内積と図形への応用 | 図形と方程式

二つの零でないベクトルを同じ始点に置くと、二つの向きがなす角を考えることができます。たとえば、一方の向きを固定して他方の向きを変えると、直角をなす場合や、互いに逆向きになる場合が現れます。向きの関係を成分の計算で調べるには、角と成分を結び付ける演算が必要です。

内積は、二つのベクトルの成分から計算される実数であり、長さとなす角によっても表されます。図形の角や直交の関係を座標で扱う際に、内積が基本的な役割を果たします。本記事では、内積の二つの表し方を結び付け、図形への応用を説明します。

1 成分による内積

定義 1.1 (内積). 実成分の平面ベクトル $\vec a=(a_1,a_2)$ 、 $\vec b=(b_1,b_2)$ の内積 (inner product) を

\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2

で定める。空間ベクトル $\vec a=(a_1,a_2,a_3)$ 、 $\vec b=(b_1,b_2,b_3)$ では

\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3

で定める。内積の値は実数であり、どちらかのベクトルが零なら $0$ である。

2 長さとなす角による表示

定理 2.1. 平面または空間の非零ベクトル $\vec a,\vec b$ がなす角を $\theta\in[0,\pi]$ とすると

\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta.

したがって、内積を長さと角による右辺で定義しても、成分による定義と一致する。

証明. 二つのベクトルを同じ始点 $\mathrm O$ に置き、終点を $\mathrm A,\mathrm B$ とする。成分の差の平方を展開すると、平面でも空間でも

|\vec a-\vec b|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2\vec a\cdot\vec b

となる。二つのベクトルが平行でない場合、 $\mathrm O,\mathrm A,\mathrm B$ が定める平面上の三角形に余弦定理§A2.1 定理 3.2を用いると

|\vec a-\vec b|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2|\vec a||\vec b|\cos\theta

を得る。空間の場合にも、この平面上での辺の長さは空間の成分で計算した長さと同じである。二つの等式を比較すると角による表示を得る。平行な場合には $\vec b=t\vec a$ （ $t\ne0$ ）と書く。 $\vec a\cdot\vec b=t|\vec a|^2$ であり、 $|\vec b|=|t||\vec a|$ である。 $t>0$ なら $\theta=0$ 、 $t<0$ なら $\theta=\pi$ なので、どちらの場合も角による表示が成り立つ。▨

非零ベクトルのなす角を成分から求めるには、次の式を使います。

\cos\theta=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}.

3 垂直条件と射影

定義 3.1 (直交). 平面または空間のベクトル $\vec a,\vec b$ が直交 (orthogonality) するとは、 $\vec a\cdot\vec b=0$ であることをいう。零ベクトルはすべてのベクトルに直交する。両ベクトルが非零なら、直交はなす角が $\pi/2$ であることと同値である。

非零の場合の同値性は、角の式と、 $[0,\pi]$ の範囲では $\cos\theta=0$ が $\theta=\pi/2$ に限ることから従います。

定義 3.2 (符号付き射影の長さ). 平面または空間のベクトル $\vec a\ne\vec0$ と $\vec b$ を同じ始点 $\mathrm O$ に置き、 $\vec b$ の終点を $\mathrm B$ とする。 $\mathrm O$ を通り $\vec a$ の方向に延びる直線へ、 $\mathrm B$ から下ろした垂線の足を $\mathrm H$ とする。 $\mathrm H$ が $\mathrm O$ から $\vec a$ と同じ向きにあるときは $\mathrm{OH}$ 、逆向きにあるときは $-\mathrm{OH}$ 、 $\mathrm H=\mathrm O$ のときは $0$ を、 $\vec b$ の $\vec a$ 方向への符号付き射影の長さ (signed projection length) と呼ぶ。

公式 3.3. 平面または空間のベクトル $\vec a\ne\vec0$ を基準の向きとすると、 $\vec b$ の $\vec a$ 方向への符号付き射影の長さは

p=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|}.

