特異ホモロジー | 位相幾何入門

1 特異鎖複体

定義 1.1 (特異単体). $n\in\N$ に対し、

\Delta^n=\{(t_0,\ldots,t_n)\in\R^{n+1}\mid t_i\geq0,\ \textstyle\sum_{i=0}^nt_i=1\}

を $n$ 次元の標準単体 (standard simplex) といい、その頂点を $v_0,\ldots,v_n$ と書く。位相空間 $X$ の特異 $n$ 単体 (singular simplex) とは、連続写像 $\sigma\colon\Delta^n\to X$ のことである。 $\sigma$ が単射であることは要求しない。

定義 1.2 (特異鎖と境界作用素). $X$ を位相空間とする。

$n\geq0$ に対し、 $X$ の特異 $n$ 単体全体を基底とする自由アーベル群を $C_n(X)$ と書き、その元を特異 $n$ 鎖 (singular chain) という。 $n<0$ では $C_n(X)=0$ とする。
$n\geq1$ と $0\leq i\leq n$ に対し、第 $i$ 座標へ零を挿入する写像 $\delta_i\colon\Delta^{n-1}\to\Delta^n$ を第 $i$ 面写像 (face map) といい、 $\sigma\circ\delta_i$ を $\sigma$ の第 $i$ 面 (face) という。
$n\geq1$ に対し、 $\partial_n\sigma=\sum_{i=0}^n(-1)^i\sigma\circ\delta_i$ を基底上の値とする準同型 $\partial_n\colon C_n(X)\to C_{n-1}(X)$ を境界作用素 (boundary operator) という。 $n\leq0$ では $\partial_n=0$ とする。

命題 1.3. 任意の位相空間 $X$ と整数 $n$ に対して $\partial_{n-1}\partial_n=0$ である。

証明. $n\leq1$ では $\partial_{n-1}=0$ である。 $n\geq2$ と特異単体 $\sigma\colon\Delta^n\to X$ をとる。 $0\leq i<j\leq n$ に対し、頂点 $v_i,v_j$ を除いた面は $\delta_j\delta_i=\delta_i\delta_{j-1}$ によって二通りに表される。 $\partial_{n-1}\partial_n\sigma$ における二つの係数は $(-1)^{j+i}$ と $(-1)^{i+j-1}$ であり、その和は零である。すべての項は二頂点を除くこの組のいずれかに属するので相殺される。基底上の等式を線形に延長すると結論を得る。▨

定義 1.4 (特異鎖複体). 位相空間 $X$ に対し、命題 1.3によって得られる鎖複体 $(C_n(X),\partial_n)_{n\in\Z}$ を $X$ の特異鎖複体 (singular chain complex) といい、 $C_\bullet(X)$ と書く。

定義 1.5 (特異ホモロジー). $X$ を位相空間、 $n\in\Z$ とする。

$Z_n(X)=\ker\partial_n$ を $n$ 次の輪体群 (cycle group) といい、その元を輪体 (cycle) という。
$B_n(X)=\operatorname{im}\partial_{n+1}$ を $n$ 次の境界群 (boundary group) といい、その元を境界 (boundary) という。
商群 $H_n(X)=Z_n(X)/B_n(X)$ を第 $n$ 特異ホモロジー群 (singular homology group) という。輪体 $z$ の類を $[z]$ と書く。

命題 1.6. $X,Y,Z$ を位相空間、 $f\colon X\to Y$ と $g\colon Y\to Z$ を連続写像とする。

特異単体上で $f_\#(\sigma)=f\circ\sigma$ と定めた準同型 $f_\#\colon C_\bullet(X)\to C_\bullet(Y)$ は鎖写像であり、 $f_*\colon H_n(X)\to H_n(Y)$ 、 $[z]\mapsto[f_\#z]$ を誘導する。
$(g\circ f)_\#=g_\#f_\#$ と $(\id_X)_\#=\id_{C_\bullet(X)}$ が成り立つ。したがって $(g\circ f)_*=g_*f_*$ と $(\id_X)_*=\id_{H_n(X)}$ が成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。特異 $n$ 単体 $\sigma$ に対して、 $n\geq1$ ならば

