点と直線 | 図形と方程式

公式 1.1. $\mathrm{A}=(x_1,y_1)$ 、 $\mathrm{B}=(x_2,y_2)$ の距離は

\mathrm{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.

証明. 横と縦の移動の長さは $|x_2-x_1|$ 、 $|y_2-y_1|$ である。両方が正なら、この二辺を直角をはさむ辺とする直角三角形に三平方の定理を適用する。一方が $0$ なら距離は他方の長さであり、両方が $0$ なら距離は $0$ なので、同じ式が成り立つ。▨

公式 1.2. 相異なる二点 $\mathrm{A}=(x_1,y_1)$ 、 $\mathrm{B}=(x_2,y_2)$ と正の数 $m,n$ に対して、 $\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=m:n$ に線分 $\mathrm{AB}$ を内分する点は

\mathrm{P}=\left(\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\frac{ny_1+my_2}{m+n}\right).

$m\ne n$ のとき、同じ比に外分する点は

\mathrm{P}=\left(\frac{mx_2-nx_1}{m-n},\frac{my_2-ny_1}{m-n}\right).

証明. 直線 $\mathrm{AB}$ 上の点を

\mathrm{P}=(x_1+t(x_2-x_1),\ y_1+t(y_2-y_1))

と表すと、 $\mathrm{AP}=|t|\mathrm{AB}$ 、 $\mathrm{PB}=|1-t|\mathrm{AB}$ である。内分では $0<t<1$ なので $t/(1-t)=m/n$ から $t=m/(m+n)$ を得る。外分では $t<0$ または $t>1$ なので、 $|t|/|1-t|=m/n$ から $t=m/(m-n)$ を得る。 $m>n$ なら $t>1$ 、 $m<n$ なら $t<0$ であり、いずれも線分の外側にある。 $m=n$ では有限の外分点は存在しない。▨

例 1.3. $\mathrm{A}=(1,2)$ 、 $\mathrm{B}=(7,5)$ の距離は $\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt5$ である。 $2:1$ に内分する点は $(5,4)$ 、外分する点は $(13,8)$ となる。中点は $m=n=1$ の内分点であり、座標は $(4,7/2)$ である。

注意 1.4. 中点と二点間の距離は、二点を入れ替えても変わらない。

定義 2.1 (直線の方程式). $a,b,c\in\R$ 、 $a^2+b^2>0$ に対して

ax+by+c=0

を満たす点全体が直線であり、この式を直線の方程式 (equation of a line) という。 $b\ne0$ なら $y=-(a/b)x-c/b$ と書くことができ、係数 $-a/b$ を傾きという。 $b=0$ なら $a\ne0$ で、直線は $x=-c/a$ となり、傾きは定義されない。

公式 2.2. 相異なる二点 $\mathrm{A}=(x_1,y_1)$ 、 $\mathrm{B}=(x_2,y_2)$ を通る直線は一意に定まり、 $x_1\ne x_2$ なら

y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1),

$x_1=x_2$ なら $x=x_1$ である。傾き $m$ で $(x_1,y_1)$ を通る直線は $y-y_1=m(x-x_1)$ と表される。

証明. $x_1\ne x_2$ のとき、直線の式 $y=mx+d$ に二点を代入して引くと $m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)$ 、さらに $d=y_1-mx_1$ と一意に定まる。 $x_1=x_2$ なら $y_1\ne y_2$ なので、二点を通る非鉛直な直線は存在せず、鉛直線 $x=x_1$ が唯一の直線である。▨

注意 2.3. $\mathrm{A}=\mathrm{B}$ の場合、一点を通る直線は無数にあり、二点から直線を一意に定めることはできない。冒頭の図では $\mathrm{A}\ne\mathrm{B}$ の範囲を扱っている。

