三角比 | 図形と方程式

1 直角三角形の三角比

直角三角形の鋭角 $0^\circ<\theta<90^\circ$ に対して、斜辺は直角の対辺、対辺は $\theta$ の向かいの辺、隣辺は $\theta$ に接する斜辺以外の辺です。

定義 1.1 (三角比). 直角三角形の鋭角 $\theta$ に対して、正弦 (sine)、余弦 (cosine)、正接 (tangent) をそれぞれ

\sin\theta=\frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}},\qquad \cos\theta=\frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}},\qquad \tan\theta=\frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}

と定める。同じ鋭角をもつ直角三角形は相似であるから、各比は三角形の大きさによらず角 $\theta$ だけで定まる。

例 1.2. 冒頭の図では $\mathrm{AB}=4$ を固定している。したがって

\mathrm{BC}=4\tan\theta,\qquad \mathrm{AC}=\frac{4}{\cos\theta}.

$\theta=45^\circ$ なら $\mathrm{BC}=4$ 、 $\mathrm{AC}=4\sqrt2$ である。角だけでは辺の絶対的な長さは定まらず、長さを求めるには $\mathrm{AB}=4$ のような尺度が必要である。

2 基本値と鈍角への拡張

正三角形の一辺を $2$ として高さを下ろすと、三平方の定理§A5.4 定理 1.1により高さは $\sqrt3$ です。また、直角をはさむ辺がともに $1$ の二等辺直角三角形の斜辺は $\sqrt2$ です。辺の比から次の値を得ます。

公式 2.1.

\begin{array}{c|ccc} \theta&30^\circ&45^\circ&60^\circ\\\hline \sin\theta&1/2&\sqrt2/2&\sqrt3/2\\ \cos\theta&\sqrt3/2&\sqrt2/2&1/2\\ \tan\theta&1/\sqrt3&1&\sqrt3 \end{array}

$0^\circ\le\theta\le180^\circ$ では、原点を中心とする半径 $1$ の上半円上で、正の $x$ 軸から角 $\theta$ をなす点を $(x,y)$ とします。 $\sin\theta=y$ 、 $\cos\theta=x$ 、 $x\ne0$ のとき $\tan\theta=y/x$ と定めると、鋭角での辺の比と一致します。

公式 2.2. $0^\circ\le\theta\le180^\circ$ に対して

\sin^2\theta+\cos^2\theta=1.

$\theta\ne90^\circ$ なら $\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta$ である。また

\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta,\qquad \cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta.

証明. 半円上の座標は $x^2+y^2=1$ を満たす。角 $180^\circ-\theta$ に対応する点は $(x,y)$ を $y$ 軸について反転した $(-x,y)$ であるから、正弦は変わらず余弦の符号が変わる。▨

例 2.3. $120^\circ=180^\circ-60^\circ$ であるから

\sin120^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\quad \cos120^\circ=-\frac12,\quad \tan120^\circ=-\sqrt3.

鈍角では $x<0$ 、 $y>0$ なので、余弦と正接は負となる。端点では $\sin0^\circ=\sin180^\circ=0$ 、 $\cos0^\circ=1$ 、 $\cos180^\circ=-1$ である。 $90^\circ$ では $x=0$ なので正接は定義されない。

注意 2.4. 鋭角の直角三角形では隣辺も斜辺も正である。 $\theta\to90^\circ$ のとき、角だけから隣辺の長さが $0$ に近づくとはいえない。斜辺を $1$ に固定した場合には隣辺が $\cos\theta\to0$ となるが、冒頭の図のように隣辺を $4$ に固定した場合には対辺と斜辺が増大する。どちらの場合も $\tan\theta$ は増大し、 $90^\circ$ での値は定義されない。

3 三角形の面積と余弦定理

公式 3.1. 三角形 $\mathrm{ABC}$ の辺の長さを $a=\mathrm{BC}$ 、 $b=\mathrm{CA}$ 、 $c=\mathrm{AB}$ 、対角を $A,B,C$ とする。面積 $S$ は

S=\frac12bc\sin A=\frac12ca\sin B=\frac12ab\sin C.

証明. $\mathrm{A}=(0,0)$ 、 $\mathrm{B}=(c,0)$ 、 $\mathrm{C}=(b\cos A,b\sin A)$ と置く。 $0^\circ<A<180^\circ$ なので、底辺 $\mathrm{AB}$ に対する高さは $b\sin A>0$ である。よって $S=bc\sin A/2$ であり、他の2式は底辺を取り替えて得る。▨

定理 3.2 (余弦定理). 三角形 $\mathrm{ABC}$ の辺 $a,b,c$ と対角 $A,B,C$ に対して

a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,\quad b^2=c^2+a^2-2ca\cos B,\quad c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.

証明. $\mathrm{A}=(0,0)$ 、 $\mathrm{B}=(c,0)$ 、 $\mathrm{C}=(b\cos A,b\sin A)$ と置く。三平方の定理§A5.4 定理 1.1により

a^2=(b\cos A-c)^2+(b\sin A)^2=b^2+c^2-2bc\cos A.

