§E6.13テンソル代数

証明.§E6.12 定理 14.1による外側左作用と双加群構造を反復すると、主張の両側加群構造を得る。§E6.12 命題 9.2 (2)の生成性を反復すると、多重の純テンソルは反復積を加法群として生成する。

$n=1$では、加法的な写像から加法群準同型への延長はもとの写像である。$n-1$因子の各変数について加法的な隣接平衡写像が、反復積からの加法群準同型へ一意に延長すると仮定し、$U=M_1\otimes_R\cdots\otimes_RM_{n-1}$と置く。アーベル群$P$への、各変数について加法的かつ隣接平衡的な写像$b$を取る。$m_n$を固定し、帰納法の仮定によって加法群準同型$b_{m_n}\colon U\to P$を得る。純テンソル上の一致と一意性から、$(u,m_n)\mapsto b_{m_n}(u)$は両変数について加法的であり、$b_{m_n}(ur)=b_{rm_n}(u)$を満たす。したがって§E6.12 命題 11.4によって加法群準同型$\widetilde b\colon U\otimes_RM_n\to P$が定まる。生成性によって一意性も成り立つので、加法群への一意延長について帰納法が閉じる。

$P$が両側加群であり、$b$がさらに両端条件を満たす場合、純テンソル上で$\widetilde b(rz)=r\widetilde b(z)$および$\widetilde b(zs)=\widetilde b(z)s$である。加法群としての生成性によって両等式はすべての$z$に対して成り立つ。したがって$\widetilde b$は両側線形である。逆に両側線形写像の制限は、テンソル積の関係から所定の条件を満たす。

§E6.12 定理 14.1の結合同型は純テンソルの順序を保ち、外側左作用とも可換する。反復して任意の括弧づけを結ぶ同型を得る。二つの合成が同じ純テンソルを固定すれば、生成性によって二つの合成は一致する。写像$(m_1,\ldots,m_n)\mapsto f_1(m_1)\otimes\cdots\otimes f_n(m_n)$は隣接平衡条件と両端条件を満たすので、普遍性から両側線形写像$\bigotimes_i f_i$を得る。恒等写像と合成の等式も純テンソル上の一致から従う。

$R$が可換で左右作用が一致する場合、各変数の係数を隣接平衡関係によって左端へ移し、両端条件によって値の外へ出すことができる。したがって多重平衡・両端条件を満たす写像は多重線形である。逆に多重線形写像は係数の可換性によってこれらの条件を満たす。▨

証明.$p,q\geq1$に対して、命題 1.2の括弧変更によって

を得る。$p=0$または$q=0$の写像は§E6.12 命題 13.1で与えられる。$p=q=0$では乗法$R\otimes_RR\to R$である。§E6.12 命題 18.1により、これらの両側線形写像は$T_R(M)\otimes_RT_R(M)\to T_R(M)$へまとまる。この写像と標準平衡写像の合成が、定義の分配的な積を与える。

三つの次数が正なら、結合律の両辺は純テンソルの同じ連結である。一つだけが零次なら、零次が左端または右端にある場合は外側作用との両立性に、中間にある場合は$(ur)\otimes v=u\otimes rv$に帰着する。二つが零次なら、左作用の結合律、右作用の結合律、または$(ru)s=r(us)$に帰着する。すべてが零次なら$R$の結合律である。各次数は純テンソルで加法的に生成され、各元の斉次分解は有限和なので、積は全体で結合的である。零次の$1_R$は各成分で左右の単位として作用する。$j$と$\iota$の主張は零次を含む積の定義から従う。正次数の純テンソルは$\iota(m_1)\cdots\iota(m_n)$に等しいため、生成性も従う。▨

証明.$n\geq1$に対して$b_n(m_1,\ldots,m_n)=f(m_1)\cdots f(m_n)$と置く。$f$の加法性と積の分配律から各変数について加法的であり、

なので隣接平衡関係を満たす。両端では$f(rm_1)=i(r)f(m_1)$と$f(m_ns)=f(m_n)i(s)$により所定の作用を保つ。命題 1.2から両側線形写像$\Phi_n\colon M^{\otimes_Rn}\to A$が定まる。$\Phi_0=i$とし、直和の普遍性で$\Phi=\sum_n\Phi_n$を得る。

正次数の純テンソル$u,v$に対して$\Phi(uv)=\Phi(u)\Phi(v)$は積の連結と$A$の結合律から従う。零次の$r$に対しては$\Phi(ru)=i(r)\Phi(u)$、$\Phi(ur)=\Phi(u)i(r)$であり、零次同士では$i$が積を保つ。分配律と生成性により$\Phi$は全体で積を保ち、$\Phi(j(1_R))=1_A$である。同じ制限を持つ二つの環準同型は$j(R)$と$\iota(M)$で一致するので、命題 2.2により一致する。

