数学汎典

§A2.184元数と3次元の回転

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4元数は、三つの座標をもつ空間の回転を計算するための数です。単位4元数を使った共役の計算で回転を表し、異なる二つの4元数によって同じ回転が与えられることを確かめます。

1 4元数の積とノルム

定義 1.1 (4元数). 実数a,b,c,da,b,c,dを用いて

q=a+bi+cj+dkq=a+bi+cj+dk

と表される数を4元数 (quaternion) という。4元数の加法は係数ごとに定め、積は実数との分配法則および次の乗法表によって定める。

積 ii jj kk
ii −1-1 kk −j-j
jj −k-k −1-1 ii
kk jj −i-i −1-1

したがってi2=j2=k2=ijk=−1i^2=j^2=k^2=ijk=-1である。とくにij=kij=kであるがji=−kji=-kであるから、4元数の積では順序を交換することができない。

q=a+bi+cj+dkq=a+bi+cj+dkの共役 (quaternion conjugate) とノルム (quaternion norm) を

qˉ=a−bi−cj−dk,∣q∣=a2+b2+c2+d2\bar q=a-bi-cj-dk,\qquad |q|=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}

と定める。また、純虚4元数xi+yj+zkxi+yj+zkをベクトルx=(x,y,z)∈R3\boldsymbol{x}=(x,y,z)\in\mathbb R^3と同一視し、qqを(a,x)(a,\boldsymbol{x})とも書く。x=(x1,x2,x3)\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,x_3)とy=(y1,y2,y3)\boldsymbol{y}=(y_1,y_2,y_3)に対して、この後の計算で用いる内積と外積は

x⋅y=x1y1+x2y2+x3y3,\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3,x×y=(x2y3−x3y2, x3y1−x1y3, x1y2−x2y1)\boldsymbol{x}\times\boldsymbol{y} =(x_2y_3-x_3y_2,\ x_3y_1-x_1y_3,\ x_1y_2-x_2y_1)

である。

定理 1.2. 4元数q=a+bi+cj+dkq=a+bi+cj+dkに対して、複素2×2行列

Φ(q)=(a+bic+di−c+dia−bi)\Phi(q)= \begin{pmatrix} a+bi&c+di\\ -c+di&a-bi \end{pmatrix}

を対応させる。行列の成分に現れるiiは複素数の虚数単位である。写像Φ\Phiは単射であり、任意の4元数p,qp,qに対して

Φ(pq)=Φ(p)Φ(q)\Phi(pq)=\Phi(p)\Phi(q)

が成り立つ。

証明.Φ(q)\Phi(q)の上段の二つの成分の実部と虚部からa,b,c,da,b,c,dが一意に定まるので、Φ\Phiは単射である。

I2I_2を2×2単位行列とし、

E1=(i00−i),E2=(01−10),E3=(0ii0)E_1=\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix},\qquad E_2=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\qquad E_3=\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}

とおく。行列積の成分を計算すると

E12=E22=E32=(−100−1)=−I2,E_1^2=E_2^2=E_3^2= \begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=-I_2,E1E2=(0ii0)=E3,E2E1=(0−i−i0)=−E3,E2E3=(i00−i)=E1,E3E2=(−i00i)=−E1,E3E1=(01−10)=E2,E1E3=(0−110)=−E2\begin{aligned} E_1E_2&=\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}=E_3, &E_2E_1&=\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix}=-E_3,\\ E_2E_3&=\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}=E_1, &E_3E_2&=\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}=-E_1,\\ E_3E_1&=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}=E_2, &E_1E_3&=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}=-E_2 \end{aligned}

となる。また、E0=I2E_0=I_2とおけば、0≤r≤30\le r\le3に対してE0Er=ErE0=ErE_0E_r=E_rE_0=E_rである。したがってe0=1,e1=i,e2=j,e3=ke_0=1,e_1=i,e_2=j,e_3=kとおくと、すべての0≤r,s≤30\le r,s\le3に対してΦ(eres)=ErEs\Phi(e_re_s)=E_rE_sが成り立つ。

