切除定理と良い対 | 位相幾何入門

1 切除定理

定理 1.1 (切除定理). $X$ を位相空間、 $Z\subseteq A\subseteq X$ を部分集合とし、 $\tpcl{Z}\subseteq\tpint[X]{A}$ と仮定する。このとき、包含 $(X\setminus Z,A\setminus Z)\hookrightarrow(X,A)$ は、すべての整数 $n$ で同型

H_n(X\setminus Z,A\setminus Z)\xrightarrow{\ \cong\ }H_n(X,A)

を誘導する。

証明. $B=X\setminus Z$ とおく。 $\tpint[X]{B}=X\setminus\tpcl Z$ であるから、仮定より $\tpint[X]{A}\cup\tpint[X]{B}=X$ である。小鎖複体 $L=C_\bullet^{\{A,B\}}(X)=C_\bullet(A)+C_\bullet(B)$ の包含 $L\hookrightarrow C_\bullet(X)$ は、§E21.16 定理 2.3 (1)によりホモロジーの同型を誘導する。包含による可換図式

\begin{array}{ccccccccc} 0&\longrightarrow&C_\bullet(A)&\longrightarrow&L&\longrightarrow&L/C_\bullet(A)&\longrightarrow&0\\ &&\Vert&&\downarrow&&\downarrow\\ 0&\longrightarrow&C_\bullet(A)&\longrightarrow&C_\bullet(X)&\longrightarrow&C_\bullet(X,A)&\longrightarrow&0 \end{array} \label{e19-excision-chain-diagram}

の二行は完全である。§E6.34 定理 2.2と§E6.34 命題 2.3により、各次数で完全な二行からなる図式

\begin{array}{ccccc} H_n(A)&\longrightarrow H_n(L)&\longrightarrow H_n(L/C_\bullet(A))&\longrightarrow H_{n-1}(A)&\longrightarrow H_{n-1}(L)\\ \Vert&\downarrow\cong&\downarrow&\Vert&\downarrow\cong\\ H_n(A)&\longrightarrow H_n(X)&\longrightarrow H_n(X,A)&\longrightarrow H_{n-1}(A)&\longrightarrow H_{n-1}(X) \end{array} \label{e19-excision-homology-diagram}

を得る。§E6.8 補題 2.2により中央の縦射は同型である。

特異単体の基底で共通部分をとると、 $C_\bullet(A)\cap C_\bullet(B)=C_\bullet(A\cap B)$ である。したがって包含 $C_\bullet(B)\to L$ は鎖複体の同型

C_\bullet(B,A\cap B)\xrightarrow{\ \cong\ }L/C_\bullet(A)

を誘導する。この同型と右の縦射の合成は対の包含の誘導射であり、 $A\cap B=A\setminus Z$ なので結論を得る。▨

例 1.2. $X=[0,1]$ 、 $A=Z=(0,1]$ とすると、 $Z\subseteq\tpint[X]{A}$ であるが $\tpcl Z=X$ である。この場合には $H_0(X\setminus Z,A\setminus Z)\cong\Z$ 、 $H_0(X,A)=0$ であり、切除写像は同型でない。群の計算は演習とする（問題 3.2）。族 $\{A,X\setminus Z\}$ の各集合の内部は $0$ を覆わない。

命題 1.3. $X$ を位相空間、 $Z\subseteq A\subseteq X$ を $\tpcl Z\subseteq\tpint[X]{A}$ を満たす部分集合とする。このとき、包含

j\colon C_\bullet(X\setminus Z,A\setminus Z)\longrightarrow C_\bullet(X,A)

は鎖ホモトピー逆をもつ。任意のアーベル群 $M$ に対して $j\otimes\id_M$ は鎖ホモトピー逆をもち、全次数で係数付き相対ホモロジーの同型を誘導する。また $\Hom(j,M)$ は余鎖ホモトピー逆をもつ。