可換環上で左右作用が一致する場合、隣接平衡関係によって純テンソルの左端の係数を右端へ移すことができるので、$j(R)$は$T_R(M)$の中心に含まれる。$i(R)$も中心的なら、$M\to A$の両側線形性は通常の線形性と一致し、延長$\Phi$は係数を保つ代数準同型である。

$f\colon M\to N$に対して$\iota_N f$を延長すると$T_R(f)$を得る。次数$n$での値は$f(m_1)\otimes\cdots\otimes f(m_n)$であり、零次では$\id_R$である。恒等写像と合成に関する二つの延長は$R$と$M$への制限が一致するので、一意性によって一致する。▨

証明.$I$の元は$ahb$（$a,b\in B$、$h\in H$）の有限和である。$a=\sum_pa_p$、$b=\sum_qb_q$と斉次分解すると、$ahb=\sum_{p,q}a_phb_q$の各項は$I$の斉次元である。したがって$I$の各元の斉次成分も$I$に属する。直和分解の一意性から最初の等式を得る。自然な全射$\bigoplus_nB_n\to\bigoplus_n B_n/(I\cap B_n)$の核は$I$であり、積は次数を加えるので、この加法群の商分解は商環の次数付けになる。▨

証明.定理 2.3と命題 1.2の可換環への特殊化である。▨

証明. 置換された純テンソルの式は各変数について線形なので、系 3.2により$P_\sigma$が一意に定まる。合成の第$k$因子は$m_{\tau^{-1}\sigma^{-1}(k)}=m_{(\sigma\tau)^{-1}(k)}$であり、生成性から合成則を得る。特に$P_{\sigma^{-1}}$は逆写像である。$f^{\otimes n}$の恒等・合成則は命題 1.2にあり、置換との可換性は純テンソル上で両辺の各因子が$f(m_{\sigma^{-1}(k)})$になることから従う。▨

証明. 交換子を零にする商では次数一の元が互いに可換する。係数はすでに中心にある。命題 2.2の生成性から商全体が可換になる。補題 2.4により次数が定まる。$M\to A$の線形写像のテンソル代数からの延長は、$A$の可換性によって$I_{\mathrm s}$を零にする。§E6.2 命題 10.2による因子化と、テンソル代数からの延長の一意性から、対称代数の普遍性を得る。

$I_{\mathrm s}$の次数$n$の部分は、純テンソルを左右から掛けた

によって$R$加群として生成される。実際、イデアルの元の斉次分解と純テンソルの生成性を用いると、両端の係数は$R$の作用へまとめることができる。各隣接交換差は$P_\sigma z-z$の形であり、任意の置換は隣接交換の積なので、一般の置換差は隣接交換差の和になる。よって主張の商と一致する。次数零と一次のイデアルの成分は零なので、$\operatorname{Sym}_R^0(M)=R$および$\operatorname{Sym}_R^1(M)=M$と同一視することができる。テンソル積からの線形写像が置換差で生成される部分加群を零へ送ることは、対応する多重線形写像が置換不変であるための必要十分条件である。したがって、系 3.2により、対称多重線形写像の一意な因子化を得る。▨

証明.$I_{\mathrm a}$は次数二の斉次元で生成されるので、補題 2.4により商は次数付けられ、零次と一次は変わらない。商での等式

から隣接交換則を得る。離れた位置に同じ元がある純外積は、一方を隣接位置まで移すと符号を除いて平方を含むので零である。一般の二位置の交換は奇数回の隣接交換の合成なので符号を変える。

$I_{\mathrm a}$の次数$n$の部分は、同じ$x$を隣接して二つ含む純テンソルで$R$加群として生成される。これはイデアルの斉次分解と純テンソルの生成性から従う。交代多重線形写像に対応するテンソル積からの線形写像は、同じ元を隣接して二つ含む純テンソルを零へ送る。したがって、この線形写像は次数$n$の商へ一意に因子化する。逆に純外積の写像が交代的であることはすでに示した。代数の対応は、テンソル代数からの延長が$I_{\mathrm a}$を零にする条件が$f(x)^2=0$であることと、§E6.2 命題 10.2から得られる。

次数$p,q$の純外積を交換する際、第一の各因子を第二の$q$個の因子の向こうへ移すために$pq$回の隣接交換を行う。したがって純外積では主張の符号が得られる。各斉次元は純外積の有限$R$線形和なので、分配律から一般の$u,v$にも同じ式が成り立つ。零次の場合には係数の中心性を使う。▨

