§E21.36多様体の向きと基本類

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閉曲面については、各点の局所ホモロジー群の生成元を近くの点と整合するように選ぶことを向きと定め、各点で指定した局所向きへ写る唯一のホモロジー類として基本類を得た。一般の次元の位相多様体MMでも、MMの次元をnnとすると各点xxの局所ホモロジー群Hn(M,M∖{x})H_n(M,M\setminus\{x\})は無限巡回群であるから、向きは同じ形で定まる。問題は、点ごとの選択を一つのホモロジー類にまとめることができるかどうかである。向きを指定すると、MMの各コンパクト集合KKについて、各点の局所向きへ写る類が相対ホモロジー群Hn(M,M∖K)H_n(M,M\setminus K)にただ一つ存在する。この類を相対基本類といい、MMがコンパクトのときのK=MK=Mの類を基本類という。相対基本類の存在と一意性の帰結として、連結な閉多様体の整数係数のnn次のホモロジー群は、向きづけ可能ならば基本類が生成する無限巡回群であり、向きづけ可能でなければ零である。たとえば正の整数mmに対し、実射影空間RPm\mathbb{RP}^mは、mmが奇数のときに限って向きづけ可能である。基本類は閉多様体のホモロジーの最も基本的な類であり、向きづけられた閉多様体の間の連続写像の写像度もこの類を基準に定まる。本記事では、係数環ごとの向きと基本類を定め、その基本的な性質と例を解説する。

1 局所ホモロジーと座標近傍

以下ではn≥1n\geq1とし、MMを Hausdorff かつ第二可算な、境界をもたないnn次元位相多様体とする（§E21.2 定義 5.2）。RRは単位元をもつ可換環、GGはアーベル群である。係数を省いたホモロジーは整数係数とする。

定義 1.1. 位相空間XXと部分集合A⊆XA\subseteq Xに対して

Hi(X ∣ A;G)=Hi(X,X∖A;G),Hi(X ∣ A;G)=Hi(X,X∖A;G)H_i(X\,|\,A;G)=H_i(X,X\setminus A;G),\qquad H^i(X\,|\,A;G)=H^i(X,X\setminus A;G)

と書く。A⊆BA\subseteq Bのとき、対の包含が誘導するHi(X ∣ B;G)→Hi(X ∣ A;G)H_i(X\,|\,B;G)\to H_i(X\,|\,A;G)を 制限写像 (restriction map) といい、α\alphaの像をαA\alpha_Aと書く。A={x}A=\{x\}では添字をxxと略す。点における群は§E21.17 定義 1.5の局所ホモロジー群である。

RR係数の群には係数への作用によるRR加群構造を入れる。a∈Hi(X ∣ A)a\in H_i(X\,|\,A)とr∈Rr\in Rに対し、§E21.31 定理 2.1の写像によるa⊗ra\otimes rの像もa⊗ra\otimes rと書く。

Rn\R^nからMMの開集合への同相写像φ:Rn→φ(Rn)⊆M\varphi:\R^n\to\varphi(\R^n)\subseteq Mを 座標写像 (coordinate map) といい、有界な開球B⊂RnB\subset\R^nの像φ(B)\varphi(B)を 座標球体 (coordinate ball) という。

補題 1.2.

  1. A⊆B⊆C⊆XA\subseteq B\subseteq C\subseteq X、α∈Hi(X ∣ C;G)\alpha\in H_i(X\,|\,C;G)に対し、(αB)A=αA(\alpha_B)_A=\alpha_Aである。
  2. 整数係数の相対輪体zzとr∈Rr\in Rに対し、[z]⊗r=[z⊗r][z]\otimes r=[z\otimes r]である。対の写像ffに対してf∗(a⊗r)=(f∗a)⊗rf_*(a\otimes r)=(f_*a)\otimes rが成り立つ。

証明.主張 (1)は対の写像の関手性（§E21.15 補題 1.1 (2)）による。

主張 (2)を示す。主張の式は§E21.31 定理 2.1の写像の式であり、その自然性から後半を得る。▨

補題 1.3.x∈Mx\in Mの任意の開近傍NNに対し、φ(0)=x\varphi(0)=x、φ(Rn)⊆N\varphi(\R^n)\subseteq Nを満たす座標写像がある。座標球体はMMの開集合の基底をなす。

証明.xxの座標近傍の像で、xxに対応する点をyyとする。NNの像に含まれる開球Br(y)B_r(y)を取る。写像

h:Rn⟶Br(y),h(v)=y+rv1+∥v∥h:\R^n\longrightarrow B_r(y),\qquad h(v)=y+\frac{rv}{1+\|v\|}

は同相写像である。逆写像と連続性の確認は問題 7.1とする。hhと元の座標の逆写像の合成が求めるφ\varphiである。さらに00を含む有界な開球の像を取れば、xxを含みNNに含まれる座標球体を得る。▨

補題 1.4.φ:Rn→M\varphi:\R^n\to Mを座標写像、C⊂RnC\subset\R^nを空でない有界な凸集合、y∈Cy\in Cとする。ただし、CCは開集合とも閉集合とも限らない。

  1. 制限写像と対の包含による写像 Hi(M ∣ φ(C);G)⟶Hi(M ∣ φ(y);G),Hi(M ∣ φ(y);G)⟶Hi(M ∣ φ(C);G)H_i(M\,|\,\varphi(C);G)\longrightarrow H_i(M\,|\,\varphi(y);G),\qquad H^i(M\,|\,\varphi(y);G)\longrightarrow H^i(M\,|\,\varphi(C);G) はすべてのiiで同型である。
  2. x∈Mx\in Mに対し、Hi(M ∣ x;G)H_i(M\,|\,x;G)とHi(M ∣ x;G)H^i(M\,|\,x;G)はi=ni=nでGGと同型であり、それ以外で零である。Hn(M ∣ x;R)H_n(M\,|\,x;R)は階数11の自由RR加群であり、自然な写像Hn(M ∣ x)⊗R→Hn(M ∣ x;R)H_n(M\,|\,x)\otimes R\to H_n(M\,|\,x;R)は同型である。