証明.定理 1.1により $j$ は擬同型である。§E21.15 補題 1.3 (1)により両複体は非負次数に集中する自由アーベル群の複体であるから、§E6.35 補題 3.1 (2)を適用するとすべての結論を得る。▨

系 1.4. $X$ を位相空間、 $K\subseteq X$ を部分集合、 $U\subseteq X$ を $\tpcl K\subseteq U$ を満たす開集合とする。このとき、包含 $C_\bullet(U,U\setminus K)\to C_\bullet(X,X\setminus K)$ は鎖ホモトピー逆をもつ。任意のアーベル群 $M$ と整数 $n$ について、包含は同型

H_n(U,U\setminus K;M)\xrightarrow{\ \cong\ }H_n(X,X\setminus K;M)

を誘導する。 $K$ が閉集合ならば、仮定は $K\subseteq U$ である。

証明. $Z=X\setminus U$ 、 $A=X\setminus K$ とおく。 $Z$ は閉集合であり、

\tpcl Z=Z\subseteq X\setminus\tpcl K=\tpint[X]{A}

である。命題 1.3を適用すると結論を得る。▨

定義 1.5 (局所ホモロジー). 位相空間 $X$ の点 $x$ における第 $n$ 局所ホモロジー群 (local homology group) とは、相対ホモロジー群 $H_n(X,X\setminus\{x\})$ のことである。

命題 1.6. $X$ を位相空間、 $x\in X$ とする。

部分集合 $U\subseteq X$ が $\tpcl{X\setminus U}\subseteq\tpint[X]{X\setminus\{x\}}$ を満たすならば $x\in U$ であり、包含はすべての整数 $n$ で同型 $H_n(U,U\setminus\{x\})\to H_n(X,X\setminus\{x\})$ を誘導する。
$\{x\}$ が閉集合ならば、 $x$ の任意の近傍 $U$ は前項の仮定を満たす。
$(X,x,U)$ と $(X',x',U')$ が主張 (1)の仮定を満たし、同相写像 $h\colon U\to U'$ が $h(x)=x'$ を満たすならば、両点の局所ホモロジー群はすべての次数で同型である。

証明.主張 (1)を示す。仮定の右辺は $x$ を含まないので、 $x\notin X\setminus U$ 、したがって $x\in U$ である。 $Z=X\setminus U$ 、 $A=X\setminus\{x\}$ として定理 1.1を適用すると最初の同型を得る。主張 (2)を示す。 $\{x\}$ が閉で $U$ がその近傍ならば、 $x\in\tpint[X]{U}$ なので $x\notin\tpcl{X\setminus U}$ である。また $X\setminus\{x\}$ は開であるから、所要の包含が成り立つ。主張 (3)を示す。最後の仮定のもとでは、 $h$ は対 $(U,U\setminus\{x\})$ と $(U',U'\setminus\{x'\})$ の同相を与える。§E21.15 補題 1.1 (2)による相対ホモロジーの同型を、二つの切除同型と合成すると結論を得る。▨

2 良い対と商空間

定義 2.1 (良い対). 位相空間の対 $(X,A)$ が良い対 (good pair) であるとは、次の二条件を満たすことをいう。

$A$ は $X$ の閉部分空間である。
$A$ を含む $X$ の開集合 $V$ で、 $A$ が $V$ の変位レトラクトとなるものが存在する。

命題 2.2. $m\geq1$ とし、 $D^m=\{x\in\R^m\mid\lVert x\rVert\leq1\}$ 、 $S^{m-1}=\{x\in\R^m\mid\lVert x\rVert=1\}$ とする。このとき、 $S^{m-1}$ は $D^m\setminus\{0\}$ の変位レトラクトであり、 $(D^m,S^{m-1})$ は良い対である。

証明. $V=D^m\setminus\{0\}$ に対して

H\colon V\times I\longrightarrow V,\qquad H(x,t)=\left(1-t+\frac{t}{\lVert x\rVert}\right)x