他の2式は頂点の名称を取り替えて得る。 $A=90^\circ$ の場合には $\cos A=0$ なので三平方の定理の式に戻る。▨

例 3.3. $b=3$ 、 $c=4$ 、 $A=120^\circ$ の三角形では

a^2=9+16-24\left(-\frac12\right)=37,\qquad a=\sqrt{37}.

面積は $S=3\cdot4\cdot(\sqrt3/2)/2=3\sqrt3$ である。逆に $a=\sqrt{37}$ 、 $b=3$ 、 $c=4$ が与えられたときには

\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=-\frac12

から $A=120^\circ$ を得る。

4 正弦定理

定理 4.1 (正弦定理). 三角形 $\mathrm{ABC}$ の辺 $a,b,c$ と対角 $A,B,C$ 、外接円の半径 $R>0$ に対して

\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R.

証明. 面積の3表示を $abc/2$ で割ると $\sin A/a=\sin B/b=\sin C/c$ を得る。外接円の中心を $\mathrm{O}=(u,v)$ とし、 $\mathrm{A}=(0,0)$ 、 $\mathrm{B}=(c,0)$ 、 $\mathrm{C}=(b\cos A,b\sin A)$ と置く。 $\mathrm{OA}^2=\mathrm{OB}^2$ から $u=c/2$ である。 $\mathrm{OA}^2=\mathrm{OC}^2$ を展開すると

2ub\cos A+2vb\sin A=b^2,\qquad v=\frac{b-c\cos A}{2\sin A}.

$\sin A>0$ なので除算は可能である。余弦定理定理 3.2により

R^2=u^2+v^2 =\frac{c^2\sin^2 A+(b-c\cos A)^2}{4\sin^2 A} =\frac{a^2}{4\sin^2 A}.

$R,a,\sin A$ は正であるから $2R=a/\sin A$ を得る。▨

例 4.2. $A=30^\circ$ 、 $B=45^\circ$ 、 $a=2$ の三角形では

C=105^\circ,\quad b=\frac{2\sin45^\circ}{\sin30^\circ}=2\sqrt2,\quad R=\frac{2}{2\sin30^\circ}=2.

正弦定理を使う際には、各辺とその対角を組にする。

例 4.3. 三角形 $\mathrm{ABC}$ で $a=\mathrm{BC}=\sqrt2$ 、 $b=\mathrm{CA}=2$ 、 $A=30^\circ$ とする。正弦定理により

\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{\sqrt2}{2}.

$0^\circ<B<180^\circ$ なので、上半円上の対応する二点から $B=45^\circ$ または $135^\circ$ を得る。どちらの場合も $A+B<180^\circ$ であり、残りの角はそれぞれ $C=105^\circ$ 、 $15^\circ$ となる。

辺 $c=\mathrm{AB}$ は、余弦定理によって

2=4+c^2-2\sqrt3c,\qquad c=\sqrt3-1\quad\text{または}\quad c=\sqrt3+1

を満たす。両方の長さについて実際に三角形が存在する。 $\mathrm{A}=(0,0)$ 、 $\mathrm{C}=(\sqrt3,1)$ 、 $\mathrm{B}=(c,0)$ と置くと、 $c>0$ であり、 $\mathrm{CA}=2$ 、 $A=30^\circ$ 、 $\mathrm{BC}^2=(c-\sqrt3)^2+1=2$ となる。 $c=\sqrt3+1$ の場合は $B=45^\circ$ 、 $c=\sqrt3-1$ の場合は $B=135^\circ$ である。

したがって、二辺とその一方の対角が同じでも、三角形の残りの辺と角は一通りに定まるとは限らない。

閑話休題：行けない場所までの距離を測る 三角比を用いた測量では、既知の長さと観測した角から、直接測ることが難しい長さを求めます。紀元前3世紀、エラトステネスは、離れた2つの町で夏至の正午に太陽が作る影の角度がわずかに違うことに気づき、その角度差と町の間の距離だけから地球の周囲の長さを推定しました。距離や角度の見積りには不確かさもありますが、地上の観測だけで地球の大きさに迫ったのです。同じ発想は近代の三角測量——基線と角度から地形を割り出す——に発展しました。伊能忠敬の全国測量は、導線法を主に用いながら、天文観測なども組み合わせて日本地図を作り上げました。

空へ目を向けると、三角比は宇宙の距離計にもなります。地球が太陽のまわりを公転して位置を変えると、近くの星は遠くの星に対してわずかに動いて見えます（年周視差）。地球の公転軌道を基線として、この小さな角度から星までの距離を計算することができ、距離の単位「パーセク」はこの視差角に由来します。カーナビのGPSも、複数の衛星までの距離から現在地を割り出す測位です。三角比による距離の計算と、衛星までの距離による測位とでは、観測する量と必要な仮定が異なります。

§A2.1三角比

1 直角三角形の三角比

2 基本値と鈍角への拡張

3 三角形の面積と余弦定理

4 正弦定理

例題

演習

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