証明.主張 (1)を示す。CCの閉包はコンパクトなので、φ(C)\varphi(C)の閉包は座標近傍φ(Rn)\varphi(\R^n)に含まれる。§E21.17 系 1.4により、整数係数のホモロジーについて座標近傍へ切除してよい。

r>sup⁡v∈C∥v−y∥r>\sup_{v\in C}\|v-y\|を取る。Rn∖C\R^n\setminus CとRn∖{y}\R^n\setminus\{y\}は、いずれも

Ft(v)=y+((1−t)+tr∥v−y∥)(v−y)F_t(v)=y+\left((1-t)+\frac{tr}{\|v-y\|}\right)(v-y)

によって球面{v:∥v−y∥=r}\{v:\|v-y\|=r\}へ変形収縮する。実際、y∈Cy\in Cと凸性により、yyからの各半直線とCCの交わりは初めの区間である。したがってCCの外の点を外向きに動かしてもCCに入らず、半径がrrより大きい点を半径rrまで動かしてもCCに入らない。二つの変形収縮は包含と可換である。補集合の包含がホモトピー同値となるので、対の長完全列と五項補題により、Hi(Rn,Rn∖C)→Hi(Rn,Rn∖{y})H_i(\R^n,\R^n\setminus C)\to H_i(\R^n,\R^n\setminus\{y\})は同型である。

整数係数の局所ホモロジーは§E21.20 命題 2.1により次数nnのZ\Zだけである。整数係数で得た同型に§E21.15 命題 4.1 (2)と§E21.29 命題 4.1を適用すれば、主張 (1)の任意係数のホモロジーとコホモロジーを得る。

主張 (2)は二つの普遍係数定理により従う。整数係数の群が自由なので Tor と Ext の項は零であり、次数nnではZ⊗G≅G\Z\otimes G\cong G、Hom⁡(Z,G)≅G\Hom(\Z,G)\cong Gである。▨

命題 1.5.m≥1m\geq1とする。このとき、RPm\mathbb{RP}^mはコンパクトで連結なmm次元位相多様体であり、CPm\mathbb{CP}^mはコンパクトで連結な2m2m次元位相多様体である。

証明.F=R,C\mathbb F=\R,\Cとして同時に示す。射影空間の定義は§E21.22 命題 4.2 (2)、§E21.22 命題 4.2 (3)による。斉次座標[x0:⋯:xm][x_0:\cdots:x_m]のxi≠0x_i\ne0となる部分は開集合であり、

[x]⟼(xj/xi)j≠i∈Fm[x]\longmapsto(x_j/x_i)_{j\ne i}\in\mathbb F^m

を座標とする。逆写像は第ii成分に11を入れたベクトルの張る直線を取る写像である。商位相の定義から両写像は連続である。

単位球面からの商写像が全射なので、射影空間はコンパクトで連結である。Hausdorff 性は、行列空間への写像[x]↦xx∗/∥x∥2[x]\mapsto xx^*/\|x\|^2から従う。この写像は連続かつ単射である。実際、行列の像はxxの張る直線なので、行列が等しければ射影空間の点も等しい。コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続単射は像への同相写像であり、その像は Hausdorff 空間である。最後に、上の有限個の座標近傍それぞれの可算開基の和が射影空間の可算開基となる。Fm\mathbb F^mの実次元はそれぞれm,2mm,2mである。▨

2 向きと整合的な族

定義 2.1.

  1. A⊆MA\subseteq M上の族s=(sx)x∈As=(s_x)_{x\in A}、sx∈Hn(M ∣ x;R)s_x\in H_n(M\,|\,x;R)が 整合的 (consistent) であるとは、各x∈Ax\in Aに対して開近傍UUと類sU∈Hn(M ∣ U;R)s_U\in H_n(M\,|\,U;R)が存在し、すべてのy∈A∩Uy\in A\cap Uで(sU)y=sy(s_U)_y=s_yとなることをいう。MM上の整合的な族の集合をΓ(M;R)\Gamma(M;R)と書く。
  2. Hn(M ∣ x;R)H_n(M\,|\,x;R)のRR基底をなす元をxxにおける RR局所向き (local R-orientation) という。RR局所向きからなるMM上の整合的な族を RR向き (R-orientation) といい、RR向きをもつMMを RR向きづけ可能 (R-orientable) という。R=ZR=\Zのときは「RR」を省く。向きを一つ指定したMMを 向きづけられた多様体 (oriented manifold) という。

補題 2.2.Γ(M;R)\Gamma(M;R)は成分ごとの加法とスカラー倍によってRR加群をなす。係数環の準同型R→SR\to Sによる係数変更は、整合的な族を整合的な族へ送る。

証明.xxの近傍U,VU,V上の類で二つの族を表す。両方の類をU∩VU\cap Vへ制限して加えれば、族の和を表す類となる。スカラー倍も同じ近傍で表すことができる。加群の公理は各局所ホモロジー群の公理から従う。係数変更後の類も、係数変更と制限の自然性により、変更後の族を同じ近傍上で表す。▨

命題 2.3.n=2n=2、R=ZR=\Zのとき、局所向き、向き、向きづけ可能性は§E21.28 定義 1.2の定義と一致する。

証明. 局所向きはいずれも整数係数の局所ホモロジーの生成元である。整合性を表す近傍は、補題 1.3によって座標球体まで縮めることができる。座標球体は連結なので、閉曲面での定義にある連結な開近傍という条件と同じ条件になる。▨

命題 2.4.

  1. s,t∈Γ(M;R)s,t\in\Gamma(M;R)に対し、{x:sx=tx}\{x:s_x=t_x\}はMMの開かつ閉な集合である。したがって、MMが連結なら一点で一致する二つの整合的な族は一致する。
  2. 開集合W⊆MW\subseteq Mとα∈Hn(M ∣ W;R)\alpha\in H_n(M\,|\,W;R)に対し、(αx)x∈W(\alpha_x)_{x\in W}はWW上で整合的である。とくにα↦(αx)x∈M\alpha\mapsto(\alpha_x)_{x\in M}はRR線形写像Hn(M;R)→Γ(M;R)H_n(M;R)\to\Gamma(M;R)を定める。
  3. 向きμ\muに対し、(μx⊗1)x∈M(\mu_x\otimes1)_{x\in M}はRR向きである。RR向きは切除同型を通じて開部分多様体へ制限され、同相写像によって像の多様体のRR向きへ送られる。
  4. MMが空でなく連結で、RR向きμ\muをもつなら、r↦rμr\mapsto r\muは同型R→Γ(M;R)R\to\Gamma(M;R)である。MMのRR向きは、単元u∈R×u\in R^\timesによるuμu\muに限る。とくに空でなく連結で向きづけ可能な多様体の向きはちょうど二つである。