任意の実数p0,…,p3,q0,…,q3p_0,\ldots,p_3,q_0,\ldots,q_3に対してp=∑r=03prerp=\sum_{r=0}^3p_re_r、q=∑s=03qsesq=\sum_{s=0}^3q_se_sとおく。Φ(a+bi+cj+dk)=aI2+bE1+cE2+dE3\Phi(a+bi+cj+dk)=aI_2+bE_1+cE_2+dE_3であるから、分配法則により

Φ(pq)=∑r=03∑s=03prqsΦ(eres)=∑r=03∑s=03prqsErEs=(∑r=03prEr)(∑s=03qsEs)=Φ(p)Φ(q)\begin{aligned} \Phi(pq) &=\sum_{r=0}^3\sum_{s=0}^3p_rq_s\Phi(e_re_s)\\ &=\sum_{r=0}^3\sum_{s=0}^3p_rq_sE_rE_s\\ &=\left(\sum_{r=0}^3p_rE_r\right) \left(\sum_{s=0}^3q_sE_s\right) =\Phi(p)\Phi(q) \end{aligned}

となる。▨

定理 1.3.p=(a,x)p=(a,\boldsymbol{x})とq=(b,y)q=(b,\boldsymbol{y})を4元数とすると、積は

(a,x)(b,y)=(ab−x⋅y, ay+bx+x×y)(a,\boldsymbol{x})(b,\boldsymbol{y}) =\bigl(ab-\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y},\ a\boldsymbol{y}+b\boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}\times\boldsymbol{y}\bigr)

で与えられ、結合律を満たす。また、

pq‾=qˉ pˉ,∣pq∣=∣p∣ ∣q∣,∣q∣2=qqˉ=qˉq\overline{pq}=\bar q\,\bar p,\qquad |pq|=|p|\,|q|, \qquad |q|^2=q\bar q=\bar q q

が成り立つ。q≠0q\ne0ならば

q−1=qˉ∣q∣2q^{-1}=\frac{\bar q}{|q|^2}

である。

証明.x=(x1,x2,x3)\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,x_3)、y=(y1,y2,y3)\boldsymbol{y}=(y_1,y_2,y_3)とする。乗法表に従って係数を集めると、

pq=ab−x1y1−x2y2−x3y3+(ay1+bx1+x2y3−x3y2)i+(ay2+bx2+x3y1−x1y3)j+(ay3+bx3+x1y2−x2y1)k\begin{aligned} pq={}&ab-x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3\\ &+(ay_1+bx_1+x_2y_3-x_3y_2)i\\ &+(ay_2+bx_2+x_3y_1-x_1y_3)j\\ &+(ay_3+bx_3+x_1y_2-x_2y_1)k \end{aligned}

となる。各係数を内積と外積の座標式で読み直すと、主張した積の式を得る。

任意の複素2×2行列A=(Ars),B=(Brs),C=(Crs)A=(A_{rs}),B=(B_{rs}),C=(C_{rs})と1≤r,s≤21\le r,s\le2に対して、

((AB)C)rs=∑v=12(∑u=12AruBuv)Cvs=∑u=12∑v=12AruBuvCvs=∑u=12Aru(∑v=12BuvCvs)=(A(BC))rs\begin{aligned} ((AB)C)_{rs} &=\sum_{v=1}^2\left(\sum_{u=1}^2A_{ru}B_{uv}\right)C_{vs}\\ &=\sum_{u=1}^2\sum_{v=1}^2A_{ru}B_{uv}C_{vs}\\ &=\sum_{u=1}^2A_{ru}\left(\sum_{v=1}^2B_{uv}C_{vs}\right) =(A(BC))_{rs} \end{aligned}

であるから、行列の積は結合律を満たす。任意の4元数p,q,rp,q,rに対して、定理 1.2により

Φ((pq)r)=(Φ(p)Φ(q))Φ(r)=Φ(p)(Φ(q)Φ(r))=Φ(p(qr))\Phi((pq)r)=(\Phi(p)\Phi(q))\Phi(r) =\Phi(p)(\Phi(q)\Phi(r))=\Phi(p(qr))

