数学汎典

§A2.11ベクトルの一次独立と図形問題への応用

最終更新

三角形の辺や内部の点の位置は、二つの辺に沿うベクトルを実数倍して加えることで表すことができます。交点を求める問題では、同じ点へ向かうベクトルを二つの直線からそれぞれ表すことになります。しかし、二つの表示が同じベクトルを与えるだけでは、対応する係数が等しいとは限りません。

係数を一意に定めるための条件が、ベクトルの一次独立性です。平面では、零でない二つのベクトルが互いに平行でないことに対応します。一次独立性は、ベクトルの計算結果を点の位置関係へ結び付ける基本的な条件であり、三角形の内部で交わる線分の比を求める際にも用いられます。

本記事では、平面と空間における一次独立性と、図形問題への応用について解説します。

1 平面の一次独立と係数比較

定義 1.1 (一次独立). 二つのベクトルa⃗,b⃗\vec a,\vec bが 一次独立 (linear independence) であるとは、sa⃗+tb⃗=0⃗s\vec a+t\vec b=\vec0を満たす実数s,ts,tがs=t=0s=t=0に限ることをいう。三つのベクトルでは、sa⃗+tb⃗+uc⃗=0⃗s\vec a+t\vec b+u\vec c=\vec0を満たす実数s,t,us,t,uがすべて00に限ることをいう。

平面の二つのベクトルが一次独立であることは、両方が零でなく、互いに平行でないことと同値です。実際、零ベクトルが含まれる場合や、一方が他方の実数倍である場合には、零でない係数をもつ零結合があります。逆に、零でない係数をもつ零結合からは、一方が零であるか、一方が他方の実数倍であることが従います。

定理 1.2. 平面の一次独立な二つのベクトルa⃗,b⃗\vec a,\vec bに対して、平面の任意のベクトルp⃗\vec pはp⃗=sa⃗+tb⃗\vec p=s\vec a+t\vec bと一意に表される。

証明.a⃗=(a1,a2)\vec a=(a_1,a_2)、b⃗=(b1,b2)\vec b=(b_1,b_2)、p⃗=(p1,p2)\vec p=(p_1,p_2)とおく。D=a1b2−a2b1D=a_1b_2-a_2b_1は00でない。実際、D=0D=0でa1≠0a_1\ne0ならb⃗=(b1/a1)a⃗\vec b=(b_1/a_1)\vec aとなる。a1=0a_1=0ならa2≠0a_2\ne0であり、D=0D=0からb1=0b_1=0となるのでb⃗=(b2/a2)a⃗\vec b=(b_2/a_2)\vec aとなる。いずれも一次独立に反する。連立方程式a1s+b1t=p1a_1s+b_1t=p_1、a2s+b2t=p2a_2s+b_2t=p_2を消去法で解くと

s=p1b2−p2b1D,t=a1p2−a2p1D.s=\frac{p_1b_2-p_2b_1}{D},\qquad t=\frac{a_1p_2-a_2p_1}{D}.

この値を代入すると両方の成分がp⃗\vec pと一致するので、表示が存在する。また、sa⃗+tb⃗=s′a⃗+t′b⃗s\vec a+t\vec b=s'\vec a+t'\vec bなら(s−s′)a⃗+(t−t′)b⃗=0⃗(s-s')\vec a+(t-t')\vec b=\vec0である。一次独立性からs=s′s=s'、t=t′t=t'となり、一意性も従う。▨

したがって、同じベクトルを二通りの一次結合で表したとき、対応する係数を比較することができます。

2 共線・共面と線分の比

原点を固定し、点A,B,C,P\mathrm A,\mathrm B,\mathrm C,\mathrm Pの位置ベクトルをそれぞれa⃗,b⃗,c⃗,p⃗\vec a,\vec b,\vec c,\vec pとします。

公式 2.1.A≠B\mathrm A\ne\mathrm Bのとき、A,B,P\mathrm A,\mathrm B,\mathrm Pが一直線上にある条件は、ある実数ttにより

p⃗=(1−t)a⃗+tb⃗\vec p=(1-t)\vec a+t\vec b

と書かれることである。P\mathrm Pが線分AB\mathrm{AB}上にあることは、0≤t≤10\le t\le1と同値である。0<t<10<t<1ではAP:PB=t:(1−t)\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=t:(1-t)、線分の外側ではAP:PB=∣t∣:∣1−t∣\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=|t|:|1-t|である。また、一直線上にないA,B,C\mathrm A,\mathrm B,\mathrm Cに対して、A,B,C,P\mathrm A,\mathrm B,\mathrm C,\mathrm Pが同一平面上にある条件は、ある実数s,ts,tにより

p⃗=(1−s−t)a⃗+sb⃗+tc⃗\vec p=(1-s-t)\vec a+s\vec b+t\vec c

と書かれることである。

証明. 直線上の点の条件はAP→=tAB→\overrightarrow{\mathrm{AP}}=t\overrightarrow{\mathrm{AB}}である。位置ベクトルの差を用いて変形すると第1式を得る。長さはAP=∣t∣AB\mathrm{AP}=|t|\mathrm{AB}、PB=∣1−t∣AB\mathrm{PB}=|1-t|\mathrm{AB}なので、範囲と比も従う。平面上の点の条件は、平行でない二つの方向AB→,AC→\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}を用いてAP→=sAB→+tAC→\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}と書かれることであり、変形すると第2式を得る。▨