\partial(f\circ\sigma)=\sum_i(-1)^if\circ\sigma\circ\delta_i=f_\#(\partial\sigma)

であり、 $n\leq0$ では両辺が零である。よって $f_\#$ は輪体を輪体へ、境界を境界へ送り、表示された商群の射を誘導する。主張 (2)を示す。また $(g\circ f)\circ\sigma=g\circ(f\circ\sigma)$ と $\id_X\circ\sigma=\sigma$ であるから、鎖写像の二つの等式が成り立ち、輪体の類をとるとホモロジー上の等式を得る。▨

注意 1.7. Δ複体 $X$ の向き付き単体を特性写像 $\Delta^n\to X$ へ送ると、面の交代和が一致するので鎖写像 $C_\bullet^\Delta(X)\to C_\bullet(X)$ を得る。この写像がホモロジーの同型を誘導することは、§E21.24 胞体ホモロジーと特異ホモロジーの一致の§E21.24 定理 3.2で証明する。

2 弧状連結成分と一点空間

補題 2.1. $S$ を集合、 $\sim$ を $S$ 上の同値関係とする。自由アーベル群 $\Z^{\oplus S}$ の部分群 $L$ を、 $s\sim t$ を満たすすべての $s-t$ で生成すると、 $s\mapsto[s]$ は同型

\Z^{\oplus S}/L\xrightarrow{\ \cong\ }\Z^{\oplus(S/{\sim})}

を誘導する。

証明. 任意のアーベル群 $A$ に対し、 $\Z^{\oplus S}/L$ から $A$ への準同型は、 $s\sim t$ ならば $a_s=a_t$ を満たす族 $(a_s)_{s\in S}$ に一意に対応する。この族は写像 $S/{\sim}\to A$ に一意に対応するので、商群は $S/{\sim}$ 上の自由アーベル群の普遍性を満たす。二つの普遍性から得られる準同型は生成元上で互いに逆であり、表示された同型を与える。▨

命題 2.2. 位相空間 $X$ の弧状連結成分の集合を $\pi_0^{\mathrm{path}}(X)$ とする。このとき、点 $x$ をその弧状連結成分の基底元へ送る写像は、自然な同型

H_0(X)\cong\bigoplus_{P\in\pi_0^{\mathrm{path}}(X)}\Z

を誘導する。

証明. $C_0(X)$ は $X$ の点を基底とする自由アーベル群であり、 $\partial_0=0$ である。特異一次単体は道であり、その境界は終点と始点の差である。したがって $B_0(X)$ は、同じ弧状連結成分に属する二点の差によって生成される。補題 2.1を適用すると同型を得る。連続写像は点をその像へ、道を合成した道へ送るので、この同型は連続写像について自然である。▨

命題 2.3. $X$ を位相空間、 $(X_\alpha)_\alpha$ を部分空間位相をもつその弧状連結成分の族とし、包含を $i_\alpha\colon X_\alpha\to X$ とする。

$C_\bullet(X_\alpha)$ は像が $X_\alpha$ に含まれる特異単体が張る部分複体と同一視され、 $C_\bullet(X)=\bigoplus_\alpha C_\bullet(X_\alpha)$ である。
すべての整数 $n$ について、 $\sum_\alpha(i_\alpha)_*\colon\bigoplus_\alpha H_n(X_\alpha)\to H_n(X)$ は同型である。