証明.$T_R(f)$は定理 2.3によって定まる。$N\to\operatorname{Sym}_R(N)$と$f$の合成は可換代数への線形写像であり、$N\to\bigwedge_RN$と$f$の合成は平方零の像を持つ。各代数の普遍性によって所定の写像を得る。各次数の式は、構成した代数準同型が積を保つことから従う。これらの代数準同型は係数上で恒等写像である。恒等写像と合成の二通りの延長は次数一と係数上で一致するので、一意性により一致する。▨

証明.$(s,m)\mapsto sf(m)$は$R$上で平衡であり、$S$の外側作用を保つのでテンソル積の普遍性によって一意に延長する。$R$線形写像$f\colon M\to P$を延長してから制限すると、各$m\in M$で値は$f(m)$になる。一方、$S$線形写像$g\colon S\otimes_RM\to P$を制限してから延長すると、各純テンソル$s\otimes m$で値は$s g(1\otimes m)=g(s\otimes m)$になる。したがって、二つの対応は互いに逆である。代数の積の式は各因子の$R$-平衡関係を保つ。たとえば$s\rho(r)\otimes a=s\otimes ra$を第一因子で使ったとき、積の像はともに$st\otimes rab$である。一方、第二因子について平衡関係を確かめる際には、$R$の像が$A$の中心にあることを用いる。反復テンソル積の普遍性によって積が定まる。結合律、単位律、係数の中心性は純テンソル上で$S,A$の各法則に帰着し、生成性によって全体で成り立つ。$f\colon A\to B$が$R$代数準同型なら、$sf(a)tf(b)=stf(ab)$なので対応する延長は積と単位を保つ。逆に$S$代数準同型の制限は積と係数を保つ。▨

証明. 右辺を$V$とする。$M_1\times\cdots\times M_n\to V$の写像$(m_1,\ldots,m_n)\mapsto(1\otimes m_1)\otimes\cdots\otimes(1\otimes m_n)$は各変数について$R$線形なので、$\bigotimes_RM_i\to V$を与える。補題 6.2による$S$線形延長が順方向の写像である。逆方向には

を用いる。この式で指定した対応は各対$(s_i,m_i)$の$R$-平衡関係を保ち、各$S\otimes_RM_i$について$S$線形である。したがって、普遍性を反復して適用することにより、逆方向の写像が定まる。二つの合成は表示した生成元を固定する。零因子の同型は$s\otimes r\mapsto s\rho(r)$である。

§E6.12 命題 18.1によって次数ごとの同型を直和すると、テンソル代数の同型になる。連結の前後で$S$係数の積は同じなので、構成した写像は正次数の積を保つ。この写像は零次でも係数の積と作用を保つので、代数同型である。加群写像との可換性は、両辺で各$m_i$がその像へ移ることから従う。係数をさらに$S\to U$へ拡大する場合、$U\otimes_S(S\otimes_RL)\cong U\otimes_RL$は$u\otimes(s\otimes l)\mapsto u\rho'(s)\otimes l$とその逆$u\otimes l\mapsto u\otimes(1\otimes l)$で与えられる。上の各同型との合成は、どの順序でも係数を掛け合わせるので一致する。因子置換との可換性も、$S$係数の積が置換に依存しないことから従う。▨

証明.$B=\operatorname{Sym}_S(S\otimes_RM)$とする。$M\to B$、$x\mapsto1\otimes x$の像は可換なので、対称代数の普遍性で$\operatorname{Sym}_R(M)\to B$を得る。補題 6.2により$S\otimes_R\operatorname{Sym}_R(M)\to B$が定まる。逆に、$S\otimes_R\operatorname{Sym}_R(M)$は可換$S$代数なので、対称代数の普遍性により、$s\otimes x\mapsto s\otimes x$という一次への線形写像を対称代数から延長することができる。両合成は係数と一次の元を固定するので恒等写像である。構成した写像は次数を保ち、各次数の生成元上の式から加群写像および係数環準同型の合成との整合性も従う。▨

証明.$B=\bigwedge_S(S\otimes_RM)$とする。$M\to B$、$x\mapsto1\otimes x$の像は平方零なので、外代数の普遍性と補題 6.2によって$S\otimes_R\bigwedge_RM\to B$を得る。$C=S\otimes_R\bigwedge_RM$における一次の任意の元$z=\sum_{i=1}^k s_i\otimes x_i$を取る。外代数で$x_i^2=0$と$x_ix_j+x_jx_i=0$であるから、