例 2.2.A=(1,0,0)\mathrm A=(1,0,0)、B=(0,1,0)\mathrm B=(0,1,0)、C=(0,0,1)\mathrm C=(0,0,1)とする。P=(x,y,z)\mathrm P=(x,y,z)が三点の定める平面上にある条件は

(x,y,z)=(1−s−t,s,t)(x,y,z)=(1-s-t,s,t)

と書かれること、すなわちx+y+z=1x+y+z=1である。逆にこの式を満たせばs=y,t=zs=y,t=zと選ぶことができる。したがってP=(2,−1,0)\mathrm P=(2,-1,0)は同じ平面上にある。

3 交点の位置と係数比較

例 3.1. 三角形OAB\mathrm{OAB}でOA→=a⃗\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec a、OB→=b⃗\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec bとする。M\mathrm Mを線分AB\mathrm{AB}の中点、N\mathrm Nを線分OB\mathrm{OB}をON:NB=1:2\mathrm{ON}:\mathrm{NB}=1:2に内分する点とし、直線OM\mathrm{OM}と直線AN\mathrm{AN}の交点をP\mathrm Pとする。二つの直線上の表示は

p⃗=s2(a⃗+b⃗)=(1−t)a⃗+t3b⃗.\vec p=\frac{s}{2}(\vec a+\vec b) =(1-t)\vec a+\frac{t}{3}\vec b.

a⃗,b⃗\vec a,\vec bは一次独立なので、s/2=1−ts/2=1-t、s/2=t/3s/2=t/3である。したがってt=3/4t=3/4、s=1/2s=1/2、p⃗=(a⃗+b⃗)/4\vec p=(\vec a+\vec b)/4を得る。0<s<10<s<1、0<t<10<t<1なので、P\mathrm Pは両線分上にあり、OP:PM=1:1\mathrm{OP}:\mathrm{PM}=1:1、AP:PN=3:1\mathrm{AP}:\mathrm{PN}=3:1である。

4 係数比較の条件

注意 4.1. 一次独立でない組では、同じベクトルを表す係数が一致するとは限らない。たとえばb⃗=2a⃗\vec b=2\vec aなら2a⃗+0b⃗=0a⃗+b⃗2\vec a+0\vec b=0\vec a+\vec bである。位置ベクトルの係数の和が11という条件と、線分内にあるための係数範囲は別の条件である。t=2t=2ではp⃗=−a⃗+2b⃗\vec p=-\vec a+2\vec bとなり、P\mathrm PはB\mathrm B側の延長上でAP:PB=2:1\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=2:1に外分する。一次独立な方向による表示は、線形代数で基底の考え方へ一般化される。

5 空間の三つの方向

定理 5.1. 空間の三つのベクトルa⃗,b⃗,c⃗\vec a,\vec b,\vec cが一次独立であることは、同じ始点に置いた三つのベクトルが同一平面上にないことと同値である。この条件の下では、空間の任意のベクトルp⃗\vec pはsa⃗+tb⃗+uc⃗s\vec a+t\vec b+u\vec cと一意に表される。

証明. 三つのベクトルが同一平面上にないとする。a⃗,b⃗\vec a,\vec bは平行でないので、同じ始点O\mathrm Oに置いた二つのベクトルが平面Π\Piを定める。Π\Piに垂直な単位ベクトルn⃗\vec nを一つ選ぶ。平面Π\Pi上のベクトルはn⃗\vec nとの内積が00であり、c⃗\vec cは平面上にないからc⃗⋅n⃗≠0\vec c\cdot\vec n\ne0である。任意のp⃗\vec pに対して

u=p⃗⋅n⃗c⃗⋅n⃗,q⃗=p⃗−uc⃗u=\frac{\vec p\cdot\vec n}{\vec c\cdot\vec n},\qquad \vec q=\vec p-u\vec c