とおく。ノルムは $V$ 上で正なので $H$ は連続であり、 $\lVert H(x,t)\rVert=(1-t)\lVert x\rVert+t\in(0,1]$ である。 $H(x,0)=x$ 、 $H(x,1)\in S^{m-1}$ であり、 $x\in S^{m-1}$ ならばすべての $t$ で $H(x,t)=x$ である。したがって $H$ は変位を与える。ノルムの連続性により $S^{m-1}$ は $D^m$ で閉であり、 $V$ はそれを含む開集合であるから、対は良い対である。▨

注意 2.3. CW 複体と部分複体の対は良い対である。この事実は §E21.22 胞体複体と基本性質の§E21.22 命題 7.3で証明する。

定理 2.4. $(X,A)$ を $A\ne\varnothing$ を満たす良い対、 $q\colon X\to X/A$ を商写像とし、 $*=q(A)$ とする。

$q$ が誘導する $H_n(X,A)\to H_n(X/A,\{*\})$ は、すべての整数 $n$ で同型である。被約ホモロジーと点を部分空間とする対の相対ホモロジーの比較を通じて、同型 $H_n(X,A)\cong\widetilde H_n(X/A)$ を得る。
この同型は良い対の写像について自然である。すなわち、 $B\ne\varnothing$ を満たす良い対 $(Y,B)$ と対の写像 $f\colon(X,A)\to(Y,B)$ が誘導する $\bar f\colon X/A\to Y/B$ に対し、この同型は $f_*$ と $\bar f_*$ と可換である。

証明.主張 (1)を示す。 $A$ へ変位する開近傍 $U\subseteq X$ をとる。§E21.15 補題 2.6 (1)と§E21.15 補題 2.6 (3)を $A\subseteq U\subseteq X$ に適用すると、 $H_n(X,A)\to H_n(X,U)$ は同型である。 $\tpcl A=A\subseteq U$ なので、定理 1.1により $H_n(X\setminus A,U\setminus A)\to H_n(X,U)$ も同型である。

$Q=X/A$ 、 $V=q(U)$ とおく。 $U$ は飽和な開集合であるから、 $V$ は $Q$ の開集合であり、§E21.2 補題 1.1により $q|_U\colon U\to V$ は商写像である。区間 $I$ は正則な局所コンパクト空間なので、§E2.37 定理 5.2により $q|_U\times\id_I$ も商写像である。 $U$ の変位 $H$ は $A$ を各時刻で固定するから、 $q\circ H$ はこの商写像の各ファイバー上で定値である。§E2.12 定理 8.10により、 $H$ は $V$ を $\{*\}$ へ変位させる連続なホモトピーを誘導する。また $q^{-1}(\{*\})=A$ は閉なので $\{*\}$ は $Q$ で閉である。したがって変位レトラクトによる相対ホモロジーの同型と切除定理を商の側へ適用すると、 $H_n(Q,\{*\})\to H_n(Q,V)$ と $H_n(Q\setminus\{*\},V\setminus\{*\})\to H_n(Q,V)$ は同型である。

$X\setminus A$ も飽和な開集合なので、 $q$ の制限は全単射な商写像であり、§E2.12 命題 8.5により同相写像である。この同相は $U\setminus A$ を $V\setminus\{*\}$ へ写す。よって可換図式

\begin{array}{ccccc} H_n(X,A)&\longrightarrow&H_n(X,U)&\longleftarrow&H_n(X\setminus A,U\setminus A)\\ \downarrow q_*&&\downarrow&&\downarrow\cong\\ H_n(Q,\{*\})&\longrightarrow&H_n(Q,V)&\longleftarrow&H_n(Q\setminus\{*\},V\setminus\{*\}) \end{array} \label{e19-good-pair-quotient-diagram}