証明.主張 (1)、主張 (2)、主張 (3)の証明は問題 7.2とする。

主張 (4)を示す。x0∈Mx_0\in Mを固定する。任意のs∈Γ(M;R)s\in\Gamma(M;R)に対し、μx0\mu_{x_0}が基底なので、sx0=rμx0s_{x_0}=r\mu_{x_0}となるr∈Rr\in Rがただ一つある。主張 (1)をs,rμs,r\muに適用するとs=rμs=r\muである。したがって全射性が従い、単射性はx0x_0での値から従う。rμxr\mu_xが基底をなすことは、rrが単元であるための必要十分条件である。Z\Zの単元は1,−11,-1なので最後の主張も従う。▨

3 向きの二重被覆

定義 3.1.

M~={(x,o):x∈M, o は Hn(M ∣ x) の生成元},p(x,o)=x\widetilde M=\{(x,o):x\in M,\ o\text{ は }H_n(M\,|\,x)\text{ の生成元}\},\qquad p(x,o)=x

とおく。座標球体BBとHn(M ∣ B)H_n(M\,|\,B)の生成元oBo_Bに対し

U(B,oB)={(y,(oB)y):y∈B}U(B,o_B)=\{(y,(o_B)_y):y\in B\}

とし、これらが生成する位相をM~\widetilde Mに入れる。p:M~→Mp:\widetilde M\to MをMMの 向きの二重被覆 (orientation double cover) という。

命題 3.2.

  1. ppは二重被覆写像である。p−1(B)=U(B,oB)⊔U(B,−oB)p^{-1}(B)=U(B,o_B)\sqcup U(B,-o_B)であり、それぞれはppによってBBと同相である。
  2. MMの向きとppの連続な切断は、μ↦(x↦(x,μx))\mu\mapsto(x\mapsto(x,\mu_x))により一対一に対応する。
  3. MMが空でなく連結であるとする。MMが向きづけ可能であるための必要十分条件は、M~\widetilde Mが連結でないことである。この場合、M~\widetilde Mはちょうど二つの連結成分をもち、それぞれはppによってMMと同相であり、二つの向きに対応する。
  4. MMが空でなく連結で、π1(M,x0)\pi_1(M,x_0)が指数22の部分群をもたないなら、MMは向きづけ可能である。とくに単連結な多様体は向きづけ可能である。

証明.主張 (1)を示す。x∈Bx\in Bでの制限Hn(M ∣ B)→Hn(M ∣ x)H_n(M\,|\,B)\to H_n(M\,|\,x)は同型なので、xx上には(oB)x(o_B)_xと−(oB)x-(o_B)_xの二点がある。基本開集合の交わりを調べる。(x,o)(x,o)がU(B,oB)U(B,o_B)とU(B′,oB′)U(B',o_{B'})に属するとき、xxを含む座標球体C⊆B∩B′C\subseteq B\cap B'を取る。oB,oB′o_B,o_{B'}のCCへの制限は、xxでの値が同じなので補題 1.4 (1)により等しい。その共通の制限をoCo_Cとすれば、U(C,oC)U(C,o_C)は交わりに含まれる。したがって定義の集合族は開基である。その各集合の射影はBBであり、さらに任意の開集合への逆像はこの開基の和になる。よってppは連続かつ開写像であり、U(B,±oB)→BU(B,\pm o_B)\to Bは同相写像となる。主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。向きμ\muの整合性を表す近傍を座標球体BBに縮める。その上の類は、一点で生成元へ写るのでHn(M ∣ B)H_n(M\,|\,B)の生成元である。したがってx↦(x,μx)x\mapsto(x,\mu_x)は局所的に上の同相写像の逆写像となり、連続である。逆に連続な切断は各点の近くで二枚のうち一方に入り、その枚の生成元から整合性を得る。これが主張 (2)である。

主張 (3)を示す。MMは局所弧状連結なので、連結なら弧状連結である（§E21.9 命題 3.5）。向きがある場合は、μ\muと−μ-\muに対応する二つの切断の像が互いに素な開集合として全体を覆い、それぞれMMと同相である。逆にM~\widetilde Mが連結でなければ、各連結成分はMMの被覆である（§E21.10 命題 1.7 (1)、§E21.10 命題 1.7 (3)）。各成分は各ファイバーに少なくとも一点をもつが、ファイバーの点は二つしかない。したがって成分は二つで、いずれも一枚の被覆であり、MMと同相である。各逆写像が切断となるので主張 (3)を得る。

主張 (4)を示す。最後にMMが向きづけ不可能なら、M~\widetilde Mは連結である。二点のファイバーへのモノドロミー作用は推移的であり、その安定化群はp∗π1(M~,e)p_*\pi_1(\widetilde M,e)である（§E21.10 命題 2.1 (2)、§E21.10 命題 2.1 (3)）。右作用をg∗e=e⋅g−1g*e=e\cdot g^{-1}によって左作用に直しても軌道と安定化群は変わらない（§E7.13 命題 4.1 (1)）。軌道安定化群定理により、安定化群の指数は22である。対偶を取れば主張 (4)を得る。▨

命題 3.3.MMを空でなく連結とし、R[2]={r∈R:2r=0}R[2]=\{r\in R:2r=0\}とおく。

  1. MMが向きづけ可能ならΓ(M;R)≅R\Gamma(M;R)\cong Rである。
  2. MMが向きづけ不可能なら、 R[2]⟶Γ(M;R),r⟼(ox⊗r)x∈MR[2]\longrightarrow\Gamma(M;R),\qquad r\longmapsto(o_x\otimes r)_{x\in M} は同型である。ここでoxo_xはHn(M ∣ x)H_n(M\,|\,x)の任意の生成元であり、像は各生成元の符号の選び方によらない。
  3. MMがRR向きづけ可能であるための必要十分条件は、MMが向きづけ可能であるか、RRで2=02=0であることである。さらに、RRで2=02=0なら、連結とは限らない任意のMMに対し(ox⊗1)x∈M(o_x\otimes1)_{x\in M}はRR向きである。とくにすべての多様体はZ/2Z\Z/2\Z向きづけ可能である。