とおく。内積の成分式を展開するとq⃗⋅n⃗=0\vec q\cdot\vec n=0なので、q⃗\vec qはΠ\Pi上にある。平面の表示の存在によりq⃗=sa⃗+tb⃗\vec q=s\vec a+t\vec bと表され、p⃗=sa⃗+tb⃗+uc⃗\vec p=s\vec a+t\vec b+u\vec cを得る。幾何的には、p⃗\vec pの終点を通りc⃗\vec cに平行な直線とΠ\Piとの交点が、q⃗\vec qの終点である。

sa⃗+tb⃗+uc⃗=0⃗s\vec a+t\vec b+u\vec c=\vec0でu≠0u\ne0なら、c⃗=−(s/u)a⃗−(t/u)b⃗\vec c=-(s/u)\vec a-(t/u)\vec bはΠ\Pi上にあり、非共面という仮定に反する。したがってu=0u=0であり、平面の一次独立性からs=t=0s=t=0である。三つのベクトルは一次独立であり、二つの表示の差にこの性質を用いると表示の一意性を得る。

逆に三つのベクトルが同一平面上にあるとする。a⃗,b⃗\vec a,\vec bが一次独立でない場合には、その零結合にc⃗\vec cの係数00を加える。一次独立である場合には、平面の表示の存在からc⃗=sa⃗+tb⃗\vec c=s\vec a+t\vec bと書くことができる。いずれの場合も、すべてが00ではない係数をもつ零結合があるので、三つのベクトルは一次独立でない。▨

問題 5.2. 同一平面上にない4点O,A,B,C\mathrm O,\mathrm A,\mathrm B,\mathrm Cをとり、a⃗=OA→\vec a=\overrightarrow{\mathrm{OA}}、b⃗=OB→\vec b=\overrightarrow{\mathrm{OB}}、c⃗=OC→\vec c=\overrightarrow{\mathrm{OC}}とする。辺上の点D,E,F\mathrm D,\mathrm E,\mathrm Fを

OD→=12a⃗,OE→=13b⃗,OF→=14c⃗\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac12\vec a,\qquad \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac13\vec b,\qquad \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac14\vec c

によって定める。実数λ\lambdaに対して、点Q\mathrm QをOQ→=a⃗+b⃗+λc⃗\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\vec a+\vec b+\lambda\vec cによって定める。直線OQ\mathrm{OQ}と平面DEF\mathrm{DEF}の交点を求めよ。また、λ=1\lambda=1の場合には交点P\mathrm Pが線分OQ\mathrm{OQ}を分ける比を求めよ。

解答.

定理 5.1により、a⃗,b⃗,c⃗\vec a,\vec b,\vec cは一次独立である。点D,E,F\mathrm D,\mathrm E,\mathrm Fは一直線上にない。実際、uDE→+vDF→=0⃗u\overrightarrow{\mathrm{DE}}+v\overrightarrow{\mathrm{DF}}=\vec0の係数を比較すると、b⃗\vec bの係数からu=0u=0、c⃗\vec cの係数からv=0v=0となる。

位置ベクトルをxa⃗+yb⃗+zc⃗x\vec a+y\vec b+z\vec cと表す。平面DEF\mathrm{DEF}上にあるための条件は、実数r,sr,sにより

xa⃗+yb⃗+zc⃗=1−r−s2a⃗+r3b⃗+s4c⃗x\vec a+y\vec b+z\vec c =\frac{1-r-s}{2}\vec a+\frac r3\vec b+\frac s4\vec c

と書かれることである。係数を比較するとr=3yr=3y、s=4zs=4z、2x=1−r−s2x=1-r-sとなるので、平面条件は

2x+3y+4z=12x+3y+4z=1

である。逆にこの等式が成り立てば、r=3yr=3y、s=4zs=4zを選んで平面上の表示を得る。

a⃗+b⃗+λc⃗\vec a+\vec b+\lambda\vec cは零でないので、直線OQ\mathrm{OQ}上の点は、実数ttを用いてt(a⃗+b⃗+λc⃗)t(\vec a+\vec b+\lambda\vec c)と表される。平面条件へ代入すると

t(5+4λ)=1t(5+4\lambda)=1

を得る。したがってλ≠−5/4\lambda\ne-5/4では交点はただ一つであり、

OP→=a⃗+b⃗+λc⃗5+4λ.\overrightarrow{\mathrm{OP}} =\frac{\vec a+\vec b+\lambda\vec c}{5+4\lambda}.