である。Φ\Phiは単射であるから(pq)r=p(qr)(pq)r=p(qr)となる。

また、座標式を展開すると、任意のx,y,z∈R3\boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in\mathbb R^3に対して

(x×y)⋅z=x⋅(y×z),(x×y)×z=y(x⋅z)−x(y⋅z),x×(y×z)=y(x⋅z)−z(x⋅y)\begin{gathered} (\boldsymbol{x}\times\boldsymbol{y})\cdot\boldsymbol{z} =\boldsymbol{x}\cdot(\boldsymbol{y}\times\boldsymbol{z}),\\ (\boldsymbol{x}\times\boldsymbol{y})\times\boldsymbol{z} =\boldsymbol{y}(\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{z}) -\boldsymbol{x}(\boldsymbol{y}\cdot\boldsymbol{z}),\\ \boldsymbol{x}\times(\boldsymbol{y}\times\boldsymbol{z}) =\boldsymbol{y}(\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{z}) -\boldsymbol{z}(\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}) \end{gathered}

が成り立つ。

pˉ=(a,−x)\bar p=(a,-\boldsymbol{x})、qˉ=(b,−y)\bar q=(b,-\boldsymbol{y})を積の式へ代入すると、

pq‾=(ab−x⋅y,−ay−bx−x×y)=qˉ pˉ\overline{pq} =\bigl(ab-\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}, -a\boldsymbol{y}-b\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}\times\boldsymbol{y}\bigr) =\bar q\,\bar p

を得る。また、

qqˉ=qˉq=(b2+y⋅y,0)=∣q∣2q\bar q=\bar q q=(b^2+\boldsymbol{y}\cdot\boldsymbol{y},\boldsymbol{0})=|q|^2

である。結合律と共役の式により

∣pq∣2=pq pq‾=pqqˉpˉ=∣q∣2ppˉ=∣p∣2∣q∣2|pq|^2=pq\,\overline{pq} =pq\bar q\bar p =|q|^2p\bar p =|p|^2|q|^2

となる。両辺の非負の平方根を取ると∣pq∣=∣p∣∣q∣|pq|=|p||q|を得る。q≠0q\ne0ならば∣q∣2>0|q|^2>0であり、

qqˉ∣q∣2=1,qˉ∣q∣2q=1q\frac{\bar q}{|q|^2}=1, \qquad \frac{\bar q}{|q|^2}q=1

であるから、逆元の式が成り立つ。▨

問題 1.4. 実数a,b,ca,b,cとベクトルx,y,z∈R3\boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in\R^3に対して、p=(a,x)p=(a,\boldsymbol{x})、q=(b,y)q=(b,\boldsymbol{y})、r=(c,z)r=(c,\boldsymbol{z})とおく。定理 1.3の積の座標式と、その証明で示した三重積の三つの恒等式を用いて、(pq)r(pq)rとp(qr)p(qr)のスカラー部とベクトル部をそれぞれ求め、両方の成分が一致することを示せ。

解答.

(a,x)(b,y)(a,\boldsymbol{x})(b,\boldsymbol{y})と(b,y)(c,z)(b,\boldsymbol{y})(c,\boldsymbol{z})に積の式を適用すると、二通りの括弧のスカラー部はともに

abc−cx⋅y−ay⋅z−bx⋅z−(x×y)⋅zabc-c\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y} -a\boldsymbol{y}\cdot\boldsymbol{z} -b\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{z} -(\boldsymbol{x}\times\boldsymbol{y})\cdot\boldsymbol{z}

となり、ベクトル部はともに

abz+acy+bcx+c(x×y)+a(y×z)+b(x×z)−(x⋅y)z+(x⋅z)y−(y⋅z)x\begin{aligned} {}&ab\boldsymbol{z}+ac\boldsymbol{y}+bc\boldsymbol{x} +c(\boldsymbol{x}\times\boldsymbol{y}) +a(\boldsymbol{y}\times\boldsymbol{z}) +b(\boldsymbol{x}\times\boldsymbol{z})\\ &\quad-(\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y})\boldsymbol{z} +(\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{z})\boldsymbol{y} -(\boldsymbol{y}\cdot\boldsymbol{z})\boldsymbol{x} \end{aligned}