証明.主張 (1)は命題 2.4 (3)と命題 2.4 (4)による。

主張 (2)を示す。s∈Γ(M;R)s\in\Gamma(M;R)に対して

sx=o⊗f(x,o)((x,o)∈M~)s_x=o\otimes f(x,o)\qquad ((x,o)\in\widetilde M)

によってf:M~→Rf:\widetilde M\to Rを定める。局所ホモロジーの係数変更が同型であり、ooが整数係数の基底なので、この係数は一意である。座標球体に縮めてssを一つの相対類で表せば、ffは各U(B,oB)U(B,o_B)の十分小さい部分で一定となる。よってffは局所定数であり、f(x,−o)=−f(x,o)f(x,-o)=-f(x,o)を満たす。M~\widetilde Mは連結なのでffは定数rrとなり、r=−rr=-r、すなわちr∈R[2]r\in R[2]である。

逆に2r=02r=0ならox⊗ro_x\otimes rはoxo_xの符号によらない。座標球体上ではoB⊗ro_B\otimes rが族を表すので整合的である。この二つの構成は互いに逆であり、線形である。主張 (2)を得る。

主張 (3)を示す。向きづけ不可能な場合、主張 (2)の族が各点で基底となるための必要十分条件はrrが単元であることである。2r=02r=0でrrが単元なら2=02=0となる。逆に2=02=0ならr=1r=1を取ることができる。連結性を仮定しない場合も、ox⊗1o_x\otimes1は符号によらず、座標球体上の類oB⊗1o_B\otimes1で表すことができる。したがって主張 (3)を得る。▨

例 3.4. 円周の正向きの生成元[S1][S^1]の各点での像をoxo_xとする。このとき、§E21.19 補題 2.1 (1)によりoxo_xは局所ホモロジーの生成元であり、命題 2.4 (2)により整合的である。したがって

S1×{1,−1}⟶S1~,(x,ε)⟼(x,εox)S^1\times\{1,-1\}\longrightarrow\widetilde {S^1},\qquad (x,\varepsilon)\longmapsto(x,\varepsilon o_x)

は同相写像である。実際、十分小さい座標球体BB上でoxo_xを表す類をoBo_Bとすれば、B×{ε}B\times\{\varepsilon\}はU(B,εoB)U(B,\varepsilon o_B)へ同相に写る。これらは両側の開基なので、全体の写像とその逆も連続である。二つの切断はx↦(x,ox)x\mapsto(x,o_x)とx↦(x,−ox)x\mapsto(x,-o_x)である。

4 コンパクト集合の相対基本類

定理 4.1.A⊆MA\subseteq Mをコンパクト集合とする。

  1. i>ni>nならHi(M ∣ A;R)=0H_i(M\,|\,A;R)=0である。
  2. α∈Hn(M ∣ A;R)\alpha\in H_n(M\,|\,A;R)がすべてのx∈Ax\in Aでαx=0\alpha_x=0を満たすなら、α=0\alpha=0である。
  3. 任意のs∈Γ(M;R)s\in\Gamma(M;R)に対し、すべてのx∈Ax\in Aでαx=sx\alpha_x=s_xを満たすα∈Hn(M ∣ A;R)\alpha\in H_n(M\,|\,A;R)がただ一つ存在する。

証明.主張 (1)、主張 (2)、主張 (3)を同時に示す。主張 (3)の一意性は主張 (2)による。以下では係数RRを省く。A=∅A=\varnothingでは相対鎖複体が零なので、三つとも成り立つ。

主張 4.1.1. コンパクト集合A,B,A∩BA,B,A\cap Bについて三つの主張が成り立つなら、A∪BA\cup Bについても成り立つ。

証明.A,BA,Bは Hausdorff 空間MMのコンパクト集合なので閉集合である。§E21.18 命題 1.6 (2)を開集合M∖A,M∖BM\setminus A,M\setminus Bに適用する。直和の第2成分の符号を反転して表示すると、完全列は

Hi+1(M ∣ A∩B)⟶Hi(M ∣ A∪B)→(rA,rB)Hi(M ∣ A)⊕Hi(M ∣ B)→rA∩B−rA∩BHi(M ∣ A∩B)H_{i+1}(M\,|\,A\cap B)\longrightarrow H_i(M\,|\,A\cup B) \xrightarrow{(r_A,r_B)} H_i(M\,|\,A)\oplus H_i(M\,|\,B) \xrightarrow{r_{A\cap B}-r_{A\cap B}}H_i(M\,|\,A\cap B)

となる。最後の写像は(a,b)↦aA∩B−bA∩B(a,b)\mapsto a_{A\cap B}-b_{A\cap B}である。i≥ni\geq nでは左端が零なので、中央の制限写像は単射である。i>ni>nでは直和も零となり、主張 (1)を得る。i=ni=nでα\alphaの局所値がすべて零なら、A,BA,Bでの主張 (2)によりαA=αB=0\alpha_A=\alpha_B=0となり、単射性からα=0\alpha=0である。

s∈Γ(M;R)s\in\Gamma(M;R)に対し、A,BA,Bでの主張 (3)による類をa,ba,bとする。aA∩Ba_{A\cap B}とbA∩Bb_{A\cap B}は各点で同じ値sxs_xをもつので、A∩BA\cap Bでの主張 (2)により等しい。完全性から(a,b)(a,b)はHn(M ∣ A∪B)H_n(M\,|\,A\cup B)の類の像となり、その類がssの局所値をもつ。補助主張を得る。▨

主張 4.1.2.φ\varphiを座標写像、C⊂RnC\subset\R^nをコンパクトな凸集合とすると、A=φ(C)A=\varphi(C)について三つの主張が成り立つ。