証明.主張 (1)を示す。 $\Delta^n$ は凸であり、二点を結ぶ線分を含むので弧状連結である。§E2.43 命題 4.3により、特異単体の像はただ一つの弧状連結成分に含まれる。部分空間位相の普遍性により、像が $X_\alpha$ に含まれる特異単体は $X_\alpha$ への特異単体と同じである。面の像も $X_\alpha$ に含まれるので、基底の分割が部分複体の直和分解を与える。主張 (2)を示す。この直和では微分が各成分を保つため、輪体群と境界群はそれぞれ成分の輪体群と境界群の直和である。商をとるとホモロジーの同型を得る。 $X=\varnothing$ の場合には基底集合が空であり、すべての群は零である。▨

命題 2.4. 一点空間 $*$ の特異 $n$ 単体を $\sigma_n$ とする。このとき、 $n\geq0$ では $C_n(*)=\Z\sigma_n$ であり、 $n\geq1$ では

\partial_n\sigma_n= \begin{cases} \sigma_{n-1}&n\text{ が偶数のとき},\\ 0&n\text{ が奇数のとき} \end{cases}

である。したがって $H_0(*)\cong\Z$ 、 $n\ne0$ では $H_n(*)=0$ である。

証明. 一点への写像はただ一つであるから、各面は $\sigma_{n-1}$ である。係数の和 $\sum_{i=0}^n(-1)^i$ は偶数 $n$ で $1$ 、奇数 $n$ で $0$ となる。正の偶数次数では微分が同型なので輪体群が零である。正の奇数次数では一つ上の微分が全射なので境界群が鎖群に等しい。次数零では $\partial_0=\partial_1=0$ であり、負の次数では鎖群が零である。▨

3 角柱作用素とホモトピー不変性

定義 3.1 (角柱作用素). $X,Y$ を位相空間、 $F\colon X\times I\to Y$ を連続写像とし、 $I=[0,1]$ とする。 $0\leq i\leq n$ に対し、 $\lambda_i\colon\Delta^{n+1}\to\Delta^n\times I$ を、頂点を順に

(v_0,0),\ldots,(v_i,0),(v_i,1),\ldots,(v_n,1)

へ送るアフィン写像とする。特異 $n$ 単体 $\sigma$ に対して

P_n(\sigma)=\sum_{i=0}^n(-1)^iF\circ(\sigma\times\id_I)\circ\lambda_i

と定めて線形に延長した準同型 $P_n\colon C_n(X)\to C_{n+1}(Y)$ を、 $F$ の角柱作用素 (prism operator) という。 $n<0$ では $P_n=0$ とする。

命題 3.2. $X,Y$ を位相空間、 $f,g\colon X\to Y$ を連続写像とし、 $F\colon X\times I\to Y$ を $f$ から $g$ へのホモトピーとする。

$F$ の角柱作用素は、各整数 $n$ について $\partial_{n+1}P_n+P_{n-1}\partial_n=g_\#-f_\#$ を満たす。
各整数 $n$ について $f_*=g_*\colon H_n(X)\to H_n(Y)$ である。

証明.主張 (1)を示す。 $n\geq0$ と特異 $n$ 単体 $\sigma$ をとり、 $w_j^\epsilon=(v_j,\epsilon)$ と書く。角柱の第 $i$ 単体の頂点列は $w_0^0,\ldots,w_i^0,w_i^1,\ldots,w_n^1$ である。境界のうち第 $i$ 頂点を除く面は、 $i\geq1$ ならば第 $i-1$ 単体の第 $i$ 頂点を除く面と同じアフィン写像である。二つの係数は $(-1)^i(-1)^i=1$ と $(-1)^{i-1}(-1)^i=-1$ なので相殺する。この対をもたない面は、第 $0$ 単体の第 $0$ 面と第 $n$ 単体の第 $n+1$ 面である。それぞれ上底と下底であり、合成後の寄与は $g\circ\sigma$ と $-f\circ\sigma$ である。