となる。したがって4元数の積は結合律を満たす。▨

2 単位4元数による回転

定理 2.1.n∈R3\boldsymbol{n}\in\mathbb R^3を単位ベクトル、θ∈[0,π]\theta\in[0,\pi]とし、

q=cos⁡θ2+nsin⁡θ2q=\cos\frac{\theta}{2}+\boldsymbol{n}\sin\frac{\theta}{2}

とおく。このとき∣q∣=1|q|=1であり、任意のv∈R3\boldsymbol{v}\in\mathbb R^3に対して

qvq−1=cos⁡θ v+(1−cos⁡θ)(n⋅v)n+sin⁡θ(n×v)q\boldsymbol{v}q^{-1} =\cos\theta\,\boldsymbol{v} +(1-\cos\theta)(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{v})\boldsymbol{n} +\sin\theta(\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{v})

が成り立つ。右辺は軸n\boldsymbol{n}、角θ\thetaの回転である。共役の計算では半角の正弦と余弦が二度ずつ掛け合わされ、cos⁡θ\cos\theta、sin⁡θ\sin\theta、1−cos⁡θ1-\cos\thetaが生じるため、qqには回転角の半角が現れる。

証明.c=cos⁡(θ/2)c=\cos(\theta/2)、s=sin⁡(θ/2)s=\sin(\theta/2)とおく。定理 1.3により∣q∣2=c2+s2=1|q|^2=c^2+s^2=1であり、q−1=(c,−sn)q^{-1}=(c,-s\boldsymbol{n})である。純虚4元数v\boldsymbol{v}に積の式を二度適用すると、

qv=(−sn⋅v, cv+sn×v)q\boldsymbol{v}=(-s\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{v},\ c\boldsymbol{v}+s\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{v})

となる。これにq−1q^{-1}を右から掛けた積のスカラー部は

−csn⋅v+csv⋅n+s2(n×v)⋅n=0-cs\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{v} +cs\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n} +s^2(\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{v})\cdot\boldsymbol{n}=0

である。ベクトル部は

s2(n⋅v)n+c2v+csn×v−csv×n−s2(n×v)×n=(c2−s2)v+2s2(n⋅v)n+2cs(n×v)\begin{aligned} {}&s^2(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{v})\boldsymbol{n} +c^2\boldsymbol{v}+cs\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{v} -cs\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{n} -s^2(\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{v})\times\boldsymbol{n}\\ ={}&(c^2-s^2)\boldsymbol{v} +2s^2(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{v})\boldsymbol{n} +2cs(\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{v}) \end{aligned}

となる。ここではv×n=−n×v\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{n}=-\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{v}と

(n×v)×n=v−(n⋅v)n(\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{v})\times\boldsymbol{n} =\boldsymbol{v}-(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{v})\boldsymbol{n}

を用いた。c2−s2=cos⁡θc^2-s^2=\cos\theta、2s2=1−cos⁡θ2s^2=1-\cos\theta、2cs=sin⁡θ2cs=\sin\thetaを代入すると、主張した式を得る。

n\boldsymbol{n}に直交する単位ベクトルe\boldsymbol{e}を取り、f=n×e\boldsymbol{f}=\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{e}とおく。たとえばn12+n22>0n_1^2+n_2^2>0のときはe=(−n2,n1,0)/n12+n22\boldsymbol{e}=(-n_2,n_1,0)/\sqrt{n_1^2+n_2^2}と取り、n1=n2=0n_1=n_2=0のときはe=(1,0,0)\boldsymbol{e}=(1,0,0)と取ることができる。座標式からe,f,n\boldsymbol{e},\boldsymbol{f},\boldsymbol{n}は互いに直交する単位ベクトルであり、n×f=−e\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{f}=-\boldsymbol{e}である。上の式により定まる変換は、基底(e,f,n)(\boldsymbol{e},\boldsymbol{f},\boldsymbol{n})に関して

