§E21.19球面の写像度

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球面のホモロジー群を計算すると、正の整数nnについてSnS^nのnn次ホモロジー群はZ\Zと同型である。しかし、ホモロジー群は空間だけで定まる群であるので、球面から球面への連続写像を区別するには、写像がホモロジー群に誘導する準同型を調べる必要がある。Z\Zの各自己準同型φ\varphiに対して、φ\varphiがddを掛ける写像に等しくなる整数ddがただ一つ存在する。したがって、連続写像f ⁣:Sn→Snf\colon S^n\to S^nがnn次ホモロジー群に誘導する準同型は一つの整数で表される。この整数をffの写像度という。写像度はホモトピーで変わらないので、写像度の異なる二つの写像は互いにホモトピックでない。写像度は球面の自己写像に対する最も基本的な不変量である。たとえば、nnが偶数のとき対蹠写像x↦−xx\mapsto -xの写像度は−1-1であり、恒等写像の写像度11と異なるので、対蹠写像は恒等写像とホモトピックでない。本記事では、写像度の定義と基本的な性質を述べ、原像の各点の近傍で定まる局所次数を用いて写像度を計算する方法を解説する。

1 写像度

定義 1.1 (写像度).n≥1n\ge1とし、無限巡回群Hn(Sn)H_n(S^n)（§E21.18 定理 2.2 (2)）の生成元[Sn][S^n]を一つ選ぶ。連続写像f:Sn→Snf:S^n\to S^nに対し、f∗[Sn]=(deg⁡f)[Sn]f_*[S^n]=(\deg f)[S^n]を満たす整数deg⁡f\deg fをffの 写像度 (degree) という。生成元を−[Sn]-[S^n]に替えると両辺の符号が同時に変わるので、この整数は生成元の選択によらない。

命題 1.2.n≥1n\ge1とし、f,g:Sn→Snf,g:S^n\to S^nを連続写像とする。

  1. deg⁡(id⁡Sn)=1\deg(\id_{S^n})=1である。
  2. f≃gf\simeq gならdeg⁡f=deg⁡g\deg f=\deg gである。
  3. deg⁡(f∘g)=(deg⁡f)(deg⁡g)\deg(f\circ g)=(\deg f)(\deg g)である。
  4. 定値写像の写像度は00である。

証明.主張 (1)、主張 (2)、主張 (3)を示す。§E21.13 命題 1.6と§E21.13 命題 3.2により、恒等写像、ホモトピーおよび合成についての三式が成り立つ。

主張 (4)を示す。定値写像は一点空間を経由し、n≥1n\ge1ではHn(∗)=0H_n(*)=0である（§E21.13 命題 2.4）から、最高次の誘導準同型は零である。▨

命題 1.3.n≥1n\ge1、1≤i≤n+11\le i\le n+1とし、Ri:Sn→SnR_i:S^n\to S^nを第ii座標の符号を反転する鏡映とする。このときdeg⁡Ri=−1\deg R_i=-1である。

証明.e=(0,…,0,1)e=(0,\ldots,0,1)、U=Sn∖{−e}U=S^n\setminus\{-e\}、V=Sn∖{e}V=S^n\setminus\{e\}とおき、R=Rn+1R=R_{n+1}とする。U,VU,Vは§E21.18 補題 2.1により可縮であるから、Hn(U)=Hn(V)=0H_n(U)=H_n(V)=0である。したがって§E21.18 定理 1.2 (1)の連結準同型δ:Hn(Sn)→Hn−1(U∩V)\delta:H_n(S^n)\to H_{n-1}(U\cap V)は単射である。