証明.CCが空でなければ、補題 1.4により一点への制限が同型なので、主張 (1)と主張 (2)が従う。s∈Γ(M;R)s\in\Gamma(M;R)とy∈Ay\in Aを固定し、sys_yの逆像をα∈Hn(M ∣ A)\alpha\in H_n(M\,|\,A)とする。αx=sx\alpha_x=s_xとなる点の集合がAAの開かつ閉な部分集合であることを示す。

x=φ(w)∈Ax=\varphi(w)\in Aの近くでssを相対類sUs_Uで表し、φ(Bε(w))⊆U\varphi(B_\varepsilon(w))\subseteq Uとなる開球を取る。D=C∩Bε(w)D=C\cap B_\varepsilon(w)は空でない有界な凸集合である。α\alphaとsUs_Uをφ(D)\varphi(D)へ制限する。φ(D)\varphi(D)の各点への制限は同型なので、この二つの制限が一致するなら全点で局所値が一致し、一致しないなら全点で局所値が異なる。したがって一致の集合と不一致の集合はいずれもAAで開である。AAは連結であり、一致の集合はyyを含むのでAA全体である。主張 (3)を得る。▨

主張 4.1.3. 同じ座標写像によるコンパクトな凸集合の像の有限和について、三つの主張が成り立つ。

証明. 集合の個数について帰納する。一つの場合は直前の補助主張による。C1,…,CmC_1,\ldots,C_mが凸なら、(C1∪⋯∪Cm−1)∩Cm(C_1\cup\cdots\cup C_{m-1})\cap C_mはm−1m-1個以下のコンパクトな凸集合Cj∩CmC_j\cap C_mの和である。したがって、この交わりと最初のm−1m-1個の和に帰納法の仮定を適用し、主張 4.1.1によってmm個の和を得る。▨

主張 4.1.4. 一つの座標近傍に含まれる任意のコンパクト集合AAについて、三つの主張が成り立つ。

証明.α∈Hi(M ∣ A)\alpha\in H_i(M\,|\,A)を相対輪体zzで表す。∂z\partial zに現れる特異単体の像の和はコンパクトであり、AAと交わらない。座標の中でAAを覆う有限個の閉球を、各球がAAと交わり、その像が∂z\partial zの像と交わらないように選ぶ。像の和をKKとする。zzはHi(M ∣ K)H_i(M\,|\,K)の類αK\alpha_Kを定め、そのAAへの制限はα\alphaである。i>ni>nなら、有限和の場合によってαK=0\alpha_K=0であり、主張 (1)を得る。

i=ni=nでα\alphaの局所値がAA上で零であるとする。KKを作る各閉球の像KjK_jに対して、その像に含まれるxj∈Ax_j\in Aが存在する。(αK)Kj(\alpha_K)_{K_j}はxjx_jへの制限が零なので、凸集合の制限同型により零である。したがってαK\alpha_Kの局所値はKK全体で零となる。有限和の場合の主張 (2)によりαK=0\alpha_K=0、従ってα=0\alpha=0である。主張 (3)には、座標の中でAAを含む一つの閉球を取り、その像の上で得た類をAAへ制限すればよい。▨

一般のコンパクト集合AAを扱う。各点の近くに座標内の閉球を取り、その内部の像がAAを覆うように有限個を選ぶ。これらの像をK1,…,KmK_1,\ldots,K_m、Aj=A∩KjA_j=A\cap K_jとおく。各AjA_jは一つの座標近傍に含まれるコンパクト集合である。さらに

Aj∩(A1∪⋯∪Aj−1)A_j\cap(A_1\cup\cdots\cup A_{j-1})

もKjK_jと同じ座標近傍内のコンパクト集合なので、直前の補助主張を適用することができる。主張 4.1.1を順に適用すればA=A1∪⋯∪AmA=A_1\cup\cdots\cup A_mについて三つの主張を得る。▨

系 4.2.μ\muをMMのRR向きとする。

  1. コンパクト集合K⊆MK\subseteq Mに対し、すべてのx∈Kx\in Kで(μK)x=μx(\mu_K)_x=\mu_xを満たすμK∈Hn(M ∣ K;R)\mu_K\in H_n(M\,|\,K;R)がただ一つ存在する。これをKKに関する 相対基本類 (relative fundamental class) という。
  2. コンパクト集合K⊆LK\subseteq Lに対し、(μL)K=μK(\mu_L)_K=\mu_Kである。
  3. KKを含む開集合WWに向きを制限すると、WWでのKKの相対基本類は、切除同型Hn(W ∣ K;R)→Hn(M ∣ K;R)H_n(W\,|\,K;R)\to H_n(M\,|\,K;R)によってμK\mu_Kに写る。
  4. MMがコンパクトなら、連結であるか否かによらず、第1項は[M]=μM∈Hn(M;R)[M]=\mu_M\in H_n(M;R)を与える。この類を向きμ\muに対する 基本類 (fundamental class) という。

証明.主張 (1)は定理 4.1 (3)をs=μs=\muに適用したものである。

主張 (2)を示す。主張の両辺は各点で同じ局所向きをもつので、一意性から等しい。

主張 (3)を示す。切除の自然性により、WWの相対基本類の像の各点への制限はμx\mu_xとなる。再び一意性によって結論を得る。

主張 (4)はHn(M ∣ M;R)=Hn(M;R)H_n(M\,|\,M;R)=H_n(M;R)である。▨

5 最高次ホモロジー

定理 5.1.MMを空でないコンパクトで連結なnn次元多様体とする。

  1. 局所値を取る写像Hn(M;R)→Γ(M;R)H_n(M;R)\to\Gamma(M;R)は同型である。
  2. MMがRR向きμ\muをもつなら、各x∈Mx\in Mに対する制限Hn(M;R)→Hn(M ∣ x;R)H_n(M;R)\to H_n(M\,|\,x;R)は同型であり、基本類[M][M]はHn(M;R)H_n(M;R)の基底である。
  3. MMが整数係数で向きづけ不可能ならHn(M;R)≅R[2]H_n(M;R)\cong R[2]である。とくにHn(M;Z)=0H_n(M;\Z)=0、Hn(M;Z/2Z)≅Z/2ZH_n(M;\Z/2\Z)\cong\Z/2\Zである。
  4. MMが向きづけ可能であるための必要十分条件は、Hn(M;Z)H_n(M;\Z)がZ\Zと同型となることである。

証明.主張 (1)を示す。定理 4.1をA=MA=Mに適用する。局所値がすべて零なら類は零なので単射であり、任意の整合的な族が一つの類から生じるので全射である。主張 (1)を得る。

主張 (2)を示す。命題 2.4 (4)によってΓ(M;R)=Rμ\Gamma(M;R)=R\muとなり、xxでの値を取る写像も基底μ\muを基底μx\mu_xへ送る同型である。[M][M]がμ\muに対応するので結論が従う。

主張 (3)は主張 (1)と命題 3.3 (2)による。

主張 (4)はR=ZR=\Zとした主張 (2)と主張 (3)による。▨

命題 5.2.