$\vec b\ne\vec0$ なら $p=|\vec b|\cos\theta$ であり、 $\vec b=\vec0$ なら $p=0$ である。

証明. $\vec b\ne\vec0$ のとき、 $\vec a$ と $\vec b$ のなす角を $\theta\in[0,\pi]$ とする。余弦の定義と射影の符号から $p=|\vec b|\cos\theta$ である。平行な場合にも、 $\theta=0,\pi$ を代入すれば同じ式が成り立つ。定理 2.1の等式を $|\vec a|>0$ で割ると公式を得る。 $\vec b=\vec0$ のときは垂線の足が始点に一致するので $p=0$ であり、成分による内積も $0$ である。▨

下の図では、射影の符号付きの長さが緑点の $x$ 座標となり、その値の $5$ 倍が内積です。

例 3.4. $\vec a=(3,0)$ 、 $\vec b=(-2,2)$ では、 $\vec a\cdot\vec b=-6$ 、 $|\vec a|=3$ 、 $|\vec b|=2\sqrt2$ である。したがって

\cos\theta=\frac{-6}{3\cdot2\sqrt2}=-\frac1{\sqrt2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{4},\qquad p=\frac{-6}{3}=-2.

射影は $\vec a$ と逆向きなので符号が負となる。一方、 $\vec c=(0,2)$ に対しては $\vec a\cdot\vec c=0$ であり、両ベクトルは直交する。

問題 3.5. 座標平面上の点 $\mathrm A=(1,2)$ 、 $\mathrm B=(2,4)$ 、 $\mathrm P=(3,0)$ をとる。点 $\mathrm P$ から直線 $\mathrm{AB}$ に下ろした垂線の足を $\mathrm H$ とする。 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ の $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 方向への符号付き射影の長さ、点 $\mathrm H$ の座標、距離 $\mathrm{PH}$ を求め、点 $\mathrm H$ が線分 $\mathrm{AB}$ のどちら側にあるかを述べよ。

解答.

$\vec a=\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(1,2)$ 、 $\vec b=\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(2,-2)$ とおく。 $\vec a\cdot\vec b=-2$ 、 $|\vec a|=\sqrt5$ なので、公式 3.3により、符号付き射影の長さは

p=-\frac2{\sqrt5}

である。 $\vec a/|\vec a|$ は直線 $\mathrm{AB}$ の正の向きを表す単位ベクトルだから、

\overrightarrow{\mathrm{AH}} =p\frac{\vec a}{|\vec a|} =-\frac25(1,2).

したがって

\mathrm H=\left(\frac35,\frac65\right),\qquad \overrightarrow{\mathrm{HP}}=\left(\frac{12}5,-\frac65\right),\qquad \mathrm{PH}=\frac6{\sqrt5}.

実際、 $\overrightarrow{\mathrm{HP}}\cdot\vec a=12/5-12/5=0$ なので、求めた点は垂線の足である。 $\overrightarrow{\mathrm{AH}}=-(2/5)\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ であるから、点 $\mathrm H$ は点 $\mathrm A$ 側の延長上にある。射影の長さが負となることは、点 $\mathrm H$ が点 $\mathrm A$ から $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ と逆向きにあることに対応する。▨

注意 3.6. 非零ベクトルの内積が負なら、なす角の範囲は $\pi/2<\theta\le\pi$ であり、逆向きの平角も含む。角を求める際には、長さの積で割った余弦の値を用いる。三次元の外積は二つのベクトルからベクトルを作る別の演算である。図形の条件を成分の式に直す場合には、直交を内積 $0$ として表し、線分上の点を位置ベクトルの内分式で表すなど、条件ごとに対応する式を用いる。

閑話休題：コサイン類似度と埋め込み 非零ベクトルに対する $\vec a\cdot\vec b/(|\vec a||\vec b|)$ は、 $-1$ から $1$ の値をとり、コサイン類似度と呼ばれます。三成分より多い場合にも、対応する成分の積を足す内積と、平方和の平方根である長さを用いて同じ比を定めます。文書を単語の出現回数のベクトルで表す検索モデルでは、質問文と文書のコサイン類似度を比較します。視聴履歴をベクトルで表す推薦モデルでも、ユーザー間の類似度の指標として用いることができます。

言葉の埋め込みは、学習によって単語などを多成分のベクトルとして表す方法です。学習した表示によっては、意味の近い語のコサイン類似度が高くなるほか、

\vec{v}_{\text{王}} - \vec{v}_{\text{男}} + \vec{v}_{\text{女}} \approx \vec{v}_{\text{女王}}

のように、語の関係がベクトルの差と和によって近似的に表される場合があります。この近似の精度は、学習データとベクトルの作り方に依存します。言語モデルでも語などを多成分のベクトルで表し、内積はベクトル間の関係を計算する演算の一つとして用いられます。

§A2.10内積と図形への応用

1 成分による内積

2 長さとなす角による表示

3 垂直条件と射影

例題

演習

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