の横の射と右の縦射は同型である。したがって左の $q_*$ も同型である。§E21.15 命題 3.5 (2)の比較同型を逆に用いると、被約ホモロジーとの同型を得る。主張 (2)を示す。対の写像と商写像の合成は可換であり、点の対との比較も自然なので、得られた同型は良い対の写像について自然である。▨

例 2.5. $X=[-1,1]$ 、 $A=X\setminus\{0\}$ とする。このとき、 $A$ は開なので $V=A$ と恒等の変位によって定義 2.1 条件 (b)を満たすが、閉集合ではない。二つの区間 $[-1,0)$ と $(0,1]$ は弧状連結であり、実数の中間値の性質により $A$ の中で両者を結ぶ道はない。よって§E21.13 命題 2.2により $H_0(A)\cong\Z^2$ である。 $X$ は可縮なので $H_1(X)=0$ 、 $H_0(X)\cong\Z$ である。対の長完全列から

H_1(X,A)\cong\ker(\Z^2\xrightarrow{(a,b)\mapsto a+b}\Z)\cong\Z

を得る。商 $Q=X/A$ は二点 $*,o=q(0)$ からなり、開集合は $\varnothing,\{*\},Q$ である。 $F\colon Q\times I\to Q$ を $t<1$ で $F(y,t)=y$ 、 $t=1$ で $F(y,1)=o$ と定める。唯一の空でない真の開集合 $\{*\}$ の逆像は $\{*\}\times[0,1)$ であり、これは開である。したがって $F$ は恒等写像から定値写像へのホモトピーである。§E21.15 系 3.4 (2)により $\widetilde H_1(Q)=0$ なので、商空間の被約ホモロジーは相対ホモロジーに同型でない。

3 演習

問題 3.1. $m\geq1$ とする。対の包含が誘導する二つの射

H_n(D^m,S^{m-1})\longrightarrow H_n(D^m,D^m\setminus\{0\}) \longrightarrow H_n(\R^m,\R^m\setminus\{0\})

が、すべての整数 $n$ で同型であることを示せ。さらに $m=1$ の場合の群を全次数で求めよ。

解答.

命題 2.2により $S^{m-1}$ は $D^m\setminus\{0\}$ の変位レトラクトである。§E21.15 補題 2.6 (1)と§E21.15 補題 2.6 (3)により最初の射は同型である。 $\{0\}$ は $\R^m$ で閉であり、 $D^m$ は $0$ の近傍である。命題 1.6 (2)と命題 1.6 (1)により二番目の射も同型である。 $m=1$ では $D^1=[-1,1]$ は可縮であり、 $S^0=\{-1,1\}$ の正の次数のホモロジーは、弧状連結成分への分解と一点空間の計算により零である。対の長完全列の次数一と零の部分は

0\longrightarrow H_1(D^1,S^0)\longrightarrow\Z^2 \xrightarrow{(a,b)\mapsto a+b}\Z\longrightarrow H_0(D^1,S^0)\longrightarrow0

である。したがって次数一の群は $\Z$ 、次数零の群は零である。次数二以上は同じ長完全列により零であり、負の次数は鎖群が零である。▨

問題 3.2. $X=[0,1]$ 、 $A=Z=(0,1]$ に対し、 $H_0(X\setminus Z,A\setminus Z)\cong\Z$ と $H_0(X,A)=0$ を示せ。

解答.

$X\setminus Z=\{0\}$ 、 $A\setminus Z=\varnothing$ なので、最初の群は一点空間の $H_0$ に等しく $\Z$ である。 $A$ と $X$ はともに空でない弧状連結空間であるから、包含が誘導する射 $H_0(A)\to H_0(X)$ は各生成元を対応させる同型である。対の長完全列の末尾によって、その余核 $H_0(X,A)$ は零である。▨

§E21.17切除定理と良い対

1 切除定理

2 良い対と商空間

3 演習

参考文献

前提記事