§E21.18 定理 1.2 (2)により、任意の類を[a+b][a+b]、a∈Cn(U)a\in C_n(U)、b∈Cn(V)b\in C_n(V)、∂a=−∂b\partial a=-\partial bと表すことができる。RRはUUとVVを交換するので、δR∗[a+b]=[∂R#b]=−[R#∂a]=−R∗′(δ[a+b])\delta R_*[a+b]=[\partial R_\#b]=-[R_\#\partial a]=-R'_*(\delta[a+b])である。ただしR′=R∣U∩VR'=R|_{U\cap V}とする。U∩VU\cap Vの点を(1−t2 u,t)(\sqrt{1-t^2}\,u,t)、u∈Sn−1u\in S^{n-1}、−1<t<1-1<t<1と表すと、R′R'は(u,t)↦(u,−t)(u,t)\mapsto(u,-t)である。(u,t)↦(u,(1−2s)t)(u,t)\mapsto(u,(1-2s)t)は恒等写像からR′R'へのホモトピーなのでR∗′=id⁡R'_*=\idである。よってδR∗=−δ\delta R_*=-\deltaであり、δ\deltaの単射性からR∗=−id⁡R_*=-\idを得る。

第ii座標と第n+1n+1座標を交換する同相写像をPPとすればRi=P−1RPR_i=P^{-1}RPである。関手性により(Ri)∗=P∗−1(−id⁡)P∗=−id⁡(R_i)_*=P_*^{-1}(-\id)P_*=-\idである。▨

系 1.4.n≥1n\ge1とする。このとき、対蹠写像a:Sn→Sna:S^n\to S^n、a(x)=−xa(x)=-xの写像度は(−1)n+1(-1)^{n+1}である。

証明.a=R1∘⋯∘Rn+1a=R_1\circ\cdots\circ R_{n+1}であるから、命題 1.3と写像度の乗法性により従う。▨

2 局所次数

補題 2.1.n≥1n\ge1、x∈Snx\in S^nとする。

  1. 相対鎖への商写像が誘導するqx:Hn(Sn)→Hn(Sn,Sn∖{x})q_x:H_n(S^n)\to H_n(S^n,S^n\setminus\{x\})は同型である。
  2. xxの開近傍UUに対し、包含が誘導するHn(U,U∖{x})→Hn(Sn,Sn∖{x})H_n(U,U\setminus\{x\})\to H_n(S^n,S^n\setminus\{x\})は同型である。

証明.主張 (1)を示す。A=Sn∖{x}A=S^n\setminus\{x\}は空でない可縮空間なので、§E21.15 系 3.4 (2)により被約ホモロジーは零である。n≥2n\ge2ではHn(A)=Hn−1(A)=0H_n(A)=H_{n-1}(A)=0であり、§E21.15 定理 2.1によりqxq_xは同型である。n=1n=1ではH1(A)=0H_1(A)=0であり、A,S1A,S^1は弧状連結なので包含が誘導する射H0(A)→H0(S1)H_0(A)\to H_0(S^1)は点の生成元を点の生成元へ送る同型である。同じ完全列によりqxq_xは同型である。

主張 (2)を示す。{x}\{x\}は閉集合なので、開近傍についての主張は§E21.17 命題 1.6 (2)と§E21.17 命題 1.6 (1)による。▨

定義 2.2 (局所次数).n≥1n\ge1とし、Hn(Sn)H_n(S^n)の生成元[Sn][S^n]を一つ選ぶ。

  1. x∈Snx\in S^nに対し、qx[Sn]∈Hn(Sn,Sn∖{x})q_x[S^n]\in H_n(S^n,S^n\setminus\{x\})をμx\mu_xと書く。xxの開近傍UUについては、補題 2.1 (2)の同型による逆像もμx\mu_xと書く。
  2. f:Sn→Snf:S^n\to S^nを連続写像、y∈Sny\in S^nとし、xxがf−1(y)f^{-1}(y)の孤立点であるとする。U∩f−1(y)={x}U\cap f^{-1}(y)=\{x\}となる開近傍UUをとると、f:(U,U∖{x})→(Sn,Sn∖{y})f:(U,U\setminus\{x\})\to(S^n,S^n\setminus\{y\})は対の写像である。f∗μx=deg⁡x(f;y)μyf_*\mu_x=\deg_x(f;y)\mu_yを満たす整数deg⁡x(f;y)\deg_x(f;y)をyyに関するxxでの 局所次数 (local degree) という。