第 $i$ 単体の第 $j$ 面で $j<i$ のものは、 $\sigma$ の第 $j$ 面の角柱の第 $i-1$ 単体に対応する。その係数 $(-1)^{i+j}$ は $-(-1)^j(-1)^{i-1}$ に等しい。 $j>i+1$ のものは、 $\sigma$ の第 $j-1$ 面の角柱の第 $i$ 単体に対応し、その係数 $(-1)^{i+j}$ は $-(-1)^{j-1}(-1)^i$ に等しい。したがって側面の和は $-P_{n-1}(\partial_n\sigma)$ であり、

\partial_{n+1}P_n\sigma=g_\#\sigma-f_\#\sigma-P_{n-1}\partial_n\sigma

を得る。 $n=0$ では側面がなく、 $n<0$ ではすべての写像が零である。線形性により鎖ホモトピーの等式が成り立つ。

主張 (2)を示す。§E6.34 命題 1.3によりホモロジーの射は一致する。▨

系 3.3. 位相空間の間のホモトピー同値写像 $f\colon X\to Y$ は、各整数 $n$ で同型 $f_*\colon H_n(X)\to H_n(Y)$ を誘導する。

証明. $f$ のホモトピー逆写像を $h$ とする。命題 1.6 (2)と命題 3.2 (2)により $h_*f_*=\id$ 、 $f_*h_*=\id$ である。▨

系 3.4.

位相空間の間の連続写像 $f\colon X\to Y$ が値 $y_0\in Y$ の定値写像にホモトピックならば、 $n>0$ で $f_*=0$ である。次数零の $f_*$ は $H_0(\{y_0\})\cong\Z$ を経由する。
空でない可縮な位相空間 $X$ に対し、写像 $X\to\{*\}$ は各次数でホモロジーの同型を誘導する。特に $H_0(X)\cong\Z$ であり、 $n>0$ では $H_n(X)=0$ である。

証明.主張 (1)を示す。定値写像は $X\to\{y_0\}\hookrightarrow Y$ と分解する。命題 3.2 (2)、関手性および命題 2.4により主張 (1)を得る。主張 (2)を示す。空でない可縮空間 $X$ は§E21.1 命題 2.2により一点空間とホモトピー同値である。 $X$ から一点空間への写像はただ一つであるから、その写像に系 3.3を適用すると主張 (2)を得る。▨

4 コンパクト集合と有向な和

命題 4.1. $X$ を位相空間とし、 $\mathcal W$ を $X$ の部分集合からなる空でない集合とする。任意の $W_1,W_2\in\mathcal W$ に対して $W_1\cup W_2\subseteq W_3$ を満たす $W_3\in\mathcal W$ が存在し、 $X$ の任意のコンパクト部分集合に対して、それを含む $W\in\mathcal W$ が存在すると仮定する。各 $W$ には部分空間位相を入れる。

$C_\bullet(W)$ は、像が $W$ に含まれる特異単体を基底とする $C_\bullet(X)$ の部分複体である。各次数では基底の部分集合が張る直和因子であり、 $W\subseteq W'$ ならば $C_\bullet(W)\subseteq C_\bullet(W')$ である。これらの部分複体の有向な和は $C_\bullet(X)$ に等しい。
包含による自然な写像 $\varinjlim_{W\in\mathcal W}H_n(W)\to H_n(X)$ は、すべての整数 $n$ で同型である。
$H_n(X)$ の各元に対して、ある $W\in\mathcal W$ が存在し、その元は当該部分空間のホモロジー類の像である。
$a\in H_n(W)$ の $H_n(X)$ における像が零ならば、 $W\subseteq W'$ を満たすある $W'\in\mathcal W$ が存在して、 $a$ の像は零である。

証明.主張 (1)を示す。部分空間位相の普遍性により、 $W$ への特異単体は像が $W$ に含まれる $X$ の特異単体と同じである。その面も $W$ に含まれるため部分複体を得る。基底を像が $W$ に含まれるものとそうでないものへ分けると、各次数の直和因子の主張を得る。鎖は有限個の特異単体の和である。標準単体はコンパクトであるから、その有限個の像の和もコンパクトであり、この和を含む $W\in\mathcal W$ が存在する。したがって鎖複体の有向な和は $C_\bullet(X)$ である。主張 (2)を示す。§E6.33 命題 3.1を適用するとホモロジーの帰納極限の同型を得る。主張 (3)の類の表示と主張 (4)の零の判定は、それぞれ§E6.9 定理 8.4 (1)と§E6.9 定理 8.4 (3)による。▨