したがって線形写像$S\otimes_RM\to C$はすべての元を平方零元へ送る。外代数の普遍性から$B\to C$を得る。両合成は係数と一次で恒等写像なので、生成性により全体で恒等写像である。次数を保つことと、各生成元での一致から、各次数の同型、加群写像との自然性、係数環準同型の合成との整合性を得る。▨

証明.$F\cong\bigoplus_{i\in I}R$と§E6.12 命題 18.1を反復し、各$R\otimes_RR$に単位同型を施すと、$F^{\otimes_Rn}\cong\bigoplus_{I^n}R$を得る。対応する標準元は主張の語である。$n=0$では添字集合は空の語一つである。積は語の連結なので、$T_R(F)$は§E6.1 定理 6.2で構成した自由モノイドのモノイド環と同型である。

$\N^{(I)}$の標準元を$\varepsilon_i$とし、$x_i$をそのモノイド環の標準元とする。可換$R$代数$A$の任意の族$(a_i)_{i\in I}$に対して、一意なモノイド写像$\alpha\mapsto\prod_i a_i^{\alpha_i}$が定まる。§E6.1 定理 6.3により、この族に対応する$R$代数準同型$R[\N^{(I)}]\to A$が一意に定まる。一方、§E6.3 補題 4.5により、この族に対応する線形写像$F\to A$が一意に定まる。対称代数の普遍性を使うと、$e_i\mapsto x_i$および$x_i\mapsto e_i$による相互逆な代数準同型を得る。両者は全次数を保つ。モノイド環は各$\alpha$に対応する標準元を基底とするので、次数ごとに主張の基底を得る。▨

証明. 基底展開と外積の多重線形性により、基底元の外積が外冪を生成する。同じ添字の反復を含む積は零であり、反復を含まない積は交換則によって増加順の積の符号倍に等しい。したがって主張の族は生成系である。

各増加列$J=(j_1<\cdots<j_n)$に対して、$e_j$の係数を取る線形写像を$c_j\colon F\to R$とし、

と置く。この写像は多重線形である。二つの変数の値が等しいとき、その二位置を交換して得られる置換同士を組にすると、各組の積は等しく符号は逆なので和は零になる。この相殺は二が可逆でなくても成り立つ。よって$d_J$は交代的である。したがって、外冪の普遍性により、$d_J$に対応する外冪から$R$への線形写像が定まる。増加列$K$の基底積に対する値は、$K=J$なら$1_R$、異なれば$0$である。したがって主張の生成系の有限線形関係に各$d_J$を施すと、すべての係数が零である。$n=0$は$\bigwedge_R^0F=R$から従う。$n>r$では増加列がないので生成系は空であり、外冪は零である。零環でも係数の一意性は同じ議論で成り立つ。▨

証明. 可換$R$代数$B,C$のテンソル積には$(b\otimes c)(b'\otimes c')=bb'\otimes cc'$によって可換代数構造が定まる。平衡性は係数の中心性から従う。純テンソル上では、$B,C$の環の法則から対応する等式が成り立つ。生成性と分配律により、一般の元についてもこれらの等式が成り立つ。可換$R$代数$A$と代数準同型$f\colon B\to A$、$g\colon C\to A$に対して、$b\otimes c\mapsto f(b)g(c)$は平衡普遍性から線形写像を定め、$A$の可換性によって代数準同型になる。逆に$h\colon B\otimes_RC\to A$は$b\mapsto h(b\otimes1)$と$c\mapsto h(1\otimes c)$によって決まり、$(b\otimes1)(1\otimes c)=b\otimes c$なので二つの対応は互いに逆である。

$B=\operatorname{Sym}_R(M)$、$C=\operatorname{Sym}_R(N)$とする。一次への写像

を対称代数から延長する。逆方向には二つの標準包含が誘導する$B,C\to\operatorname{Sym}_R(M\oplus N)$と、前段の対応を用いる。両合成は係数と$M,N$の元を固定するので恒等写像である。両写像は全次数を保つ。§E6.12 命題 18.1によって左辺の次数$n$の部分を取り出すと主張の直和分解を得る。$M,N$の写像に関する可換性も、係数と一次での一致から従う。▨

証明.$B=\bigwedge_RM$、$C=\bigwedge_RN$とし、$D=\bigoplus_{p,q}B_p\otimes_RC_q$に、斉次元について

と定める。各成分の写像はテンソル積の普遍性から定まる。これらの写像を用い、分配律によって有限和の積を定める。三因子の結合律に現れる符号の指数は、左から積を取れば$q p'+(q+q')p''$、右から取れば$q'p''+q(p'+p'')$であり、等しい。各外代数の結合律から積は結合的で、$1\otimes1$が単位である。$R$の像は中心的なので$D$は$R$代数となる。