2×2行列と平面の一次変換 | 図形と方程式

1 行列で表す一次変換

定義 1.1 (2×2行列による一次変換). ベクトルの和と実数倍を保つ平面から自身への写像を、平面の一次変換 (linear transformation of the plane) という。実数 $a,b,c,d,x,y$ に対して

A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix},\qquad T_A(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x} =\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}

と定める。

命題 1.2. 任意の2×2実行列 $A$ に対して $T_A$ は平面の一次変換である。反対に、任意の平面の一次変換 $T$ は、ただ一つの2×2実行列 $A$ によって $T=T_A$ と表される。

\boldsymbol{e}_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol{e}_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}

とすると、 $T(\boldsymbol{e}_1),T(\boldsymbol{e}_2)$ が、それぞれ $A$ の第1列と第2列になる。

証明. 列ベクトル $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}$ と実数 $r$ をとる。成分を計算すると

A(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=A\boldsymbol{x}+A\boldsymbol{y}, \qquad A(r\boldsymbol{x})=rA\boldsymbol{x}

となるので、 $T_A$ はベクトルの和と実数倍を保つ。

次に、ベクトルの和と実数倍を保つ一次変換 $T$ をとり、

T(\boldsymbol{e}_1)=\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix},\qquad T(\boldsymbol{e}_2)=\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}

と書く。任意の列ベクトルは $\boldsymbol{x}=x\boldsymbol{e}_1+y\boldsymbol{e}_2$ と表されるから、

T(\boldsymbol{x})=xT(\boldsymbol{e}_1)+yT(\boldsymbol{e}_2) =\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}=T_A(\boldsymbol{x})

となる。 $T$ を表す行列の2列は $T(\boldsymbol{e}_1),T(\boldsymbol{e}_2)$ でなければならないので、その行列は一意である。▨

定義 1.3. 2×2実行列

A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}

の積 (matrix product) を

AB=\begin{pmatrix}ap+br&aq+bs\\cp+dr&cq+ds\end{pmatrix}

と定める。

定理 1.4. 2×2実行列 $A,B$ に対し、列ベクトルへ $T_B$ を作用させてから $T_A$ を作用させる合成は

T_A\circ T_B=T_{AB}

である。したがって、先に作用する変換の行列は積の右側に置かれる。

証明. $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ 、 $B=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}$ とする。 $T_A,T_B$ はベクトルの和と実数倍を保つので、合成 $T_A\circ T_B$ も和と実数倍を保つ。命題 1.2により、この合成を表す行列の第1列と第2列は、それぞれ

A\begin{pmatrix}p\\r\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}ap+br\\cp+dr\end{pmatrix},\qquad A\begin{pmatrix}q\\s\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}aq+bs\\cq+ds\end{pmatrix}

である。したがって、合成を表す行列は $AB$ であり、 $T_A\circ T_B=T_{AB}$ である。▨

2 回転と代表的な変換

定理 2.1. 原点を中心として列ベクトルを反時計回りに角 $\theta$ だけ回転する一次変換の行列は

R_\theta=\begin{pmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix}

である。また、任意の実数 $\alpha,\beta$ に対して

R_\alpha R_\beta=R_{\alpha+\beta}

が成り立つ。

証明. 任意の非零列ベクトル $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ を $r\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\end{pmatrix}$ （ $r>0$ 、 $\varphi\in\R$ ）と表す。角 $\theta$ だけ回転したベクトルは $r\begin{pmatrix}\cos(\varphi+\theta)\\\sin(\varphi+\theta)\end{pmatrix}$ である。加法定理により、その成分は

\begin{pmatrix}x\cos\theta-y\sin\theta\\x\sin\theta+y\cos\theta\end{pmatrix}

となる。零ベクトルは回転しても零である。したがって、回転はすべての列ベクトルに対して $R_\theta$ の作用と一致する。

単位ベクトル $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2$ をとる。それぞれの偏角は $0,\frac{\pi}{2}$ であるから、角 $\theta$ だけ回転すると、

\boldsymbol{e}_1\longmapsto \begin{pmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol{e}_2\longmapsto \begin{pmatrix}\cos(\frac{\pi}{2}+\theta)\\\sin(\frac{\pi}{2}+\theta)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\sin\theta\\\cos\theta\end{pmatrix}.

