三平方の定理とその逆 | 初等幾何学

1 この記事で証明する定理

定理 1.1 (三平方の定理). 非退化な三角形 $\mathrm{ABC}$ の正の辺長を $\mathrm{BC}=a$ 、 $\mathrm{CA}=b$ 、 $\mathrm{AB}=c$ とする。角は通常の角とする。次が成り立つ。

$\angle\mathrm{C}=90°$ ならば $a^2+b^2=c^2$ である。
$\mathrm{AB}$ が最大辺であり、 $a^2+b^2=c^2$ ならば $\angle\mathrm{C}=90°$ である。

$a,b>0$ なので、 $a^2+b^2=c^2$ ならば $c>a$ かつ $c>b$ です。したがって、逆の最大辺という条件は平方和の等式から従い、二つの主張は直角と平方和の等式の必要十分性を表します。

2 直角三角形と斜辺への垂線

下の図では、頂点 $\mathrm{C}$ を半円上で動かして、直角三角形の形の変化を観察することができます。直角の頂点 $\mathrm{C}$ から斜辺 $\mathrm{AB}$ へ下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ としています。三角形 $\mathrm{ACH}$ 、 $\mathrm{CBH}$ 、 $\mathrm{ABC}$ の相似を、続く証明で用います。

図は $\mathrm{A}\ne\mathrm{B}$ と $\mathrm{C}$ が直径の端点以外にある非退化な配置を示しています。半円上の有限個の位置での観察は、三平方の等式の証明ではありません。直径に対する円周角が直角であることは、後の§A5.5 系 5.1で証明します。

3 相似による証明

証明.定理 1.1 (1)を示す。 $\angle\mathrm{C}=90°$ とし、 $\mathrm{C}$ から斜辺 $\mathrm{AB}$ へ下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とする。 $\angle\mathrm{A}$ 、 $\angle\mathrm{B}$ は鋭角なので、 $\mathrm{H}$ は線分 $\mathrm{AB}$ の内部にある。

$\angle \mathrm{CAH}=\angle\mathrm{BAC}$ であり、 $\angle \mathrm{AHC} = \angle \mathrm{ACB} = 90°$ である。よって§A5.1 定理 3.1 (1)により $\triangle \mathrm{ACH} \sim \triangle \mathrm{ABC}$ である。対応する辺の比から $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}} = \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AC}}, \quad\text{すなわち}\quad b^2 = \mathrm{AH} \cdot c.$

$\angle\mathrm{CBH}=\angle\mathrm{ABC}$ 、 $\angle\mathrm{BHC}=\angle\mathrm{BCA}=90°$ なので、同じ相似条件により $\triangle \mathrm{BCH} \sim \triangle \mathrm{BAC}$ である。対応する辺の比から $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BA}} = \frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{BC}}, \quad\text{すなわち}\quad a^2 = \mathrm{BH} \cdot c.$

二式を足すと、 $\mathrm{AH} + \mathrm{BH} = \mathrm{AB} = c$ だから $a^2 + b^2 = (\mathrm{BH} + \mathrm{AH})\, c = c \cdot c = c^2.$ ▨

4 正方形の面積による証明

証明.定理 1.1 (1)を示す。直角をはさむ二辺の長さを $a,b$ 、斜辺の長さを $c$ とする。一辺が $a+b$ の正方形 $\mathrm{PQRS}$ をとり、辺 $\mathrm{PQ},\mathrm{QR},\mathrm{RS},\mathrm{SP}$ の内部にそれぞれ点 $\mathrm{E},\mathrm{F},\mathrm{G},\mathrm{H}$ を

\mathrm{PE}=\mathrm{QF}=\mathrm{RG}=\mathrm{SH}=a,\qquad \mathrm{EQ}=\mathrm{FR}=\mathrm{GS}=\mathrm{HP}=b

となるようにとる。四隅の三角形 $\mathrm{PEH},\mathrm{QFE},\mathrm{RGF},\mathrm{SHG}$ は、直角をはさむ二辺がそれぞれ $a,b$ であるから、二辺夾角の合同条件によりもとの直角三角形と合同である。したがって、内側の四角形 $\mathrm{EFGH}$ の四辺はいずれも $c$ である。

もとの直角三角形の二つの鋭角を $\alpha,\beta$ とすれば、 $\alpha+\beta=90°$ である。点 $\mathrm{E}$ において、直線 $\mathrm{PQ}$ と内側の四角形が作る三つの角の和は $180°$ であり、両端の角は $\alpha,\beta$ である。よって $\angle\mathrm{HEF}=90°$ となる。他の三つの頂点でも同じ角の計算により直角となるので、 $\mathrm{EFGH}$ は一辺が $c$ の正方形である。