λ=−5/4\lambda=-5/4では、直線上のすべての点で2x+3y+4z=02x+3y+4z=0となるため、平面との交点は存在しない。

λ=1\lambda=1ではOP→=OQ→/9\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}/9である。0<1/9<10<1/9<1なので、点P\mathrm Pは線分OQ\mathrm{OQ}の内部にあり、OP:PQ=1:8\mathrm{OP}:\mathrm{PQ}=1:8となる。▨

例題

条件と何を求めるかを確認してから、式と答えの対応を見比べてください。

平面を R² とし、三角形 ABC の位置ベクトルを用いる。ベクトル AB と AC は一次独立なので、任意の点 P の位置ベクトル差は AP == s·AB + t·AC とただ一通りに表せる。この一意性（＝係数比較）を用いて次の問いに答えよ。

解法の型同じ点を2通りの経路で表して係数比較する（一意性が使えるのは AB, AC が一次独立だから）。P が直線 BC 上 ⇔\Leftrightarrow s + t == 1、P が三角形の内部 ⇔\Leftrightarrow s > 0 かつ t > 0 かつ s + t < 1

  1. 三角形 ABC において、点 P が AP == (1/2)AB + (1/2)AC を満たすとする。P が直線 BC 上にあるかどうかを判定し、あるならば BP:PC を求めよ。

    AP⃗=12AB⃗+12AC⃗\vec{AP} = \dfrac{1}{2}\vec{AB} + \dfrac{1}{2}\vec{AC}

  2. 三角形 ABC の3辺の長さが BC == 10、CA == 9、AB == 8 であるとき、内心 I について AI を AB, AC で表せ。

    BC=10, CA=9, AB=8のとき、内心 I についてAI⃗=?BC = 10,\ CA = 9,\ AB = 8 \quad \text{のとき、内心 I について} \quad \vec{AI} = ?

  3. 三角形 ABC において、点 P が AP == (2/7)AB + (3/7)AC を満たすとする。P は三角形 ABC の内部・周上・外部のどこにあるか判定せよ。

    AP⃗=27AB⃗+37AC⃗\vec{AP} = \dfrac{2}{7}\vec{AB} + \dfrac{3}{7}\vec{AC}

  4. 三角形 ABC において、辺 AB を 2:3 に内分する点を D、辺 AC を 3:1 に内分する点を E とし、線分 BE と線分 CD の交点を P とする。AP を AB, AC で表せ。また BP:PE と CP:PD を求めよ。

    辺 AB を 2:3 に内分する点 D、辺 AC を 3:1 に内分する点 E、BE∩CD=P⇒AP⃗=?\text{辺 AB を } 2:3 \text{ に内分する点 D、辺 AC を } 3:1 \text{ に内分する点 E、} BE \cap CD = P \quad \Rightarrow \quad \vec{AP} = ?

  5. 三角形 ABC において、点 P が AP == (1/3)AB + (4/3)AC を満たすとする。P は三角形 ABC の内部・周上・外部のどこにあるか判定せよ。

    AP⃗=13AB⃗+43AC⃗\vec{AP} = \dfrac{1}{3}\vec{AB} + \dfrac{4}{3}\vec{AC}

  6. 三角形 ABC において、点 P が AP == (3/4)AC を満たすとする。P は三角形 ABC の内部・周上・外部のどこにあるか判定せよ。

    AP⃗=34AC⃗\vec{AP} = \dfrac{3}{4}\vec{AC}

  7. 三角形 ABC において、点 P が AP == −(1/2)AB + (1/2)AC を満たすとする。P は三角形 ABC の内部・周上・外部のどこにあるか判定せよ。

    AP⃗=−12AB⃗+12AC⃗\vec{AP} = -\dfrac{1}{2}\vec{AB} + \dfrac{1}{2}\vec{AC}

  8. 三角形 ABC において、辺 AB を 1:2 に内分する点を D、辺 AC を 1:2 に内分する点を E とし、線分 BE と線分 CD の交点を P とする。AP を AB, AC で表せ。また BP:PE と CP:PD を求めよ。

    辺 AB を 1:2 に内分する点 D、辺 AC を 1:2 に内分する点 E、BE∩CD=P⇒AP⃗=?\text{辺 AB を } 1:2 \text{ に内分する点 D、辺 AC を } 1:2 \text{ に内分する点 E、} BE \cap CD = P \quad \Rightarrow \quad \vec{AP} = ?

  9. 三角形 ABC において、点 P が AP == (5/3)AB + (2/3)AC を満たすとする。P が直線 BC 上にあるかどうかを判定し、あるならば BP:PC を求めよ。

    AP⃗=53AB⃗+23AC⃗\vec{AP} = \dfrac{5}{3}\vec{AB} + \dfrac{2}{3}\vec{AC}

  10. 三角形 ABC の3辺の長さが BC == 3、CA == 3、AB == 3 であるとき、内心 I について AI を AB, AC で表せ。

    BC=3, CA=3, AB=3のとき、内心 I についてAI⃗=?BC = 3,\ CA = 3,\ AB = 3 \quad \text{のとき、内心 I について} \quad \vec{AI} = ?

演習

問題を解いてから「解答・解説」を開けます。

平面を R² とし、三角形 ABC の位置ベクトルを用いる。ベクトル AB と AC は一次独立なので、任意の点 P の位置ベクトル差は AP == s·AB + t·AC とただ一通りに表せる。この一意性（＝係数比較）を用いて次の問いに答えよ。

演習を読み込み中…

前提記事