[b]↦b/pa+Z[b]\mapsto b/p^a+\Zは同型である。

(2)。X,EX,Eは集合の有限部分集合なので添字全体は集合である。指定した関係は反射的かつ推移的であり、両向きに成り立つならばX=X′X=X'、E=E′E=E'となるので反対称的である。二つの添字(X,E)(X,E)、(Y,F)(Y,F)に対してZ=X∪YZ=X\cup Yと置き、E,FE,FをR⊕ZR^{\oplus Z}へ送った像の和集合をGGとする。両像はKZK_Zに含まれるので、(Z,G)(Z,G)は共通の上界である。(∅,∅)(\varnothing,\varnothing)が添字を与えるので空でない。

標準包含は⟨E⟩\langle E\rangleを⟨E′⟩\langle E'\rangleに送るため、商の間の遷移写像を定める。各商は有限個の生成元と有限個の関係をもつので有限表示である。標準写像の余錐からΦ ⁣:lim→⁡PX,E→M\Phi\colon\varinjlim P_{X,E}\to Mを得る。x∈Mx\in Mは段階({x},∅)(\{x\},\varnothing)の標準基底の像であるから、Φ\Phiは全射である。核の元をz+⟨E⟩∈PX,Ez+\langle E\rangle\in P_{X,E}で表すと、z∈KXz\in K_Xである。段階(X,E∪{z})(X,E\cup\{z\})で代表元が零になるので、定理 8.4 (3)によって元は零である。したがってΦ\Phiは単射である。

(3)。段階00からの二つの合成はともに零なので、指定した成分は図式の射をなす。二本の平行射の図式の余極限は余等化子であるから、§E6.3 命題 3.2 (2)によってlim→⁡IAi=Z\varinjlim_I A_i=\Z、lim→⁡IBi=coker⁡(1Z−0)=0\varinjlim_I B_i=\coker(1_\Z-0)=0となる。したがって余極限の射はZ→0\Z\to0であり、単射ではない。IIではu,vu,vを等しくする11からの射が存在しないため、フィルター性の平行射の条件が成立しない。▨

参考文献

  1. Serge Lang, Algebra, revised 3 ed., Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 2002.有限生成加群、有限表示加群および生成元と関係式による表示の標準的な定式化を参考にした。
  2. T. Y. Lam, Lectures on Modules and Rings, Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 1999.非可換環上の左加群と有限表示加群の取扱いを参考にした。
  3. Frank W. Anderson and Kent R. Fuller, Rings and Categories of Modules, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1992.有限生成性と有限表示性の基本的な保存性を参考にした。

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