命題 2.3. 局所次数deg⁡x(f;y)\deg_x(f;y)は、U∩f−1(y)={x}U\cap f^{-1}(y)=\{x\}を満たす開近傍UUの選択によらない。

証明. 二つの開近傍U,VU,Vに対しW=U∩VW=U\cap Vとおく。包含による局所ホモロジーの同型はμx\mu_xをμx\mu_xへ写す。f∣Wf|_Wはf∣Uf|_Uとf∣Vf|_Vの双方に包含を合成して得られるから、対の写像の関手性により、両近傍から計算したμy\mu_yの係数は等しい。▨

定理 2.4.n≥1n\ge1、f:Sn→Snf:S^n\to S^nを連続写像、y∈Sny\in S^nとし、f−1(y)={x1,…,xr}f^{-1}(y)=\{x_1,\ldots,x_r\}が有限集合であるとする。各xjx_jは相異なるものとし、r=0r=0も許すものとする。このときdeg⁡f=∑j=1rdeg⁡xj(f;y)\deg f=\sum_{j=1}^r\deg_{x_j}(f;y)である。原像が空なら右辺は00とする。

証明.F=f−1(y)F=f^{-1}(y)とおき、各xjx_jの互いに交わらない開近傍UjU_jをとり、W=⋃jUjW=\bigcup_jU_jとする。Z=Sn∖WZ=S^n\setminus Wは閉集合であり、Z⊆Sn∖FZ\subseteq S^n\setminus F、後者は開集合であるから、§E21.17 定理 1.1によりHn(W,W∖F)→≅Hn(Sn,Sn∖F)H_n(W,W\setminus F)\xrightarrow{\cong}H_n(S^n,S^n\setminus F)を得る。特異単体の像は連結であるから、WW内の特異単体の像は一つのUjU_jに含まれる。よって相対鎖複体は⨁jC∙(Uj,Uj∖{xj})\bigoplus_jC_\bullet(U_j,U_j\setminus\{x_j\})に分かれ、輪体と境界も成分ごとに分かれる。したがって包含による写像Φ:⨁jHn(Uj,Uj∖{xj})→≅Hn(Sn,Sn∖F)\Phi:\bigoplus_jH_n(U_j,U_j\setminus\{x_j\})\xrightarrow{\cong}H_n(S^n,S^n\setminus F)は同型である。r=0r=0でも、両辺は零群であり同じ同型が成り立つ。

qF:Hn(Sn)→Hn(Sn,Sn∖F)q_F:H_n(S^n)\to H_n(S^n,S^n\setminus F)を商の鎖写像による準同型とする。対の包含によってHn(Sn,Sn∖{xj})H_n(S^n,S^n\setminus\{x_j\})へ写すと、Φ\Phiの第jj成分は局所切除の同型になり、他の成分は零になる。一方、qF[Sn]q_F[S^n]の像はμxj\mu_{x_j}である。よってqF[Sn]=Φ((μxj)j=1r).q_F[S^n]=\Phi((\mu_{x_j})_{j=1}^r).f:(Sn,Sn∖F)→(Sn,Sn∖{y})f:(S^n,S^n\setminus F)\to(S^n,S^n\setminus\{y\})の誘導準同型を適用すると、関手性により左辺は(deg⁡f)μy(\deg f)\mu_y、右辺は∑jdeg⁡xj(f;y)μy\sum_j\deg_{x_j}(f;y)\mu_yになる。μy\mu_yは無限巡回群の生成元なので、係数を比較して結論を得る。▨