  1. 空でない連結な閉曲面に対し、整数係数の向きの定義は§E21.28 定理 3.1で用いた定義と一致する。向きを固定したとき、二つの構成の基本類は一致する。向きづけ不可能な場合のH2(M;Z)=0H_2(M;\Z)=0も同じ定理の結論に一致する。
  2. n≥1n\geq1に対し、§E21.19 定義 2.2 (1)の局所生成元μx\mu_x、すなわち[Sn][S^n]の各点への像は、SnS^nの向きをなす。その向きの基本類は[Sn][S^n]である。

証明.主張 (1)を示す。命題 2.3によって向きの定義が一致する。二つの基本類はいずれも指定された各点の局所向きへ写るので、系 4.2 (1)の一意性により等しい。向きづけ不可能な場合は両定理とも最高次の整数係数ホモロジーを零とする。

主張 (2)を示す。球面はコンパクトであり、立体射影と弧状連結性（§E21.8 補題 3.2 (1)、§E21.8 補題 3.2 (3)）により連結なnn次元多様体である。§E21.19 補題 2.1 (1)によりμx\mu_xは局所ホモロジーの生成元であり、命題 2.4 (2)により族は整合的である。よって向きであり、[Sn][S^n]はその局所値をもつので基本類である。▨

定理 5.3.MMが連結でコンパクトでないなら、i≥ni\geq nでHi(M;R)=0H_i(M;R)=0である。

証明.i≥ni\geq nとし、輪体zzを取る。zzに現れる有限個の特異単体の像を、有限個の座標球体の和UUで覆う。各座標球体の閉包はコンパクトなのでU‾\overline Uもコンパクトである。V=M∖U‾V=M\setminus\overline Uとおくと、VVは空でない開集合であり、UUと交わらない。K=U‾∖UK=\overline U\setminus Uはコンパクトである。

三つ組V⊆U⊔V⊆MV\subseteq U\sqcup V\subseteq Mの長完全列（§E21.15 命題 2.5 (2)）の一部は

Hi+1(M,U⊔V;R)⟶Hi(U⊔V,V;R)⟶Hi(M,V;R)H_{i+1}(M,U\sqcup V;R)\longrightarrow H_i(U\sqcup V,V;R)\longrightarrow H_i(M,V;R)

である。左端はHi+1(M ∣ K;R)H_{i+1}(M\,|\,K;R)なので定理 4.1 (1)により零である。特異単体の像は連結なので、位相的直和の相対鎖複体C∙(U⊔V,V;R)C_\bullet(U\sqcup V,V;R)はC∙(U;R)C_\bullet(U;R)と同一視される。したがって

Hi(U;R)⟶Hi(M ∣ U‾;R)H_i(U;R)\longrightarrow H_i(M\,|\,\overline U;R)

は単射である。i>ni>nなら右辺も零であり、zzはUUで、従ってMMで境界である。

i=ni=nでは、zzがMM上に定める整合的な族を考える。zzの像はUUに含まれるので、この族はVV上で零である。MMは連結でVVは空でないから、命題 2.4 (1)により族は至る所で零である。定理 4.1 (2)によって[z][z]のHn(M ∣ U‾;R)H_n(M\,|\,\overline U;R)での像は零となる。上の単射性からzzはUUで境界であり、結論を得る。▨

系 5.4. 任意のnn次元多様体MMに対し、Hn(M;Z)H_n(M;\Z)は自由アーベル群である。任意のアーベル群GGとi>ni>nに対して

Hi(M;G)=0,Hi(M;G)=0H_i(M;G)=0,\qquad H^i(M;G)=0

である。

証明. 多様体の連結成分は開かつ弧状連結である。各成分がコンパクトなら定理 5.1と定理 4.1 (1)を、コンパクトでなければ定理 5.3を適用する。各成分の整数係数ホモロジーは、次数nnでZ\Zまたは零であり、nnより大きい次数で零である。§E21.13 命題 2.3 (2)の直和分解により、Hn(M;Z)H_n(M;\Z)は自由であり、i>ni>nの整数係数ホモロジーは零となる。

二つの普遍係数定理を適用する。i>ni>nではテンソル項と Hom 項は零である。i=n+1i=n+1の Tor 項と Ext 項はHn(M;Z)H_n(M;\Z)の自由性により零であり、さらに高い次数では両項の第1変数が零となる。したがって任意係数での二つの消滅を得る。▨

命題 5.5.m≥1m\geq1とする。

  1. RPm\mathbb{RP}^mはコンパクトで連結なmm次元多様体であり、向きづけ可能であるための必要十分条件はmmが奇数であることである。
  2. CPm\mathbb{CP}^mはコンパクトで連結な2m2m次元多様体であり、向きづけ可能である。
  3. SmS^mはコンパクトで連結なmm次元多様体であり、向きづけ可能である。

証明. 射影空間がコンパクトで連結な多様体であることは命題 1.5による。

主張 (1)を示す。§E21.24 命題 4.1 (1)により、Hm(RPm;Z)H_m(\mathbb{RP}^m;\Z)はmmが奇数ならZ\Z、偶数なら零である。定理 5.1 (4)によって主張 (1)が従う。

主張 (2)を示す。§E21.24 命題 4.2によりH2m(CPm;Z)≅ZH_{2m}(\mathbb{CP}^m;\Z)\cong\Zなので、同じ判定から主張 (2)を得る。

主張 (3)は命題 5.2 (2)による。▨

例 5.6.

