複素数平面 | 図形と方程式

1 複素数平面と極形式

定義 1.1 (複素数平面). 複素数 $z=x+iy$ （ $x,y\in\R$ 、 $i^2=-1$ ）を点 $(x,y)$ に対応させた平面を複素数平面 (complex plane) と呼ぶ。実部 $x$ を横軸、虚部 $y$ を縦軸にとる。同じ複素数を、原点から点 $(x,y)$ へのベクトルとしても表す。絶対値は $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ であり、そのベクトルの長さに等しい。

定義 1.2 (極形式). 非零の複素数 $z=x+iy$ に対し、 $r=|z|>0$ とし、 $\cos\theta=x/r$ 、 $\sin\theta=y/r$ を満たす実数角 $\theta$ を偏角 (argument) と呼ぶ。表示

z=r(\cos\theta+i\sin\theta)

を極形式 (polar form) と呼ぶ。偏角は整数 $k$ による $2k\pi$ の差を除いて定まり、 $\arg z$ と書く。 $z=0$ には偏角を定めない。

例 1.3. $z=\sqrt3+i$ では $r=2$ 、 $\cos\theta=\sqrt3/2$ 、 $\sin\theta=1/2$ なので、偏角の一つは $\pi/6$ である。

下の図では、絶対値と偏角による点の位置を示しています。

2 積と商による回転・拡大・縮小

公式 2.1. $z_j=r_j(\cos\theta_j+i\sin\theta_j)$ （ $j=1,2$ 、 $r_j>0$ ）に対して

z_1z_2=r_1r_2\bigl(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\bigr),

\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\bigr).

固定した非零複素数 $w=\rho(\cos\alpha+i\sin\alpha)$ を掛ける操作は、原点を中心に角 $\alpha$ だけ回転し、原点からの距離を $\rho$ 倍する操作である。 $w$ で割る操作は、角 $-\alpha$ の回転と距離の $1/\rho$ 倍に対応する。これらの操作では原点は原点に移る。

証明. 積を展開して $i^2=-1$ と加法定理§A2.3 定理 1.1を用いると

(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)(\cos\theta_2+i\sin\theta_2) =\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)

となる。また $\cos^2\theta_2+\sin^2\theta_2=1$ により

\frac1{z_2}=\frac1{r_2}(\cos\theta_2-i\sin\theta_2) =\frac1{r_2}(\cos(-\theta_2)+i\sin(-\theta_2)).

積の公式を $z_1$ と $1/z_2$ に用いると商の公式を得る。固定した $w$ に対する公式により距離と偏角の変化が示されるので、回転と拡大・縮小の解釈も従う。▨

例 2.2. $z=\sqrt3+i=2(\cos(\pi/6)+i\sin(\pi/6))$ に $i$ を掛けると

iz=-1+\sqrt3i=2(\cos(2\pi/3)+i\sin(2\pi/3)).

絶対値は $2$ のままで、点は反時計回りに $\pi/2$ 回転する。また

\frac{1+i}{\sqrt3+i} =\frac{(1+i)(\sqrt3-i)}4 =\frac{\sqrt3+1}{4}+i\frac{\sqrt3-1}{4}

の絶対値は $\sqrt2/2$ 、偏角の一つは $\pi/4-\pi/6=\pi/12$ である。商では距離の比と角の差を用いる。

問題 2.3. 相異なる複素数 $a,b$ に対応する点を $\mathrm A,\mathrm B$ とする。三角形 $\mathrm{ABC}$ が正三角形となるような点 $\mathrm C$ に対応する複素数 $c$ をすべて求め、得られた二つの値を回転によって説明せよ。

解答.

複素数の差 $b-a$ はベクトル $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ に対応し、 $|b-a|$ は辺 $\mathrm{AB}$ の長さである。 $b-a\ne0$ なので

w=\frac{c-a}{b-a}

とおくことができる。三辺の長さが等しい条件は、商の絶対値の公式により

|w|=1,\qquad |w-1|=1

と同値である。 $w=u+iv$ （ $u,v\in\R$ ）と書けば

u^2+v^2=1,\qquad (u-1)^2+v^2=1

となる。二つの式を引くと $u=1/2$ であり、第一の式から $v=\pm\sqrt3/2$ を得る。したがって

c=a+(b-a)\left(\frac12\pm\frac{\sqrt3}{2}i\right)

が全解である。逆に、二つの値はいずれも $|c-a|=|c-b|=|b-a|>0$ を満たすので、正三角形の頂点となる。 $b-a\ne0$ であるため二つの値は異なる。