四隅の三角形と内側の正方形は、内部を重ねずに正方形 $\mathrm{PQRS}$ を分割する。面積を足し合わせると $(a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2.$ 左辺を展開して $2ab$ を両辺から引けば、 $a^2+b^2=c^2$ を得る。▨

相似による証明では、各脚の平方を、斜辺とその分割長との積として表しました。面積による証明では、正方形の面積を部分の面積の和として表しました。前者は相似な三角形の辺の比を用い、後者は合同な三角形の配置と面積の加法性を用いています。

5 三平方の定理の逆

証明.定理 1.1 (2)を示す。 $a^2+b^2=c^2$ とし、 $\angle \mathrm{C'} = 90°$ 、 $\mathrm{B'C'} = a$ 、 $\mathrm{C'A'} = b$ である直角三角形 $\triangle \mathrm{A'B'C'}$ をとる。定理 1.1 (1)により、その斜辺は $\mathrm{A'B'} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{c^2} = c = \mathrm{AB}.$ $\triangle \mathrm{ABC}$ と $\triangle \mathrm{A'B'C'}$ は三辺がそれぞれ等しいので、三辺相等の合同条件により合同である。合同な三角形の対応する角は等しいから $\angle \mathrm{C} = \angle \mathrm{C'} = 90°$ である。▨

例 5.1. 辺の長さの比が $3:4:5$ である非退化な三角形では、ある $t>0$ によって辺長を $3t,4t,5t$ と書く。 $(3t)^2+(4t)^2=(5t)^2$ なので、定理 1.1 (2)により最大辺の向かいの角は直角である。等間隔の結び目によって12区間に分けた伸縮しないロープを用い、結び目の間隔を $t$ とする。ロープの両端を合わせ、3区間、4区間、5区間の部分をそれぞれ一直線に張って三角形の三辺とすれば、長さ $3t$ と $4t$ の辺の間に直角を作ることができる。

6 高さと面積の最大値

問題 6.1. 線分 $\mathrm{AB}$ の内部に点 $\mathrm{H}$ をとり、 $\mathrm{H}$ を通り $\mathrm{AB}$ に垂直な直線上に、 $\mathrm{H}$ と異なる点 $\mathrm{C}$ をとる。 $p=\mathrm{AH}$ 、 $q=\mathrm{HB}$ 、 $h=\mathrm{CH}$ とする。三角形 $\mathrm{ABC}$ が $\mathrm{C}$ を直角とする直角三角形であるための必要十分条件が $h^2=pq$ であることを示せ。また、斜辺の長さが $c>0$ である直角三角形の面積の最大値と、その値をとる三角形を求めよ。

解答.

$\angle\mathrm{ACB}=90°$ とする。 $\angle\mathrm{AHC}=\angle\mathrm{CHB}=90°$ であり、 $\angle\mathrm{CAH}$ と $\angle\mathrm{BCH}$ はともに $90°-\angle\mathrm{CBH}$ に等しい。§A5.1 定理 3.1 (1)により $\triangle\mathrm{ACH}\sim\triangle\mathrm{CBH}$ であるから、対応する辺の比は $\mathrm{AH}/\mathrm{CH}=\mathrm{CH}/\mathrm{BH}$ となる。したがって $h^2=pq$ である。

逆に $h^2=pq$ とする。直角三角形 $\mathrm{AHC},\mathrm{BHC}$ に定理 1.1 (1)を用いると、

\mathrm{AC}^2=p^2+h^2=p(p+q),\qquad \mathrm{BC}^2=q^2+h^2=q(p+q).

二式を足せば $\mathrm{AC}^2+\mathrm{BC}^2=(p+q)^2=\mathrm{AB}^2$ である。各辺長は正なので $\mathrm{AB}$ は最大辺であり、定理 1.1 (2)により $\angle\mathrm{ACB}=90°$ となる。

斜辺の長さを $c$ に固定すると、 $p+q=c$ である。 $0\leq(p-q)^2=(p+q)^2-4pq=c^2-4h^2$ なので、 $h\leq c/2$ となる。三角形の面積は $ch/2$ であるから $c^2/4$ 以下であり、等号が成り立つのは $p=q=c/2$ のときである。このとき $\mathrm{AC}^2=p(p+q)=\mathrm{BC}^2$ なので、三角形は二等辺直角三角形である。実際に $p=q=h=c/2$ として三角形を作れば、既に示した十分性から直角三角形となり、面積は $c^2/4$ である。よって最大値は $c^2/4$ であり、二等辺直角三角形で達成される。▨

§A5.4三平方の定理とその逆