  1. Rn\R^nは連結で向きづけ可能だが、コンパクトでない。Hn(Rn;Z)=0H_n(\R^n;\Z)=0であり、Hn(Rn ∣ x;Z)≅ZH_n(\R^n\,|\,x;\Z)\cong\Zなので、局所値への制限は同型でない。
  2. M=Sn⊔SnM=S^n\sqcup S^nはコンパクトで向きづけ可能だが、連結でない。Hn(M;Z)≅Z2H_n(M;\Z)\cong\Z^2からHn(M ∣ x;Z)≅ZH_n(M\,|\,x;\Z)\cong\Zへの制限は単射でない。
  3. RP2\mathbb{RP}^2はコンパクトで連結だが、向きづけ不可能である。最高次のホモロジーは H2(RP2;Z)=0,H2(RP2;Z/2Z)≅Z/2Z,H2(RP2;Z/4Z)≅Z/2ZH_2(\mathbb{RP}^2;\Z)=0,\qquad H_2(\mathbb{RP}^2;\Z/2\Z)\cong\Z/2\Z,\qquad H_2(\mathbb{RP}^2;\Z/4\Z)\cong\Z/2\Z となる。最後の群はR=Z/4ZR=\Z/4\Zの部分加群R[2]={0,2}R[2]=\{0,2\}であり、RR全体ではない。RP2\mathbb{RP}^2はZ/4Z\Z/4\Z向きづけ可能でない。

Rn\R^nは可縮なので単連結であり、命題 3.2 (4)により向きづけ可能である。その正次数のホモロジーは零である。第2項の制限は、xxを含む球面の成分を取ってから球面の局所制限同型を適用する写像なので、もう一つの成分を核にもつ。

第3項の整数係数と二元体係数の値は胞体ホモロジーの計算に一致する。Z/4Z\Z/4\Z係数では、普遍係数定理により

H2(RP2;Z/4Z)≅Tor⁡1Z(Z/2Z,Z/4Z)=ker⁡(2:Z/4Z→Z/4Z)={0,2}.H_2(\mathbb{RP}^2;\Z/4\Z)\cong\operatorname{Tor}_1^{\Z}(\Z/2\Z,\Z/4\Z)=\ker(2:\Z/4\Z\to\Z/4\Z)=\{0,2\}.

RRで2≠02\ne0なので、命題 3.3 (3)によりRR向きはない。これらの例は、局所値への同型におけるコンパクト性、連結性、係数に対する向きづけ可能性の役割をそれぞれ示す。

6 閉多様体の間の写像度

定義 6.1. コンパクトな多様体を 閉多様体 (closed manifold) という。M,NM,Nを向きづけられた、空でなく連結な閉nn次元多様体とし、f:M→Nf:M\to Nを連続写像とする。定理 5.1 (2)の同型

βN:Z⟶Hn(N;Z),d⟼d[N]\beta_N:\Z\longrightarrow H_n(N;\Z),\qquad d\longmapsto d[N]

を用いて定める整数deg⁡f=βN−1(f∗[M])\deg f=\beta_N^{-1}(f_*[M])を、ffの 写像度 (degree) という。

命題 6.2.

  1. M=N=SnM=N=S^nの両側に命題 5.2 (2)の向きを入れると、deg⁡f\deg fは§E21.19 定義 1.1の写像度と一致する。
  2. n=2n=2の場合、deg⁡f\deg fは§E21.28 定義 4.1の写像度と一致する。

証明. 定義によりf∗[M]=(deg⁡f)[N]f_*[M]=(\deg f)[N]である。主張 (1)を示す。球面の場合は、両方の定義に用いる生成元が同じ[Sn][S^n]なので整数が一致する。

主張 (2)を示す。閉曲面の場合も、命題 5.2 (1)により基本類が一致するので整数が一致する。▨

定義 6.3. 向きμ,ν\mu,\nuをもつ多様体M,NM,Nの同相写像f:M→Nf:M\to Nとx∈Mx\in Mを取る。対の同相写像が誘導する同型

f∗:Hn(M ∣ x)⟶Hn(N ∣ f(x))f_*:H_n(M\,|\,x)\longrightarrow H_n(N\,|\,f(x))

がμx\mu_xをνf(x)\nu_{f(x)}へ送るとき、ffはxxで 局所向きを保つ (orientation preserving) といい、−νf(x)-\nu_{f(x)}へ送るとき 局所向きを反転する (orientation reversing) という。

命題 6.4. 向きづけられた、空でなく連結な閉nn次元多様体の間の連続写像について、次が成り立つ。

  1. f≃f′f\simeq f'ならdeg⁡f=deg⁡f′\deg f=\deg f'である。
  2. 合成可能なf,gf,gに対し、deg⁡(g∘f)=(deg⁡g)(deg⁡f)\deg(g\circ f)=(\deg g)(\deg f)である。
  3. 恒等写像の写像度は11であり、定値写像の写像度は00である。
  4. 同相写像の写像度は11または−1-1である。同相写像はすべての点で局所向きを保つか、すべての点で反転し、前者の写像度は11、後者の写像度は−1-1である。
  5. r:M→Mr:M\to Mがすべての点で局所向きを反転する同相写像なら、任意の連続写像f:M→Nf:M\to Nに対しdeg⁡(f∘r)=−deg⁡f\deg(f\circ r)=-\deg fである。

証明.主張 (1)は§E21.13 命題 3.2 (2)による。

主張 (2)は

(g∘f)∗[M]=g∗((deg⁡f)[N])=(deg⁡f)(deg⁡g)[P](g\circ f)_*[M]=g_*((\deg f)[N])=(\deg f)(\deg g)[P]

から従う。

主張 (3)を示す。恒等写像は基本類を保つ。定値写像は一点を経由し、n≥1n\geq1では一点のHnH_nが零なので、基本類を零へ送る。主張 (3)を得る。

主張 (4)を示す。命題 2.4 (3)によってffが送る向きf∗μf_*\muを考える。NNは連結なので、命題 2.4 (4)によりf∗μ=νf_*\mu=\nuまたはf∗μ=−νf_*\mu=-\nuである。すなわち局所向きの符号はすべての点で同じである。局所制限の自然性により、f∗[M]f_*[M]の各点での値はこの向きとなる。基本類の一意性からf∗[M]=[N]f_*[M]=[N]またはf∗[M]=−[N]f_*[M]=-[N]であり、写像度はそれぞれ1,−11,-1である。