(cos⁡θ−sin⁡θ0sin⁡θcos⁡θ0001)\begin{pmatrix} \cos\theta&-\sin\theta&0\\ \sin\theta&\cos\theta&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}

で表される。この行列は転置行列との積が単位行列であり、行列式が11である。したがって§A2.17 定義 1.1により、この変換はSO(3)SO(3)の元であり、軸n\boldsymbol{n}を固定してその直交平面を角θ\thetaだけ回転する。▨

定理 2.2. 単位4元数qqに対して

ρ(q)(v)=qvq−1\rho(q)(\boldsymbol{v})=q\boldsymbol{v}q^{-1}

とおく。単位4元数p,qp,qに対して

ρ(pq)=ρ(p)∘ρ(q)\rho(pq)=\rho(p)\circ\rho(q)

が成り立つ。

証明. 単位4元数p,qp,qと純虚4元数v\boldsymbol{v}を取る。定理 1.3により∣pq∣=1|pq|=1かつ(pq)−1=q−1p−1(pq)^{-1}=q^{-1}p^{-1}である。結合律を用いると、

ρ(pq)(v)=(pq)v(pq)−1=p(qvq−1)p−1=ρ(p)(ρ(q)(v))\begin{aligned} \rho(pq)(\boldsymbol{v}) &=(pq)\boldsymbol{v}(pq)^{-1}\\ &=p(q\boldsymbol{v}q^{-1})p^{-1}\\ &=\rho(p)(\rho(q)(\boldsymbol{v})) \end{aligned}

となる。▨

3 SU(2)SU(2)とSO(3)SO(3)

定理 3.1. 次の形の複素行列の集合をSU(2)SU(2)と書く。

SU(2)={(αβ−βˉαˉ):α,β∈C, ∣α∣2+∣β∣2=1}.SU(2)=\left\{ \begin{pmatrix} \alpha&\beta\\ -\bar\beta&\bar\alpha \end{pmatrix} :\alpha,\beta\in\mathbb C,\ |\alpha|^2+|\beta|^2=1 \right\}.

対応

Φ(a+bi+cj+dk)=(a+bic+di−c+dia−bi)\Phi(a+bi+cj+dk)= \begin{pmatrix} a+bi&c+di\\ -c+di&a-bi \end{pmatrix}

は、単位4元数全体とSU(2)SU(2)との一対一対応であり、任意の4元数p,qp,qに対してΦ(pq)=Φ(p)Φ(q)\Phi(pq)=\Phi(p)\Phi(q)を満たす。

証明.p=a+bi+cj+dkp=a+bi+cj+dkとおく。α=a+bi\alpha=a+bi、β=c+di\beta=c+diとすれば

∣α∣2+∣β∣2=a2+b2+c2+d2=∣p∣2|\alpha|^2+|\beta|^2=a^2+b^2+c^2+d^2=|p|^2

である。したがって∣p∣=1|p|=1ならばΦ(p)∈SU(2)\Phi(p)\in SU(2)である。逆に、SU(2)SU(2)の行列のα\alphaとβ\betaの実部および虚部はa,b,c,da,b,c,dを一意に定め、その条件は∣p∣=1|p|=1に等しい。よってΦ\Phiは単位4元数全体とSU(2)SU(2)との一対一対応である。

定理 1.2により、任意の4元数p,qp,qに対してΦ(pq)=Φ(p)Φ(q)\Phi(pq)=\Phi(p)\Phi(q)が成り立つ。▨

定理 3.2.定理 3.1によって単位4元数とSU(2)SU(2)を対応させると、ρ\rhoはSU(2)SU(2)からSO(3)SO(3)への全射を与える。その核は

ker⁡ρ={1,−1}\ker\rho=\{1,-1\}

であり、各R∈SO(3)R\in SO(3)に対応する単位4元数はちょうどqqと−q-qの二つである。

証明.R∈SO(3)R\in SO(3)を取る。§A2.17 定理 3.1により、RRには単位ベクトルn\boldsymbol{n}を軸とする角θ∈[0,π]\theta\in[0,\pi]の表示がある。単位4元数