この二つの像を列に並べると $R_\theta$ を得る。

行列積を計算すると、

R_\alpha R_\beta= \begin{pmatrix} \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta& -(\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta)\\ \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta& \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \end{pmatrix}.

三角関数の加法定理を各成分に用いると、この行列は $R_{\alpha+\beta}$ に等しい。▨

例 2.2. 正の実数 $r$ と実数 $t$ に対し、次の行列は代表的な平面の一次変換を表す。

\begin{array}{c|c|c} \text{変換}&\text{行列}&(x,y)\text{ の移り先}\\ \hline \text{原点を中心とする }r\text{ 倍}& \begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}&(rx,ry)\\[4pt] x\text{ 軸に関する対称移動}& S=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}&(x,-y)\\[4pt] x\text{ 座標を }ty\text{ だけずらすせん断}& \begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}&(x+ty,y) \end{array}

回転と対称移動の順序は結果に影響する。 $\boldsymbol{e}_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ と $R_{\pi/2}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ に対して、

R_{\pi/2}S\boldsymbol{e}_1=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},\qquad SR_{\pi/2}\boldsymbol{e}_1=\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}.

したがって、 $R_{\pi/2}S\ne SR_{\pi/2}$ である。

例 2.3. 実数 $\theta$ に対して、原点を通り $x$ 軸の正の向きと角 $\theta$ をなす直線を $\ell_\theta$ とする。直線 $\ell_\theta$ に関する対称移動の行列を求める。

角 $-\theta$ の回転によって直線 $\ell_\theta$ は $x$ 軸に移る。続いて $x$ 軸に関する対称移動を行い、角 $\theta$ だけ回転すると、もとの直線 $\ell_\theta$ に関する対称移動となる。回転は距離と直角を保つので、直線に平行な成分はもとに戻り、直線に垂直な成分だけが反転する。

$x$ 軸に関する対称移動の行列を $S$ とすると、求める行列は

S_\theta=R_\theta S R_{-\theta}

である。 $c=\cos\theta$ 、 $s=\sin\theta$ とおいて計算すると、

S_\theta =\begin{pmatrix}c&-s\\s&c\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c&s\\-s&c\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}c^2-s^2&2cs\\2cs&s^2-c^2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos2\theta&\sin2\theta\\\sin2\theta&-\cos2\theta\end{pmatrix}.

たとえば $\theta=\pi/4$ では、直線は $y=x$ であり、行列は $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ となる。したがって、この対称移動は点 $(x,y)$ を点 $(y,x)$ へ移す。

問題 2.4. 任意の実数 $\alpha,\beta$ に対して、原点を通り $x$ 軸の正の向きと角 $\alpha,\beta$ をなす直線を、それぞれ $\ell_\alpha,\ell_\beta$ とする。直線 $\ell_\alpha$ に関する対称移動を行った後に、直線 $\ell_\beta$ に関する対称移動を行う合成の行列と回転角を求めよ。対称移動の順序を逆にした場合の回転角も求めよ。

解答.

例 2.3で求めた行列を用いると、合成の行列は $S_\beta S_\alpha$ である。加法定理により、

S_\beta S_\alpha =\begin{pmatrix} \cos2\beta\cos2\alpha+\sin2\beta\sin2\alpha& \cos2\beta\sin2\alpha-\sin2\beta\cos2\alpha\\ \sin2\beta\cos2\alpha-\cos2\beta\sin2\alpha& \sin2\beta\sin2\alpha+\cos2\beta\cos2\alpha \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \cos(2\beta-2\alpha)&-\sin(2\beta-2\alpha)\\ \sin(2\beta-2\alpha)&\cos(2\beta-2\alpha) \end{pmatrix} =R_{2(\beta-\alpha)}.