主張 (5)の証明は問題 7.3とする。▨

例 6.5. 円環面T2=S1×S1T^2=S^1\times S^1の向きを固定し、座標を入れ替える同相写像r(z,w)=(w,z)r(z,w)=(w,z)を考える。このとき、固定点(1,1)(1,1)の積の座標で、rrは(x,y)↦(y,x)(x,y)\mapsto(y,x)となる。基底(1,−1),(1,1)(1,-1),(1,1)で表せば、この線形写像は第1座標の鏡映である。§E21.19 命題 2.9により鏡映は局所ホモロジー上で−id⁡-\idを誘導する。基底変換による共役と局所制限の自然性から、rrも固定点の局所ホモロジー上で−id⁡-\idを誘導する。したがってrrはこの点で局所向きを反転し、命題 6.4 (4)によりdeg⁡r=−1\deg r=-1である。

7 演習

問題 7.1.補題 1.3で用いた写像h(v)=y+rv/(1+∥v∥)h(v)=y+rv/(1+\|v\|)の逆写像を求め、h:Rn→Br(y)h:\R^n\to B_r(y)が同相写像であることを確かめよ。

解答.

w=h(v)w=h(v)とすると、∥w−y∥=r∥v∥/(1+∥v∥)<r\|w-y\|=r\|v\|/(1+\|v\|)<rである。s=∥w−y∥s=\|w-y\|とおけば∥v∥=s/(r−s)\|v\|=s/(r-s)なので

h−1(w)=w−yr−∥w−y∥(w∈Br(y))h^{-1}(w)=\frac{w-y}{r-\|w-y\|}\qquad(w\in B_r(y))

を得る。分母は正であり、この式はw=yw=yでも連続である。二つの写像をいずれの順序で合成しても恒等写像となる。hh自身も分母が正の連続な式であるから同相写像である。▨

問題 7.2.命題 2.4 (1)、命題 2.4 (2)、命題 2.4 (3)を証明せよ。

解答.

二つの整合的な族s,ts,tとx∈Mx\in Mを取る。それぞれを表す類の近傍の共通部分に、xxを含む座標球体BBを取る。BBへの制限をsB,tBs_B,t_Bとすると、各y∈By\in Bへの写像Hn(M ∣ B;R)→Hn(M ∣ y;R)H_n(M\,|\,B;R)\to H_n(M\,|\,y;R)は同型である。よってsB=tBs_B=t_Bなら全点でsy=tys_y=t_yとなり、sB≠tBs_B\ne t_Bなら全点でsy≠tys_y\ne t_yとなる。一致の集合と不一致の集合はいずれも開である。連結なら、空でない開かつ閉な一致の集合は全体である。第1項を得る。

開集合WWの上では、α∈Hn(M ∣ W;R)\alpha\in H_n(M\,|\,W;R)自身が族(αx)x∈W(\alpha_x)_{x\in W}を表す類である。局所制限はRR線形なので、W=MW=Mとした写像もRR線形である。これが第2項である。

整数係数の局所生成元μx\mu_xは、補題 1.4 (2)の係数変更同型によって、RR係数の基底μx⊗1\mu_x\otimes1を与える。族の整合性は補題 2.2による。

開部分多様体W⊆MW\subseteq Mの各点では、切除同型Hn(W ∣ x;R)→Hn(M ∣ x;R)H_n(W\,|\,x;R)\to H_n(M\,|\,x;R)の逆で局所向きを定める。xxの近くで向きを表す類を取り、その近傍の中に、閉包がWWに含まれる座標球体BBを取る。元の類をBBへ制限し、切除同型Hn(W ∣ B;R)→Hn(M ∣ B;R)H_n(W\,|\,B;R)\to H_n(M\,|\,B;R)の逆で移せば、WW上での整合性を表す類となる。各点の基底は同型で移しているので基底のままである。

同相写像f:M→Nf:M\to Nについては、xxの局所向きを対の同型でf(x)f(x)へ送り、近傍UU上で族を表す類をHn(N ∣ f(U);R)H_n(N\,|\,f(U);R)へ送る。制限との可換性から像の族は整合的であり、局所同型は基底を基底へ送る。第3項を得る。▨

問題 7.3.命題 6.4 (5)を証明せよ。

解答.

rrは全点で局所向きを反転するので、命題 6.4 (4)によりdeg⁡r=−1\deg r=-1である。命題 6.4 (2)を適用すると

deg⁡(f∘r)=(deg⁡f)(deg⁡r)=−deg⁡f\deg(f\circ r)=(\deg f)(\deg r)=-\deg f

となる。▨

問題 7.4.KKを Klein の壺とする。

  1. §E21.27 系 5.3のH2(K;Z)=0H_2(K;\Z)=0と、最高次ホモロジーの定理から、KKが向きづけ不可能であることを示せ。
  2. H2(K;Z/6Z)H_2(K;\Z/6\Z)をR[2]R[2]の形で求め、普遍係数定理による計算と一致することを確かめよ。
解答.
  1. KKは空でない連結な閉曲面である。H2(K;Z)=0H_2(K;\Z)=0はZ\Zと同型でないので、定理 5.1 (4)によりKKは向きづけ不可能である。
  2. 定理 5.1 (3)にR=Z/6ZR=\Z/6\Zを代入すると H2(K;Z/6Z)≅{r∈Z/6Z:2r=0}={0,3}≅Z/2ZH_2(K;\Z/6\Z)\cong\{r\in\Z/6\Z:2r=0\}=\{0,3\}\cong\Z/2\Z である。一方、H1(K;Z)≅Z⊕Z/2ZH_1(K;\Z)\cong\Z\oplus\Z/2\Z、H2(K;Z)=0H_2(K;\Z)=0なので、普遍係数定理は H2(K;Z/6Z)≅Tor⁡1Z(Z⊕Z/2Z,Z/6Z)≅ker⁡(2:Z/6Z→Z/6Z)={0,3}H_2(K;\Z/6\Z)\cong\operatorname{Tor}_1^{\Z}(\Z\oplus\Z/2\Z,\Z/6\Z) \cong\ker(2:\Z/6\Z\to\Z/6\Z)=\{0,3\} を与える。自由な直和因子の Tor は零であり、二つの計算は一致する。

▨

参考文献

  1. Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002.局所ホモロジーによる多様体の向き、向きの二重被覆、コンパクト集合ごとの相対基本類の存在の補題、閉多様体とコンパクトでない多様体の最高次のホモロジーの経路を参考にした。

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