q=cos⁡θ2+nsin⁡θ2q=\cos\frac{\theta}{2}+\boldsymbol{n}\sin\frac{\theta}{2}

を取ると、定理 2.1によりρ(q)\rho(q)は軸n\boldsymbol{n}、角θ\thetaの回転であるから、ρ(q)=R\rho(q)=Rである。したがってρ\rhoは全射である。

q=a+bi+cj+dkq=a+bi+cj+dkが単位4元数であり、ρ(q)\rho(q)が恒等回転であるとする。すべての純虚4元数v\boldsymbol{v}に対してqvq−1=vq\boldsymbol{v}q^{-1}=\boldsymbol{v}であるから、右からqqを掛けるとqv=vqq\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}qとなる。v=i\boldsymbol{v}=iとして両辺のj,kj,k成分を比べるとc=d=0c=d=0を得る。さらにv=j\boldsymbol{v}=jとしてkk成分を比べるとb=0b=0を得る。したがってq=aq=aであり、単位条件からa=1a=1またはa=−1a=-1である。逆に11と−1-1はすべての4元数と可換であり、恒等回転を与える。よってker⁡ρ={1,−1}\ker\rho=\{1,-1\}である。

p,qp,qが同じ回転を与える単位4元数であるとする。定理 2.2により

ρ(q−1p)=ρ(q)−1∘ρ(p)\rho(q^{-1}p)=\rho(q)^{-1}\circ\rho(p)

は恒等回転であるから、q−1p=1q^{-1}p=1またはq−1p=−1q^{-1}p=-1である。したがってp=qp=qまたはp=−qp=-qである。実際、qqと−q-qはともに同じ回転を与えるので、各回転の逆像はちょうど{q,−q}\{q,-q\}である。▨

4 演習

問題 4.1. 単位4元数p,qp,qの組で、

pq≠qp,ρ(p)∘ρ(q)=ρ(q)∘ρ(p)pq\ne qp, \qquad \rho(p)\circ\rho(q)=\rho(q)\circ\rho(p)

を満たすものを一組求めよ。また、ρ(p)\rho(p)、ρ(q)\rho(q)、および合成した回転の軸と角を求めよ。

解答.

p=ip=i、q=jq=jとする。乗法表から

pq=ij=k,qp=ji=−kpq=ij=k,\qquad qp=ji=-k

であるので、pq≠qppq\ne qpである。一方、定理 2.2と定理 3.2により

ρ(i)∘ρ(j)=ρ(k)=ρ(−k)=ρ(j)∘ρ(i)\rho(i)\circ\rho(j)=\rho(k) =\rho(-k)=\rho(j)\circ\rho(i)

が成り立つ。

i=cos⁡(π/2)+isin⁡(π/2)i=\cos(\pi/2)+i\sin(\pi/2)であるので、定理 2.1により、ρ(i)\rho(i)はxx軸のまわりの角π\piの回転である。同様に、ρ(j)\rho(j)はyy軸、ρ(k)\rho(k)はzz軸のまわりの角π\piの回転である。座標で書くと

ρ(i)(x,y,z)=(x,−y,−z),ρ(j)(x,y,z)=(−x,y,−z),ρ(k)(x,y,z)=(−x,−y,z)\rho(i)(x,y,z)=(x,-y,-z),\qquad \rho(j)(x,y,z)=(-x,y,-z),\qquad \rho(k)(x,y,z)=(-x,-y,z)

である。二通りの合成は

(ρ(i)∘ρ(j))(x,y,z)=ρ(i)(−x,y,−z)=(−x,−y,z),(ρ(j)∘ρ(i))(x,y,z)=ρ(j)(x,−y,−z)=(−x,−y,z)\begin{aligned} (\rho(i)\circ\rho(j))(x,y,z) &=\rho(i)(-x,y,-z)=(-x,-y,z),\\ (\rho(j)\circ\rho(i))(x,y,z) &=\rho(j)(x,-y,-z)=(-x,-y,z) \end{aligned}

となる。二つの4元数の積の符号は異なるが、合成した回転は同じである。▨