例 4.2. $X=[0,1]$ とし、 $\mathcal W$ を $X$ の有限部分集合の全体とする。このとき、 $\mathcal W$ は包含について有向であり、その和は $X$ である。各 $W$ は有限離散空間なので、命題 2.2により $H_0(W)=\bigoplus_{x\in W}\Z$ である。包含に伴う射は基底の包含であり、帰納極限は $\bigoplus_{x\in X}\Z$ となる。一方、 $X$ は弧状連結であるから $H_0(X)\cong\Z$ である。自然な写像はすべての基底元を同じ生成元へ送るので単射でない。コンパクト集合 $X$ 自身は、どの $W\in\mathcal W$ にも含まれない。

例 4.3. 位相空間 $X$ の開集合からなる空でない集合 $\mathcal W$ が包含について有向であり、 $\bigcup\mathcal W=X$ を満たすとする。このとき、コンパクト部分集合 $K\subseteq X$ は有限個の $W_1,\ldots,W_r\in\mathcal W$ で覆われる。有向性を有限回適用すると、これらの和を含む $W\in\mathcal W$ を得る。 $K=\varnothing$ の場合には任意の $W$ をとればよい。よって命題 4.1の仮定が満たされる。

注意 4.4. CW 複体のコンパクト部分集合は有限部分複体に含まれる。この事実は §E21.22 胞体複体と基本性質の§E21.22 定理 2.4で証明する。したがって有限部分複体の全体と骨格の列は、いずれも命題 4.1を適用することのできる族になる。

5 演習

問題 5.1. $X$ を位相空間、 $y_0\in X$ とし、 $F$ を $\id_X$ から値 $y_0$ の定値写像 $c$ へのホモトピー、 $P$ をその角柱作用素とする。 $n\geq1$ と $z\in Z_n(X)$ に対し、 $P$ と値 $y_0$ の特異単体 $\sigma_k$ を用いて、 $\partial b=z$ を満たす $b\in C_{n+1}(X)$ を具体的に構成せよ。

解答.

$z$ の係数の和を $m\in\Z$ とすると $c_\#z=m\sigma_n$ である。命題 3.2 (1)により $\partial P_nz=m\sigma_n-z$ であり、 $c_\#z$ は輪体である。 $n$ が偶数ならば命題 2.4により $\partial(m\sigma_n)=m\sigma_{n-1}$ なので $m=0$ である。この場合には $b=-P_nz$ とおく。 $n$ が奇数ならば $\partial\sigma_{n+1}=\sigma_n$ であるから、 $b=m\sigma_{n+1}-P_nz$ とおく。いずれの場合にも $\partial b=z$ である。▨

問題 5.2. 位相幾何学者の正弦曲線 $T$ （§E2.43 定義 5.1）について、 $T$ は連結であるが $H_0(T)\cong\Z^2$ であることを示せ。

解答.

§E2.43 命題 5.5により $T$ は連結である。§E2.43 補題 5.3の分解 $T=S\cup J$ において、§E2.43 補題 5.2により $S,J$ は弧状連結であり、§E2.43 補題 5.4により両者を結ぶ道は存在しない。したがって弧状連結成分は $S,J$ の二つであり、命題 2.2により $H_0(T)\cong\Z^2$ である。連結成分は一つなので、同命題の弧状連結成分を連結成分へ替えることはできない。▨

§E21.13特異ホモロジー

1 特異鎖複体

2 弧状連結成分と一点空間

3 角柱作用素とホモトピー不変性

4 コンパクト集合と有向な和

5 演習

参考文献

前提記事