命題 2.5. 任意の整数ddに対し、S1S^1の自己写像z↦zdz\mapsto z^dの写像度はddである。

証明. 演習とする（問題 3.2）。▨

命題 2.6. 任意の整数ddと任意のn≥1n\ge1に対し、写像度がddである連続写像fd:Sn→Snf_d:S^n\to S^nが存在する。

証明.n=1n=1では命題 2.5の写像をとる。f:Sn→Snf:S^n\to S^nの懸垂Σf:ΣSn→ΣSn\Sigma f:\Sigma S^n\to\Sigma S^nは[x,t]↦[f(x),t][x,t]\mapsto[f(x),t]で定まり、商の普遍性により連続である。§E21.18 命題 2.6の自然性により、Σf\Sigma fがH~n+1(ΣSn)\widetilde H_{n+1}(\Sigma S^n)に誘導する準同型は、f∗f_*のH~n(Sn)\widetilde H_n(S^n)での作用と同型を介して対応する。両次数は正であるから被約ホモロジーを通常のホモロジーと同一視し、§E21.2 命題 2.8によりΣSn\Sigma S^nをSn+1S^{n+1}と同一視すると、deg⁡(Σf)=deg⁡f\deg(\Sigma f)=\deg fを得る。懸垂を繰り返せば、すべての次元で所要の写像を得る。▨

注意 2.7.n≥1n\ge1の連続写像f,g:Sn→Snf,g:S^n\to S^nについては、deg⁡f=deg⁡g\deg f=\deg gならf≃gf\simeq gである。この主張は Hopf の次数定理と呼ばれる。本記事では、この逆向きの主張を証明せず、以後の証明にも用いない。

命題 2.8.n≥1n\ge1とする。

  1. 連続写像f,g:Sn→Snf,g:S^n\to S^nがすべてのx∈Snx\in S^nについてf(x)≠−g(x)f(x)\ne-g(x)を満たすなら、f≃gf\simeq gである。
  2. 全射でない連続写像f:Sn→Snf:S^n\to S^nの写像度は00である。
  3. 不動点をもたない連続写像f:Sn→Snf:S^n\to S^nの写像度は(−1)n+1(-1)^{n+1}である。また、すべてのx∈Snx\in S^nについてf(x)≠−xf(x)\ne-xなら、deg⁡f=1\deg f=1である。

証明.主張 (1)、主張 (2)、主張 (3)の証明は演習とする（問題 3.1 (1)）。▨

命題 2.9.n≥1n\ge1とし、r:Rn→Rnr:\R^n\to\R^nを第一座標の符号を反転する鏡映とする。このときrrはHn(Rn,Rn∖{0})H_n(\R^n,\R^n\setminus\{0\})に−id⁡-\idとして作用する。

証明.Sn⊂Rn+1S^n\subset\R^{n+1}の第一座標鏡映R1R_1は南極−e-eを固定する。命題 1.3と補題 2.1 (1)の同型の自然性により、R1R_1はHn(Sn,Sn∖{−e})H_n(S^n,S^n\setminus\{-e\})に−id⁡-\idとして作用する。北極eeからの立体射影§E21.8 補題 3.2は南極を原点へ写し、その式から第一座標鏡映と可換である。局所切除の同型を介して立体射影を適用すると、rrの原点での作用も−id⁡-\idになる。▨

3 演習

問題 3.1.