したがって、合成は原点を中心とする反時計回りの角 $2(\beta-\alpha)$ の回転である。順序を逆にすると、 $\alpha,\beta$ を入れ替えた積 $S_\alpha S_\beta=R_{2(\alpha-\beta)}$ となる。回転角は $2(\alpha-\beta)=-2(\beta-\alpha)$ であり、いずれの角も $2\pi$ の整数倍を加えた角と同じ回転を表す。▨

3 複素数の積との対応

定理 3.1. 複素数 $x+iy$ に $u+iv$ を掛ける変換は、列ベクトル $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ に行列

\begin{pmatrix}u&-v\\v&u\end{pmatrix}

を掛ける一次変換と一致する。特に $u^2+v^2=1$ ならば、ある実数 $\theta$ によって $u=\cos\theta$ 、 $v=\sin\theta$ と表され、この行列は $R_\theta$ である。

証明. 複素数の積を展開すると、

(u+iv)(x+iy)=(ux-vy)+i(vx+uy)

となる。実部と虚部を列に並べると、

\begin{pmatrix}ux-vy\\vx+uy\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}u&-v\\v&u\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}

を得る。 $u^2+v^2=1$ の場合には点 $(u,v)$ が単位円上にあるので、 $u=\cos\theta$ 、 $v=\sin\theta$ を満たす実数 $\theta$ が存在し、行列は $R_\theta$ に等しい。▨

4 逆変換、面積、向き

定理 4.1. $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ に対して $\det A=ad-bc$ と定める。二つの列ベクトル $\boldsymbol{u}=\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}$ 、 $\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}r\\s\end{pmatrix}$ が作る平行四辺形の符号付き面積を $ps-qr$ とすると、 $A\boldsymbol{u},A\boldsymbol{v}$ が作る符号付き面積は

(\det A)(ps-qr)

である。

$\det A\ne0$ であることと $T_A$ に逆変換が存在することは同値である。 $\det A>0$ ならば向きは保たれ、 $\det A<0$ ならば向きは反転する。 $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}$ が一直線上にない場合、面積の比は $|\det A|$ である。 $\det A=0$ の場合、平面全体の像は一つの直線または原点に潰れる。

証明. $A\boldsymbol{u}=\begin{pmatrix}ap+bq\\cp+dq\end{pmatrix}$ 、 $A\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}ar+bs\\cr+ds\end{pmatrix}$ と書く。この二つの列ベクトルが作る符号付き面積を展開すると、

(ap+bq)(cr+ds)-(cp+dq)(ar+bs) =(ad-bc)(ps-qr)

となる。したがって、符号付き面積には $\det A$ が掛かる。符号付き面積の符号は二辺の向きを表し、その絶対値は通常の面積を表すので、向きと面積比についての主張も従う。

$\det A\ne0$ とする。このとき

A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}

と置いて両側から掛けると、 $A^{-1}A=AA^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ となる。よって $T_{A^{-1}}$ は $T_A$ の逆変換である。

$\det A=0$ とする。第1列 $\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}$ が零ベクトルでなければ、第2列 $\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}$ は第1列の実数倍である。実際、 $a\ne0$ ならば $ad=bc$ から第2列は第1列の $b/a$ 倍であり、 $a=0$ ならば $c\ne0$ かつ $b=0$ であるから第2列は第1列の $d/c$ 倍である。第1列が零ベクトルならば、像は第2列の実数倍だけからなる。したがって、 $\det A=0$ のとき、像は一つの直線または原点であり、平面全体にはならない。逆変換が存在すれば $T_A$ は平面全体への全射になるので、 $\det A=0$ の場合には逆変換が存在しない。▨

2×2行列は現行の高等学校の学習指導要領には含まれない内容ですが、本記事では回転を積として計算するための基礎として扱いました。一般の次元の線形写像、固有値、対角化、行列式の一般論は扱いません。

§A2.122×2行列と平面の一次変換

1 行列で表す一次変換

2 回転と代表的な変換

3 複素数の積との対応

4 逆変換、面積、向き

前提記事