係数 $1/2\pm(\sqrt3/2)i$ は、絶対値が $1$ 、偏角がそれぞれ $\pi/3,-\pi/3$ の複素数である。したがって、ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ を反時計回りまたは時計回りに $\pi/3$ 回転し、始点を $\mathrm A$ とすることで、二つの頂点を得る。▨

3 ド・モアブルの定理と累乗根

定理 3.1 (ド・モアブルの定理). $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ 、 $r>0$ に対して、任意の整数 $m$ について

z^m=r^m(\cos m\theta+i\sin m\theta)

が成り立つ。 $m\ge1$ なら $z=0$ の累乗も $0$ である。

証明. 正整数 $m$ では、積の公式を繰り返し用いると、絶対値は $r^m$ 、偏角は $m\theta$ となる。 $m=0$ では両辺が $1$ である。 $m=-q<0$ では、 $z^{-1}=r^{-1}(\cos(-\theta)+i\sin(-\theta))$ の $q$ 乗に正整数の場合を用いる。▨

定理 3.2. 正整数 $n\ge1$ と非零複素数 $w=R(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ （ $R>0$ ）に対して、 $z^n=w$ の解は、相異なる次の $n$ 個である。

z_k=R^{1/n}\left(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right), \qquad k=0,1,\ldots,n-1.

$w=0$ なら、解は $z=0$ だけである。

証明. 各 $z_k$ を $n$ 乗すると、ド・モアブルの定理と周期性により $w$ を得る。 $0\le j,k<n$ で二つの根が同じなら、偏角の差 $2(k-j)\pi/n$ が $2\pi$ の整数倍である。したがって $k-j$ は $n$ の倍数であり、この範囲では $k=j$ に限る。逆に $z^n=w\ne0$ とすると、 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ 、 $r>0$ と書くことができる。絶対値と偏角を比較して $r^n=R$ 、 $n\theta=\varphi+2\ell\pi$ （ $\ell\in\Z$ ）を得る。 $\ell=nq+k$ 、 $0\le k<n$ と書くと、 $\theta=(\varphi+2k\pi)/n+2q\pi$ なので $z=z_k$ である。よって全解を列挙した。 $z^n=0$ の場合には、 $|z|^n=0$ から $z=0$ が従う。▨

注意 3.3. 偏角の値を一つに選ぶ場合には、 $0\le\theta<2\pi$ や $-\pi<\theta\le\pi$ などの範囲を指定する。累乗根の公式で $\varphi$ を $\varphi+2\pi$ に替えても、根の列挙の順序が変わるだけで解の集合は同じである。非零の数の $n$ 乗根は $n$ 個あるが、零の $n$ 乗根は零だけである。

例 3.4. $w=8i=8(\cos(\pi/2)+i\sin(\pi/2))$ の3乗根は、絶対値 $2$ 、偏角 $\pi/6,5\pi/6,3\pi/2$ の三点なので

z=\sqrt3+i,\quad -\sqrt3+i,\quad -2i

である。 $w=1$ では $R=1,\varphi=0$ として

z_k=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}\quad(k=0,\ldots,n-1)

を得る。これらは単位円上に角の間隔 $2\pi/n$ で並び、 $n\ge3$ の場合には正 $n$ 角形の頂点となる。 $n=1$ では点 $1$ だけ、 $n=2$ では二点 $1,-1$ である。

閑話休題：正17角形の作図と累乗根 $n\ge3$ のとき、1の $n$ 乗根は正 $n$ 角形の頂点です。定規とコンパスによる正多角形の作図は、その頂点の座標を四則演算と平方根の有限回の操作で表すことができるか、という代数の問題として扱います。

ガウスは正17角形が作図可能であることを示しました。 $\cos(2\pi/17)$ を平方根の入れ子で表すには、1の17乗根を組にまとめ、その和が満たす2次方程式を段階的に解きます。 $17-1=16=2^4$ はこの分解に関係しますが、次数が16であることだけでは、任意の代数的な数を平方根で表すことができるとは結論されません。必要なのは、根の組の和を順に求めることのできる2次方程式の連鎖です。正多角形の作図可能性の分類は、累乗根の入れ替えの構造を扱うガロア理論（§E8 体論入門）につながります。

§A2.13複素数平面

1 複素数平面と極形式

2 積と商による回転・拡大・縮小

3 ド・モアブルの定理と累乗根

例題

演習

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