  1. 命題 2.8の証明を完成させよ。
  2. n≥1n\ge1が偶数なら、任意の連続写像f:Sn→Snf:S^n\to S^nに対して、f(x)=xf(x)=xまたはf(x)=−xf(x)=-xを満たす点xxが存在することを示せ。n=1n=1ではこの結論が成り立たない例を挙げよ。
解答.
  1. f(x)≠−g(x)f(x)\ne-g(x)なら(1−t)f(x)+tg(x)(1-t)f(x)+tg(x)は零でない。実際、零なら二つの単位ベクトルが逆向きであり、t=1/2t=1/2となる。したがってH(x,t)=(1−t)f(x)+tg(x)∥(1−t)f(x)+tg(x)∥H(x,t)=\frac{(1-t)f(x)+tg(x)}{\lVert(1-t)f(x)+tg(x)\rVert}はffからggへのホモトピーである。全射でないffはある一点を除いた球面を経由し、その空間は§E21.18 補題 2.1により可縮なので、ffは定値写像とホモトピックであり写像度は零である。f(x)≠xf(x)\ne xがすべてのxxで成り立つなら、g=ag=aを対蹠写像として前半を適用するとf≃af\simeq aであり、系 1.4により写像度は(−1)n+1(-1)^{n+1}である。f(x)≠−xf(x)\ne-xがすべてのxxで成り立つなら、g=id⁡g=\idとしてdeg⁡f=1\deg f=1を得る。
  2. f(x)=xf(x)=xとなる点もf(x)=−xf(x)=-xとなる点も無ければ、前項によりdeg⁡f=(−1)n+1=−1\deg f=(-1)^{n+1}=-1かつdeg⁡f=1\deg f=1となり矛盾する。S1S^1上の写像f(z)=izf(z)=izは、どの点でもf(z)≠zf(z)\ne zかつf(z)≠−zf(z)\ne-zを満たす。

▨

問題 3.2.k≥1k\ge1とし、f,g:S1→S1f,g:S^1\to S^1をf(z)=zkf(z)=z^k、g(z)=zˉkg(z)=\bar z^kとする。f−1(1)f^{-1}(1)の各点での局所次数を求め、deg⁡f=k\deg f=k、deg⁡g=−k\deg g=-kを示せ。定値写像の場合と合わせて命題 2.5を証明せよ。

解答.

ζ=e2πi/k\zeta=e^{2\pi i/k}とおくと、f−1(1)={ζj:0≤j<k}f^{-1}(1)=\{\zeta^j:0\le j<k\}である。U={eiθ:∣θ∣<π/k}U=\{e^{i\theta}:|\theta|<\pi/k\}上でH(eiθ,t)=ei(1+t(k−1))θH(e^{i\theta},t)=e^{i(1+t(k-1))\theta}と定める。θ≠0\theta\ne0なら0<∣(1+t(k−1))θ∣<π0<|(1+t(k-1))\theta|<\piなので、HHは対(U,U∖{1})(U,U\setminus\{1\})から(S1,S1∖{1})(S^1,S^1\setminus\{1\})への写像のホモトピーであり、包含からf∣Uf|_Uへ至る。角柱作用素は部分空間内の鎖を部分空間内の鎖へ写すので、§E21.13 命題 3.2 (1)の恒等式が相対鎖へ降りる。したがって両写像は同じ相対ホモロジー準同型を誘導し、f∗μ1=μ1f_*\mu_1=\mu_1、すなわちdeg⁡1(f;1)=1\deg_1(f;1)=1である。

回転ρj(z)=ζjz\rho_j(z)=\zeta^jzはf∘ρj=ff\circ\rho_j=fを満たし、t↦e2πijt/kzt\mapsto e^{2\pi ijt/k}zにより恒等写像とホモトピックである。よって(ρj)∗[S1]=[S1](\rho_j)_*[S^1]=[S^1]であり、局所群への写像の自然性から(ρj)∗μ1=μζj(\rho_j)_*\mu_1=\mu_{\zeta^j}である。したがってdeg⁡ζj(f;1)=1\deg_{\zeta^j}(f;1)=1である。定理 2.4によりdeg⁡f=k\deg f=kを得る。g=R2∘fg=R_2\circ fであり、R2R_2は複素共役なので、鏡映の写像度と乗法性によりdeg⁡g=−k\deg g=-kである。S1S^1上ではzˉk=z−k\bar z^k=z^{-k}であり、z0=1z^0=1は定値写像なので、すべての整数の冪について結論を得る。▨

参考文献

  1. Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002.球面の写像度、局所次数公式および指定した次数をもつ写像の構成を参考にした。

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