公式 3.1. 二つの直線 $a_ix+b_iy+c_i=0$ （ $i=1,2$ 、 $a_i^2+b_i^2>0$ ）は、

a_1b_2-a_2b_1=0

のとき、かつそのときに限り方向が同じである。二直線が異なれば平行であり、同じ直線なら一致する。また、二直線が垂直である条件は

a_1a_2+b_1b_2=0

である。両方の傾きが定義されるとき、方向が同じ条件は $m_1=m_2$ 、垂直条件は $m_1m_2=-1$ と書かれる。

証明. $b_1b_2\ne0$ の場合、方向が同じ条件は傾き $-a_1/b_1$ と $-a_2/b_2$ が等しいことであり、第1式に等しい。方向の角を $\theta_1,\theta_2$ とすると、垂直である条件は $\cos(\theta_1-\theta_2)=0$ である。余弦の差の公式を $\cos\theta_1\cos\theta_2\ne0$ で割ると $1+\tan\theta_1\tan\theta_2=0$ 、すなわち $1+m_1m_2=0$ を得る。係数で書くと第2式となる。一方、 $b_1=0$ の場合には第1直線は鉛直であり、方向が同じ条件は $b_2=0$ 、垂直である条件は $a_2=0$ である。二つの係数条件はそれぞれこの条件と一致する。 $b_2=0$ の場合も二直線を取り替えれば同じである。▨

公式 4.1. 点 $\mathrm{P}=(x_0,y_0)$ と直線 $l:ax+by+c=0$ （ $a^2+b^2>0$ ）の距離は

d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.

垂線の足 $\mathrm{H}$ の座標は、 $t=(ax_0+by_0+c)/(a^2+b^2)$ として

\mathrm{H}=(x_0-ta,\ y_0-tb)

である。

証明. $t=(ax_0+by_0+c)/(a^2+b^2)$ とし、 $\mathrm{H}=(x_0-ta,y_0-tb)$ をとる。

a(x_0-ta)+b(y_0-tb)+c=0

なので $\mathrm{H}$ は $l$ 上にある。 $t=0$ なら $\mathrm{P}=\mathrm{H}$ は直線上にあり、距離は $0$ である。 $t\ne0$ の場合、 $\mathrm{P}$ と $\mathrm{H}$ を通る直線の方程式は

b(x-x_0)-a(y-y_0)=0

であり、その係数 $(b,-a)$ と $l$ の係数 $(a,b)$ は $ba-ab=0$ を満たす。したがって二直線は垂直である。直線上の任意の点 $\mathrm{Q}\ne\mathrm{H}$ に対し、三平方の定理から

\mathrm{PQ}^2=\mathrm{PH}^2+\mathrm{HQ}^2>\mathrm{PH}^2

である。よって $\mathrm{H}$ が最短距離を与え、

d=\mathrm{PH}=|t|\sqrt{a^2+b^2} =\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

を得る。▨

例 4.2. $\mathrm{P}=(1,2)$ と $l:3x+4y-1=0$ の距離は

d=\frac{|3+8-1|}{\sqrt{9+16}}=2.

$t=10/25=2/5$ なので、垂線の足は

\mathrm{H}=\left(-\frac15,\frac25\right).

$3(-1/5)+4(2/5)-1=0$ により $\mathrm{H}$ は直線上にあり、 $\mathrm{PH}=2$ であることも座標の差から確認することができる。

閑話休題：マンハッタン距離と単位円 横方向と縦方向にだけ移動するモデルでは、二点間の距離を

d=|x_2-x_1|+|y_2-y_1|

で表します。この距離をマンハッタン距離、またはタクシー距離と呼びます。原点からの距離が $1$ の点全体は

|x|+|y|=1

となります。各象限で絶対値を外すと線分の方程式が得られ、その集合は $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$ を頂点とする正方形です。

マンハッタン距離は非負で、二点が一致するときに限り $0$ となり、二点の順序によらず、三角不等式を満たします。最後の性質は、各座標で $|u+v|\le|u|+|v|$ を用いて足すことで確かめることができます。したがって、通常のユークリッド距離と異なる形の単位円をもちながら、距離の公理を満たします。このような距離を一般に扱う理論が距離空間論です。

§A2.5点と直線

1 二点間の距離と分点

2 直線の方程式

3 平行と垂直

4 点と直線の距離

例題

演習

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